Principi di Automazione e Controllo

Principi di Automazione e Controllo Ing. Fabio Piedimonte Corso IFTS per Tecnico Superiore di Produzione Ver 1.0

Indice 1 Introduzione al problema dell automazione 4 1.1 I processi.................................. 4 1.2 Il controllo dei processi........................... 5 1.2.1 Schemi di sistemi di controllo................... 6 1.2.2 Il controllo in retroazione...................... 9 2 Modelli per la descrizione dei processi 11 2.1 Descrizione matematica dei processi.................... 11 2.1.1 Equazioni differenziali ed equazioni algebriche.......... 11 2.1.2 Equazioni differenziali lineari e sistemi linearizzati........ 13 2.1.3 Trasformata di Laplace e matrice di trasferimento........ 14 3 Analisi dei processi 16 3.1 La funzione di trasferimento........................ 16 3.2 Analisi della stabilità............................ 17 3.3 La risposta del sistema........................... 19 3.3.1 La risposta a gradino........................ 19 3.3.2 La risposta armonica........................ 20 4 Definizione delle specifiche di progetto 24 4.1 Specifiche sul regime permanente: la precisione a regime........ 24 4.2 Specifiche sul transitorio.......................... 25 4.2.1 Specifiche sul transitorio della risposta a gradino......... 25 1

INDICE 4.2.2 Specifiche sulla risposta armonica................. 26 4.2.3 Specifiche dalla risposta armonica di F (s) nel caso in cui F (s) sia stabile.............................. 27 4.2.4 Legame tra le varie specifiche................... 29 5 La sintesi in ω per tentativi 31 5.1 Rispetto delle specifiche sulla precisione a regime............ 32 5.1.1 Rispetto delle specifiche sulla precisione a regime per errore limitato 32 5.1.2 Rispetto delle specifiche sulla precisione a regime per errore nullo 33 5.2 Rispetto delle specifiche sul transitorio.................. 33 5.2.1 Tecniche di correzione....................... 33 5.2.2 Azioni sui diagrammi di Bode per il soddisfacimento delle specifiche sul transitorio......................... 38 5.3 Controllore finale.............................. 42 6 I regolatori standard 43 6.1 Taratura dei regolatori standard...................... 46 Bibliografia 47 Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 2

Introduzione Scopo di questa breve dispensa è introdurre e definire nozioni generali riguardo al problema dello sviluppo di un sistema di controllo per processi. Il testo di riferimento della dispensa è il libro del professor Marro Controlli Automatici (cf. [1]). La dispensa è rivolta agli studenti del corso di Principi di automazione industriale e controlli automatici per la scuola Esperto nella reingegnerizzazione dei processi con l ausilio delle nuove tecnologie. La dispensa non è né esaustiva, né scritta con la rigorosità matematica che richiederebbe la materia, proprio perché si preferito un approccio più immediato e adatto a studenti neodiplomati provenienti da tutti i tipi di scuole. 3

Capitolo 1 Introduzione al problema dell automazione 1.1 I processi Per processo si intende un sistema fisico che soggetto a certi stimoli, input, reagisce producendo degli output. La definizione di processo fornita è piuttosto vaga, ed in essa rientrano fondamentalmente tutti i sistemi esistenti, sia artificiali, sia naturali. In figura 1.1 è riportato il modello di un processo secondo la rappresentazione degli schemi a blocchi. Nella figura intervengono tre tipi di grandezze, due entranti e una d( t) u(t) Processo y(t) Figura 1.1: Il blocco processo uscente: u(t): il vettore 1 degli ingressi controllabili e misurabili del sistema, cioè ciò su cui si può agire per variare lo stato di funzionamento del sistema; 1 Il simbolo indica che le grandezze non sono scalari, cioè composte da un unico elemento, bensì vettori, cioè composte da più elementi (componenti). La dimensione del vettore è il numero di elementi 4

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA DELL AUTOMAZIONE d(t): il vettore degli ingressi non controllabili, eventualmente misurabili, del sistema, cioè i disturbi che agiscono sul processo; y(t): il vettore delle uscite misurate del sistema. Per tutte e tre le grandezze è indicata la dipendenza del tempo, si tratta cioè di funzioni, il cui valore può cambiare al variare del tempo. Esempi di processi possono essere i seguenti: un robot manipolatore, le cui tensioni ai motori ne sono l ingresso, la posizione dell effettore finale ne è l uscita, la forza di gravità o il carico che deve movimentare ne rappresentano i disturbi; un forno industriale, che ha come ingresso la quantità di carburante data per unità di tempo e per uscita la temperatura all interna del forno; un motore per utensili industriali, la tensione è l ingresso, la velocità l uscita e il carico il disturbo. Come detto in precedenza, gli esempi possono essere infiniti. 1.2 Il controllo dei processi Non di raro capita che si voglia far seguire un comportamento desiderato ad un processo. Si immagini ad esempio il caso di un manipolatore, si potrebbe richiedere che l effettore finale segua una certa traiettoria, imprimendo una certa forza, al fine di eseguire una determinata lavorazione. Anche in questo caso gli esempi sono pressocché infiniti. Il problema è, quindi, determinare quali input u(t) fornire al sistema per ottenere gli output y(t) desiderati. Il più delle volte, però, non è possibile calcolare e fornire a v 1 (t) v 2 (t) da cui è composto. Il vettore è, solitamente, rappresentato nel seguente modo: v(t) =. v n (t) n ne è la dimensione e v i (t) ne sono le componenti. Come testo di riferimento per la geometria e l algebra si consulti [2]. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 5,

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA DELL AUTOMAZIONE mano l ingresso u(t), spesso si tratta di processi di precisione, o estremamente veloci, e anche quando fosse possibile non è detto che sia conveniente. L automazione si occupa dello sviluppo di sistemi di controllo in grado di far seguire il comportamento desiderato ai processi con scarso o nullo intervento umano. In controlli automatici l obiettivo di uno sistema di controllo, il comportamento desiderato, è definito dalle specifiche di progetto. 1.2.1 Schemi di sistemi di controllo Prima di proseguire è necessario far intuire quali sono le difficoltà nel progetto di un sistema di controllo. La domanda più ovvia che ci si potrebbe porre è la seguente: nota la relazione tra ingresso e uscita, per ottenere il comportamento desiderato non potrebbe essere sufficiente invertire il modello che descrive il processo? Un approccio del genere, pur formalmente corretto, non permette di ottenere risultati efficienti. Si consideri, ad esempio, un motore elettrico di un treno e si supponga di voler progettare un sistema di controllo tale da far andare il treno ad una certa velocità ω r (t) desiderata. In un sistema del genere l ingresso di controllo è la tensione V (t) applicata al motore, mentre la velocità ne è l uscita. Se si vuole invertire il modello che descrive il processo è necessario conoscerne una rappresentazione. Ma con quale precisione è possibile conoscere il legame tra ingresso e uscita? È molto complesso? È matematicamente invertibile? Supponiamo, per poter proseguire con il ragionamento, di fare una serie di ipotesi semplificative e affermare che tensione di alimentazione e velocità siano tra di loro proporzionali attraverso un coefficiente k. Ancora una volta ci si chiede: è possibile conoscere perfettamente il valore di k? E soprattutto, è sicuro che il valore di k non varia anche esso nel tempo, magari in funzione di parametri quali la temperatura di esercizio del motore? Ancora una volta, per proseguire, supponiamo il valore di k costante e pari al suo valore nominale. A questo punto il modello che Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 6

