G1. Generalità sulle funzioni

G. Generalità sulle funzioni G. Notazioni utilizzate Dati due numeri detti estremi dell intervallo, l intervallo è l insieme dei numeri reali compresi tra essi. Per esempio con la notazione << si intende l insieme di tutti i numeri compresi tra e esclusi gli estremi. Ci sono gli intervalli limitati (ad es. <<) e quelli illimitati (ad es. >) Esistono due diverse notazioni per gli intervalli come risulta più chiaro dagli esempi che seguono: << ha lo stesso significato di ];[ < ha lo stesso significato di [;[ < ha lo stesso significato di ];] ha lo stesso significato di [;] < ha lo stesso significato di ]- ;[ ha lo stesso significato di ]- ;] > ha lo stesso significato di ];+ [ ha lo stesso significato di [;+ [ La parentesi quadra normale indica che l'estremo è compreso nell'intervallo, la parentesi quadra contraria indica che l'estremo è escluso dall'intervallo. Si può notare che - e + sono sempre esclusi dall'intervallo poiché non sono numeri reali. In analisi si utilizzano alcuni simboli che forse si vedono per la prima volta: Il simbolo si legge "per ogni" oppure "qualsiasi". Il simbolo si legge "esiste". Il simbolo! si legge "unico". Il simbolo indica l'unione tra insiemi. Il simbolo indica l'intersezione tra insiemi. Il simbolo indica l'inclusione tra insiemi, la non inclusione. Il simbolo R rappresenta l'insieme dei numeri reali, ossia tutti i valori associati ai punti della retta. Il simbolo indica l'appartenenza di un elemento a un insieme e la non appartenenza. Il simbolo rappresenta l insieme vuoto. G. Definizione di funzione Definizione: una funzione è una legge che associa a numeri reali al più un numero reale. y=f() è la notazione per rappresentare una funzione. f() è un espressione numerica contenente l incognita. Esempio G.: y = - + è una funzione cha associa ad ogni valore della un numero reale y. Se la = allora y=() -()+= Se = allora y=() -()+=. In questo modo si stabilisce che al valore risulta associato il valore, al valore il valore e così via. Ogni associazione determina un punto sul piano cartesiano. In questo caso si sono già trovati due punti: (;) e (;). E possibile ripetere tale procedimento per tutti i valori della che si desidera; tracciando sugli assi cartesiani tutti i punti che si possono trovare si ottiene il grafico della funzione. La funzione y = - + è la parabola rappresentata nella figura G.. Il codominio è la proiezione della funzione sull'asse y ossia y. 9 8 7 6 - - - - 6 7 8 9 - - - - Fig. G. Grafico di y = - +. Teoria G-

Esempio G.: y = - è una funzione che associa a valori della valori della y. Non per tutti i valori della è possibile trovare un - valore della y. Per = la y assume il valore e quindi si può tracciare sul grafico il punto (;), per = la y non assume alcun valore perché non è un operazione permessa. Ciò nonostante y = - è comunque una funzione. - Infatti per la definizione data precedentemente una funzione è una legge che associa a numeri reali al più un numero reale, che vuol dire uno o nessuno. Ciò che è vietato è che per una la y assuma o più valori. In tal caso l espressione non sarebbe una funzione. Il codominio è la proiezione della funzione sull'asse y e quindi è y. Anche in questo caso, dando alla tutti i possibili valori e calcolando le corrispondenti y si ottengono i punti che formano il grafico della funzione, che è un iperbole rappresentata nella figura che segue. 9 8 7 6 - - - - 6 7 8 9 - - - - Esempio G.: Grafico di Fig. G. y = -. - y = non è una funzione. Infatti alla = corrispondono valori della y, il e il. Tali oggetti sono chiamati curve piane e il loro studio non riguarda il programma di analisi delle scuole superiori. Il grafico di questa curva comunque esiste ed è rappresentato dal grafico che segue. Il codominio è R. 9 8 7 6 - - - - 6 7 8 9 - - - - Se si fissa un valore della sull asse delle ascisse e ci si muove in verticale fino ad incontrare il grafico della funzione, e poi ci si muove orizzontalmente fino ad incontrare l asse delle ordinate, si sta associando ad un valore della il corrispondente valore della y graficamente. Può capitare che per alcuni valori della non si incontri il grafico della funzione, come se la = nell esempio G.. Se però per un certo valore della si interseca più volte il grafico della funzione, come nell esempio G., non si tratta di una funzione. Le funzioni, quindi, non avranno mai due o più punti sulla stessa verticale.. Dominio di una funzione Fig. G. Grafico di y =. Si è visto nell'esempio G. che per alcuni valori della è possibile determinare il valore della y, mentre per altri valori ciò potrebbe non essere possibile. L'insieme dei valori della per cui è possibile determinare la y corrispondente è Teoria G-

