ESERCIZI DA ESAMI (1996-2003) Compressibilità edometrica e consolidazione dei terreni

ESERCIZI DA ESAMI (1996-2003) Compressibilità edometrica e consolidazione dei terreni Esercizio 1 Una fondazione rettangolare flessibile di dimensioni B x L trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p alla profondità D dal piano campagna. Il terreno di fondazione è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia fine di spessore H 1, da uno strato di argilla di spessore H 2, quindi da sabbia e ghiaia fino a grande profondità. La falda freatica è alla profondità Z w da piano campagna. Il terreno è saturo anche sopra falda. La sabbia ha un indice dei vuoti medio e 1, e gravità specifica dei costituenti solidi G s,1. L'argilla ha gravità specifica dei costituenti solidi G s,2, indice di compressione C c e indice di ricompressione C r. Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei casi in cui: a) l'argilla sia normalmente consolidata (OCR = 1) ed abbia un contenuto in acqua medio w a. b) l'argilla sia debolmente sovraconsolidata (OCR = 1.5 ) c) l'argilla sia fortemente sovraconsolidata (OCR = 5 ) Dati: B = 10 m H 1 = 10 m L = 20 m e 1 = 0.76 D = 4 m G s,1 = 2.65 p = 200 kpa H 2 = 2.5 m Z w = 3m G s,2 = 2.7 γ w = 9.8 kn/m 3 C c = 0.300 C r = 0.040 w a = 43 % Il peso di volume saturo della sabbia del primo strato è: γ 1,sat = γ w (G s,1 + e 1 ) / (1 + e 1 ) = 18.99 kn/m 3 La tensione litostatica verticale efficace alla profondità D è: σ' v0,d = γ 1,sat Z w + (γ 1,sat - γ w ) (D - Z w ) = 66.15 kpa La tensione verticale netta trasmessa dalla fondazione alla profondità D è: p = p - σ' v0,d = 133.85 kpa Nel caso a) di argilla N.C. l'indice dei vuoti medio dell'argilla è: e a = (w a / 100) G s,2 = 1.161 ed il peso di volume saturo dell'argilla è: γ 2a,sat = γ w (G s,2 + e a ) / (1 + e a ) = 17.51 kn/m 3 La profondità del punto medio dello strato di argilla dal piano campagna è: Z a = H 1 + H 2 / 2 = 11.25 m La tensione litostatica verticale efficace alla profondità Z a è: σ' v0,a = γ 1,sat Z w + (γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + (γ 2a,sat - γ w ) H 2 / 2 = 130.91 kpa L'incremento di tensione verticale, alla profondità del punto medio dello strato di argilla in corrispondenza del centro dell'area caricata, prodotto dalla pressione trasmessa dalla fondazione, si ottiene, nell'ipotesi di semispazio elastico omogeneo e isotropo, con l'equazione: σ' v,a = (2 p/π) [arctan(ab/zr 3 ) + (abz/r 3 ) (1/R 2 1 + 1/R 2 2 )] in cui:

a = B / 2 = 5 m R 1 = (a 2 + z 2 ) 0,5 = 8.81 m b = L / 2 = 10 m R 2 = (b 2 + z 2 ) 0,5 = 12.35 m z = Z a - D = 7.25 m R 3 = (a 2 + b 2 + z 2 ) 0,5 = 13.33 m σ' v,a = 85.78 kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla N.C. è: e a = C c log[(σ' v0,a + σ' v,a ) / σ' v0,a ] = 0.066 Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso a) di terreno normalmente consolidato (OCR = 1) vale: H 2,a = H 2 e a / (1 + e a ) = 7.60 cm Nel caso b) di argilla debolmente sovraconsolidata con OCR = 1.5 la pressione di consolidazione è: σ' c,b = OCR σ' v0,a = 196.37 kpa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: e c,b = e a - C c log(σ' c,b / σ' v0,a ) = 1.108 e l'indice dei vuoti medio iniziale è: e b = e c,b + C r log(σ' c,b / σ' v0,a ) = 1.115 N.B. In realtà si è commesso un piccolo errore di approssimazione, poiché all'indice dei vuoti e b corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2b,sat = γ w (G s,2 + e b ) / (1 + e b ) = 17.68 kn/m 3 e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è: σ ' v0,b = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2b,sat - γ w ) H 2 / 2 = 131.12 kpa lievemente maggiore di σ ' v0,a = 130.91 kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla debolmente sovraconsolidato OCR = 1.5 è e b = (e b - e c,b ) + C c log[(σ' v0,b + σ' v,a ) / σ' c,b ] = 0.020 Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso b) di terreno debolmente sovraconsolidato (OCR = 1,5) vale: H 2,b = H 2 e b / (1 + e b ) = 2.35 cm Nel caso c) di argilla fortemente sovraconsolidata con OCR = 5 la pressione di consolidazione è: σ' c,c = OCR σ' v0,a = 654.56 kpa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: e c,c = e a - C c log(σ' c,c / σ' v0,a ) = 0.951 e l'indice dei vuoti medio iniziale è: e c = e c,c + C r log(σ' c,c / σ' v0,a ) = 0.979 N.B. In questo caso l'errore di approssimazione è un po maggiore. Infatti all'indice dei vuoti e c corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2c,sat = γ w (G s,2 + e c ) / (1 + e c ) = 18.22 kn/m 3 e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è: σ ' v0,c = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2c,sat - γ w ) H 2 / 2 = 131.80 kpa poco maggiore di σ ' v0,a = 130.91 kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla fortemente sovraconsolidato OCR = 5 è e c = C r log[(σ' v0,c + σ' v,a ) / σ' v0,c ] = 0.009 Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso c) di terreno fortemente sovraconsolidato (OCR = 5) vale: H 2,c = H 2 e c / (1 + e c ) = 1.11 cm grafico edometrico:

σ' v (kpa) e linea NC: 130.91 1.161 654.56 0.951 linea OCR = 1,5 130.91 1.115 196.37 1.108 linea OCR = 5 130.91 0.979 654.56 0.951 punti σ' v (kpa) e 1 130.91 1.161 2 216.69 1.161 3 216.69 1.115 4 130.91 1.115 5 196.37 1.108 6 216.69 1.108 7 216.69 1.115 8 216.69 1.095 9 216.69 0.979 10 130.91 0.979 11 216.69 0.979 12 216.69 0.971 e 1.2 1.1 1.0 0.9 100 1000 σ' v (kpa) Esercizio 2 Con riferimento alle condizioni stratigrafiche e geotecniche nel seguito descritte stimare il cedimento di compressione edometrica, il cedimento per compressione secondaria al tempo t e il cedimento totale al tempo t dello strato di argilla. q Dati: q = 50 kpa z w z w = 2.5 m H S = 7m H S H A = 5m γ w = 9.81 kn/m 3 Sabbia t = 10 anni Sabbia sopra falda γ = 16.5 kn/m 3 sotto falda γ sat = 18.81 kn/m 3 H A Argilla Argilla γ sat = 19.24 kn/m 3 Sabbia e 0 = 0.9 w L = 50 % σ' p = 125 kpa C s = C c / 6 t 100 = 3.5 anni C α = 0.0118 a metà dello strato di argilla: σ' v0 = γ z w + (γ sat, sabbia - γ w ) (H S - z w ) + (γ sat, arg. - γ w ) H A / 2 = 105.3 kpa OCR = σ' p / σ' v0 = 1.19 si stima l'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck (1967): C c = 0,009 (w L - 10) = 0.36

