Introduzione alberi binomiali

Introduzione alberi binomiali

introduzione L albero binomiale rappresenta i possibili sentieri seguiti dal prezzo dell azione durante la vita dell opzione Il percorso partirà dal modello a uno stadio per arrivare a quello a più stadi. Permette di illustrare le argomentazioni di assenza di opportunità di arbitraggio che sono alla base di Black Scholes di illustrare gli schemi di delta hedging per coprire le opzioni con una posizione sul sottostante 11.2

Un Semplice Modello Binomiale Il prezzo corrente di un azione è di $20 Tra 3 mesi sarà pari a $22 o a $18 Prezzo dell azione = $20 Prezzo dell azione = $22 Prezzo dell azione = $18 11.3

Modello binomiale a uno stadio Assunzione:non esistono opportunità di arbitraggio Portafoglio è formato da azioni e opzioni senza che vi sia incertezza sul valore finale a scadenza Portafoglio non è rischioso e quindi il rendimento deve essere pari al tasso risk free Ciò ci consente di determinare il costo di costruzione del portafoglio e il prezzo dell opzione Posto che ci sono due titoli (azione e opzione) e due possibili risultati è possibile costruire un portafoglio privo di rischio Il portafoglio è formato da una posizione lunga su Δ azioni e corta in call. Determiniamo il valore di Δ per avere il portafoglio risk free 11.4

Un Opzione Call Si consideri una call con prezzo d esercizio di $21 e scadenza tra 3 mesi Il valore finale della call è pari a $1, se il prezzo finale dell azione è di $22 $0, se il prezzo finale dell azione è di $18 Prezzo dell azione = $20 Prezzo dell opzione =? 11.5 Prezzo dell azione = $22 Prezzo della call = $1 Prezzo dell azione = $18 Prezzo della call = $0

Costruzione di un Portafoglio Privo di Rischio Si consideri un portafoglio lungo di azioni e corto di 1 call Il suo valore dopo 3 mesi è? $22 $1 $18 $0 Il portafoglio è privo di rischio se $22 $1 $18 $0, ossia se 0,25 ovvero lo stesso in entrambi i casi 11.6

Valutazione del Portafoglio (tasso privo di rischio pari al 12%) Il portafoglio privo di rischio è lungo di azioni e corto di 1 call Se il prezzo dell azione sale a 22. Il valore del portafoglio tra 3 mesi è pari a $22 0,25 $1 = $4,5 Se va a 18 vale $ 18 0,25 = $4,5 In assenza di opportunità di arbitraggio il rendimento del portafoglio non rischioso deve essere pari al tasso risk free Il valore del portafoglio oggi è pari a $4,5e 0,12 0,25 = $4,367 11.7

Valutazione dell Opzione Il valore corrente del portafoglio (lungo di azioni e corto di 1 call) è pari a $4,367. il valore corrente di un azione è 20 se f è il prezzo dell opzione il valore del portafoglio è 0,25 $20- f $5-f Quindi $5-f = $4,367. Pertanto, il valore corrente della call è pari a $5 f = $4,367 segue che f = $ 0,633 Se il valore della call fosse maggiore di 0,6333 il portafoglio costerà meno di 4,367 e quindi rende di più del tasso risk free. Se fosse inferiore a 0,6333 la vendita allo scoperto del portafoglio potrebbe consentire di prendere in prestito denaro a un tasso inferiore al risk free 11.8

Generalizzazione Si consideri un titolo, con prezzo corrente S 0, e un opzione, con prezzo corrente f e scadenza al tempo T, scritta su questo titolo Supponiamo che, da oggi a T, il prezzo dell azione possa salire a S 0 u o scendere a S 0 d (u 1; d 1) S 0 f S 0 u f u S 0 d f d 11.9