detto DOMINIO della funzione. L'insieme dei valori che la y assume dando tutti i possibili valori alla è detto CODOMINIO della funzione. Osservando i grafici si nota che il dominio è la proiezione della funzione sull'asse, mentre il codominio è la proiezione della funzione sull asse y. Nell esempio G. il dominio è l insieme R ed il codominio è l insieme [;+ [. Nell esempio G. il dominio è l insieme R-{} ed il codominio è l insieme R-{}. Per ricavare il dominio di una funzione data si usano le seguenti regole: ) Il denominatore deve essere diverso da zero ) Il radicando nelle radici pari deve essere maggiore o uguale a zero ) L argomento dei logaritmi deve essere maggiore di zero Se devono essere utilizzate per la stessa funzione più regole allora devono essere messe a sistema. Le regole sono in realtà più di ma queste sono le principali che verranno utilizzate. Esempio G.: Trovare il dominio della funzione y = - Le regole da utilizzare sono due ossia: ) Denominatore diverso da zero. - che dà risultato. ) Radicando maggiore o uguale a zero nelle radici pari. è una disequazione che risolta dà come risultato - e >. Il dominio della funzione risulta essere quindi e >, che è possibile scrivere anche come D=]- ;] ];+ [. E quindi possibile per questi valori determinare il valore della y, mentre non è possibile per i valori <, in quanto la radice di numeri negativi ed il denominatore uguale a zero fanno perdere significato all espressione. Quando si trova il dominio di una funzione è possibile rappresentarlo sugli assi cartesiani, in modo da iniziare a determinare qualcosa relativamente al grafico di una funzione. In particolare si tracceranno delle linee verticali in corrispondenza dei valori trovati, e si cancelleranno le zone che non fanno parte del dominio, come nel grafico che segue. y. Segno di una funzione Fig. G. Dominio di y =. - Lo studio del segno di una funzione permette di determinare per quali valori di la funzione si trova al disopra dell asse y, dove si trova al di sotto e dove interseca l asse delle. Nel grafico si potranno cancellare alcune parti dove la funzione non passa, come si vedrà negli esempi. PROCEDIMENTO: Data una funzione y=f() si risolve la disequazione f(). Bisogna quindi riferirsi alla linea del totale della disequazione: Ddove la linea è continua la funzione è positiva e va quindi cancellata la parte sotto l asse. Dove la linea è tratteggiata la funzione è negativa e va quindi cancellata la parte sopra l asse. Dove ci sono i pallini la funzione vale zero, quindi la funzione interseca l asse. Dove ci sono le crocette la funzione non assume alcun valore, quindi siamo in presenza di valori della che non fanno parte del dominio. Esempio G.: Si torna a studiare la funzione y = - + dell esempio e si risolve la disequazione - +. Si scompone ( -). La linea del totale è quindi La funzione è sopra l asse per tutti i valori della escluso = in cui la funzione interseca l asse. Ciò si può riportare sul grafico cancellando la zona sotto l asse delle ascisse. Teoria G-

y Esempio G.6: Si torna a studiare la funzione Fig. G. Segno di y = - +. y = - dell esempio G. e si risolve la disequazione - - -. La linea del totale risulta per cui: La funzione è sopra l asse per i valori < e >. In tali intervalli si cancella la zona inferiore all asse. La funzione è sotto l asse per i valori <<. In tale intervallo si cancella la zona superiore all asse. La funzione interseca l asse per il valore =. Il valore = non fa invece parte del dominio. y Fig. G.6 Segno di y = -. - Esempio G.7: Si torna a studiare la funzione y = dell esempio G. e si risolve la disequazione - -. Le radici pari sono sempre maggiori o uguali a zero esclusi i valori non facenti parte del dominio per cui la linea del totale è: per cui: La funzione è sopra l asse per i valori < e >. In tali intervalli si cancella la zona inferiore all asse. La funzione non è mai sotto l asse. Interseca l asse per =. La funzione interseca l asse per il valore =. I valori < non fanno parte del dominio. y Fig. G.7 Segno di y =. - Teoria G-