C s = C c / 6 = 0.06 cedimento di compressione edometrica: H ed = H A /(1 + e 0 ) (C s log(σ' p / σ' c0 ) + C c log [(σ' v0 + q) / σ' p ]) = cedimento di compressione secondaria: H s = H A C α log(t / t 100 ) = 2.7 cm cedimento totale: H = H ed + H s = 12.8 cm 10.1 cm Esercizio 3 Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da 0.572 a 0.505 per un incremento di pressione da 120 kpa a 180 kpa. L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da 0.612 a 0.597 per lo stesso incremento di pressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 volte maggiore per il provino B che per il provino A. Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B? Dati: A B e 0 = 0.572 0.612 e 1 = 0.505 0.597 σ' 0 (kpa) = 120 120 σ' 1 (kpa) = 180 180 H A = 1.5 H B t 50 (A) = 0.3333333 t 50 (B) a v = e/ σ' = 1.12E-03 2.50E-04 m 2 /kn m v = a v /(1+e 0 ) = 7.10E-04 1.55E-04 m 2 /kn M = 1/m v = 1408 6448 kpa c v (A) = (t 50 (B)/t 50 (A)) (H A /H B ) 2 c v (B) = 6.75 c v (B) k = c v m v γ w k A /k B = (c v (A)/c v (B)) (m v (A)/m v (B)) = 31 Esercizio 4 Durante la prova edometrica un campione di argilla satura ha subito una riduzione di altezza da 19.913 mm a 19.720 mm a causa di un incremento della pressione verticale da 150 kpa a 300 kpa. Determinare gli indici dei vuoti corrispondenti alle due pressioni, essendo: γ s = 26.68 kn/m 3 H 0 = 20 mm γ d = 13.58 kn/m 3 Dati: H 1 (mm) = 19.913 σ' v1 = 150 kpa γ s = 26.68 kn/m 3 H 2 (mm) = 19.72 σ' v2 = 300 kpa γ d = 13.58 kn/m 3 H 0 (mm) = 20 e 0 = 0.965 e 1 = 0.956 e 2 = 0.937 Esercizio 5 Un rilevato a sezione trapezia, di peso di volume γ(ril.) = 20 kn/m 3, ha la seguente geometria: base maggiore 2a = 24 m base minore 2a' = 16 m altezza h = 2 m ed è fondato su uno strato di argilla omogenea satura N.C. avente le seguenti caratteristiche:

H = 14 m (a profondità maggiori il terreno è pressoché incompressibile) γ = 19 kn/m 3 e 0 = 0,8-0.01 z(m) C c = 0.332 (valore medio di calcolo) c v = 3.40E-07 m 2 /s (valore medio di calcolo) la falda freatica è alla quota del p.c. Calcolare: 1) il cedimento edometrico in corrispondenza della mezzeria (suddividere in 10 sottostrati) 2) i tempi necessari affinché si realizzino il 20%, il 50% e il 70% del cedimento edometrico calcolato. Soluzione pressione trasmessa dal rilevato in superficie: p = γ(ril.) h = 40 kpa spessore del sottostrato: z = H / 10 = 1.4 m pressione litostatica verticale efficace: σ' v = (γ - γ w ) z incremento di pressione verticale in asse: σ' v = 2p / [(a - a') π] [a arctan(a/z) - a' arctan(a'/z)] s-strato i z i (m) e 0, i σ' v, i (kpa) σ' v, i (kpa) H i (cm) 1 0.7 0.793 6.4 39.99 22.25 2 2.1 0.779 19.3 39.84 12.70 3 3.5 0.765 32.2 39.32 9.13 4 4.9 0.751 45.0 38.37 7.10 5 6.3 0.737 57.9 37.04 5.75 6 7.7 0.723 70.8 35.44 4.76 7 9.1 0.709 83.7 33.71 4.00 8 10.5 0.695 96.5 31.93 3.40 9 11.9 0.681 109.4 30.18 2.93 10 13.3 0.667 122.3 28.50 2.54 H = 74.55 cm altezza di drenaggio: H dr = H/2 = 7m tempo di consolidazione: t = T v H 2 dr / c v U m (%) T v t (sec) t (gg) t (anni) 20 0.0314 4.53E+06 52 0.143 50 0.196 2.82E+07 327 0.896 70 0.403 5.81E+07 672 1.842 Esercizio 6 Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da e 0 = 0.572 a e 1 = 0.505 per un incremento di pressione da σ' 0 = 120 a σ' 1 = 180 kpa. L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da e 0 = 0.612 a e 1 = 0.597 per lo stesso incremento di pressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 volte maggiore per il provino B che per il provino A. Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B? k = c v m v γ w k A / k B = (c v m v ) A / (c v m v ) B c v = T v H 2 / t a v = e / σ' m v = a v / (1 + e 0 ) ed essendo: T v (A) = T v (B) e σ' (A) = σ' (B) risulta:

k A / k B = (c v m v ) A / (c v m v ) B = (H A /H B ) 2 (t B /t A ) ( e A / e B ) (1+e 0 ) B /(1+e 0 ) A H A /H B = 1.5 t B /t A = 3 e A = 0.067 e B = 0.015 (1+e 0 ) A = 1.572 (1+e 0 ) B = 1.612 k A / k B = 30.9 Esercizio 7 In un sito avente le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura è posto un riporto di grande estensione e di spessore costante. Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei cedimenti edometrici nel tempo del piano campagna originario. dati: H profondità della falda da p.c. originario R Riporto z w = 1.2 m γ w = 9.81 kn/m 3 H 1 H 2 H 3 H 4 z Sabbia sciolta Argilla limosa Sabbia sciolta Limo argilloso Sabbia e ghiaia addensate Strato di riporto H R = 3.2 m γ R = 18 kn/m 3 Strato 1: sabbia sciolta H 1 = 4.3 m γ 1 = 17.8 kn/m 3 sopra falda γ 1 = 18.1 kn/m 3 sotto falda D R = 40 % C c /(1+e 0 ) = 0.007 Strato 2: argilla limosa N.C. H 2 = 4.5 m γ 2 = 19.5 kn/m 3 w = 36.5 % w L = 40.4 % Strato 4: limo argilloso NC w P = 25.2 % H 4 = 6.2 m C c = 0.33 γ 4 = 19.2 kn/m 3 e 0 = 0.96 w = 25 % c v = 3.52E-07 m 2 /s w L = 31.2 % Strato 3: sabbia sciolta w P = 17.5 % H 3 = 3.8 m C c = 0.216 γ 3 = 18.5 kn/m 3 e 0 = 0.74 D R = 60 % c v = 2.50E-06 m 2 /s C c /(1+e 0 ) = 0.005 Soluzione Calcolo dei cedimenti di consolidazione H = H 0 C c /(1+e 0 ) log[(σ' v0 + σ' v )/σ' v0 ] La pressione verticale efficace iniziale σ' v0 è calcolata a metà di ciascuno strato: Strato 1 σ' v0,1 = γ 1 z w + γ' 1 (H 1 /2 - z w ) = 29.24 kpa 2 σ' v0,2 = σ' v0,1 + γ' 1 H 1 /2 + γ' 2 H 2 /2 = 68.86 kpa 3 σ' v0,3 = σ' v0,2 + γ' 2 H 2 /2 + γ' 3 H 3 /2 = 107.18 kpa