Generalizzazione (continua) Il valore al tempo T di un portafoglio lungo di azioni e corto di un derivato è pari a S 0 u f u Il portafoglio è privo di rischio se S 0 u f u S 0 d f d, ossia se S 0 d f d f u S0u 11.10 f S d 0 d

Generalizzazione (continua) Il valore del portafoglio al tempo T è S 0 u f u Il valore del portafoglio oggi è (S 0 u f u )e rt Un altra espressione per il valore del portafoglio oggi è S 0 f Pertanto (S 0 u f u )e rt = S 0 f da cui f = S 0 (S 0 u f u )e rt 11.11

Generalizzazione (continua) Sostituendo si ottiene f = pf u + (1 p)f d e rt dove p e rt d u d Le due equazioni consentono di valutare l opzione utilizzando un modello binomiale a uno stadio 11.12

Esempio u=1,1 d=0,9 r=0,12 T=0,25 f u =1 f d =0 p f e e 0,12*0, 25 1,1 0.9 0,9 0,12*0,25 0,6523 p (0,6523*1+ 0,3477*0) 0,633 11.13

Un Esempio a Due Stadi Il prezzo del titolo parte da $20 e in ciascuno dei due intervalli di tempo può salire o scendere del 10 per cento.obiettivo valutare il prezzo dell opzione al nodo iniziale.ad ogni nodo vi sarà il prezzo dell azione e dell opzione Ogni intervallo è di 3 mesi e r = 12% 22 24,2 20 19,8 18 16,2 11.14

Valutazione di una Call Consideriamo una call con strike di $21 20 1,2823 A Il valore della call al nodo B è pari a e 0,120,25 (0,6523$3,2+0,3477$0) $2,0257 Il valore della call al nodo A è pari a e 0,120,25 (0,6523$2,0257+0,3477$0)$1,2823 11.15 22 B D 24,2 3,2 2,0257 E 19,8 18 0,0 C 0,0 F 16,2 0,0

Valutazione a due stadi (note) I parametri u e d (movimenti rialzo e ribasso) sono gli stessi in ogni nodo Gli intervalli hanno la stessa lunghezza (3 mesi) La probabilità neutrale verso il rischio p è la stessa per ogni nodo p e rt u d d 11.16

Generalizzazione Tasso risk free=r ; opzione dopo 2 rialzi =f uu ;intervallo temporale = T Sostituendo T si ottiene (ove nella determinazione di p il valore di T e stato sostituito con T ) f = pf u + (1 p)f d e rδt 11.17

generalizzazione Applicando l equazione ad ogni nodo si ottiene rt f e pf + (1 p) f f f f u d e dalla e e rt rt 2rt terza pf pf p u 2 uu ud in base f + (1 + (1 uu p) p) f d f ud dd alle prime + 2 p(1 p) f due si ud + (1 ottiene p) 2 f dd 11.18

Generalizzione (nota) Le variabili p 2,2p(1-p) e (1-p) 2 sono le probabilità di raggiungere i nodi finali superiori intermedi e inferiore Il prezzo dell opzione è pari al valore atteso attualizzato al tasso privo di rischio Aggiungendo più stadi il prezzo dell opzione si determinerà nel medesimo modo 11.19

Valutazione di una Put Consideriamo una put con strike di $52 e u=1,2 d=0,8 r = 5% 50 4,1923 A 1,4147 40 Il valore della put al nodo A è pari a e 20,051 (0,6282 2 $0+20,62820,3718$4+$0,3718 2 $20) = $4,1923 11.20 60 9,4636 B C E D F 72 0 48 4 32 20

Valutazione put (nota) ovvero p e 0,05*1 0,8 1,2 0,8 0,6282 f e rt p fu + (1 p) f d 11.21

E se la Put è Americana? Se la put è americana, si deve verificare ad ogni nodo se è conveniente l esercizio anticipato( K= 52) D 72 50 5,0894 A 1,4147 40 Al nodo C, l'opzione non esercitata vale $9,4636(vedi albero prec.)e $12 in caso di esercizio anticipato. In questo caso l esercizio anticipato conviene.nel valore finale di f uso 12 11.22 60 12 B C E F 0 48 4 32 20