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA DELL AUTOMAZIONE descrive il motore sembrerebbe il seguente: ω(t) = k V (t) (1.1) L equazione riportata è però non completa, non tiene conto dell interazione tra il treno e l ambiente in cui si sta muovendo. Anche quest interazione potrebbe essere molto complessa da descrivere. Ci si limiti a considerare la pendenza: se il treno va in salita c è qualcosa che tende a rallentarlo, se va in discesa c è qualcosa che tende ad accelerarlo. Questo qualcosa potrebbe essere visto come un disturbo di velocità ω(t), positivo se la ferrovia è in discesa, negativo altrimenti. L equazione che descrive il modello diventa la seguente: ω(t) = k V (t) + ω(t) (1.2) Se la si vuole invertire è sufficiente porre: V (t) = 1 k (ω(t) ω(t)) (1.3) Ancora una volta sorge un problema: come misurare il disturbo? Sono necessari dei sensori di pendenza? E comunque, se anche questo fosse noto, fornire come controllo il risultato dell equazione (1.3) in funzione di ω r (t) non fornirebbe alcun mezzo per contrastare la non perfetta conoscenza del modello. Un controllo di questo genere è detto in avanti, o feedforward, e lo schema a blocchi è riportato in figura 1.2 2. Supponiamo invece di utilizzare uno schema di controllo come quello riportato in figura 1.3. L uscita del sistema, la velocità ω(t), viene misurata, si definisca questa misura ω m (t), e confrontata con la velocità desiderata ω r (t). La differenza, cioè l errore di velocità, viene moltiplicato per una costante A grande e fornisce l ingresso di tensione al motore. Uno schema del genere è detto in retroazione o feedback. Le equazioni che 2 ω m (t) è la misura del disturbo ω(t). Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 7

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA DELL AUTOMAZIONE Figura 1.2: Controllo di velocità del motore di un treno mediante inversione del modello del processo. Figura 1.3: Controllo di velocità del motore di un treno mediante retroazione. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 8

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA DELL AUTOMAZIONE descrivono il sistema sono le seguenti: V (t) = A (ω r (t) ω m (t)) ω(t) = k V (t) + ω(t) ω(t) ω m (t) (1.4) Sostituendo la prima nella seconda e tenendo conto della terza 3 si ottiene: ω(t) = k A 1 + k A ω 1 r(t) + ω(t) (1.5) 1 + k A Se si sceglie A abbastanza grande si ottiene che il primo termine quello relativo al riferimento tende a ω r (t), mentre il secondo, quello relativo al disturbo, tende a 0. Mediante l utilizzo dello schema in retroazione si è ottenuto, quindi, un buon inseguimento dell ingresso, indipendentemente dal disturbo, indipendentemente dal valore reale di k ed indipendentemente anche dal modello che descrive il processo. Rimane da chiedersi cosa vuol dire far crescere A, se questo è possibile e se basta un semplice guadagno oppure serve qualcosa di più sofisticato nel caso il processo sia più complesso. 1.2.2 Il controllo in retroazione In figura 1.4 è riportato lo schema a blocchi generico di un sistema di controllo in retroazione. Il sistema globale, che ha come ingresso il riferimento r(t) e come uscita y(t), in seguito indicato come sistema W, è detto sistema a ciclo chiuso. Il sistema controllore/processo, di seguito indicato come sistema F, è detto catena diretta. L ingresso del controllore e(t) è sempre la differenza tra il riferimento e la misura y m (t) dell uscita. In seguito si supporranno sempre i sensori ideali, e quindi si assumerà y(t) = y m (t). Lo schema a blocchi corrispondente è riportato in figura 1.5 3 La terza equazione equivale a considerare il sensore ideale ed istantaneo. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 9

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA DELL AUTOMAZIONE W F d( t) r(t) + - e(t) Controllore u(t) Processo y(t) y m (t) Sensori Figura 1.4: Schema a blocchi di un sistema di controllo in retroazione d( t) r(t) + - e(t) Controllore u(t) Processo y(t) Figura 1.5: Schema a blocchi di un sistema di controllo in retroazione unitaria. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 10

Capitolo 2 Modelli per la descrizione dei processi Prima di iniziare il progetto di sistemi di controllo è necessario chiedersi se una conoscenza più o meno approfondita del processo che si vuole controllare può essere di aiuto. La risposta è ovviamente affermativa: conoscere il processo può permettere di progettare controllori disegnati sulle caratteristiche del processo, e quando anche non si fosse in grado di avere il modello del processo, conoscere come un controllore più o meno standard agisce su processi più o meno normali può essere di aiuto per iniziare ad operare. 2.1 Descrizione matematica dei processi Un processo può essere descritto in vari modi, in questa sede ci soffermeremo sulle possibili rappresentazioni matematiche, senza comunque entrare nel dettaglio. Alla base di tutto ci sono equazioni che derivano dalla fisica, nel corso del paragrafo si descriverà come standardizzare il set di equazioni che descrivono il processo, quali approssimazioni fare e quali tecniche poter utilizzare. 2.1.1 Equazioni differenziali ed equazioni algebriche Ai fini dei problemi che si vogliono affrontare le equazioni possono essere divise un due grandi categorie: 11