. Alcune definizioni importanti In matematica c è la necessità di utilizzare definizioni formali molto precise. In questo paragrafo verrà data prima una definizione non formale per capire alcuni concetti e poi successivamente la definizione formale. Una funzione è detta monotona crescente se sale sempre. Una funzione è detta monotona decrescente se scende sempre. Una funzione è detta monotona non crescente se non sale mai, quindi o scende o è orizzontale. Una funzione è detta monotona non decrescente se non scende mai, quindi o sale o è orizzontale. - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G.8 Funzione monotona crescente. Fig. G.9 Funzione monotona decrescente. - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G. Funzione monotona non decrescente. Fig. G. Funzione monotona non crescente. Se si prendono due valori e sull asse delle e si calcolano i corrispondenti f( ) e f( ) sull asse delle y si nota che se < allora f( )<f( ) per le funzioni crescenti. Ciò non si verifica solamente per le scelte, ma per tutte le che possono essere scelte. La definizione formale è quindi: FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE:, D f se < allora f( )<f( ). FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE:, D f se < allora f( )>f( ). FUNZIONE MONOTONA NON CRESCENTE:, D f se < allora f( ) f( ). FUNZIONE MONOTONA NON DECRESCENTE:, D f se < allora f( ) f( ). Una funzione è limitata superiormente se la y non diventa grandissima in corrispondenza di alcuni valori della. Ciò vuol dire che esiste almeno un numero abbastanza grande che il grafico della funzione si trovi completamente al di sotto di una retta orizzontale abbastanza in alto. In termini matematici si dice quindi che: Una FUNZIONE è detta LIMITATA SUPERIORMENTE se k t.c. f() k D f. I k che rendono vera la precedente definizione sono infiniti. Tra tutti questi k ce ne è uno che è il più piccolo di tutti. Ci sono due possibilità: la funzione in qualche punto tocca la retta orizzontale y=k o non la tocca. Se la tocca allora k è detto MASSIMO ASSOLUTO della funzione, se non la tocca è detto ESTREMO SUPERIORE. Analogamente si definiscono la FUNZIONE LIMITATA INFERIORMENTE se k t.c. f() k D f, il MINIMO ASSOLUTO e l ESTREMO INFERIORE. Esempio G.8: La funzione y=- + è limitata superiormente con un massimo di valore. Teoria G

- - - - Esempio G.9: - La funzione y = è limitata superiormente con estremo superiore di valore ma senza massimo. Fig. G. Funzione y=- + limitata superiormente con un massimo. Un intorno di è un intervallo contenente e si indica con I. Un massimo relativo, a differenza del massimo assoluto, non è il punto più alto in assoluto della funzione, ma il più in alto in una certa zona. Usando la definizione di intorno appena data si può dire che un certo punto è un MASSIMO RELATIVO per la funzione f() se esiste un intorno di nel quale per ogni che si sceglie la corrispondente f() è minore di f( ). In linguaggio matematico si dice che è un MASSIMO RELATIVO per f() se I t.c. I D f f()<f( ). Analogamente si dice che è un MINIMO RELATIVO per f() se I t.c. I D f f()>f( )..6 Alcune funzioni importanti Fig. G. - Funzione y = limitata superiormente con FUNZIONI POLINOMIALI: Sono le funzioni del tipo y=p() in cui l espressione p() è un polinomio. Se il grado del polinomio è siamo in presenza di rette orizzontali; per esempio y=. Se il grado del polinomio è siamo in presenza di rette oblique; per esempio y=-. Se il grado del polinomio è siamo in presenza di parabole; per esempio y=- +. Se il grado del polinomio è siamo in presenza di una cubica; per esempio y= -. Se il grado del polinomio è siamo in presenza di una quadrica; per esempio y= -. E così via. Le funzioni polinomiali hanno una forma caratteristica che si può osservare nelle seguenti figure: un estremo superiore ma senza massimo. Teoria G-6