Put americana nodo finale Il valore della put al nodo A è pari a e 0,051 (0,6282$1,4147+(1-0,6282)$12)$5,0894 Mentre in casa di esercizio è pari a $2. L esercizio anticipato non conviene e il valore dell opzione oggi è 5,0894 11.23

Delta Il Delta () è il rapporto tra la variazione del prezzo dell opzione e la variazione del prezzo dell azione sottostante Rappresenta il numero di unità dell azione che dobbiamo possedere per ogni opzione venduta allo scoperto per creare un hedge privo di rischio Il valore del varia da nodo a nodo Ad ogni intervallo dobbiamo aggiustare la quantità di azioni, per mantenere un hedge privo di rischio Delta hedging è la costruzione di una copertura priva di rischio,aggiustando le quantità di azioni Delta call positivo, Delta put negativo 11.24

Black &Scholes (basic) Valutazione call e put europee su titoli senza dividendi Variabili: 1)Prezzo azione ( S 0 ), 2)prezzo esercizio (K e ), 3)tasso interesse (r ), 4)tempo (T), 5)volatilità (σ) i dati sono osservabili tranne la volatilità Volatilità dato da stimare: utilizzo la volatilità storica oppure quella implicita? Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.25

Le Formule di Black e Scholes dove c S p Ke d d 1 2 ln rt 0N d1 Ke N d2 ln rt S ( ) ( ) N / K d S N ( ) ( ) 2 0 d1 ( ) ( ) S 0 / K + r T + r 2 + / 2 ( ) ( ) 0 d T T 1 2 / 2 T T Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.26

N(x) La funzione N(x) è la cumulata di una normale standardizzata E la probabilità che una variabile con una distribuzione normale standardizzata φ(0,1) assuma un valore inferiore a x per S elevato call d1 e d2 = valori grandi N(d2) N(d1) prossimi ad 1 per S elevato put a zero, dato N(-d2) N(-d1) sono prossimi a zero S > Xe-rT d1 e d2 + N(d2) N(d1) 1 S < Xe-rT d1 e d2 - N(d2) N(d1) 0 Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.27

Approccio intuitivo Se S T >K, il valore finale della call è S T -K Ovvero il possessore dell opzione è lungo su un titolo che paga S T quando S T >K ed è corto su un titolo che paga K quando S T >K Il primo titolo è noto come asset or nothing call. Il secondo titolo è cash or nothing call La probabilità che S T >K,in un mondo neutrale al rischio è N(d 2 ) il valore atteso a scadenza del secondo titolo è K N(d 2 ) Quindi il valore corrente è K N(d 2 )e -rt Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.28

Approccio intuitivo segue Il valore del primo titolo può essere calcolato in base al principio della valutazione neutrale verso il rischio. Il risultato è S 0 N(d 1 ) Metto insieme i due risultati e ottengo C= S 0 N(d 1 )- K N(d 2 )e -rt Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.29

La Volatilità La volatilità è la deviazione standard del tasso di rendimento (composto continuamente) relativo ad un periodo di un anno La deviazione standard del tasso di rendimento relativo ad un periodo Δt è Se il prezzo di un azione è di $50 e la volatilità è del 25%, qual è la deviazione standard della variazione giornaliera del prezzo dell azione? 0,25 1/ 252 1,57% Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 t 12.30

Stima della Volatilità in Base ai Dati Storici Siano S 0, S 1,..., S n i prezzi osservati ad intervalli di anni Sia u i il tasso di rendimento composto continuamente Sia s la deviazione standard delle u i, ovvero una stima di σ. Quindi σ puo essere stimato da La stima della volatilità è pari a u i S ln S i1 Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 i ˆ s 12.31