CAPITOLO 2. MODELLI PER LA DESCRIZIONE DEI PROCESSI Le equazioni algebriche: contraddistinte da una relazione istantanea tra gli ingressi e le uscite, cioè il valore del risultato dell equazione dipende esclusivamente da valori di altre variabili allo stesso istante di tempo. Le equazioni di questo tipo sono concettualmente semplici, eccone alcuni esempi: y(t) = x 2 (t) y(t) = sin(x(t)) y(t) = x(t) z(t) (2.1) Fissato un istante di tempo t, e noto come variano x e z al variare di t, si può calcolare y. Le equazioni differenziali: contraddistinte da una relazione non istantanea tra gli ingressi e le uscite, cioè il valore del risultato dell equazione dipende da valori passati e/o presenti di altre variabili o dell uscita stessa. Queste equazioni sono concettualmente più complesse, sono equazioni composte da operatori come derivate 1 e/o integrali 2 e tengono conto di grandezze che si accumulano nel tempo. Si consideri, ad esempio, una vettura che si muove ad una certa velocità su una strada, non è possibile conoscere la posizione attuale lungo la strada se conosciamo solo la velocità attuale, la posizione attuale dipende da tutte le velocità passate e dalla posizione iniziale. Se come informazione si aggiunge che la velocità è stata sempre costante, che si è partiti da un certo chilometro e che si è viaggiato per una certa quantità di tempo allora è possibile calcolare la posizione attuale. Non interessa in questa sede sapere come ricavare le equazioni dal processo fisico, è sufficiente solo sapere che esse saranno dei due tipi descritti precedentemente: x(t) = f( x(t), ū(t)) (2.2) 1 La derivata di x(t) viene indicata con ẋ(t) o con dx(t) dt, ed ha insito il concetto di variazione, di pendezza di x(t) al variare di t. 2 L integrale di x(t) viene indicato con t 1 t 0 x(t)dt, t 0 e t 1 sono detti estremi di integrazione, ed ha insito l idea di somma di valori passati tra i due estremi di integrazione. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 12

CAPITOLO 2. MODELLI PER LA DESCRIZIONE DEI PROCESSI detta equazione di stato; ȳ(t) = ḡ( x(t), ū(t)) (2.3) detta equazione dell uscita. Rispetto alle variabili fin qui introdotte, ingressi ū, uscite ȳ compaiono anche le variabili di stato x, che descrivono lo stato interno del processo. Inoltre nel proseguo del testo si trascureranno gli effetti dei disturbi. È necessario osservare che affinchè il sistema sia ben funzionante e facilmente controllabile occorre che con gli ingressi si riesca a stimolare tutto lo stato (problema della raggiungibilità), e che dall uscita si riesca a vederelo tutto (problema dell osservabilità). 2.1.2 Equazioni differenziali lineari e sistemi linearizzati Risolovere sistemi di equazioni differenziali generici è spesso impossibile, ci si limita solo a chiedersi se la soluzione esiste. Tra le equazioni differenziali esiste però una classe di sistemi piuttosto semplice da risolvere e da analizzare ed è la classe dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Le equazioni (2.2) e (2.3) si specializzano in: x(t) = A x(t) + Bū(t) (2.4) ȳ(t) = C x(t) + Dū(t) (2.5) dove A, B, C e D sono matrici. È difficile trovare processi veramente lineari a coefficienti costanti, la domanda da porsi é la seguente: è possibile approssimare un sistema non lineare con un sistema lineare così da rendere più semplice l analisi e lo studio di sistemi non lineari? La risposta, con le dovute ipotesi, è affermativa, a patto di considerare solo piccole variazioni attorno ad un punto di equilibrio. I punti di equilibrio sono, intuitivamente, quei Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 13

CAPITOLO 2. MODELLI PER LA DESCRIZIONE DEI PROCESSI punti nei quali, se il sistema si trova vi permane, cioè solo le coppie ( x e, ū 0 ) tali che 3 : 0 = f( x e, ū 0 ) (2.6) 2.1.3 Trasformata di Laplace e matrice di trasferimento Una tecnica adatta all analisi dei sistemi lineari è l utilizzo della trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace permette di trasformare un sistema di equazioni lineari a coefficienti costanti in un sistema di equazioni algebriche. Il ruolo della variabile t (tempo) nella trasformata di Laplace è svolto dalla variabile s: questa variabile è un numero complesso, cioè: s = α + iω (2.7) Sia x(t) una funzione nel tempo, la sua trasformata di Laplace si indica con X(s) e l operatore si indica con X(s) = L{x(t)} (2.8) Ai fini della trasformazione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti sono importanti le seguenti proprietà: 1. Linearità: L{x(t) + y(t)} = L{x(t)} + L{y(t)} = X(s) + Y (s) (2.9) 2. Trasformata della derivata: L{ẋ(t)} = sl{x(t)} x(0 ) = sx(s) x(0 ) (2.10) 3. Trasformata dell integrale: { L } x(t)dt = L{x(t)} s = X(s) s (2.11) 3 La derivata ha in sé anche il concetto di movimento, se la derivata è nulla il sistema è fermo. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 14

CAPITOLO 2. MODELLI PER LA DESCRIZIONE DEI PROCESSI Applicando la trasformata di Laplace le equazioni (2.4) e (2.5) diventano: X(s) = (si A) 1 x(0 ) + (si A) 1 B Ū(s) (2.12) Sostituendo la prima nella seconda si ottiene: Ȳ (s) = C X(s) + DŪ(s) (2.13) Ȳ (s) = C (si A) 1 x(0 ) + {C (si A) 1 B + D} Ū(s) = H(s) x(0 ) + G(s) Ū(s) (2.14) G(s) è detta matrice di trasferimento ingresso/uscita, ed il sistema Ȳ (s) = G(s) Ū(s) (2.15) rappresenta il sistema lineare di partenza a meno delle condizioni iniziali è in assenza di problemi riguardo alla raggiungibilità e all osservabilità. Si vedrà che sotto la seconda ipotesi W (s) contiene tutte le nformazioni utili per analizzare il sistema che descrive il processo. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 15

Capitolo 3 Analisi dei processi Prima di iniziare la fase di analisi dei processi conviene, in un corso base, restringere l insieme dei sistemi da controllare. In questa sede si studieranno solo i sistemi ad un ingresso ed un uscita, cioè U(s) e Y (s) non sono vettori, bensì sono composti da un unico elemento. Di conseguenza la matrice di trasferimento si riduce ad un solo elemento che è detto funzione di trasferimento. 3.1 La funzione di trasferimento Si può dimostrare che la funzione di trasferimento G(s) è una funzione razionale fratta, cioè una divisione di polinomi, ed il grado del numeratore è minore o uguale al grado del denominatore. Nei sistemi reali l uguaglianza è difficile che si verifichi, si assumerà sempre il numeratore di grado minore a quello del denominatore. G(s) = b ms m +... + b 1 s + b 0 = N(s) a n s n +... + a 1 s + a 0 D(s) m < n (3.1) I valori per cui N(s) = 0 si chiamano zeri della funzione di trasferimento e di seguito verranno indicati con z i, i valori per cui D(s) = 0 si chiamano poli del sistema e di seguito verranno indicati con p i. Per il teorema fondamentale dell algebra 1 ci sono esattamente m zeri ed esattamente n poli. Si indichi con m c il numero di coppie complesse coniugate di zeri e con n c il numero di coppie complesse coniugate di poli. 1 Il teorema fondamentale dell algebra recita che un polinomio di grado k a coefficienti reali ammette k soluzioni, di cui alcune possono essere complesse coniugate. Due numeri complessi si dicono complessi coniugati se e solo se hanno stessa parte reale e parte immaginaria di segno opposto, cioè a + ib e a ib sono complessi coniugati. 16

CAPITOLO 3. ANALISI DEI PROCESSI Ovviamente gli zeri reali saranno m 2m c, i poli reali saranno n 2n c. La funzione di trasferimento, con opportuni calcoli può essere così riscritta: G(s) = b ms m +... + b 1 s + b 0 a n s n +... + a 1 s + a 0 = K G Π m 2mc i=1 (s z ri )Π mc i=1 [(s z ci)(s z ci )] Π n 2nc i=1 (s p ri )Π nc i=1 [(s p ci)(s p ci )] (3.2) K G = b m a n (3.3) I pedici c ed r indicano se si tratta soluzioni reali o complesse, il simbolo indica il complesso coniugato. Ponendo τ zi = 1 z i e τ pi = 1 p i la funzione di trasferimento può essere così riscritta: G(s) = b ms m +... + b 1 s + b 0 a n s n +... + a 1 s + a 0 Π m 2mc i=1 (1 + τ zri s)π mc i=1 = K [(1 + τ zcis)(1 + τ zci s)] G Π n 2nc i=1 (1 + τ pri s)π nc i=1 [(1 + τ pcis)(1 + τ pci s)] (3.4) K G = ± b 0 a 0 (3.5) Il segno di quest ultima dipende dal numero di soluzioni positive e negative. Introducendo i coefficienti ω n, detta frequenza di risonanza, e ζ, coefficiente di smorzamento, è possibile riscrivere le coppie complesse coniugate nei seguenti modi: 3.2 Analisi della stabilità (s s 0 )(s s 0 ) = s 2 + 2ζω n s + ω 2 n (3.6) (1 + τ s s)(1 + τ s s) = s2 + 2 ζ s + 1 (3.7) ωn 2 ω n Nei sistemi lineari l unico punto di equilibrio è l origine, e per questo si parla non solo di stabilità dei punti di equilibrio, bensì di stabilità dei sistemi. I punti di equilibrio possono essere stabili asintoticamente, al limite di stabilità o instabili. Intuitivamente: un punto di equilibrio è asintoticamente stabile se allontanando il sistema dal punto di equilibrio esso vi ritorna; Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 17

CAPITOLO 3. ANALISI DEI PROCESSI un punto di equilibrio è al limite di stabilità se allontanando il sistema dal punto di equilibrio esso non vi ritorna ma nemmeno si allontana all infinito; un punto di equilibrio è instabile se allontanando il sistema dal punto di equilibrio esso si allontana all infinito. Come detto in precedenza, nei sistemi lineari di equazioni differenziali a coefficienti costanti parlare di stabilità del punto di equilibrio coincide con il parlare di stabilità del sistema. Per analizzare la stabilità del sistema gli si fornisce un impulso, cioè un ingresso di durata brevissima che mette in moto il sistema, e si osserva come evolve. L impulso ha trasformata di Laplace 1, quindi la G(s) coincide con la risposta impulsiva. In particolare l evoluzione del sistema dipende dalla posizione dei poli. La funzione di trasferimento puo essere scomposta nella somma di termini che contengono ciascuno un polo ed è possibile dimostrare che: il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli hanno parte reale negativa, ad esempio s 1 (s + 2)(s 2 + s + 1) il sistema è al limite della stabilità se e solo se almeno un polo è a parte reale nulla e con molteplicità massima 1 e quelli che non sono a parte reale nulla sono a parte reale negativa, ad esempio s 1 s(s + 2)(s 2 + s + 1) il sistema è instabile se e solo se almeno un polo è a parte reale positiva o se almeno un polo è a parte reale nulla e con molteplicità minima 2, ad esempio s 1 s 2 (s 1)(s + 2)(s 2 + s + 1) Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 18

CAPITOLO 3. ANALISI DEI PROCESSI R t 0 Figura 3.1: Funzione gradino. 3.3 La risposta del sistema Il modo migliore per analizzare un processo è fornirgli un determinato insieme di ingressi e analizzare come reagisce. Ovviamente, affinché questa operazione sia utile e non comprometta il sistema, il processo deve essere asintoticamente stabile. In questa sede verranno forniti come ingressi gradini, e si parlerà di risposta a gradino, e funzioni sinusoidali, e si parlerà di risposta armonica. In generale in un sistema stabile la risposta può essere scomposta in due parti: il regime transitorio, cioè tutta una serie di dinamiche che si esauriscono nel tempo; il regime permanente, cioè il comportamento del sistema dopo molto tempo dall avvio dell esperienza. 3.3.1 La risposta a gradino In figura 3.1 è riportato l andamento di una funzione gradino di ampiezza R applicata all istante t 0. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 19

CAPITOLO 3. ANALISI DEI PROCESSI s^ K G R t s Transitorio Permanente t 0 Figura 3.2: Risposta al gradino. In figura 3.2 è riportato l andamento di una possibile risposta a gradino nel caso in cui il sistema sia asintoticamente stabile e senza zeri nell origine. Quest ultima ipotesi sarà sempe considerata soddisfatta in tutto il resto del testo. In particolare sono rilevanti le seguenti grandezze: la sovraelongazione ŝ, legata alla qualità della stabilità 2 ; il tempo di salita t s, legato alla rapidità del sistema 3 ; il valore finale K G R, dove K G è il guadagno definito nella (3.5). 3.3.2 La risposta armonica Se ad un sistema asintoticamente stabile viene fornito un ingresso sinusoidale, il regime permanente della risposta è anch esso sinusoidale. Con risposta armonica si intende l analisi del regime permanente della risposta ad ingressi sinusoudali di processi asintoticamente stabili. 2 Intuitivamente, più i poli sono negativi, più il sistema è stabile e minore è la sovraelongazione. 3 Intuitivamente, meno i poli sono negativi, più il sistema è vicino all instabilità, più può essere veloce e minore è t s. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 20

