tegrzoe umer Formule d Newto-Cotes Trpez Smpso Puto medo Composte Formule d Guss Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
tegrzoe umer PROBLEMA: S u uzoe det sull tervllo [,], d u soo ot vlor u seme to d put. S vuole determte u pprossmzoe dell tegrle ;, d Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Fuzo psst per gl stess put Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur Formule d qudrtur ;, d w Coeet o pes Resto dell ormul d qudrtur Nod r Grdo d presoe o esttezz U ormul d qudrtur grdo d presoe k se è estt r qudo l uzoe tegrd è u polomo qulss d grdo more o ugule k. P Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog k
Grdo d presoe Grdo d presoe Se è u polomo d grdo l ormul è estt, se l è d grdo ommetto u errore Grdo d presoe 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur Formule d qudrtur Somm pest d vlor dell uzoe put opportu pprteet o meo ll tervllo d tegrzoe d LL - 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d tpo terpoltoro ; d ;, p, d Polomo e terpol l uzoe 7 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d tpo terpoltoro S p l polomo terpolte d Lgrge put dstt p od p d l d l oeet L ormul d qudrtur rsult estt per ostruzoe per polom d grdo lmeo grdo d presoe lmeo 8 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur d Newto-Cotes od equspzt Newto-Cotes Cuse Uso etrm gl estrem d tegrzoe ormul de Trpez : Lere ormul d Smpso /: Qudrt ormul d Smpso /8 : Cu Newto-Cotes perte Usosoloput ter ormul del puto medo 9 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formul de Trpez Approssmzoe lere d [ ] L Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formul de Trpez terpolzoe d Lgrge, Cmmeto d vrle L d od let,, ξ, d ξ ; ξ L ξ ξ ξ ξ Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formul de Trpez tegrdo d L d L ξ d ξ ξ dξ ξdξ ξ ξ ξ [ ] Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Esempo:ormul Trpez Clolre l tegrle Soluzoe estt e d Formul de Trpez e d ε Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog e e e e d 8 [ ] 56.96 87.66 56.96 57.% 56.9677 e 87.66
Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Formul Formul d d Smpso / Smpso / Approssm l uzoe o u prol, [ ] d L
5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Formul Formul d d Smpso / Smpso / d d,,,, let L ξ ξ ξ ξ ξ od L ξ ξ ξ ξ ξ ξ
Formul d Smpso / tegrmo l polomo terpolte d Lgrge d L ξ Grdo d presoe lmeo dξ ξ ξ 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog ξ ξ ξ dξ ξξ ξ dξ ξξ ξ [ ] d dξ
Formul d Smpso /8 Approssmmo o u polomo uo, d 8 [ ] L 7 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
8 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Formul Formul d d Smpso /8 Smpso /8 L [ ] 8 - ; Ld d
Esemp: ormule d Smpso Clolre l tegrle Smpso / Smpso /8 e d 9 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog [ ] e d ε 8 e e 8. 56.96 8. 56.96 57.96% 8 e d 8 / [ 9.89 55.9 9.8 ] 689.9 8 56.96 689.9 ε.7% 56.96
Formul del puto medo Formul d Newto-Cotes pert d m η m Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formul d Newto-Cotes pert o due put Approssmzoe lere d 8 [ ] η Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formul d Newto-Cotes pert o due put Approssm l uzoe o u prol d 7 [ ] 5 η Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur d Newto-Cotes od equspzt Nod equdstt [,] k k k,..., Formule use Formule perte, oeet o pes w dpedoo solo d, m o dll tervllo d tegrzoe [,] o d possoo qud essere lolt pror Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur d Newto-Cotes tt: Cso ormule use. Cmo d vrle ψ t t Notdo e k p w k ψ l d l ψ k k t k t k k k Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur d Newto-Cotes Pertto, l t k k ϕ t k k se Per pes s llor w rsult D u s ottee l ormul d qudrtur d ϕ t dt ϕ t l dt w w ϕ t dt Alogmete per le ormule perte w w ϕ t dt 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Metodo de oeet determt Metodo de oeet determt Determre oeet u ormul d qudrtur rededo e l ormul s estt per moom,,..,, oè e l ormul grdo d presoe lmeo. Quest odzoe port l sstem lere d equzo o ogte...... d d d Mtre d Vdermode. Allor se od soo dstt l soluzoe esste ed è u