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G. Grafico della funzione polinomiale y=-. Fig. G. Grafico della funzione polinomiale y=- +. - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G.6 Grafico della funzione polinomiale y= -. Fig. G.7 Grafico della funzione polinomiale y= -. FUNZIONI RAZIONALI FRATTE: Sono le funzioni del tipo y=p()/q() o riconducibili ad esse, dove p() e q() sono polinomi. Se p() e q() sono di primo grado siamo in presenza di iperboli equilatere, cioè iperboli con gli asintoti perpendicolari e paralleli agli assi. Il dominio è dato da tutti i valori di R che non annullano il denominatore. Si noti che la funzione Fig. G.8 Grafico della funzione razionale fratta - y = presenta una discontinuità per =-. + - y = +. Fig. G.9 - Grafico della funzione razionale fratta y =. + FUNZIONI IRRAZIONALI: Sono le funzioni che presentano la al radicando. Se la radice è di indice pari il dominio è l insieme dei valori della per cui il radicando è positivo. Le funzioni irrazionali più semplici sono quelle che contengono solo una radice, come nelle figure seguenti. Teoria G-7

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G. Grafico della funzione irrazionale y =. Fig. G. Grafico della funzione irrazionale y =. FUNZIONI GONIOMETRICHE: Sono le funzioni che contengono seno, coseno, tangente o cotangente. Il dominio è tutto R tranne i valori della per cui l argomento della tangente è uguale a π +kπ o l argomento della cotangente è uguale a kπ. Le funzioni goniometrici principali sono y=sen, y=cos, y=tg, y=cotg. Fig. G. Grafico della funzione goniometrica y=sen. Fig. G. Grafico della funzione goniometrica y=cos. Fig. G. Grafico della funzione goniometrica y=tg. Fig. G. Grafico della funzione goniometrica y=cotg. FUNZIONI ESPONENZIALI: Le funzioni esponenziali sono quelle in cui la variabile si trova all esponente. Se la base è maggiore di la funzione è crescente; se la base è compresa tra e la funzione è decrescente. Con base uguale a zero o negativa la funzione perde di significato. Con base uguale a viene la retta y=. Il dominio è tutto R. Tutte queste funzioni sono sempre positive. Si presentano qui di seguito i grafici delle funzioni esponenziali y =, y = e, y =. Teoria G-8

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G.6 Grafico della funzione esponenziale y =. y = FUNZIONI LOGARITMICHE: Le funzioni logaritmiche sono quelle che presentano la all argomento della funzione logaritmo. Il dominio è dato da tutti i valori della per cui l argomento del logaritmo è maggiore di zero. La base deve essere positiva e diversa da. Se la base è compresa tra e la funzione è decrescente. Se la base è maggiore di la funzione è crescente. Tutte queste funzioni passano per il punto (;) per cui la funzione vale zero se la è. Se la base è maggiore di la funzione è negativa per << e positiva per >. Se la base è compresa tra e la funzione è positiva per << e negativa per >. Si presentano i grafici delle funzioni Fig. G.7 Grafico della funzione esponenziale y = e. y = log, y = ln, y = log. Fig. G.8 Grafico della funzione esponenziale. Fig. G.9 Grafico della funzione logaritmica y = log. Fig. G. Grafico della funzione logaritmica y = ln. Anche se non si tratteranno le seguenti funzioni in maniera approfondita è importante notare che non tutte le funzioni presentano delle caratteristiche intuitive o di continuità. Ecco perché sono presentate le funzioni seguenti. FUNZIONE SEGNO: La funzione segno associa ai numeri negativi il valore, a zero il valore zero, ai numeri positivi il valore. Presenta pertanto un punto di discontinuità per =. y Fig. G. Grafico della funzione logaritmica y = log. Fig. G. Grafico della funzione y=sgn. Teoria G-9