CAPITOLO 3. ANALISI DEI PROCESSI Figura 3.3: Risposta armonica. Sia u(t) una sinusoide di ampiezza U 0 e frequenza ω 4 : u(t) = U 0 sin(ωt) (3.8) l uscita y(t) è anch essa una sinusoide, di stessa frequenza ω ma ha ampiezza diversa, Y (ω), ed è sfasata di ϕ(ω): y(t) = Y (ω) sin(ωt + ϕ(ω)) (3.9) È fondamentale osservare che sia lo sfasamento, sia l ampiezza di y(t) dipendono esclusivamente dalla frequenza ω dell ingresso. In figura 3.3 sono riportati dei possibili andamenti. Risulta quindi interessante analizzare al variare di ω da 0 a infinito come varia il rapporto tra l ampiezza dell uscita e quella dell ingresso, Y (ω) U 0, e come varia lo sfasamento ϕ(ω). Vengono introdotti i diagrammi di Bode (fig 3.4). In entrambi in ascissa vi è il logaritmo di ω, quello delle fasi rappresenta proprio l andamento di ϕ(ω), invece 4 Più correttamente la frequenza è ν = ω 2π, mentre è detto periodo T l inverso di ν, cioè 1 ν Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 21

CAPITOLO 3. ANALISI DEI PROCESSI Diagramma Bode 0 20 Fase (deg) Ampiezza (db) 40 60 80 100 120 140 0 45 90 135 180 225 10 0 10 1 Frequeza (rad/sec) Figura 3.4: Diagrammi di Bode. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 22

CAPITOLO 3. ANALISI DEI PROCESSI per le ampiezze si preferisce diagrammare: ( ) Y (ω) 20 log U 0 (3.10) e si esprime in decibel (db). Una cosa molto interessante è che i diagrammi di Bode possono essere ricavati direttamente dalla funzione di trasferimento. In particolare se si pone s = iω (cioè si annulla la parte reale) e si diagrammano modulo e fase di G(iω) si ottengono proprio i diagrammi di Bode. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 23

Capitolo 4 Definizione delle specifiche di progetto Dopo aver introdotto strumenti per l analisi dei processi è necessario introdurre le specifiche di progetto dei sistemi di controllo, cioè il comportamento desiderato per l intero sistema controllato W. Nel prossimo capitolo, invece, si descriverà una tecnica di controllo che permette di progettare un sistema di controllo in grado di soddisfare le specifiche desiderate. Le specifiche possono essere divise in due gruppi: specifiche sul regime permanente e specifiche sul transitorio. Oltre a queste si deve considerare quella che potrebbe essere definita la specifica zero, base, e cioè che il sistema controllato deve essere asintoticamente stabile: senza questa le altre specifiche non hanno senso. 4.1 Specifiche sul regime permanente: la precisione a regime Le specifiche sulla precisione a regime riguardano la risposta dei sistemi ad ingressi quali gradini, rampe, parabole..., cioè ingressi di tipo polinomiale. In questa sede ci si limiterà ad analizzare il caso di ingressi a gradino. In particolare, con riferimento alla figura 4.1, si definisce errore di inseguimento la 24

CAPITOLO 4. DEFINIZIONE DELLE SPECIFICHE DI PROGETTO r(t) + - e(t) C (s) u(t) P(s) y(t) Figura 4.1: Schema a blocchi di un sistema di controllo, nel quale i processi sono indicati con le funzioni di trasferimento e i segnali con funzioni nel tempo. grandezza: e(t) = r(t) y(t) (4.1) per t molto grande, quando cioè si è esaurito il transitorio. La specifica sulla precisione riguarda l imporre un limite superiore all errore, cioè richiedere: e(t) E (4.2) Un caso interessante è quando E = 0, cioè quando si richiede che l errore di inseguimento sia nullo. È possibile dimostrare che l errore di inseguimento per ingressi a gradino di ampiezza R è pari 1 a: R K F + 1 = R K P K C + 1 se non ci sono poli nell origine in F (s), pari a 0 altrimenti. (4.3) 4.2 Specifiche sul transitorio 4.2.1 Specifiche sul transitorio della risposta a gradino Le specifiche sul transitorio della risposta a gradino riguardano la sovraelongazione ŝ ed il tempo di salita t s. Tipicamente si può richiedere che la sovraelongazione sia minore di un certo valore ŝ, per limitare la massima oscillazione iniziale e che il tempo di salita sia minore 1 Si ricorda che con F si è definito il processo relativo alla catena diretta, in particolare: F (s) = C(s) P (s) Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 25

CAPITOLO 4. DEFINIZIONE DELLE SPECIFICHE DI PROGETTO Figura 4.2: Specifiche sul diagramma di Bode delle ampiezze. di un certo valore t s nel caso in cui il sistema debba inseguire sagnali molto veloci. Quest ultima specifica spesso viene imposta all uguaglianza: accelerare troppo i sistemi potrebbe essere nocivo sia perché potrebbe danneggiarli, sia perché spesso piccoli segnali molto veloci sono sovrapposti al segnale buono: questo rumore viene filtrato al crescere di t s, proprio perché il sistema non è in grado di inseguirlo. Riepilogando, si considereranno le seguenti specifiche per il transitorio della risposta a gradino. ŝ ŝ (4.4) t s t s (4.5) 4.2.2 Specifiche sulla risposta armonica Sebbene la risposta armonica riguardi il regime permanente per segnali sinusoidali, imporre vincoli su di essa coincide con l imporre anche vincoli sul transitorio del sistema. In figura 4.2 è riportato un possibile andamento desiderato per il diagramma delle ampiezze di Bode (sulle fasi non si impone niente). Il diagramma è caratterizzato da M R : modulo alla risonanza, cioè massima amplificazione del sistema che avviene alla frequenza ω R ; Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 26

CAPITOLO 4. DEFINIZIONE DELLE SPECIFICHE DI PROGETTO ω 3 : banda passante, cioè valore della frequenza oltre la quale il sistema attenua più di 3 decibel. forma: Le specifiche sulla risposta armonica riguardano queste due grandezze, e sono della M R M R (4.6) ω 3 ω 3 (4.7) 4.2.3 Specifiche dalla risposta armonica di F (s) nel caso in cui F (s) sia stabile Se F (s) è stabile è possibile fornire delle specifiche riguardanti il sistema controllato W (s) direttamente dalla funzione di trasferimento a ciclo aperto. Un ulteriore condizione affinché ciò sia possibile è che il diagramma Bode delle ampiezze di F (s) intersechi una sola volta l ordinata a zero decibel. Il volore di ω per cui questo avviene è detto frequenza di attraversamento ω t, ed il corrispondente valore delle fasi è legato al margine di fase µ ϕ. In particolare: µ ϕ = 180 + ϕ(ω t ) (4.8) In figura 4.3 è riportato un esempio. Il margine di fase da un indicazione sulla qualità della stabiltà del sistema a ciclo chiuso W (s): se esso è positivo il sistema globale è asintoticamente stabile, se pari a 0 è al limite della stabilità, se negativo è instabile. Inoltre maggiore è più il sistema è stabile. In generale le specifiche su queste due grandezze saranno del tipo: µ ϕ µ ϕ (4.9) ω t ω t (4.10) Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 27

CAPITOLO 4. DEFINIZIONE DELLE SPECIFICHE DI PROGETTO Figura 4.3: Specifiche sul diagramma di Bode di F(s). Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 28

CAPITOLO 4. DEFINIZIONE DELLE SPECIFICHE DI PROGETTO 4.2.4 Legame tra le varie specifiche A questo punto della trattazione dovrebbe sorgere spontanea una domanda: i vari tipi di specifiche sul transitorio hanno qualche legame tra loro oppure sono completamente indipendenti. Se la sovraelongazione è un fenomeno negativo perché non annullarla? Le due domande hanno una risposta più o meno comune: escluso i casi di processi veramente semplici in generale tutti i sistemi controllati con le tecniche che si vedranno si comporteranno più o meno nello stesso modo. Potranno avere anche molti poli, ma di solito è possibile trovare dei poli dominanti rispetto agli altri, il cui transitorio, cioè, ha più effetti e dura di più. Tipicamente si considera dominante una coppia di poli complessi coniugati e per definire le specifiche si parte proprio da sistemi del tipo: 1 (4.11) s 2 + 2 ζ ωn 2 ω n s + 1 Per questo tipo di sistemi è impossibile annullare la sovraelongazione, potrebbe essere ridotta moltissimo, ma è ovvio che esagerare le specifiche vuol dire rendere più complesso e costoso il controllore: è buona norma in controlli automatici cercare di ottenere solo lo stretto necessario. Inoltre per processi del genere è semplice trovare un legame tra le varie specifiche: l assunzione che si fa è che in fase di definizione delle specifiche si usano le formule derivate da processi definiti da una sola coppia di poli dominanti. Con queste specifiche si progetta il controllore, successivamente si verifica se il sistema controllato rispetta veramente le specifiche, magari simulando l azione del controllore con il modello più preciso e meno approssimato che si ha a disposizione (eventualmente anche non lineare) del processo. Se così non fosse si agisce cambiando le specifiche. Questa tecnica si chiama sintesi in ω per tenativi ed è l oggetto del prossimo capitolo. In questo tipo di controllo, infatti, le uniche specifiche che possono essere assegnate direttamente sono quelle sul margine di fase e sulla frequenza di attraversamento, ma queste specifiche sono anche quelle meno intuitive e con un meno diretto senso fisico. Tipicamente si desidera assegnare una sovraelongazione massima, un tempo di salita, un modulo alla Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 29

CAPITOLO 4. DEFINIZIONE DELLE SPECIFICHE DI PROGETTO risonanza o una banda passante: servono delle formule per passare tra le varie coppie di specifiche, queste relazioni sono derivate da sistemi formati da una sola coppia di poli complessi coniugati. Le relazioni logiche sono le seguenti: al diminuire del tempo di salita aumenta la banda passante e aumenta la frequenza di attraversamento; al diminuire della sovraelongazione diminuisce il modulo alla risonanza e aumenta il margine di fase. Valgono le seguenti formule approssimative: 1 + ŝ M R (4.12) ω 3 t s 2π(2.5 3.5) (4.13) ω t 0.8/(2π) (4.14) Infine, con metodi grafici si può trovare un legame tra il margine di fase e il modulo alla risonanza. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 30

Capitolo 5 La sintesi in ω per tentativi Prima di iniziare si vuole ricordare che la trattazione fatta in questo contesto ha come unico scopo l introduzione al problema della progettazione dei sistemi di controllo. La tecnica di controllo descritta nel presente capitolo è solo una delle innumerevoli possibilità, e viene descritta nella sua formulazione più semplice ed è applicata solo a casi molto elementari. Come preannunciato nel capitolo precedente con questa tecnica di controllo si riescono ad assegnare il margine di fase e la frequenza di attraversamento desiderati. Anche questa affermazione può essere messa in discussione, se le specifiche sono estreme si potrebbe non trovare il controllore desiderato, oppure potrebbe non essere fisicamente realizzabile: in questo caso l unico modo di procedere è rilassare le specifiche. Oltre che sul transitorio si sono introdotte specifiche sulla precisione a regime, si vedrà come soddisfarle e come questo influisce sul resto della sintesi. La sintesi in ω per tentativi verrà applicata, in questa sede, a processi con le seguenti caratteristiche: P (s) non deve avere zeri nell origine; P (s) deve essere asintoticamente stabile o con al massimo un polo nell origine. Come prima cosa si vedrà proprio come soddisfare le specifiche sulla precisione a regime, successivamente si vedrà come soddisfare le specifiche sul transitorio. Lo schema di controllo di riferimento è riportato in figura 5.1. 31

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI r(t) + - e(t) C (s) u(t) P(s) y(t) Figura 5.1: Schema a blocchi di un sistema di controllo, nel quale i processi sono indicati con le funzioni di trasferimento e i segnali con funzioni nel tempo. 5.1 Rispetto delle specifiche sulla precisione a regime 5.1.1 Rispetto delle specifiche sulla precisione a regime per errore limitato Specifica: e(t) E Se P (s) non ha il polo nell origine vale (si confronti la (4.3)): e(t) = R K P K C + 1 (5.1) da cui: R K P K C + 1 E (5.2) che implica K C R E K P E (5.3) Questo vincolo impone un estremo inferiore per K C, e all aumentare del guadagno diviene più piccolo l errore. K C. Se P (s) ha il polo nell origine allora e(t) = 0 1 e non ci sono vincoli sul guadagno 1 Si potrebbe pensare di aggiungere il polo nell origine anche nel primo caso, così da annullare comunque l errore, ma non conviene mai aggiungere qualcosa che non sia strettamente necessario. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 32

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI 5.1.2 Rispetto delle specifiche sulla precisione a regime per errore nullo Specifica: e(t) = 0 Se P (s) non ha il polo nell origine bisogna aggiungerlo in C(s), quindi C(s) sarà del tipo: C(s) = 1 s C(s) (5.4) dove C(s) è il resto del controllore che deve essere ancora progettato. Se P (s) ha il polo nell origine allora vale già e(t) = 0 e non devono essere aggiunti ulteriori poli nell origine. In entrambi i casi non ci sono vincoli sul guadagno K C. 5.2 Rispetto delle specifiche sul transitorio Con la prima fase sulle specifiche sulla precisione a regime si è eventualmente trovato un valore minimo per il guadagno del controllore K C o si è eventualmente aggiunto un polo nell origine. Al fine di assegnare il margine di fase desiderato e/o la frequenza di attraversamento desiderata è necessario andare ad aggiungere qualcosa in grado di modificare e deformare i diagrammi di Bode della catena diretta F (s). 5.2.1 Tecniche di correzione Modifiche del guadagno K C Variare il guadagno K C non modifica il diagramma di bode delle fasi, mentre trasla verso l alto o verso il basso quello delle ampiezze. In particolare il diagramma di Bode delle ampiezze si alza di: G = 20 log(k C ) (5.5) come mostrato in figura 5.2 Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 33

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI Figura 5.2: Modifica dei diagrammi di Bode al variare del guadagno K C. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 34

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI Figura 5.3: Diagrammi di Bode di una rete ritardatrice. Le reti ritardatrici Le reti ritardatrici derivano dall elettrotecnica ed hanno funzione di trasferimento del tipo R R (s) = 1 + τ R m R s 1 + τ R s 1 < m R < 20 (5.6) si osservi che il guadagno è unitario. In figura 5.3 sono riportati gli andamenti dei diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della rete ritardatrice. Sono caratterizzate da uno zero in in m R τ R ed un polo in 1 τ R, quindi in valore assoluto viene prima il polo e poi lo zero. Il diagramma delle ampiezze vale 0 per frequenze prossime allo 0 e tende a G = 20 log (m R ) (5.7) Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 35

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI per ω tendente ad infinito 2. Il diagramma delle fasi è invece caratterizzato da uno sfasamento nullo per basse e alte frequenze, mentre lo sfasamento raggiunge un valore massimo e negativo per ω 0 = mr τ R (5.8) pari a ϕ = arcsin ( ) mr 1 m R + 1 (5.9) Per le proprietà dell arcoseno, il massimo sfasamento ottenibile è pari a 90 per m R uguale ad infinito, cioè ben oltre il limite superiore di 20 accettabile per m R. Con questo valore il massimo sfasamento ottenibile è pari a circa 65. Il limite superiore per m R non deriva da necessità matematiche, bensì è legato a problemi realizzativi. Le reti anticipatrici Anche le reti anticipatrici derivano dall elettrotecnica ed il loro comportamento è speculare rispetto a quello delle reti ritardatrici. tipo R A (s) = 1 + τ As 1 + τ A m A s Anche in questo caso il guadagno è unitario. Hanno funzione di trasferimento del 1 < m A < 20 (5.10) In figura 5.4 sono riportati gli andamenti dei diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della rete anticipatrice. Sono caratterizzate da uno zero in in 1 τ A ed un polo in m A τ A, quindi in valore assoluto viene prima lo zero e poi il polo. Il diagramma delle ampiezze vale 0 per frequenze prossime allo 0 e tende a G = 20 log (m A ) (5.11) per ω tendente ad infinito 3. Il diagramma delle fasi è invece caratterizzato da uno sfasamento nullo per basse e alte frequenze, mentre lo sfasamento raggiunge un valore 2 Con m R = 20 la massima riduzione di ampiezza ottenibile è pari a circa 26 decibel. 3 Con m A = 20 la massima amplificazione di ampiezza ottenibile è pari a circa 26 decibel. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 36

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI Figura 5.4: Diagrammi di Bode di una rete anticipatrice. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 37

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI massimo e positivo per ω 0 = ma τ A (5.12) pari a ϕ = arcsin ( ) ma 1 m A + 1 (5.13) Per le proprietà dell arcoseno, il massimo sfasamento ottenibile è pari a 90 per m A uguale ad infinito, cioè ben oltre il limite superiore di 20 accettabile per m A. Con questo valore il massimo sfasamento ottenibile è pari a circa 65. Anche in questo caso il limite superiore per m A non deriva da necessità matematiche, bensì è legato a problemi realizzativi. 5.2.2 Azioni sui diagrammi di Bode per il soddisfacimento delle specifiche sul transitorio In questa sezione si vedrà come aggiustare il guadagno e che reti aggiungere al fine di imporre una frequenza di attraversamento e un margine di fase desiderati. Come prima cosa è necessario graficare i diagrammi di Bode della funzione di trasferimento del processo P (s) moltiplicata per l eventuale guadagno o l eventuale polo nell origine aggiunti in fase di soddisfacimento della specifica sulla precisione a regime. Successivamente si deve individuare il valore della fase per il valore di frequenza pari alla frequenza di attraversamento ω t desiderata. Sia ϕ 0 la fase in questo punto, se 4 0ϕ = 180 + ϕ 0 µ ϕ (5.14) la fase assume già un valore corretto e non è necessario intervenire ulteriormente su di essa. Se questo non si verifica vuol dire che si deve alzare in quel punto il diagramma di Bode delle fasi di ϕ = µ ϕ (180 + ϕ 0 ) (5.15) Per fare questo è possibile utilizzare una o più reti anticipatrici. In particolare si deve 4 Si ricorda che µ ϕ è il margine di fase desiderato. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 38

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI Figura 5.5: Uso di una rete anticipatrice per aggiustare la fase, in scuro il diagramma di Bode di partenza, in chiaro quello corretto con la rete anticipatrice. trovare il valore di n tale che ϕ 0 = ϕ n 65 (5.16) n è proprio il numero di reti anticipatrici uguali che è necessario mettere per controllare il sistema. Trovato il valore ϕ 0 è possibile calcolare m A invertendo la (5.13); si ottiene: m A = 1 + sin( ϕ 0) 1 sin( ϕ 0 ) (5.17) Per ricavare il valore di τ A si inverte la 5.12, da cui τ A = ma ω t (5.18) In figura 5.5 è mostrato l uso di reti anticipatrici. Si osserva che l uso della rete anticipatrice non ha modificato il guadagno, essendo il guadagno di quest ultima unitario. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 39

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI Aggiustato il margine di fase si deve intervenire sulla frequenza di attraversamento. Per fare questo potrebbe essere semplicemente necessario variare il guadagno K C del controllore, infatti all aumentare di K C la frequenza di attraversamento si sposta verso destra. In particolare se dopo l azione della rete anticipatrice si deve ancora spostare la frequenza di attraversamento a destra si agisce semplicemente alzando il guadagno. In particolare si va a vedere quanto vale il guadagno in ωt, se si deve spostare a destra vuole dire che inizialmente è negativo e pari a G. Se si inverte la (5.5) si trova il valore di K 1 C opportuno (si dimostra che è maggiore di 1): K 1 C = 10 G 20 (5.19) Il vero K C è pari al valore trovato nella fase di soddisfacimento delle specifiche sulla precisione a regime (se questo era stato imposto, altrimenti lo si considera pari a 1) moltiplicato per K 1 C. Viceversa, se è necessario spostare verso sinistra la frequenza di attraversamento e si vuole agire sul guadagno è necessario diminuirlo. Infatti se si va a vedere quanto vale in ω t il guadagno si trova un valore positivo pari a G. Quindi in teoria si dovrebbe moltiplicare il K C trovato in fase di soddisfacimento delle specifiche sul transitorio per K 1 C = 10 G 20 (5.20) Dato che ora K 1 C è minore di uno il guadagno complessivo risulta dimunuito, e questo però può essere fatto solo se nella fase di soddisfacimento delle specifiche sulla precisione a regime non si era fissato un valore minimo per il guadagno del controllore. Nel caso contrario per spostare verso sinistra la frequenza di attraversamento si possono usare una o più reti ritardatrici, che non modificano il guadagno. Come prima cosa si cerca il valore di m (numero di reti ritardatrici uguali che si useranno) tale che G 0 = G m 26dB (5.21) Dall equazione (5.7) si ricava m R tale che m R = 10 G 0 20 (5.22) Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 40

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI Figura 5.6: Uso di una rete ritardatrice per aggiustare il diagramma dei guadagni, in scuro il diagramma di Bode di partenza, in chiaro quello corretto con la rete ritardatrice. τ R viene invece scelta in modo tale che l effetto dello sfasamento e la discesa dei guadagni avvenga relativemente prima delle frequenze di interesse. In particolare si sceglie 1 τ R più piccolo di un paio di decadi rispetto a ω t, cioè 1 τ R ω t 100 τ R 100 ω t In figura 5.6 è mostrato l uso di reti ritardatrici. (5.23) Si osserva che l uso della rete ritardatrice non ha modificato il guadagno, essendo il guadagno di quest ultima unitario. Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 41

CAPITOLO 5. LA SINTESI IN ω PER TENTATIVI 5.3 Controllore finale Il controllore finale sarà in una delle due seguenti forme: m volte n { }} { volte 1 + τ R m C(s) = K R s C 1 + τ R s 1 + { }} { τr m R s 1 + τ A s 1 + τ R s 1 + τ A m A s 1 + τ As 1 + τ A m A s C(s) = K C s m volte { }} { 1 + τ R m R s 1 + τ R s 1 + τr m R s 1 + τ R s com m e n eventualmente anche uguali a 0. n volte { }} { 1 + τ A s 1 + τ A m A s 1 + τ As 1 + τ A m A s (5.24) (5.25) Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 42

Capitolo 6 I regolatori standard Prima di concludere si vuole accennare l utilizzo dei regolatori standard. Nella sintesi in ω per tentativi si è partito dal presupposto di conoscere il modello del processo. La domanda a cui vuole rispondere questo capitolo è la seguente: è possibile controllare un processo di cui non si conosce il modello? È possibile standardizzare il progetto di controllori? La risposta è affermativa, anche se non in tutti i casi e con forti vincoli sulle specifiche che possono essere imposte 1. Tali sistemi di controllo sono detti regolatori standard e sono provvisti di opportune manopole di regolazione, agendo sulle quali si possono modificare i valori dei parametri che ne caratterizzano il comportamento, in modo da poterli facilmente adattare alla dinamica del sistema controllato ed ottenere così dal sistema complessivo in retrozione una risposta soddisfacente. I regolatori standard sono caratterizzati da tre possibili azioni di controllo: l azione proporzionale (P), l azione integrale (I) e l azione derivativa (D). Prima di introdurre le funzioni di trasferimento dei possibili regolatori standard si vuol farne comprendere intuitivamente il funzionamento. Si supponga di voler controllare la velocità di un treno, che il treno si stia muovendo in pianura e che inizialmente vada ad una velocità inferiore a quella desiderata. Un azione piuttosto ovvia è quella di fornire un segnale di controllo proporzionale all errore 1 Al punto che non si cercherà di rispettare delle specifiche precise, ma solo di ottenere il miglior risultato possibile. 43

CAPITOLO 6. I REGOLATORI STANDARD di velocità: più è grande l errore, maggiore è l azione di controllo. In formule: u(t) = K P e(t) (6.1) Il limite di questo tipo di azione è che ad errore nullo non fornisce ingresso: in particolare se la velocità desiderata per il treno corrisponde ad un certo ingresso u 0 non è possibile annullare l errore, perché u dipende proprio dall errore. Ovviamente maggiore è la costante di proporzionalità K P minore sarà l errore e maggiore accelerazione prenderà il treno. Il problema è che se K P è troppo grande il treno può accelerare troppo, fino a superare il valore desiderato, avendo cioè una forte sovraelongazione, se non addirittura diventando instabile. Per questo è possibile aggiungere all azione proporzionale un azione derivativa, del tipo K D d(e(t)) dt (con K D costante derivativa), che produce una diminuzione della sovraelongazione e tende a stabilizzare il sistema. In questo modo se l errore sta diminuendo, cioè se la velocità del treno sta raggiungendo il valore desiderato, l azione derivativa si sottrae all azione proporzionale impedendo forti accelerazioni. Viceversa, se l errore sta aumentando l azione derivativa aggiunge qualcosa a quella proporzionale in modo da rafforzarne l azione. Per poter invece avere segnali di controllo non nulli a fronte di un errore nullo si aggiunge un azione integrale (della forma K I e(t)dt, KI costante integrale) la cui uscita può essere diversa da zero anche se l ingrasso è nullo proprio perché è legato alla somma di tutti gli errori passati. Non sempre sono presenti tutte e tre le azioni, di seguito sono riportate le funzioni di trasferimento dei regolatori standard tipici. Per la trasformata di Laplace di coefficienti costanti, derivate ed integrali si ricordino le (2.9), (2.10) e (2.11). 1. Regolatore proporzionale P C(s) = K P (6.2) Fabio Piedimonte Principi di Automazione e Controllo, Ver 1.0 44