4 σ' v0,4 = σ' v0,3 + γ' 3 H 3 /2 + γ' 4 H 4 /2 = 152.80 kpa L'incremento di pressione verticale efficace è eguale per tutti gli strati e vale: σ' v = γ R H R = 57.6 kpa I cedimenti per consolidazione edometrica valgono dunque: Strato H 0 (cm) C c /(1+e 0 ) σ' v σ' v0 H (cm) 1 430 0.007 57.6 29.24 1.42 2 450 0.168 57.6 68.86 20.00 3 380 0.005 57.6 107.18 0.35 4 620 0.124 57.6 152.80 10.69 Totale = 32.47 cm La consolidazione edometrica degli strati 1 e 3, incoerenti e molto permeabili, è immediata. Il decorso dei cedimenti nel tempo per gli strati 2 e 4 è calcolato nel modo seguente: per un assegnato valore del tempo t si calcola il fattore tempo T v = t c v / H 2 essendo H l'altezza di drenaggio, pari a metà dello spessore dello strato, quindi il grado di consolidazione medio U m = f(t v ) infine il cedimento occorso al tempo t, H(t) = U m H. Utilizzando come unità di misura del tempo il giorno: 1 giorno = 24 x 3600 = 86400 sec strato 2: c v = 3.52E-07 m 2 /s = 3.04E-02 m 2 /giorno c v /H 2 = 6.01E-03 g -1 strato 4: c v = 2.50E-06 m 2 /s = 2.16E-01 m 2 /giorno c v /H 2 = 2.25E-02 g -1 Per il calcolo del grado di consolidazione medio si utilizza l'equazione approssimata di Sivaram e Swamee (1977): U m = (4T v /π) 0.5 / [1+(4T v /π) 2.8 ] 0.179 Strato 1 Strato 3 Strato 2 Strato 4 t (giorni) H 1 (cm) H 3 (cm) T v U m (%) H 2 (cm) T v U m (%) H 2 (cm) 0.1 1.42 0.35 0.0006 2.8 0.55 0.0022 5.3 0.57 0.2 1.42 0.35 0.0012 3.9 0.78 0.0045 7.6 0.81 0.5 1.42 0.35 0.0030 6.2 1.24 0.0112 12.0 1.28 1 1.42 0.35 0.0060 8.7 1.75 0.0225 16.9 1.81 2 1.42 0.35 0.0120 12.4 2.47 0.0450 23.9 2.56 5 1.42 0.35 0.0300 19.6 3.91 0.1124 37.8 4.04 10 1.42 0.35 0.0601 27.7 5.53 0.2248 53.2 5.69 20 1.42 0.35 0.1201 39.1 7.82 0.4495 73.1 7.82 50 1.42 0.35 0.3004 61.1 12.22 1.1238 94.5 10.11 100 1.42 0.35 0.6007 81.6 16.32 2.2477 99.0 10.58 200 1.42 0.35 1.2015 95.3 19.06 4.4953 99.7 10.66 e quindi complessivamente: t (giorni) H (cm) 0.1-2.90 0.2-3.37 0.5-4.29 1-5.34 2-6.81 5-9.73 10-13.00 20-17.41 50-24.11 100-28.68 200-31.50 H (cm) 0.1 1 10 100 1000 0-10 -20-30 -40 t (giorni)

0 0 50 100 150 200-10 H (cm) -20-30 -40 t (giorni) Esercizio 8 La platea di un fabbricato industriale di grande estensione trasmette una pressione uniforme sul terreno di fondazione, costituito da uno strato di argilla satura di spessore H, sovrastante uno strato rigido di sabbia e ghiaia di grande spessore. Lo strato di argilla, prima della costruzione del fabbricato, aveva mediamente peso di volume γ 1 e contenuto naturale in acqua w 1. Al termine del processo di consolidazione i valori medi del peso di volume e del contenuto naturale in acqua dello strato di argilla risultarono rispettivamente γ 2 e w 2. Stimare il cedimento finale della fondazione nell'ipotesi che le deformazioni trasversali siano trascurabili. Tracciare la curva dei cedimenti nel tempo nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati. Dati: γ 1 = 19.5 kn/m 3 γ 2 = 19.9 kn/m 3 w 1 = 29.2 % w 2 = 26.6 % H = 2.5 m γ w = 9.81 kn/m 3 c v = 5.0E-07 m 2 /sec posto: P s = 1 kn e1 = 0.815699 P w1 = w 1 P s / 100 = 0.292 kn P w2 = w 2 P s / 100 = 0.266 kn P 1 = P s + P w1 = 1.292 kn P 2 = P s + P w2 = 1.266 kn V 1 = P 1 / γ 1 = 0.0663 m 3 V 2 = P 2 / γ 2 = 0.0636 m 3 V w1 = P w1 / γ w = 0.0298 m 3 V w2 = P w2 / γ w = 0.0271 m 3 V = V 1 - V 2 = 0.0026 m 3 ε v = ( V/V 1 ) 100 = 3.982 % ε a = ε v = 3.982 % ipotesi edometrica H = (ε a /100) H 1 = 0.100 m = 10.0 cm cedimento finale H (t) / H = U T v = f(u) t = T v (H/2) 2 / c v U (%) T v H (t) [cm] t (gg) 20 0.0314 1.99 1.14 40 0.126 3.98 4.56 60 0.286 5.97 10.34 80 0.567 7.96 20.51 90 0.848 8.96 30.67 95 1.129 9.46 40.83

t (gg) 0 10 20 30 40 50 0 2 H (cm) 4 6 8 10 Esercizio 9 Deve essere realizzato un rilevato autostradale di grande larghezza su un deposito di argilla molle. Si ipotizzi che lo strato di argilla sia drenato da entrambi i lati e che il carico sia applicato istantaneamente. Si trascuri la consolidazione secondaria. In esercizio, l'estradosso del rilevato (pavimentazione esclusa), dovrà essere alla quota H dal p.c. iniziale. La pavimentazione stradale può tollerare un assegnato cedimento massimo. Stimare: 1. dopo quanto tempo dall'applicazione del carico può essere messa in opera la pavimentazione, 2. Il cedimento atteso dopo un assegnato tempo t dall'applicazione del carico. Per la messa in opera del rilevato occorre un tempo t R. Si ipotizzi che il carico sia applicato per intero e istantaneamente al tempo t R / 2. Stimare: 3. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione del rilevato può essere messa in opera la pavimentazione, 4. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione si avrà il cedimento il cedimento calcolato al punto 2. Per mettere in opera la pavimentazione dopo un tempo t P dall'inizio della costruzione, minore del tempo calcolato al punto 3, si applica un sovraccarico addizionale elevando temporaneamente il rilevato. 5. Stimare l'incremento temporaneo di altezza del rilevato. Dati: quota dell'estradosso del rilevato dal p.c. iniziale: H = 5 m peso di volume del terreno del rilevato: γ R = 21.6 kn/m 3 spessore dello strato di argilla molle: H A = 8m coefficiente di compressibilità medio dell'argilla: m v = 0.5 m 2 /MN coefficiente di consolidazione medio dell'argilla: c v = 10 m 2 /anno cedimento massimo ammissibile per la posa in opera della pavimentazione: S = 50 mm tempo al quale è richiesta la stima del cedimento: t = 5 mesi tempo di costruzione del rilevato: t R = 3 mesi tempo dall'inizio costruzione per la messa in opera la pavimentazione: t P = 15 mesi Sussistono le condizioni di carico edometrico.

Affinché al termine della consolidazione edometrica la quota di estradosso del rilevato dal p.c. iniziale sia H occorre mettere in opera un rilevato di altezza H R = H + S ed, avendo indicato con S ed il cedimento finale (edometrico). L'incremento di pressione verticale vale: σ = γ R H R Il cedimento finale (edometrico) vale: S ed = m v H A σ = m v H A γ R (H + S ed ) = = (m v H A γ R H) / (1 - m v H A γ R ) = 0.473 m Altezza di rilevato da mettere in opera: H R = H + S ed = 5.473 m Incremento di pressione verticale: σ = γ R H R = 118.21 kpa Il grado di consolidazione medio al quale può essere messa in opera la pavimentazione vale: U m = 100 (S ed - S) / S ed = 89.4 % cui corrisponde un fattore di tempo: T v = 1,781-0,933 log (100-U m ) = 0.825 e quindi il tempo dall'applicazione del carico al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale: 1) t p = T v (H A / 2) 2 / c v = 1.321 anni = 15.85 mesi Il fattore di tempo per: t = 5 mesi vale: T v = c v t / (H A / 2) 2 = 0.260 cui corrisponde un grado di consolidazione medio: U m = 100 (4T v /π) 0,5 = 57.6 % 2) pertanto il cedimento al tempo t vale: S(t) = U m S ed / 100 = 0.272 m il tempo dall'inizio della costruzione al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale: 3) t p1 = t p + t R / 2 = 17.3 mesi il cedimento calcolato al punto 2 si avrà dopo un tempo dall'inizio della costruzione: 4) t 1 = t + t R / 2 = 6.5 mesi Il tempo dall'applicazione virtuale istantanea del carico al quale si vuole mettere in opera la pavimentazione è: t PV = t P - t R / 2 = 13.5 mesi Il fattore di tempo per t = t PV vale: T v = c v t PV / (H A / 2) 2 = 0.703 cui corrisponde un grado di consolidazione medio: U m = 85.7 % al tempo t = t PV il cedimento deve essere quello ammissibile per la messa in opera della pavimentazione, pertanto il cedimento edometrico finale in presenza del sovraccarico risulta S ed1 = (S ed -S) / (U /100), da cui: S ed1 = 0.493 m che verrebbe prodotto da una pressione: σ 1 = S ed1 / (m v H A ) = 123.35 kpa ovvero da un'altezza di rilevato: H R1 = σ 1 / γ R = 5.71 m dunque l'incremento temporaneo di altezza del rilevato è: 5) H R = H R1 - H R = 0.238 m Esercizio 10 Sulla superficie del deposito di terreno indicato in figura è applicato istantaneamente un carico uniforme ed infinitamente esteso di intensità q. Nel punto A vi è una cella piezometrica. 1. Prima dell'applicazione del carico q il piezometro in A segnala il valore di pressione idrostatica u 0,A. Quanto vale u 0,A? 2. Quale pressione neutra sarà segnalata dal piezometro immediatamente dopo l'applicazione del carico? 3. Dopo un tempo t 1 dall'applicazione del carico il piezometro segnala una pressione neutra u A1 Quanto vale il grado di consolidazione in A al tempo t 1 dall'applicazione del carico, U A (t 1 )? 4. Quale pressione neutra segnalerà il piezometro quando il grado di consolidazione nel punto A sarà U A (t 2 )? 5. Quale sarà, approssimativamente, il cedimento finale per consolidazione edometrica dello strato di argilla? 6. Quanto tempo sarà necessario per avere un grado di consolidazione medio U m (%) = 80