- - - - - - - - FUNZIONE VALORE ASSOLUTO: La funzione valore assoluto associa ad ogni valore lo stesso valore ma positivo. Si indica con y=. y Fig. G. Grafico della funzione y=. FUNZIONE PARTE INTERA: La funzione parte intera associa ad ogni numero il numero intero inferiore ad esso. Si indica con y=int() oppure y=[]. Ha un caratteristico andamento a gradini. y Fig. G. Grafico della funzione y=int(). FUNZIONI DEFINITE PER TRATTI: Le funzioni definite per tratti sono quelle per cui si usano diverse formule per calcolare la y a seconda del valore della. Eccone un esempio: π cos - < y = - + < ln.7 Funzioni pari e dispari Fig. G. Grafico di una funzione definita a tratti. Definizione: Una funzione è PARI se f()= f(-) D f. Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all asse y. Una funzione è DISPARI se f()= - f(-) D f. Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all origine. Sono dette così perché le funzioni del tipo y= n con n pari sono pari, quelle con n dispari sono dispari. Con riferimento ai grafici mostrati precedentemente le funzioni y=- +, y=- + e y= sono funzioni PARI. Si può notare dal loro grafico la loro simmetria rispetto all asse y. Teoria G-

La funzione y=tg, la funzione y=sen e la funzione y = sono invece DISPARI. Si può notare dal loro grafico la loro simmetria rispetto all origine. Per determinare se una funzione è pari, dispari o né pari né dispari si utilizza il seguente procedimento: si parte dalla funzione di partenza, che è f(), e si calcola f(-). Se ciò è uguale a f() la funzione è pari. Se la funzione non è pari si calcola f(-). Se ciò che si ottiene è uguale a f() la funzione è dispari, altrimenti non è né pari né dispari. Esempio G.: Dire se la funzione y=- + è pari, dispari, o né pari né dispari. Per vedere se tale funzione è pari si deve sostituire al posto della e poi verificare se l espressione in questione è uguale a quella di partenza. f() =- +. f(-) = (-) +(-) = - +. Essendo f() uguale a f(-) la funzione è pari. Esempio G.: Dire se la funzione y= è pari, dispari, o né pari né dispari. Si verifica prima se è pari. f()=. f(-)=(-) =-. Quindi f() non è uguale a f(-) e la funzione non è pari. Si verifica quindi f(-) cambiando il segno di f(-). -f(-)=-(- )= Essendo -f(-) uguale a f() la funzione è dispari. Esempio G.: Dire se la funzione + y = è pari, dispari, o né pari né dispari. Si calcola f(-). + f() =. (-) + - + f(-) = = (-). f() è diverso da f(-) quindi la funzione non è pari. Si calcola quindi f(-). - + - -f(-) = - =. Anche f(-) è diverso da f() quindi la funzione in questione non è né pari né dispari..8 Funzioni inverse Una funzione associa a valori della valori della y. Ad esempio la funzione y=+ associa alla i seguenti valori della y: - - y - 7 La funzione inversa associa i valori esattamente in maniera opposta scambiando le con le y come mostrato qui accanto: - 7 y - - Per trovare la funzione inversa di una funzione data si esplicita la con passaggi algebrici e poi si scambiano le con le y. Non tutte le funzioni ammettono inversa. Le funzioni che ammettono inversa sono dette invertibili. Se svolgendo il procedimento appena mostrato si trova come inversa una espressione che non ricade nella definizione di funzione allora la funzione di partenza non è invertibile. Esempio G.: Trovare la funzione inversa della funzione y=+. ) y=+ Si esplicita la -=-y+ Teoria G-

- - - - - - - - - - - - - - - - =y- = y - Si scambiano e y. y = - Esempio G.: Trovare la funzione inversa della funzione y = +. Si esplicita la. - = -y + = y - = y - Si scambiano e y. y = - Esempio G.: Trovare la funzione inversa della funzione y=+ln. Si esplicita la. -ln=-y+ ln=y- y- = e Si scambiano e y. - y = e Esempio G.6: Trovare la funzione inversa della funzione y =. Si esplicita la. - = y = y = ± y Si scambiano e y. y = ±! Ma quest ultima espressione non è una funzione, in quanto per la stessa si trovano due y. Se ne conclude che la funzione y = non è invertibile. Come si vede dall esempio G.6 non tutte le funzioni ammettono la funzione inversa. Le funzioni crescenti e decrescenti sono invertibili, ma non sono le uniche. Esistono infatti alcune funzioni invertibili che non sono crescenti o decrescenti. Il grafico di una funzione è simmetrico a quello della sua inversa rispetto alla retta y=. Ecco due figure: La prima figura è quella delle funzioni y = e e della sua inversa y=ln. La seconda invece mostra come la funzione y= non ammetta inversa perché y = ± non è una funzione. Grafici di Fig. G.6 y = e e della sua inversa y=ln. Fig. G.7 Grafici di y= e della sua inversa y = ±. Teoria G-

