Studio di funzione Prof. Carlo Alberini 4 gennaio 04 Si studi e si disegni in un riferimento cartesiano ortogonale la seguente funzione: Svolgimento. = 3 ln La prima cosa da fare è definire il C.E. e studiare il segno dell argomento del modulo per ricondurre il testo dell esercizio alla forma di funzione definita a tratti. Quindi: la radice cubica è definita su tutto per cui l unica condizione imposta al C.E. è data dalla funzione logaritmo, che necessita di un argomento strettamente maggiore di zero. Nel nostro caso: () > 0 Per studiare il segno del modulo è necessario osservare che: 3 4 5 3 4 5 6 7 8 9 = ln () ln 0 Le funzioni da studiare sono allora: (3) = + ln 0 < ln N.B. Per entrambi i rami della funzione si osserva che, tanto da sinistra quanto da destra, si assume, per =, lo stesso valore, ovvero = f () =. La funzione è dunque continua nel proprio dominio. N.B. Per la natura del dominio studiato non possono esserci simmetrie all interno della funzione.
Studio della funzione = f () = + ln per 0 <. Positività: Si tratta di risolvere la disequazione + ln 0 sotto il C.E. specificato; quindi: + ln 0 + ln 0 ln La soluzione è pertanto: + + + (4) e 0 e che è accettabile in quanto e 0,35335833663.... Intersezioni con gli assi: 3. Limiti: = 0 S = = 0 = e 4. Derivata prima: lim 0 + f () = lim f () = (5) = f () = + ln = 3 ( + ln ) 3 La derivata prima è pertanto pari a: (6) = 3 3 ( + ln ) Si osserva che 0 per ogni ]0,] \ { e } e che > 0 per ogni ]0,] \ { e } in quanto può assumere solo valori maggiori di zero e l argomento della radice cubica è elevato alla seconda. Da ciò di deduce che la funzione = f () è monotona, strettamente crescente. N.B. Il dominio della derivata prima differisce da quello della funzione di partenza, dato che è necessario aggiungere la condizione + ln 0 che comporta: (7) + ln 0 e.
Si rende quindi necessario lo studio del comportamento della derivata prima in un intorno di = e. Si avrà quindi: e () = + e + () = + Il risultato ottenuto indica che nella funzione di partenza = f () in corrispondenza del valore = e si avrà un flesso a tangente verticale. Si riporta in fianco il grafico (non necessario) della funzione = f (). e 8 3 8 3 3 4 9 4 = f () 3 4 = e = e 8 3 5. Derivata seconda: (8) = f () = 3 3 = ( + ln ) 3 + ( ( + ln ) 3 3 ) 5 ( + ln ) 3 3 La derivata seconda è pertanto pari a: (9) = 3ln + 8 9 ( + ln ) 3 ( + ln ) Nella (9) si nota che i termini 9 e 3 ( + ln ) sono sempre positivi per ogni ]0,], pertanto lo studio della derivata seconda si riduce alla disequazione: (0) 3ln + 8 = 9 ( + ln ) 3 0 3ln 8 = 0 ( + ln ) + ln N.B. Permane la non derivabilità anche in questo caso nel punto = e. Il comportamento della funzione è già stato studiato nel punto precedente. Studiando il segno di numeratore (N) e denominatore (D) si ha che: 3
(N 0) : 3ln 8 e 8 3 0,0694834580... (D > 0) : ln e 0,35335833663... Lo studio dei segni dei singoli fattori porta al seguente risultato: 0 0 + e 8 3 + e + Dallo studio del segno della derivata seconda si capisce, infine, che nel punto = e 8 3 la funzione presenta un flesso (a tangente obliqua) in cui la concavità si scambia con la convessità. Il grafico completo della = f () è riportato di seguito nel dominio considerato. M e 8 3 A= ( e ;0 ) 3 3 F f () = + ln 4
Studio della funzione = f () = ln per >. Positività: Si tratta di risolvere la disequazione ln 0 sotto il C.E. specificato; quindi: ln 0 ln 0 ln La soluzione è pertanto: + + () e e che è accettabile in quanto e 7,38905609893065.... Intersezioni con gli assi: 3. Limiti: = 0 S = = 0 = e lim f () = + lim f () = + 4. Eventuali asintoti obliqui: dato che il dominio di = f () si estende sino a +, è logico chiedersi se tale funzione possa avere asintoti obliqui, anche in accordo con il risultato del lim f () =. Dimostriamo che tale congettura è falsa. Affinché = f () abbia asintoti obliqui, dovrebbero + esistere ed essere finiti i limiti: f () () m = lim + e ( (3) q = lim f () m ) + Tuttavia, mentre il limite () dà come risultato 0, il limite (3) dà come risultato. Dunque = f () non può avere asintoti obliqui. 5
5. Derivata prima: (4) = f () = ln = ( 3 ( ln ) 3 ) La derivata prima è pertanto pari a: (5) = 3 3 ( ln ) Si osserva che 0 per ogni ],+ ] \ { e } e che < 0 per ogni ],+ ] \ { e } in quanto può assumere solo valori maggiori di zero e l argomento della radice cubica è elevato alla seconda. Da ciò di deduce che la funzione = f () è monotona, strettamente decrescente. N.B. Il dominio della derivata prima differisce da quello della funzione di partenza, dato che è necessario aggiungere la condizione ln 0 che comporta: (6) ln 0 e. Si rende quindi necessario lo studio del comportamento della derivata prima in un intorno di = e. Si avrà quindi: e () = e + () = Il risultato ottenuto indica che nella funzione di partenza = f () in corrispondenza del valore = e si avrà un flesso a tangente verticale. Si riporta in fianco il grafico (non necessario) della funzione = f (). N.B. Dal calcolo del limite destro e sinistro in un intorno di della derivata prima si ha che: 3 4 = e 3 6 9 () = 3 4 lim f + () = 3 4 ed essendo limiti finiti e diversi si deduce che nel grafico di = f () si ha, per =, un punto angoloso. 3 6 = f ()
6. Derivata seconda: (7) = f () = 3 3 = ( ln ) 3 ( ) ( ln ) 3 3 5 ( ln ) 3 3 La derivata seconda è pertanto pari a: (8) = 3ln + 4 9 ( ln ) 3 ( ln ) Nella (8) si nota che i termini 9 e 3 ( ln ) sono sempre positivi per ogni ],+ ], pertanto lo studio della derivata seconda si riduce alla disequazione: (9) = 3ln + 4 9 ( ln ) 3 0 = 3ln + 4 0 ( ln ) ln N.B. Permane la non derivabilità anche in questo caso nel punto = e. Il comportamento della funzione è già stato studiato nel punto precedente. Studiando il segno di numeratore (N) e denominatore (D) si ha che: (N 0) : 3ln 4 e 4 3 3,79366789468377... (D > 0) : ln e 7,38905609893065... Lo studio dei segni dei singoli fattori porta al seguente risultato: 0 0 + e 4 3 + + e + + Dallo studio del segno della derivata seconda si capisce, infine, che nel punto = e 4 3 la funzione presenta un flesso (a tangente obliqua) in cui la concavità si scambia con la convessità. Il grafico completo della = f () è riportato di seguito nel dominio considerato. 7
M 3 3 F 3 4 5 6 7 e 8 9 e 4 3 B f () = ln L unione dei due grafici, opportunamente riscalata, fornisce il grafico della funzione di partenza: M F A B 3 4 5 6 7 8 9 F f () = 3 ln 8