7. Quale incremento di carico q si dovrebbe applicare in superficie affinché il cedimento calcolato al punto 5 si verifichi nel tempo t? H 1 H 2 q sabbia argilla N.C. A sabbia z w z A Dati: H 1 = 6.5 m γ w = 9.81 kn/m 3 H 2 = 4 m q = 120 kpa z w = 1.5 m u A1 = 135 kpa z A = 8.7 m U A (t 2 ) = 60 % t = 90 gg. sabbia: γ 1 = 17 kn/m 3 (sopra falda) γ 1sat = 19.5 kn/m 3 (sotto falda) argilla N.C.: γ 2 = 20.2 kn/m 3 w = 35.6 % w L = 40 % I P = 15 % G s = γ s / γ w = 2.7 c v = 1.40E-07 m 2 / s 1. u 0,A = γ w (z A - z w ) = 70.63 kpa 2. u A0 = u 0,A + u A0 = u 0,A + q = 190.63 kpa 3. u A1 = u A1 - u 0,A = 64.37 kpa U A (t 1 ) = 1 - ( u A1 / u A0 ) = 0.4636 = 46.36 % 4. u A2 = [1 - U A (t 2 )] u A0 = 48 kpa u A2 = u 0,A + u A2 = 118.63 kpa 5. pressione litostatica verticale efficace a metà dello strato di argilla: σ' v0 = γ 1 z w + (γ 1sat - γ w ) (H 1 - z w ) + (γ 2 - γ w ) H 2 / 2 = 94.73 kpa indice dei vuoti iniziale: e 0 = w G s = 0.9612 stima dell'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck: C c = 0,009 (w L - 10) = 0.27 H 2 = H 2 /(1 + e 0 ) C c log[(σ' v0 + q) / σ' v0 ] = 19.57 cm 6. U m = 80 % H dr = H 2 / 2 = 2m T v = 0.567 t 80 = T v H 2 dr / c v = 1.62E+07 s = 188 gg 7. T v (t) = t c v / H 2 dr = 0.272 U m (t) = 58.34 % il cedimento finale sotto il carico incrementato (q* = q + q) sarà dunque: H 2 * = H 2 / U m (t) = 33.55 cm q* = σ' v0 10^[( H 2 * (1 + e 0 ) / (C c H 2 )] - σ' v0 = 290 kpa q = q* - q = 170 kpa Esercizio 11 Durante una prova edometrica un provino di argilla satura, di altezza iniziale H 0, ha subito una riduzione di altezza da H 1 a H 2 a causa di un incremento di pressione verticale da σ' v1 a σ' v2. Determinare l'indice dei vuoti corrispondente alle tensioni σ' v1 e σ' v2.

Dati: H 0 = 20 mm H 1 = 19.913 mm σ' v1 = 150 kpa H 2 = 19.720 mm σ' v2 = 300 kpa γ s = 26.675 kn/m 3 γ d = 13.58 kn/m 3 e 0 = γ s /γ d - 1 = 0.964 H/H 0 = - e/(1+e 0 ) da cui: e 1 = 0.956 e 2 = 0.937 Esercizio 12 Nei grafici sono rappresentate le curve di consolidazione edometrica in funzione del logaritmo del tempo e della radice quadrata del tempo di uno stesso provino di argilla di spessore H = 2.5 cm per un assegnato gradino di carico Determinare: a) il coefficiente di consolidazione c v con i metodi di Casagrande e di Taylor b) il tempo necessario per il 60% della consolidazione se lo spessore fosse Hs (m) = 1.5 utilizzando un valore medio di cv

Dati: H = 2.5 cm t 0.5 90 = 7.6 min 0.5 t 90 = 57.76 min. = 3465.6 sec. t 50 = 20 min. = 1200 sec. a) c v90 = 0.848 (H/2) 2 /t 90 = 3.82E-04 cm 2 /sec Taylor c v50 = 0.197 (H/2) 2 /t 50 = 2.57E-04 cm 2 /sec Casagrande b) c v (med.) = 3.19E-04 cm 2 /sec U = 60 % T v (60%)= 0.286 Hs = 1.5 m = 150 cm t 60 = 5.04E+06 sec = 58 giorni Esercizio 13 t (min) lett. (mm) Durante una prova di compressione edometrica su un provino di 0 5.00 argilla satura (G s = γ s /γ w = 2.73 ), per l'incremento di 0.25 4.67 pressione verticale applicata da 214 a 429 0.5 4.62 kpa, sono state eseguite le letture (L) al comparatore centesimale 1 4.53 indicate in tabella. Dopo il tempo t = 1440 min 2.25 4.41 lo spessore del provino era H 1 = 13.60 mm 4 4.28 e il contenuto in acqua w = 35.9 %. 9 4.01 Determinare con le costruzioni grafiche di Casagrande e di Taylor 16 3.75 il coefficiente di consolidazione verticale, ed il coefficiente di 25 3.49 permeabilità. 36 3.28 49 3.15 64 3.06 81 3.00 100 2.96 200 2.84 400 2.76 1440 2.61 La variazione totale di altezza per l'incremento di carico è: H = L 0 - L 1 = 2.39 mm Lo spessore iniziale del provino è: H 0 = H 1 + H = 15.99 mm Lo spessore medio del provino è: H m = H 1 + H / 2 = 14.795 mm La lunghezza del percorso di drenaggio è: d = H m / 2 = 7.3975 mm

t (min) H (mm) t 0,5 0 15.99 0.000 0.25 15.66 0.500 0.5 15.61 0.707 1 15.52 1.000 2.25 15.40 1.500 4 15.27 2.000 9 15.00 3.000 16 14.74 4.000 25 14.48 5.000 36 14.27 6.000 49 14.14 7.000 64 14.05 8.000 81 13.99 9.000 100 13.95 10.000 200 13.83 14.142 400 13.75 20.000 1440 13.60 37.947 H (mm) 16 15.5 15 14.5 14 13.5 13 0.1 1 10 100 1000 10000 t (min) assumo: t 1 = 1 min t 1 /4 = 0.25 min la variazione di altezza tra t 1 e t 1 /4 è a = 0.14 mm il grado di consolidazione U = 0% corrisponde all'altezza H (U=0%) = H(t 1 ) + 2a = 15.8 mm Osservando il grafico: La retta tangente alla parte finale della curva è la retta congiungente gli ultimi due punti. Essa ha equazione: y1 = -0.269637 log(t) + 14.45161 La retta tangente al punto di inflessione corrisponde alla retta congingente i punti a 25 min e a 36 min. Essa ha equazione: y2 = -1.326072 log(t) + 16.33377 Il punto di intersezione fra le rette y1 e y2 ha coordinate: y (mm) = 13.97 log(t) = 1.781612 t (min) = 60.48 il grado di consolidazione U=100% corrisponde all'altezza H (U=100%) = y = 13.97 mm il grado di consolidazione U=50% corrisponde all'altezza H (U=50%) = 14.89 mm il tempo t 50 vale: 11.59 min Il coefficiente di consolidazione risulta: c v = 0.197 d 2 /t 50 = 0.930 mm 2 /min a = -1.04051 c v = 0.197 d 2 /t 50 = 1.55E-08 m 2 /s b = 15.9929 logt 50 = 1.064177 Linee di costruzione per il grafico di Casagrande x y x y x y 0.1 15.8 0.25 15.66 1 15.52 3 15.8 3 15.66 3 15.52 x y x y x y 10 14.18198 5 0 0.1 13.97 3000 13.51405 90 0 60.48 13.97 60.48 13

x y 0.1 14.89 11.59 14.89 11.59 13 Linee di costruzione per il grafico di Taylor: y1 = -0.2625 t 0.5 + 15.791 a = -0.090 y2 = -0.228261 t 0.5 + 15.791 b = 14.77 x y1 x y2 x y 0 0 0 0 7.000 14.140 10 0 11.5 0 8.000 14.050 x = 7.385 x y x y y = 14.105 0 14.105 0 13.918 7.385 14.105 11.000 13.918 7.385 13 x y 0.500 15.66 i coefficienti della regressione nella caselle K138 e M138 0.707 15.61 1.000 15.52 c v = 0.848 d 2 /t 90 = 1.42E-08 m 2 /s 1.500 15.40 2.000 15.27 3.000 15.00 4.000 14.74 5.000 14.48 dalla costruzione di Casagrande si ottiene: per U = 0 % H iniz = 15.80 mm per U = 100 % H 100 = 13.97 mm per U = 50 % H 50 = 14.89 mm t 50 = 11.59 min Il coefficiente di consolidazione risulta: c v = 0.197 d 2 /t 50 = 0.930 mm 2 /min Il coefficiente di permeabilità si stima con l'equazione: k = c v m v γ w m v = ( H/H 0 )/ σ' v = 695 mm 2 /kn γ w = 9.807 kn/m 3 k = 1.06E-10 m/s dalla costruzione di Taylor si ottiene: per U = 0 % H iniz = 15.79 mm per U = 90 % H 90 = 14.11 mm t 0.5 90 = 7.385 t 90 = 54.532 min per U = 100 % H 100 = 13.92 mm da cui: c v = 0.848 d 2 /t 90 = 0.851 mm 2 /min k = 9.67E-11 m/s H (mm) 16 15.5 15 14.5 14 13.5 13 0 5 10 15 t 0.5

t Esercizio 14 Con una prova di compressione edometrica su un provino di argilla satura sono ottenuti i seguenti risultati: σ' v (kpa) 27 54 107 214 429 214 107 54 e (-) 1.243 1.217 1.144 1.068 0.994 1.001 1.012 1.024 Uno strato di quest'argilla, di spessore H, giace sotto uno strato di sabbia di spessore H S. La falda freatica è al piano campagna. Il peso di volume di entrambi i terreni vale γ. Al piano campagna, ovvero sulla sabbia, e per una grande estensione, è posto uno strato di terreno di riporto di spessore H R e peso di volume γ R. 1) Determinare il cedimento finale per consolidazione dell'argilla (dividere in 4 sottostrati di eguale spessore). 2) Se il terreno di riporto fosse rimosso dopo la fine della consolidazione, quale sollevamento potrebbe verificarsi per rigonfiamento dell'argilla? 3) Se il terreno di riporto fosse messo in opera molto rapidamente, quale sarebbe la sovrapressione neutra al centro dello strato di argilla dopo un periodo di tempo t dall'applicazione del carico, nell'ipotesi di drenaggio sia superiore che inferiore, essendo c v il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla. Dati: H = 8 m H R = 4 m H S = 4 m γ R = 21 kn/m 3 γ = 19 kn/m 3 t = 1.2 anni c v = 2.4 m 2 /anno γ w = 9.807 kn/m 3 Soluzione 1.25 1.20 1.15 C c = 0.245 C s = 0.023 γ R H R = 84 kpa e 1.10 1.05 1.00 0.95 rette di compressione e di scarico x y 1 50 1.223 2 429 0.994 3 70 1.012 10 100 σ' v (kpa) 1000 Calcolo del cedimento edometrico: i z i (m) H i (m) σ' 0,i (kpa) σ' fin,i (kpa) e 0 e fin H i (cm) 1 1 5 2 46.0 130.0 1.232 1.121 9.91 2 7 2 64.4 148.4 1.196 1.107 8.09 3 9 2 82.7 166.7 1.169 1.095 6.87 4 11 2 101.1 185.1 1.148 1.083 5.99 s = Σ H i = 30.87 cm

Calcolo del sollevamento per scarico: 2 i z i (m) H i (m) σ' 0i (kpa) σ' fin,i (kpa) e 0 e fin H i (cm) 1 5 2 130.0 46.0 1.121 1.132-0.99 2 7 2 148.4 64.4 1.107 1.115-0.80 3 9 2 166.7 82.7 1.095 1.102-0.67 4 11 2 185.1 101.1 1.083 1.090-0.58 s = Σ H i = -3.04 cm 3 d = H/2 = 4 m u p = γ w (H s + d) = 78.5 kpa T v = c v t / d 2 = 0.18 U(T v ) = 2 (T v /π) 0.5 = 0.479 u 0 = γ R H R = 84 kpa u e (t) = (1 - U) u 0 = 43.8 kpa Esercizio 15 Con i risultati di una prova di compressione edometrica su un provino di argilla sottoriportati: 1. Disegnare la curva e - σ' v nel piano semi logaritmico e determinare l'indice di compressione, C c, 2. stimare l'indice dei vuoti per la pressione di: 1000 kpa. Dati: σ' v (kpa) H (mm) diametro del provino: D = 63 mm 0 25.40 altezza del provino a inizio prova: H 0 = 25.4 mm 50 25.19 peso del provino secco: W d = 1.1674 N 100 25.00 peso specifico dei costituenti solidi: γ s = 27.2 kn/m 3 200 24.29 400 23.22 800 22.06 Immaginando di separare la parte solida dai vuoti, all'inizio della prova, (e tenuto conto delle unità di misura), si calcola: altezza della parte solida, H s = 4 W d /(π D 2 γ s ) = 13.77 mm costante altezza della parte occupata da vuoti: H v0 = H 0 - H s = 11.63 mm indice dei vuoti iniziale, e 0 = V v0 /V s = H v0 /H s = 0.845 σ' v (kpa) H (mm) H v (mm) e = H v /H s 0 25.40 11.63 0.845 con riferimento al tratto finale della curva e - σ' v (log) 50 25.19 11.42 0.830 σ' 1 = 400 e 1 = 0.686 100 25.00 11.23 0.816 σ' 2 = 800 e 2 = 0.602 200 24.29 10.52 0.764 σ' 3 = 1000 400 23.22 9.45 0.686 C c = (e 1 - e 2 )/log(σ' 2 /σ' 1 ) = 0.280 800 22.06 8.29 0.602 e 3 = e 2 - C c log(σ' 3 /σ' 2 ) = 0.575

0.9 0.8 e 0.7 0.6 10 100 1000 σ' v (kpa) Esercizio 16 Un deposito di terreno a stratificazione orizzontale è costituito, dall'alto verso il basso, da: - uno strato di sabbia di spessore H 1 = 8m - uno strato di argilla N.C. di spessore H 2 = 6m - un substrato roccioso impermeabile. Il livello della falda freatica è alla profondità: z w = 2 m da p.c. Il peso di volume della sabbia sopra falda è: γ 1 = 17 kn/m 3 e sotto falda: γ 1sat = 19 kn/m 3 Il peso di volume dell'argilla è: γ 2sat = 20 kn/m 3 Il peso specifico dell'acqua è: γ w = 9.807 kn/m 3 La relazione fra indice dei vuoti e pressione verticale efficace per l'argilla è la seguente: e = 0.88-0.32 log (σ' v / 100) con σ' v espresso in kpa Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è: c v = 1.26 m 2 /anno Uno strato di terreno di riporto di spessore: H R = 3m e avente peso di volume: γ R = 20 kn/m 3 è posto in opera su un'area molto estesa. a) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo un tempo t = 2.5 anni dall'applicazionedel carico. b) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo 2,5 anni dall'applicazione del carico, nell'ipotesi che lo strato di argilla sia interrotto da un sottile strato drenante di sabbia alla distanza a = 1.5 m dal substrato roccioso di base. Soluzione Poiché il terreno di riporto copre un'area molto estesa il problema è monodimensionale. a) Considerando un unico strato per l'argilla il cedimento edometrico finale risulta: H = H 0 /(1 + e 0 ) C c log (σ' vfin / σ' v0 ) in cui: H 0 = H 2 = 600 cm C c = 0.32 σ' v0 e σ' vfin sono le tensioni efficaci verticali iniziale e finale a metà dello strato di argilla. σ' v0 = γ 1 z w + (γ 1sat - γ w ) (H 1 - z w ) + (γ 2sat - γ w ) H 2 / 2 = 119.74 kpa σ' v = γ R H R = 60 kpa σ' vfin = σ' v0 + σ' v = 179.74 kpa e 0 = 0.88-0.32 log (σ' v0 / 100) = 0.855 s fin = H = 18.26 cm

Se invece, per maggiore precisione, si suddivide lo strato di argilla in 4 sottostrati si calcola: sottostrato H 0 (cm) z m (m) σ' v0 (kpa) σ' vfin (kpa) e 0 H (cm) 1 150 8.75 96.80 156.80 0.885 5.34 2 150 10.25 112.09 172.09 0.864 4.79 3 150 11.75 127.38 187.38 0.846 4.36 4 150 13.25 142.67 202.67 0.831 4.00 s fin = Σ H = 18.48 cm Lo strato di argilla è drenato da un solo lato, dunque il massimo percorso di filtrazione è d = H 2. Il fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: T v = c v t / d 2 = 0.0875 cui corrisponde un grado di consolidazione medio pari a circa: U m = 0.334 (stimato con la formula di Sivaram & Swamee) Pertanto il cedimento dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: s (t) = U m s fin = 6.17 cm b) Il cedimento finale, trascurando lo spessore del sottile strato drenante, sarà lo stesso, ovvero: s fin = 18.48 cm Lo strato di argilla è suddiviso in due sottostrati: Il sottostrato superiore, 2a, di spessore H 2 - a = 4.5 m drenato da entrambi i lati e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a d sup = (H 2 - a)/2 = 2.25 m e il sottostrato inferiore, 2b, di spessore a = 1.5 m drenato da un solo lato e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a d inf = a = 1.5 m Il fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: per il sottostrato 2a: T v = c v t / d 2 sup = 0.622 cui corrisponde: U msup = 0.826 (dalla formula di Sivaram & Swamee) per il sottostrato 2b: T v = c v t / d 2 inf = 1.400 cui corrisponde: U minf = 0.967 (dalla formula di Sivaram & Swamee) Il sottostrato superiore avrà un cedimento finale s fin,2a = 14.49 cm Il sottostrato inferiore avrà un cedimento finale s fin,2b = 4.00 cm Dunque dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico essi saranno rispettivamente: s 2a (t) = U m,sup s fin,2a = 11.96 cm s 2b (t) = U m,inf s fin,2b = 3.87 cm complessivamente s (t) = 15.83 cm corrispondente al 85.6 % del cedimento finale. Esercizio 17 E' costruito un rilevato di grande lunghezza avente le dimensioni indicate in figura. Il terreno di fondazione è costituito da uno strato di argilla limosa con tracce di torba normalconsolidata di spessore H, sovrastante un deposito di sabbia e ghiaia. La falda freatica è al livello del piano campagna. Su un campione indisturbato del terreno di fondazione sono state eseguite prove di laboratorio i cui risultati sono riportati nel seguito. a) disegnare il grafico e - σ' v in scala semilogaritmica e determinare l'indice di compressione C C, b) disegnare la curva di consolidazione edometrica e determinare il coefficiente di consolidazione verticale c v con il metodo di Casagrande, c) determinare e disegnare i profili della pressione litostatica e dell'incremento di pressione verticale in asse al rilevato, d) calcolare il cedimento edometrico atteso in asse al rilevato e il tempo necessario affinché si realizzi la metà del cedimento edometrico atteso. Dati: 2a (m) = 18 h (m) = 4 γ ril (kn/m 3 ) 21 Campione indisturbato C1 2a' (m) = 6 H (m) = 6 prof. di estrazione (m) 3

b (m) = 6 γ sat (kn/m 3 ) 17.1 b 2a 2a' b γ s (kn/m 3 ) = 26.6 w (%) = 46.8 w L (%) = 69 w P (%) = 30 q u (kpa) = 61 f.f. argilla limosa e torbosa N.C. h H prova edometrica dimensioni del provino: alt. iniziale h 0 (mm) = 25 diametro d (mm) = 70 e 0 = 1.244 h/h 0 = e/(1+e 0 ) sabbia e ghiaia C c = 0.497954 curva pressione - cedimenti σ' v (kpa) h (mm) e 25 0.06 1.239 50 0.19 1.227 100 0.48 1.201 50 0.46 1.203 25 0.43 1.205 50 0.45 1.204 100 0.55 1.195 200 1.15 1.141 400 2.27 1.040 800 3.67 0.915 1600 5.16 0.781 3200 6.83 0.631 1600 6.55 0.656 800 6.24 0.684 400 5.87 0.717 200 5.39 0.760 100 4.97 0.798 50 4.43 0.846 25 3.93 0.891 e 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 10 100 1000 10000 σ' v (kpa) curva tempo cedimenti per σ' v da 100 a 200 kpa t t (sec) h (mm) h (mm) 1 = 15 s 15 0.59 24.41 2 = 30 s 30 0.6 24.4 3 = 1' 60 0.61 24.39 4 = 2'' 120 0.63 24.37 5 = 4" 240 0.66 24.34 6 = 8" 480 0.705 24.295 7 = 16" 960 0.76 24.24 8 = 32" 1920 0.83 24.17 9 = 1 h 3600 0.92 24.08 10 = 2 h 7200 1.01 23.99 11 = 4 h 14400 1.07 23.93 h (mm) 24.5 24.4 24.3 24.2 24.1 24.0 23.9 23.8 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

12 = 8 h 28800 1.11 23.89 13 = 16 h 57600 1.14 23.86 tempo (sec.) 14 = 24 h 86400 1.15 23.85 costruzione di Casagrande t 1 (sec) = 60 h (t 1 ) = 24.39 a (mm) = 0.02 t 1 /4 (sec) = 15 h (t 1 /4) = 24.41 h (U=0%) = 24.43 punto di intersezione fra la retta A fra i punti 13 e 14 e la retta B fra i punti 8 e 9: h = a log(t) + b a b retta A -0.056789 24.130338 h (A-B) = 23.87 retta B -0.232535 24.933482 t (A-B) = 37146 h (U=50%) 24.15 x y t 50 (sec) = 2331 10 24.43 Tv (50%) = 0.197 2331 24.15 c v (cm 2 /s) = 1.23E-04 100000 23.87 23.8 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 Tensioni verticali efficaci e calcolo del cedimento edometrico p' (kpa) = 84 a (m) = 9 a' (m) = 3 -z (m) σ' v (kpa) σ' v (kpa) e 0i H i (cm) strato iesimo 0.0 0.0 84.0 i = 1-0.5-3.6 84.0 2.097 22.2 2-1.5-10.9 83.1 1.859 16.3 3-2.5-18.2 80.8 1.749 13.3 4-3.5-25.5 77.3 1.676 11.3 5-4.5-32.8 73.1 1.621 9.7 6-5.5-40.1 68.6 1.578 8.4-6.0-43.8 66.4 s = Σ H i = 81.1 cm -50-25 0 25 50 75 100 0 tempo di consolidazione 50% -z (m) -1-2 -3 t 50 = T v (H/2) 2 / c v Tv = 0.197 H (m) = 6 c v (cm 2 /s) = 1.23E-04-4 -5-6 σ' v e σ' v (kpa) t 50 (sec) = 1.44E+08 t 50 (anni)= 4.559 s 50 (cm) = 40.5 Esercizio 18 Sia t 50 il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione edometrica di un provino di terreno di diametro D 0 e altezza H 0, rappresentativo di uno strato di argilla di spessore S. Determinare il tempo necessario per ottenere il 50% e il 90% della consolidazione edometrica dello strato di argilla in sito nelle ipotesi: a) di drenaggio da entrambi i lati e b) di drenaggio da un solo lato.

Dati: t 50 = 10 min. S = 12 m D 0 = 80 mm H 0 = 20 mm Soluzione T v (50) = 0.197 T v (90) = 0.848 t 90 = t 50 T v (90) / T v (50) = 4.30 t 50 L'altezza di drenaggio in prova edometrica è: (H dr ) lab = H 0 /2 = 10 mm a) nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati, l'altezza di drenaggio in sito è: (H dr ) sito = S/2 = 6m t 50,sito = t 50 (H dr ) 2 sito / (H dr ) 2 lab = 3.60E+06 min = 6.849 anni t 90,sito = 4,30 t 50,sito = 1.55E+07 min = 29.48 anni b) nell'ipotesi di drenaggio da un solo lato, l'altezza di drenaggio in sito è: (H dr ) sito = S = 12 m t 50,sito = t 50 (H dr ) 2 sito / (H dr ) 2 lab = 1.44E+07 min = 27.40 anni t 90,sito = 4,30 t 50,sito = 6.20E+07 min = 117.93 anni Esercizio 20 Si considerino le condizioni stratigrafiche e geotecniche di figura. Si assuma γ w = 10 kn/m 3. L'argilla è satura e normalmente consolidata. a) Calcolare le tensioni verticali efficaci nei punti A, B e C prima dell'inizio dei lavori. b) Rappresentare su un grafico edometrico (σ' (log) - e) il punto (O) che indica lo stato del terreno in B e le linee di compressione vergine e di scarico-ricarico supposte coincidenti. c) Allo scopo di costruire un edificio di N piani si realizza uno scavo di profondità d. La falda è abbattuta simultaneamente nei due strati di sabbia a 1 m sotto il fondo dello scavo mediante un pozzo che attraversa i due strati. c1. calcolare il rigonfiamento dell'argilla nell'ipotesi che vi sia il tempo necessario alla completa deconsolidazione, (eseguire il calcolo con riferimento al punto B senza dividere in sottostrati); c2. rappresentare nel grafico edometrico il punto (1) che indica lo stato del terreno in B dopo l'esecuzione dello scavo; c3. calcolare il tempo necessario per avere la completa deconsolidazione, nell'ipotesi che ciò corrisponda a Tv = 1. d) Ogni piano da costruire corrisponda ad un incremento p di pressione verticale sul terreno. L'edificio sia interamente costruito senza fare variare il livello di falda. Determinare il cedimento a fine consolidazione dell'edificio nell'ipotesi che non vari il livello di falda. Rappresentare sul grafico edometrico il punto (2) che indica lo stato del terreno in B a cedimento avvenuto. e) A cedimento avvenuto la falda è fatta risalire al suo livello naturale. Calcolare il rigonfiamento dell'argilla e rappresentare sul grafico edometrico il punto (3) che indica lo stato del terreno in B. f) Invece di costruire interamente l'edificio senza modificare il livello di falda, essa viene fatta risalire di 1 m dopo la costruzione del primo piano. Calcolare il cedimento finale dell'edificio a consolidazione avvenuta e rappresentare sul grafico edometrico il punto (4) che indica lo stato del terreno in B. g) Confrontare i due metodi di costruzione, dire quale dei due è preferibile e perché, e se gli stati (3) e (4) corrispondono a terreno normalmente consolidato o sovraconsolidato.

a sabbia d piano campagna piano di scavo A a (m) = 7 b (m) = 4 c (m) = 6 d (m) = 5 N = 12 p (kpa) = 10 sabbia: γ (kn/m 3 ) = 20 b argilla B C argilla: γ (kn/m 3 ) = 18 γ s (kn/m 3 ) = 27 C c = 0.2 C s = 0.04 c sabbia c v (m 2 /s) = 1.00E-06 Dati: a (m) = 7 sabbia: b (m) = 4 γ (kn/m 3 ) = 20 c (m) = 6 d (m) = 5 argilla: N = 12 γ (kn/m 3 ) = 18 p (kpa) = 10 γ s (kn/m 3 ) = 27 C c = 0.2 γ w (kn/m 3 ) = 10 C s = 0.04 c v (m 2 /s) = 1.00E-06 soluzione: a) tabella per grafico σ' v (A) = 70 kpa σ' v e σ' v (B) = 86 kpa 21.5 1.149 scarico - ricarico σ' v (C) = 102 kpa 46 1.136 B1 56 1.132 B2' b) 86 1.125 B0 σ' v (BO) = 86 kpa 106 1.107 B4 e 0 = 1.125 166 1.068 B2 106 1.076 B3 166 1.068 B2 344 1.005 compressione vergine

c) σ v (B1) = 76 kpa u (B1) = 30 kpa σ' v (B1) = 46 kpa h o (0-1) = -2.05 cm e (0-1) = 0.011 e(b1) = 1.136 t = 4.00E+06 sec. t = 46.3 gg. d) σ v (B2) = 196 kpa u (B2) = 30 kpa σ' v (B2) = 166 kpa h o (1-2) = 12.80 cm e (1-2) = -0.068 e(b2) = 1.068 e 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 1 2 0 4 3 2 10 100 1000 σ'v (kpa) e) σ v (B3) = 196 kpa u (B3) = 90 kpa σ' v (B3) = 106 kpa σ' v (2-3) = -60 kpa h o (2-3) = -1.47 cm e (2-3) = 0.008 e(b3) = 1.076 f) dopo la costruzione del primo piano prima di fare risalire la falda: σ v (B2') = 86 kpa u (B2') = 30 kpa σ' v (B2') = 56 kpa h o (1-2') = 0.64 cm e (1-2') = -0.003 e(b2') = 1.132 a edificio costruito e consolidazione avvenuta: σ v (B4) = 196 kpa u (B4) = 90 kpa σ' v (B4) = 106 kpa h o (2'-4) = 4.82 cm e (2'-4) = -0.026 e(b4) = 1.107 g) con il primo metodo (percorso 1-2-3) il cedimento dell'edificio risulta di cm 11.33 e il terreno di fondazione nello stato finale è sovraconsolidato con il secondo metodo (percorso 1-2'-4) il cedimento dell'edificio risulta di cm 5.46

e il terreno di fondazione nello stato finale è normalmente consolidato E' preferibile il secondo metodo. Esercizio 21 Sul terreno naturale è messo in opera uno strato di riporto di terreno costipato di grande estensione. A consolidazione terminata, sul terreno di riporto è costruito un serbatoio circolare per acqua. In figura è rappresentato lo schema stratigrafico e geotecnico di progetto. Determinare il cedimento di consolidazione dovuto al peso dello strato di riporto e al peso del serbatoio pieno in corrispondenza del centro dell'area circolare caricata. Dati: Strato di riporto costipato: Serbatoio: (pareti e fondo di spessore trascurabile) H R = 3m H = 10m C r / (1+ e 0 ) = 0.002 D = 20 m (diametro) γ R = 19.2 kn/m 3 W = 2900 kn (peso serbatoio vuoto) H w = 9.5 m Sabbia limosa N.C.: γ w = 9.81 kn/m 3 H 1 = 3.5 m C c / (1+ e 0 ) = 0.008 sopra falda: H 1A = 1.5 m γ 1A = 18.5 kn/m 3 sotto falda: H 1B = 2m γ 1B = 19.5 kn/m 3 Argilla N.C. H 2 = 10 m C c / (1+ e 0 ) = 0.19 γ 2 = 16.5 kn/m 3 D Hw H Riporto costipato H R Sabbia limosa N.C. H 1A H 1B H 1 Argilla N.C. H 2 Sabbia densa e ghiaia