Natura della Volatilità Di solito la volatilità è molto maggiore quando i mercati sono aperti (cioè quando le azioni vengono scambiate) piuttosto che quando sono chiusi Volatilità annua= vol.giorn.* num.giorni lavorativi Per questa ragione, quando si valutano le opzioni, si misura il tempo in giorni lavorativi piuttosto che in giorni di calendario Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.32

Esempio valore call Prezzo azione = 35 Pe = 35 r=10% =20% Tempo a scadenza = 1 anno 2 35 0,2 ln + 0,1 *1 35 + 2 d 1 4 0,2 1 C=35*N(0,6)-35*e -(0,1*10) N(0,4) d d 0,2 1 2 1 0, C=35*0,7257-31,6693*(0,6654)=4,6434 Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.33

B.S. Volatilità Storica P t ln +1 P t r i r i = rendimento nel continuo poiché BS si sviluppa nel continuo r m 1 n i r n= numero dati serie storica 1 i n VARIANZA= 2 1 n n 1 i1 ( r ) i r m 2 Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.34

Volatilità Storica B.S. Volatilità Volatilità annualizzata: si moltiplica 1 n n 1 i1 giornalier a ( r ) i r m * gg 2 gg=252 n=20 1 19 *0,007944 * 252 Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.35

Volatilità implicita A. Ottengo la volatilità di ogni call B. Faccio la media delle volatilità m C. Inserisco nella formula m Problema se si considerano tutte le call sia out che in the money. Si preferisce usare solo le AT THE MONEY. Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.36

Volatility smile Volatility smile = opzione stessa scadenza diversi prezzi di esercizio diversa volatilità implicita Volatiliy skew= volatilità implicita della put volatilità implicita della call stessa scadenza stesso PE Opzioni ATM Volatilità più liquide ed efficienti Opzioni ITM, OTM Volatilità > opzioni ATM Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.37

Volatilità implicita Processo iterativo Newton Raphson Calcolo prezzo teorico dell opzione inserendo un scelto arbitrariamente Si confronta il prezzo ottenuto con il prezzo di mercato Se risultato inferiore (superiore) si aumenta (diminuisce) la volatilità Si inserisce il nuovo dato di volatilità fino all avvicinamento del valore teorico al prezzo di mercato Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.38

I Concetti Sottostanti il Modello di Black-Scholes Analisi analoga al binomiale Dal momento che il prezzo dell opzione e il prezzo dell azione dipendono dalla stessa fonte d incertezza: le variazioni del prezzo dell azione Si può costruire un portafoglio di azioni e opzioni che elimina questa fonte di incertezza Il portafoglio è istantaneamente privo di rischio e deve istantaneamente rendere il tasso privo di rischio In ogni breve intervallo prezzo call correlato positivamente con il sottostante e put correlato negativamente Il portafoglio di azioni e opzioni comporta che il profitto/perdita in azioni viene compensata con la perdita/profitto in opzioni. Il portafoglio avrà sempre un valore noto In B&S il portafoglioè privo di rischio solo per un breve periodo( un periodo istantaneamente breve) Per restare privo di rischio deve essere ribilanciato Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.39

esempio Δc = 0,4 Δs Portafoglio:40 azioni lungo e 100 opzioni corto Se il Pa sale di 10 il Pcall sale di 4 Guadagno azioni 40*10 sulle azioni acquistate Perdo opzioni 100*4 sulle call vendute Il Portafoglio è privo di rischio,ma in BS solo per Δt rispetto al binomiale,quindi devo aggiustare Quindi devo ribilanciare es. dopo 2 settimane Δc = 0,5 Δs quindi per ogni opzione venduta dovrei avere 0,5 azioni invece di 0,4 Rend.Portaf. Privo di rischio deve essere uguale al risk free Fondamenti dei Mercati di Futures e Opzioni, 5 a Edizione, Copyright John C. Hull 2004 12.40