7 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Metodo de oeet determt Metodo de oeet determt ESEMPO ESEMPO Assegt put,, ostrure u ormul d qudrtur us d grdo lmeo.,, [,] Quest odzoe port l sstem lere elle ogte,. ] [ d d
Pes per Newto-Cotes 8 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Se Errore d tegrzoe Errore terpolzoe polomle E p Π! Errore d u ormul d qudrtur terpoltor E dove Π d Π p ξ Π C d, [, ],! Κ Κ su [, ], llor E Π! 9 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog d ξ ξ d,
Errore d tegrzoe d u ormul d qudrtur d Newto-Cotes Poè od soo equdstt l espressoe del resto s sempl E Formul o pr perte o use M! ξ purè C [, ] dove ξ, t π M t π vedo deto t t π dt dt < > t t per ormule use per ormule perte Grdo d presoe Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Errore d tegrzoe d u ormul d qudrtur d Newto-Cotes Formul o dspr perte o use E M M! vedo deto π π η purè C [, ] dove η, t t dt dt < > per ormule use per ormule perte π t t Grdo d presoe Le ormule d Newto-Cotes o grdo d presoe se è PAR e se è DSPAR Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Errore d tegrzoe ell ormul de trpez E ; t,! t ; η d η Π d dove η, [, ] od t : t t dt E η Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog, d t t Π t dt 6
Error elle ormule d Newto-Cotes E E '' ξ 5 9 Formul de trpez ξ Formul d Smpso / E E 5 8 ξ '' Formul d Smpso /8 ξ Formul del puto medo Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur d Newto-Cotes od equspzt stltà umer delle ormule d qudrtur per >8 Errore reltvo el lolo delle ormule d Newto-Cotes per l pprossmzoe d e d Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Per mglorre Formule Composte Formul de Trpez Compost Formul d Smpso Compost Estrpolzoe d Rrdso tegrzoe d Romerg 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Applmo l ormul de trpez su sottotervll Due tervll Tre tervll 7 7 6 6 5 5 5 7 9 5 Quttro tervll 7 7 5 7 9 5 Molt tervll 6 6 5 5 5 7 9 5 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog 5 7 9 5
Formule omposte Suddvsoe dell tervllo d tegrzoe [,] prt [, ],,.., Somm d tegrl su su tervllo d Formul elemetre terpoltor su su tervllo 7 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog d d sosttuto o p d
Formul de Trpez Compost d d d LL [ ] [ ] L [ ] [ L L ] d sottotervll 8 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog E T '' ξ
Formul de Trpez Compost,,, 8, 6, Clolo dell tegrle e d.5.5 [ ] [ [ ] [.5.5 [.5 555.95 ].5 ] 87.66 788.79.5.5 576.76.75..5 ] L ε ε ε ε ε 57.%.75% 9.7%.5%.66% 9 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formul de Trpez Compost o tervll o equspzt Vlutmo l tegrle,,.5,.5 e d d d d.5 [ ] [ ] [.5 ] [.5 ] [ ] [ ] [ e.5 ] 6 6 7 e e e e [.5 ] 7 8 e e 597.58.5.5% Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog.5 ε.5 d
Formul d Smpso Compost Approssmzoe qudrt trtt Osservre... - - Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formul d Smpso Compost d [ ] [ ] [ L - d [ ] 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt E T Uverstà d Bolog d L ] L d L ξ 88
Formul d Smpso Compost Vlutmo l tegrle, e d [ ] [ e e ] 8, 8. Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog [ ] [ e e e e ] 6 8 567.975 ε 8.7% ε 57.96%
Formul d Smpso Compost o tervll o equspzt Vlutmo l tegrle.5,.5 d.5 [.5 ] [.5 ] Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog e [.5 ] [.5 ] 6 6 7 8 e e e e e 5. ε d.5.76% d
Qudrtur utomt N: [,] Etol Nm l progrmm P lol l vlore dell tegrle ;, P o u errore stmto Est<Etol e o u umero d vlutzo d uzoe M<Nm Se ò o è possle l progrmm P s terrompe. d OUT: Est M 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
P osste :. U suessoe d ormule d qudrtur e omporto u umero resete d vlutzo. U rtero per determre. U rtero per determre l stm utomt dell errore Est Esempo d sem d qudrtur utomt P: Metodo d Romerg 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Estrpolzoe d Rrdso E possle dre u stm utomt del resto orotdo tr loro le pprossmzo dell tegrle otteute o due dvers vlor d N um.tervll. N, N u N δ N pprossmzo δ N e s s N δ, ξ N δ N N s N dersoo Nell potes e vr d poo l vrre d, s suppoe: llor δ δ N δ N δ s N N s s 7 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog N s, per s ξ