1) Cedimento dovuto al peso dello strato di riporto. Carico infinitamente esteso e uniformemente distribuito di intensità: q R = γ R H R = 57.6 kpa si divide: lo strato di sabbia limosa sopra falda in due sottostrati di eguale spessore H 1A / 2, lo strato di sabbia limosa sotto falda in due sottostrati di eguale spessore H 1B / 2, lo strato di argilla in cinque sottostrati di eguale spessore H 2 / 5. strato H i (m) z mi (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ v = q R C c /(1+ e 0 ) H i (cm) 1A 0.75 0.375 6.94 0.00 6.94 57.6 0.008 0.58 1A 0.75 1.125 20.81 0.00 20.81 57.6 0.008 0.35 1B 1 2 37.50 4.91 32.60 57.6 0.008 0.35 1B 1 3 57.00 14.72 42.29 57.6 0.008 0.30 2 2 4.5 83.25 29.43 53.82 57.6 0.19 12.01 2 2 6.5 116.25 49.05 67.20 57.6 0.19 10.22 2 2 8.5 149.25 68.67 80.58 57.6 0.19 8.90 2 2 10.5 182.25 88.29 93.96 57.6 0.19 7.89 2 2 12.5 215.25 107.91 107.34 57.6 0.19 7.09 cedimento dovuto al peso dello strato di riporto s (cm) = 47.68 2) Cedimento dovuto al peso del serbatoio pieno Raggio: R = 10 m Area di impronta: A = 314.16 m 2 Peso del serbatoio: W = 2900 kn Peso dell'acqua: W w = 29278 kn Pressione media: q = 102.42599 kpa Per il calcolo dei cedimenti di consolidazione divido lo strato di riporto in due sottostrati di eguale spessore, e gli strati 1 e 2 come per il calcolo del cedimento dovuto al peso del riporto. strato H i (m) z mi (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ v (kpa) C c /(1+ e 0 ) H i (cm) Riporto 1.5 0.75 14.40 0.00 14.40 102.38 0.002 0.27 Riporto 1.5 2.25 43.20 0.00 43.20 101.34 0.002 0.16 1A 0.75 3.375 64.54 0.00 64.54 99.08 0.008 0.24 1A 0.75 4.125 78.41 0.00 78.41 96.75 0.008 0.21 1B 1 5 93.10 4.91 88.20 93.26 0.008 0.25 1B 1 6 112.60 14.72 97.89 88.48 0.008 0.22 2 2 7.5 140.85 29.43 111.42 80.30 0.19 8.96 2 2 9.5 173.85 49.05 124.80 68.96 0.19 7.26 2 2 11.5 206.85 68.67 138.18 58.41 0.19 5.82 2 2 13.5 239.85 88.29 151.56 49.28 0.19 4.65 2 2 15.5 272.85 107.91 164.94 41.65 0.19 3.72 cedimento dovuto al peso del serbatoio pieno s (cm) = 31.75 Esercizio 22 Un plinto a base quadrata di lato B trasmette al terreno di fondazione un carico verticale centrato di risultante P. Si faccia l'ipotesi di diffusione della tensione verticale media con pendenza 2:1. Il plinto è posto su uno strato di argilla limosa satura normalmente consolidata di spessore H, sovrastante uno strato di sabbia e ghiaia molto rigido e di grande spessore. Il livello della falda è alla quota del piano di fondazione. Al di sopra del piano di fondazione è messo in opera un riporto di spessore H R e peso di volume γ R. Stimare: 1) il cedimento edometrico,

2) il tempo occorrente per la metà della consolidazione. Dati: plinto: strato di argilla limosa: B (m) = 1.5 H (m) = 2.4 P (kn) = 250 γ (kn/m 3 ) = 18.3 w (%) = 35 riporto: w L (%) = 40 H R (m) = 1.2 I P (%) = 15 γ R (kn/m 3 ) 21.2 C c = 0.32 C s = 0.02 c v (cm 2 /s) = 3.50E-03 - indice dei vuoti dell'argilla limosa in sito: e = w γ / [γ w - w (γ - γ w )] = 0.937 - pressione litostatica verticale a metà dello strato di argilla limosa: p = γ H/2 = 21.96 kpa totale p' = γ' H/2 = 10.19 kpa efficace - incremento di pressione uniforme dovuto al riporto: p R = γ R H R = 25.44 kpa - incremento addizionale di pressione sotto il plinto a quota fondazione: p P = P/B 2 - p R = 85.67 kpa - incremento di pressione verticale a metà dello strato di argilla limosa: p = p R + p P B 2 /(B+H/2) 2 = 51.88 kpa - cedimento edometrico atteso: s = [H / (1+ e)] C c log[(p' + p) / p'] = 31.1 cm - tempo occorrente per metà consolidazione (U m = 50%, Tv = 0.197) t = (T v / c v ) (H / 2) 2 = 810514 s = 9.4 giorni Esercizio 23 Nella tabella sottostante sono riportate le misure eseguite al termine della consolidazione durante una prova di compressione edometrica su un provino di argilla. punto n. 1 2 3 4 5 6 7 σ' v (kpa) 50 100 150 200 250 200 150 h (mm) 20.23 19.89 19.70 19.35 19.07 19.18 19.32 L'altezza iniziale del provino era: h 0 (mm) = 20 La massa specifica relativa dei grani è: G s = ρ s / ρ w = 2.75 I dati per il calcolo del contenuto in acqua al termine della prova sono: massa del contenitore vuoto: m c = 4.97 g massa del contenitore + provino umi m c + m = 23.85 g massa del contenitore + provino sec m c + m s = 20.52 g Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei vuoti a fine prova, assumendo che il provino sia saturo. Si faccia riferimento alla teoria dello stato critico e al modello Cam clay. Disegnare il grafico volume specifico v - logaritmo naturale della pressione verticale efficace σ' v Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometrica vergine e di scarico-ricarico. massa del provino umido a fine prova: m = 18.88 g massa del provino secco a fine prova: m s = 15.55 g massa dell'acqua nel provino a fine prova: m w = m - m s = 3.33 g

contenuto in acqua a fine prova: w = 100 m w / m s = 21.415 % indice dei vuoti a fine prova: e fin = V w / V s = (w/100) G s = 0.589 volume specifico a fine prova: v fin = 1 + e fin = 1.589 indice dei vuoti a inizio prova: e 0 = (e fin + 1) h 0 /h fin - 1 = 0.645 volume specifico a inizio prova: v 0 = 1 + e 0 = 1.645 In generale: v = (v 0 /h 0 ) h v 0 /h 0 = 0.0822 punto n. 1 2 3 4 5 6 7 v 1.664 1.636 1.620 1.591 1.568 1.577 1.589 ln(σ' v ) 3.912 4.605 5.011 5.298 5.521 5.298 5.011 1.68 1.68 1.66 1.66 1.64 1.64 v 1.62 v 1.62 1.6 1.6 1.58 1.58 1.56 3.5 4 4.5 5 5.5 6 ln (σ' v ) 1.56 10 100 1000 σ' v (kpa) linea di ricarico (tra i punti 1 e 2) x y 1 3.912 1.664 pendenza κ = -0.0403 2 4.605 1.636 intercetta v κ = 1.822 linea di carico vergine (tra i punti 4 e 5) x y 4 5.298 1.591 pendenza λ = -0.1032 5 5.521 1.568 intercetta N = 2.138 linea di scarico (tra i punti 6 e 7) x y 1 5.298 1.577 pendenza κ = -0.0400 2 5.011 1.589 intercetta v κ = 1.789 ascissa del punto di intersezione tra le linee di ricarico e di carico vergine: ln (σ' vc ) = 5.037 pressione di consolidazione σ' vc = 154 kpa Esercizio 24 Due serbatoi cilindrici eguali trasmettono al terreno una pressione verticale uniforme. Le condizioni geometrichee geotecniche sono indicate in figura. 1) Stimare i cedimenti di consolidazione edometrica dei punti A, B, C e D, situati in superficie, sulla retta congiungente i centri dei due serbatoi, nelle posizioni indicate in figura. 2) Stimare i cedimenti dopo il tempo t dall'applicazione del carico nell'ipotesi che vi siano sottili e continui strati drenanti di sabbia alle profondità: 0.3R, 0.5R, 0.7R, R, 1.5R, 2R, 2.5R, 3R, 5R, 7R