Fondamenti di Analisi Matematica - a.a. 6/7 Secondo appello Esercizi senza svolgimento - Tema ρ = cos ϑ, ϑ [, π/], F(x, y = ( x + e x cos y cos y i + ( xe x cos y sen y j. Figura : Il sostegno Γ. ( ; 4 π ;. U(x, y = x + y + e x cos y ; 4.. f(x, y = x 4 + y 8x y. gli eventuali punti di massimo relativo di f;. (,, (,, (,, (,, (,, (, ; (, ;. (,, (, ; 4. (,, (,, (,.
Esercizi senza svolgimento - Tema ρ = + cos ϑ, ϑ [π/, π], F(x, y = ( ye y cos x sen x i + ( y + e y cos x cos x j. Figura : Il sostegno Γ. ( ; 4 π ;. U(x, y = x + y + e y cos x ; 4. e. f(x, y = x + y 4 x 8y. gli eventuali punti di massimo relativo di f;. (,, (,, (,, (,, (,, (, ; (, ;. (,, (, ; 4. (,, (,, (,.
Esercizi senza svolgimento - Tema ρ = + cos ϑ, ϑ [ π/, π/], F(x, y = ( x + e x sen y sen y i + ( + xe x sen y cos y j. Figura : Il sostegno Γ. 4 ; ( π + 4 ;. U(x, y = x + y + e x sen y ; 4. 4. f(x, y = x 4 + y 8x + y. gli eventuali punti di massimo relativo di f;. (,, (,, (,, (,, (,, (, ; (, ;. (,, (, ; 4. (,, (,, (,.
Esercizi senza svolgimento - Tema 4 ρ = cos ϑ, ϑ [π/, π/], F(x, y = ( + ye y sen x cos x i + ( y + e y sen x sen x j. Figura 4: Il sostegno Γ. 4 ; ( π + 4 ;. U(x, y = x + y + e y sen x ; 4.. f(x, y = x y 4 + x + 8y. gli eventuali punti di massimo relativo di f;. (,, (,, (,, (,, (,, (, ; (,, (, ;. (, ; 4. (,, (,, (,. 4
Esercizi con svolgimento - Tema Sia dato il sistema di equazioni differenziali ( x y = A(t con A(t matrice a coeffcienti continui.. Calcolare A(t in modo che ( x y + t ( t, ( t t W (t = t t sia matrice risolvente del sistema lineare associato a (. eterminare l integrale generale di ( nell intervallo ], + [, con A(t come al punto precedente.. eterminare la soluzione di ( tale che x( = e y( =. Svolgimento. Si ha A(t = W (t(w (t = Una soluzione particolare si scrive v(t = W (t = W (t t t t t 5 (W (s ( s ( s ( s s ds = = 6 (t6 9t + t. 6 (t4 t + 6t L integrale generale è con c, c R. t t t t t = t t ds = W (t s s 5 ( t t (t 4/ t x(t c = W (t + v(t = y(t c. all integrale generale si ricava che da cui, imponendo le condizioni iniziali, { c + 8c = 4c + c = La soluzione cercata è x(t = y(t t x( = y( (8 t / t t 4 t t ( s s s c t + c t 6 (t6 9t + t c t + c t +, 6 (t4 t + 6t c + 8c, 4c + c { c = 4c 4c = s { c = /7 c = /4. t t t. t 4 t s ( s 7 t 4 t 6 (t6 9t + t t6 + 65 t 7 t 7 t 4 t + =. 6 (t4 t + 6t 6 t4 7 t + 9 4 t 5
Siano dati l insieme e la superficie = { (x, y, z R : x /9 + y + z /4, z }, Σ = { (x, y, z R : x /9 + y + z /4 =, < z < }, orientata in modo che la normale nel punto (,, sia i.. isegnare. Calcolare (y + z dxdydz.. ato il campo vettoriale calcolare il flusso di F attraverso Σ. Svolgimento F(x, y, z = (x + xz i + (y + xz j + (xy + z k,. L insieme è rappresentato in figura 5. è la porzione di spazio contenuta nell elissoide di equazione x /9 + y + z /4 = (in rosso e compresa fra i piani di equazione z = e z = (in azzurro. Figura 5: L insieme. Facciamo il cambio di variabili x = ρ cos ϑ y = ρ sen ϑ z = z ρ, ϑ [, π], z R cosicché nelle nuove coordinate diventa = { (ρ, ϑ, z : ρ + z /4, ρ, ϑ [, π], z [, ] }, 6
mentre il determinante della matrice jacobiana della trasformazione è ρ, come si verifica facilmente. Essendo un insieme ρ-semplice (si vede facilmente che ρ z /4, integrando per fili si ottiene (y + z ( dxdydz = ρ sen ϑ + z ρ dρdϑdz ( z /4 ( = ρ sen ϑ + z ρ dρ dϑdz Si ottiene Allora [,π] [,]. Si osservi che [,π] [,] ( ( z /4 ρ sen ϑ dρ dϑdz = 4 [,π] [,] = π ( z /4 ρz dρ dϑdz = π ( π ( dz z sen ϑ dϑ 4 ( z + z4 6 dz = 48 π, ( z z dz = 7 4 π. ( (y + z dxdydz = 48 + 7 π = 95 π. div F(x, y, z = x + z + y + z = (y + z + x + z. Se orientiamo con la normale esterna otteniamo Φ(F; = div F(x, y, z dxdydz = (y + z dxdydz + essendo (x + z dxdydz = per ragioni di simmetria. Si osservi che = Σ Σ Σ, dove (x + z dxdydz = 85 π, Σ = { (x, y, z R : x /9 + y /4, z = }, Σ = { (x, y, z R : x /9 + y /4, z = }, con Σ orientata con normale k e Σ orientata con normale k. Allora Φ(F; Σ = Φ(F; Φ(F; Σ Φ(F; Σ. etta la regione del piano xy contenuta nell ellisse di equazione x /9 + y /4, si ottiene essendo = { (x, y R : x /9 + y /4 }, Φ(F; Σ = F(x, y, k dxdy = (xy + dxdy =, xy dxdy = per ragioni di simmetria. Analogamente Φ(F; Σ = F(x, y, k dxdy = (xy + dxdy =. Allora e quindi Φ(F; Σ = Φ(F; = 85π/ Φ(F; Σ + Φ(F; Σ =, 7