Estrpolzoe d Rrdso Stm del resto: N N s N S può proedere o suessv rddopp d N o qudo N s N Etol L pprossmzoe dell tegrle srà: N N s N 8 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Clolo d e d Co l ormul de trpez s, Etol.5 - N 8 6.... N 77 7988 75865 76585 N s N Etol Vlore le 8 orretto.768 Errore eettvo Est r.7-5 9 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Clolo d e d Co l ormul d Smpso s, Etol.5 - N.. N 76855 76855 N s N Etol Vlore le orretto.7685 Errore eettvo Est r.6-6 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Metodo d Romerg Metodo d Romerg Usmo l ormul de trpez ompost sottotervll: j,,, 8, 6,. [ ] d L [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] j 6 8 8 Formul j j j j 7 L M M M L sottotervll
5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Metodo d Romerg Metodo d Romerg [ ] 7 6 5 8 8 j j j j j Formul j M M M ; j j
Metodo d Romerg S pprossm l tegrle medte u ormul rorsv R, m S R stm d R R,,, R m, R, m R m, llor [ ], R, m R,, o,..,m o redoo ltre vlutzo d R R R R,,,.. M, R R R,,... M, 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog R,... TEOREMA: Og olo dell rry d Romerg overge ll tegrle d. Per og m, R M, N lm R, m d
Formule d qudrtur Gusse Formule d Newto-Cotes uso vlor delle uzo su put equspzt put Grdo d presoe o Qul è l mssmo grdo d presoe rggugle d u ormul d qudrtur det od? S suppoe e l ormul d qudrtur poss essere estt per polom d grdo Formule Gusse od,,.. o soo presst, od e oeet vegoo rvt modo d mssmzzre l grdo d presoe 5 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur Gusse su [-, ] : d Seglere,,, modo e l tegrle s estto per,,, 55 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog - Sstem o lere!!
Formule d qudrtur guss - Guss-Legedre - p p p : ; d tervllo[-,]; ;, o rd w /, /, Determre e modo e l ormul s estt per polom d grdo < o d Grdo d presoe 56 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur Gusse su [-, ] : d - seglere,,,,, tle e l metodo s estto per,,,,, 5 Sstem o lere!! 57 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur guss - Guss Legedre - d 5 9 5 8 9 5 9 ; Grdo d presoe 5 oeet dell ormul possoo essere determt medte l metodo de oeet determt 58 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog 5
59 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Formule d qudrtur Gusse su Formule d qudrtur Gusse su [, ] [, ] Trsormzoe d oordte d [,] [-,] t t d g d dt t t t t
Esempo: Formule d qudrtur Gusse vlutre te dt 56.9677 Trsormzoe d Coordte t t te t dt ; e dt d d d Formul o due put d e e 9.67657 68.7679 77.596 ε.% 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Esempo: Formule d qudrtur Gusse Formul o tre put d 5 9.6 5 9 967.6689 5 9 e.955.6 8 9 ε.6 8 9 8 9 e 8.96.79% 5 9 5 9 5 9.6.6 e.6 8589.689 Formul o quttro put d.785.655 597.575 [.866.866 ] [.998.998 ].7% 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog ε
TEOREMA So,,.., gl zer dell -esmo polomo ortogole p ell tervllo [,] rspetto ll uzoe peso w. Allor l ormul d qudrtur o oeet w w l d grdo d presoe 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog Dmostrzoe Dmostrzoe # l ormul è estt per d zer, oseguez d, per dvdmo S w r d w r d w q p d w r q p d w p r r q r q p p P P P L ormul è estt per P
Formule d qudrtur Gusse pes delle ormule d qudrtur gusse soo tutt postv. 6 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
w w Formule d qudrtur d Gusse, w uzoe peso w su [, ] Guss-Ceysev Guss-Legedre 65 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur Formule d Newto-Cotes uso vlor delle uzo su put equspzt put Grdo d presoe o Coeet postv per <7 Possoo o overgere Formule gusse Grdo d presoe Coeet sempre postv Sempre overget ll umetre del umero de od 66 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog
Formule d qudrtur Gusse Per le ormule pù lsse od e oeet soo memorzzt telle 67 Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog