LE PROPORZIONI Stefania Sciuto
PROPORZIONE = UGUAGLIANZA TRA DUE RAPPORTI 3 5 6 10
3 5 6 10 3 : 5 = 6 : 10 3 sta a 5 come 6 sta a 10
TERMINI DELLE PROPORZIONI CONSEGUENTI 3 : 5 = 6 : 10 ANTECEDENTI
TERMINI DELLE PROPORZIONI MEDI 3 : 5 = 6 : 10 ESTREMI
PROPRIETA DELLE PROPORZIONI
PROPRIETA FONDAMENTALE IL PRODOTTO DEI MEDI E UGUALE AL PRODOTTO DEGLI ESTREMI 3 : 5 = 6 : 10 5 x 6 = 3 x 10 30 = 30
TUTTE LE PROPORZIONI POSSIEDONO LA PROPRIETA' FONDAMENTALE SE IL PRODOTTO DEI MEDI NON E' UGUALE AL PRODOTTO DEGLI ESTREMI NON ESISTE LA PROPORZIONE
Proprietà dell invertire Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione 3 : 5 = 6 : 10 5 : 3 = 10 : 6
Proprietà del permutare Scambiando tra loro i medi oppure fra loro gli estremi la proporzione resta valida 3 : 5 = 6 : 10 3 : 6 = 5 : 10 10 : 5 = 6 : 3 10 : 6 = 5 : 3
SE UNO DEI TERMINI DELLE PROPORZIONI E' INCOGNITO?
Ad esempio non conosco il valore di un estremo
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LE PERCENTUALI Su un totale di elementi la percentuale indica quante unità, rispetto a 100, soddisfano una certa condizione. In pratica sono FRAZIONI che hanno denominatore uguale a 100. In genere vengono scritte utilizzando il simbolo di percentuale % 25 100 25%
Ad esempio
Ad esempio 6 alunni della 2 E (composta da 24 alunni) hanno preso 10 prova INVALSI La frazione che rappresenta questo dato è la seguente: Se voglio conoscere la percentuale corrispondente devo calcolare quante unità, rispetto a 100, soddisfano questa condizione: 6 24 6 24? 100 In questo caso è facile trovare il valore incognito: 6 24 25 100 25%
Le percentuali sono utilizzate in tantissimo campi e, soprattutto sono utili quando si devono confrontare dei valori Ad esempio Riprendendo l esempio precedente, vogliamo confrontare i risultati della prova INVALSI di 3 classi (prendiamo in considerazione gli alunni che hanno preso 10) In 2E: 6 alunni In 2A : 7 alunni In 2B: 8 alunni Dal dato assoluto potremmo indicare la 2 B come classe col maggiore successo formativo vediamo cosa accade se prendiamo in considerazione il dato relativo:
Per poter fare un confronto devo tener conto del totale degli alunni per classe, quindi: Alunni con voto 10 in 2E: 6/24 Alunni con voto 10 in 2A: 7/35 Alunni con voto 10 in 2B: 8/32 Calcoliamo la percentuale 6 24 25 25% % 100 7 35 8 32 32 100 20 20 % 100 25 Vediamo subito che la percentuale di alunni con voto 10 in 2E e in 2B è la stessa
Se abbiamo capito che: 6 24 cioè che siamo di fronte a 2 rapporti uguali, possiamo scrivere questa uguaglianza sotto forma di proporzione: 6 : 24 = 25 : 100 (possiamo applicare la proprietà fondamentale per assicurarci che si tratti una proporzione 6x100=24x25) Generalizzando, possiamo scrivere: 25 100 Dove N : T = P : 100 N è la quantità corrispondente alla percentuale T è il totale P è la percentuale
Problemicon le percentuali a) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità Esempio: Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? Proporzione risolutiva 45 : 150 = x : 100 x 45 100 150 30%
b) Calcolare la quantità corrispondente alla percentuale conoscendo il totale e la percentuale. Esempio: Calcolare il 15% di 1200 euro. Proporzione risolutiva x: 1200 = 15 : 100 x 15 1200 100 180 euro
c) Calcolare il totale conoscendo la quantità corrispondente alla percentuale e la percentuale. Esempio: Gli studenti dell IC BOSSI che prendono l autobus sono 40 e corrispondono al 5% del totale degli alunni. Quanti sono gli alunni della scuola? Proporzione risolutiva 40: x = 5 : 100 x 40 100 5 800
PROPORZIONALITA
Proporzionalità diretta Per fare una torta per 5 persone servono 250 grammi di zucchero, quanto zucchero è necessario per fare una torta per 8 persone? Si tratta di un problema diretto perché se AUMENTANO le persone deve AUMENTARE la quantità di zucchero Per facilitare l impostazione della proporzione si inseriscono i dati, in ordine, in una tabella Le frecce hanno lo stesso verso perché al CRESCERE di un dato CRESCE anche l altro. Quando imposto la proporzione seguo il verso delle frecce zucchero nr di persone 250 5 x 8 250: x = 5 : 8 250 8 x 400 gr 5
Proporzionalità inversa Per erigere un muretto 2 muratori impiegano 6 giorni, quanto tempo impiegheranno 4 muratori? Si tratta di un problema inverso perché se AUMENTANO i muratori deve DIMINUISCE il tempo impiegato per svolgere il lavoro Per facilitare l impostazione della proporzione si inseriscono i dati, in ordine, in una tabella Le frecce non hanno lo stesso verso perché al CRESCERE di un dato l altro DECRESCE Quando imposto la proporzione seguo il verso delle frecce nr di muratori giorni 2 6 4 x 2: 4 = x : 6 x 2 6 4 3 giorni
Proprietà del comporre 3 : 5 = 6 : 10 (3 + 5) : 3 = (6 + 10) : 6 (3 + 5) : 5 = (6 + 10) : 10
applicazioni x : y = 5 : 2 TROVA LE DUE INCONGNITE SAPENDO CHE x + y = 14 - applico la proprietà del comporre (x + y) : x = (5 + 2) : 5 - ottengo una proporzione con una sola incognita 14 : x = 7 : 5 - risolvo x 14 5 7 10 y = 14 10 = 4
problemi Esempio: Il rapporto tra le dimensioni di un rettangolo è 3 : 5 e la loro somma è 80 cm. Quanto misurano le due dimensioni? D A C B dati: AB + BC = 80 cm AB : BC = 3 : 5 AB =? BC =? Poiché ho la somma AB+BC, applico la proprietà del comporre: AB : BC = 3 : 5 (AB+BC):AB = (3+5):3 80: AB = 8:3 80 3 AB 30cm 8 Se AB = 30 cm BC = 80 30 = 50 cm
Proprietà dello scomporre 8 : 4 = 14 : 7 (8-4) : 8 = (14-7) : 14 (8-4) : 4 = (14-7) : 7
applicazioni x : y = 11 : 9 TROVA LE DUE INCONGNITE SAPENDO CHE x - y = 8 - applico la proprietà dello scomporre (x - y) : x = (11-9) : 11 - ottengo una proporzione con una sola incognita 8 : x = 2 : 11 - risolvo x 8 11 2 44 y = 44 8 = 36
problemi Esempio: Le diagonali di un rombo sono una i 28 cm. Quanto è lunga ogni diagonale? D C A B 7 3 dell altra e la loro differenza è dati: AC - BD = 28cm AC : BD = 7 : 3 AC =? BD =? Poiché ho la DIFFERENZA AC - BD, applico la proprietà dello scomporre: AC : BD = 7 : 3 (AC-BD):AC = (7-3):7 28 : AC = 4 :7 28 7 AC 49cm 4 Se AC = 49cm BD = 49 28 = 21 cm