.9 Funzioni composte Le funzioni possono essere immaginate come scatole che ad un certo ingresso forniscono, dopo opportuni calcoli, una ben determinata uscita. Ad esempio per la funzione y=- fa corrispondere all ingresso = l uscita y=, in quanto y= -=. Ciò può essere mostrato nel seguente diagramma: y = - Non ci si dovrebbe stupire che l uscita di una funzione può essere l ingresso per un altra, come mostrato nel seguente diagramma: y=f() f() y=g() g(f()) Si noti che la prima funzione ad essere utilizzata, f(), è quella che alla fine si trova dentro la parentesi. Considerando le funzioni f()=, g()= e il valore di ingresso = un esempio di tale trasformazione potrebbe essere il seguente: y= y= Si noti che = (banale) e =( ) ossia ( ), per cui è possibile calcolare la funzione composta y=g(f()) che è, nel nostro caso y=. In realtà vanno considerati anche il dominio ed il codominio delle funzioni. Infatti perché esista la composta il codominio della prima deve essere un sottoinsieme del dominio della seconda. Gli esercizi su questa parte saranno di due tipi: Date le funzioni f() e g() ricavare le funzioni f(g()) e g(f()). [Si indicano con (f g)() e (g f)() rispettivamente e si leggono f composto g e g composto f ]. Data la funzione (f g)() trovare le funzioni f() e la funzione g(). Esempio G.7: Date le funzioni f() = + e g() = e calcolare (f g)() e (g f)(). (f g)(): per determinare (f g)() si deve prima utilizzare f(). Quindi f(e ) = e +.La soluzione è quindi (f g)() = f(g()) = e +. g() = e. Adesso e va al posto della nella funzione (g f)(): per trovare (g f)() si deve prima utilizzare f() = +. Adesso + va al posto della nella funzione + g(). Quindi g( +) = e Esempio G.8:. La soluzione è quindi Data la funzione (g f)() = cos( - ) determinare f() e g(). + (g f)() = g(f()) = e. La prima funzione utilizzata, quella più vicina alla, è la funzione f(). La si riconosce perché è la più interna. Quindi f() = -. La funzione g() è quella esterna ossia g() = cos. Ciò si può visualizzare con il seguente schema: f ( ) = - - g ( ) = c o s c o s ( - ). Restrizione e prolungamento Definizione: se f()=g() e D f D g allora f() è detta restrizione di g() e g() è detta prolungamento di f(). Esempio G.9: Siano se non è né l uno né l altro. - f() = e g() = -. Si determini se f() è restrizione di g(), se ne è prolungamento o -. Si verifica se f()=g() per mezzo di passaggi algebrici: = - per le note proprietà delle radici. Quindi f()=g(). Se così non fosse stato allora f() non sarebbe stata né prolungamento né restrizione di g().. Si determinano i domini di f() e di g(): Teoria G-

- 8-7 - 6 - - - - - 6 7 8 - - - - - - - - - - - - - - 8-7 - 6 - - - - - 6 7 8 - - - - - - - - - - - - - - D f Bisogna risolvere il sistema di disequazioni seguente > Si omettono i passaggi, comunque la risoluzione di tale sistema ci permette di trovare Df=[;+ [. - D g Bisogna risolvere la disequazione seguente: Si omettono i passaggi, comunque la risoluzione di tale disequazione ci permette di trovare Dg=]- ;[ [;+ [.. Si confrontano i domini di f() e di g(). Poiché D f D g allora f() è restrizione di g(). Se uno dei due insiemi non fosse stato un sottoinsieme dell altro allora f() non sarebbe stata né prolungamento né restrizione di g() Se f() è restrizione di g() la funzione f() e la funzione g() hanno lo stesso grafico, tranne che per il fatto che il grafico della funzione g() è presente in zone in cui non è presente il grafico della funzione f(). - - Ecco il grafico delle funzioni dell esempio precedente: f() = e g() = Si vede chiaramente che il grafico di f() è uguale (dove esiste) al grafico di g(). - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G.8 Grafico di g() = -. Grafico di Fig. G.9 - f() =.. Funzioni periodiche Per capire cos è una funzione periodica si dà prima una definizione non formale, per poi formalizzarla. Si può dire che una funzione è periodica se i valori della y si ripetono a intervalli regolari. Sono ad esempio funzioni periodiche le funzioni goniometriche come nelle figure G., G., G., G., che qui si riportano in piccolo: y=sen y=cos y=tg y=cotg Il grafico del seno e del coseno si ripete ogni π. Il periodo di seno e coseno è quindi π. Il grafico della tangente e della cotangente si ripete ogni π. Il periodo di tangente e cotangente è quindi π. Teoria G-

- - - - - - - - - - - - - - - - Definizione: Una f è periodica se k> t.c. D f f()=f(+k). Il più piccolo k per cui è valida la definizione è detto periodo della funzione. k f()=f(+k) - 8-7 - 6 - - - - - 6 7 8 - +k - - - - Per capire il significato della definizione si osservi quanto segue: Si vede dalla figura che f() e f(+k) hanno lo stesso valore. Ciò non accade solo per il particolare che abbiamo scelto ma vale per tutte le del dominio. Se ciò non fosse la funzione non sarebbe periodica. Nella definizione si dice che il periodo è il più piccolo k per cui vale la definizione. Si prenda ad esempio la funzione seno: sen(9 )=sen(6 +9 )=sen(7 +9 )=sen(8 +9 ) ecc. Quindi il periodo è 6. Ma è anche vero che sen(9 )= sen(7 +9 )=sen( +9 )=sen(6 +9 ). Quindi il periodo in teoria potrebbe essere 7, oppure qualunque multiplo di 6. Per evitare questo si dice che il periodo è il più piccolo k per cui vale la definizione. Il vantaggio di una funzione periodica è che non bisogna tracciarla in tutto R ma basta tracciarla in un intervallo ben definito, perché poi tale grafico si ripete ad intervalli regolari.. Grafici deducibili Fig. G. Definizione di funzione periodica. Conoscendo il grafico di una o più funzioni è possibile tracciarne molte altre. In questo paragrafo si vedrà come. Le tecniche di questo paragrafo valgono per tutte le funzioni. Si useranno per gli esempi la funzione y=ln e y= - di cui già si conosce il grafico. Fig. G. Grafico di y=ln. Fig. G. Grafico di y= -. a) IL GRAFICO DI y=f()+k e di y=f()-k Se si conosce il grafico di f(), e k è un numero positivo, il grafico di f()+k sarà identico ma spostato verso l alto di k, quello di f()-k sarà identico ma spostato verso il basso di k. Quindi il grafico di y=ln()+ sarà spostato in alto di, mentre y=ln()- sarà spostato in basso di. Teoria G

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G. Grafico di y=ln. Fig. G. Grafico di y=ln+. Fig. G. Grafico di y=ln-. b) IL GRAFICO DI y=f(+k) e di y=f(-k) Se si conosce il grafico di f(), e k è un numero positivo, il grafico di f(+k) sarà identico ma spostato verso sinistra di k, quello di f(-k) sarà identico ma spostato verso destra di k. Quindi il grafico di y=ln(+) sarà spostato verso sinistra di, quello di y=ln(-) sarà spostato verso destra di. Fig. G.6 Grafico di y=ln. Fig. G.7 Grafico di y=ln(+). Fig. G.8 Grafico di y=ln(-). c) IL GRAFICO DI y= f() Quando si disegna il grafico del valore assoluto di una funzione basta prendere le parti negative e tracciare al loro posto il grafico simmetrico rispetto all asse delle. Le parti positive del grafico rimangono invariate. Ecco quindi i grafici di y= ln e di y= - Fig. G.9 Grafico di y= ln. Fig. G. Grafico di y= -. d) IL GRAFICO DI y=kf() Bisogna qui distinguere se k è positivo o negativo e se k è maggiore o minore di uno. k> - Il grafico di kf() è dilatato verso l alto e verso il basso. Più grande è k maggiore è la dilatazione. Nelle successive figure il grafico di y=( ) e di y= ln Teoria G-6

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G. Grafico di y=( ). Fig. G. Grafico di y= ln <k< - Il grafico di kf() è schiacciato verso l asse. Più piccolo è k maggiore è lo schiacciamento. Nelle successive figure il grafico di y = ( - ) e di y = ln. Fig. G. Grafico di y = ( - ). Fig. G. Grafico di y = ln. -<k< - Il grafico di kf() è schiacciato verso l asse ed è simmetrico a quello di partenza rispetto all asse. Più vicino è k a zero maggiore è lo schiacciamento. Nelle successive figure il grafico di y = - ( - ) e di y = - ln. Fig. G. Grafico di y = - ( - ). Fig. G.6 Grafico di y = - ln. k<- - Il grafico di kf() è dilatato verso l alto e verso il basso ed è simmetrico a quello di partenza rispetto all asse.più piccolo è k, (per esempio ), maggiore è la dilatazione. Nelle successive figure il grafico di y = -( - ) e di y = -ln. Teoria G-7

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G.7 Grafico di y = -( - ). Fig. G.8 Grafico di y = -ln. e) IL GRAFICO DI y=-f() Il grafico di f() è quello simmetrico di f() rispetto all asse. E un caso particolare del precedente con k=-. Nelle successive figure i grafici di y = -( - ) e di y = -ln. Fig. G.9 Grafico di y = -( - ). Fig. G.6 Grafico di y = -ln. f) IL GRAFICO DI y=f(-) Il grafico di f(-) è quello simmetrico di f() rispetto all asse y. Nell equazione troviamo - al posto di. Nelle successive figure i grafici di y = (-) - e di y = ln(-). Essendo y = (-) - una funzione pari il grafico resta invariato. Fig. G.6 Grafico di y = (-) -. Fig. G.6 Grafico di y = ln(-). Teoria G-8

g) IL GRAFICO DI y=f()+g() Per disegnare il grafico di una somma di funzioni basta sommare le due funzioni per punti. Ecco il grafico di y = ( -)+ln. - - - - - - - - Fig. G.6 Grafico di y = ( -)+ln. h) IL GRAFICO DI y=f() g() Per disegnare il grafico di un prodotto di funzioni basta moltiplicare le due funzioni per punti. Ecco il grafico di y = ( - ) ln - - - - - - - - Fig. G.6 Grafico di y = ( - ) ln. i) IL GRAFICO DI y=f()/g() Per disegnare il grafico di un quoziente di funzioni basta dividere le due funzioni per punti. ln Ecco il grafico di y =. ( - ) Teoria G-9

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - l) IL GRAFICO DI y=f(k) Grafico di Fig. G.6 y = Se k> il grafico della funzione viene schiacciato da destra e da sinistra verso l asse y. Più grande è k e maggiore è lo schiacciamento. Se per alcune funzioni come y=ln() il grafico subisce uno schiacciamento forse non molto visibile, per altre funzioni (quelle goniometriche) lo schiacciamento è visibile con facilità perché diminuisce il periodo della funzione. ln ( - ). - - - - - - - - Fig. G.66 Grafico di y=ln. Fig. G.67 Grafico di y=ln(). Fig. G.68 Grafico di y=sen. Fig. G.69 Grafico di y=sen(). Teoria G-

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Se <k< il grafico della funzione viene allargato verso destra o verso sinistra. Più k è vicino a zero e maggiore è l allargamento. Anche in questo caso nelle funzioni goniometriche l effetto è maggiormente visibile perché il periodo aumenta. Fig. G.7 Grafico di y=ln. Fig. G.7 Grafico di y = ln. - - - - - - - - Fig. G.7 Grafico di y=sen. Fig. G.7 Grafico di y = sen. Se il numero k è negativo valgono le stesse regole di allargamento e schiacciamento con la differenza che ci sarà anche una simmetria rispetto all asse delle y. In particolare se <k< ci sarà un allargamento della funzione verso destra e verso sinistra, ed in più una simmetria rispetto all asse y. Più vicino è k a zero e maggiore sarà l allargamento. Se k<- ci sarà uno schiacciamento della funzione verso l asse y, ed in più una simmetria rispetto all asse y. Minore è k maggiore sarà lo schiacciamento. Se k=- si è nel caso del punto f) di questo paragrafo. Fig. G.7 Grafico di y=ln(-). Fig. G.7 Grafico di y = ln. Teoria G-

- - - - - - - - - - - - - - - - Fig. G.76 Grafico di y=sen(-). Fig. G.77 Grafico di y = sen. Teoria G-