Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 1 omade di teoria 1. Vedi pp. 97-301. Vedi pp. 301-30 3. Vedi p. 30. Vedi pp. 30-307 5. Vedi p. 309 6. Vedi p. 309-31 7. Vedi p. 31 8. Vedi pp. 315-316 Esercizi Esercizio 1 Il disego di ricerca di questo studio è di tipo prima-dopo. Abbiamo delle iformazioi sulla preseza o meo del ciclo mestruale al mometo del ricovero (prima) e dopo due mesi di trattameto (dopo). Per rispodere alla domada di ricerca occorre quidi utilizzare il test statistico che ci permette di cofrotare due proporzioi dipedeti. Puto (a) Obiettivo: verificare che il trattameto favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale Variabili Variabile 1: Trattameto (omiale, dicotomica: Prima, opo) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Preseza ciclo mestruale (omiale, dicotomica: Sì, No) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Ipotesi: H 0 : Π Sì-opo = Π Sì-Prima la popolazioe di pazieti che hao acora ricevuto il trattameto preseta ua proporzioe di pazieti co ciclo mestruale uguale a quella delle pazieti che o hao ricevuto il trattameto il trattameto o favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale H 1 : Π Sì-opo > Π Sì-Prima la popolazioe di pazieti che hao acora ricevuto il trattameto preseta ua proporzioe di pazieti co ciclo mestruale maggiore di quella delle pazieti che o hao ricevuto il trattameto il trattameto favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale I questo caso si fa riferimeto alla distribuzioe di probabilità z. Per α =,05 e ipotesi alterativa moodirezioale il valore di z critico è 1,65, per cui la regola di decisioe sarà: se z calcolato > z critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se z calcolato < z critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 I base ai dati a disposizioe ricostruiamo la tavola di cotigeza ecessaria per idividuare i valori utili per le aalisi (i eretto i dati ricavati per differeza da quelli dispoibili): Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 3 Prima del trattameto opo il trattameto Asseza Preseza ciclo ciclo Totale Asseza Ciclo 6 ( 11 ) ( 1 ) 50 Preseza Ciclo ( 1 ) 3 ( ) 36 Totale 10 76 86 La formula da applicare i questo caso è: z = 1 1 1 1 = = + + 5,77 Coclusioe: poiché z calcolato > z critico (5,77 > 1,65), è troppo improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la rifiutiamo. Questi risultati suggeriscoo che molto probabilmete il trattameto ha favorito la ricomparsa del ciclo mestruale imesioe dell effetto Per calcolare la dimesioe dell effetto calcoliamo la proporzioe di idividui che si trova ella cella 1 rispetto al totale 1 + 1, quidi /8 =,9, poi calcoliamo la dimesioe dell'effetto g = P,50, da cui,9,50 =,, che i base liee guida della Tavola 10 i Appedice risulta essere u effetto grade. Rappresetazioe grafica Possiamo scegliere se rappresetare le due proporzioi co i rispettivi itervalli di fiducia oppure se rappresetare l itervallo di fiducia della differeza fra le due proporzioi dipedeti (che a livello empirico è risultata,58,1 =,6). I questo caso è preferibile utilizzare la secoda possibilità, per cui l estesioe dell itervallo di fiducia 1 sarà (il valore di z è quello per u itervallo di fiducia al 95%): z ( ) ( ) 1 1 1 1 ( 1 1 ) 1,96 ( ) =,1 + = + 86 86 1 1 alla formula ( P P ) m z ( + ) Si-opo Si-Prima 1 1 ( ) 1 Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia 1
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 iffereza proporzioi ameorroiche prima-dopo 1,00,75,50,5,00 Si oti come l itervallo di fiducia della differeza fra le proporzioi o cotega lo zero, coeretemete co la sigificatività del test di ipotesi. Puto (b) Il caso è assolutamete aalogo a quello del puto (a), co la differeza che abbiamo meo soggetti. Questo ci costrigerà ad utilizzare ua procedura statistica diversa per sottoporre a verifica le stesse ipotesi del puto (a) Obiettivo: verificare che il trattameto favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale Variabili Variabile 1: Trattameto (omiale, dicotomica: Prima, opo) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Preseza ciclo mestruale (omiale, dicotomica: Sì, No) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Ipotesi: H 0 : Π Sì-opo = Π Sì-Prima la popolazioe di pazieti che hao acora ricevuto il trattameto preseta ua proporzioe di pazieti co ciclo mestruale uguale a quella delle pazieti che o hao ricevuto il trattameto il trattameto o favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale H 1 : Π Sì-opo > Π Sì-Prima la popolazioe di pazieti che hao acora ricevuto il trattameto preseta ua proporzioe di pazieti co ciclo mestruale maggiore di quella delle pazieti che o hao ricevuto il trattameto il trattameto favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale I questo caso 1 + 1 10 (vedi oltre la tabella co i dati), per cui o si può fare riferimeto alla distribuzioe di probabilità z. Occorrerà ivece riferirsi alla distribuzioe biomiale, per le ipotesi che effettivamete vegoo sottoposta a verifica soo: H 0 : Π( No-Prima Si-opo) = Π( Si-Prima No-opo ) =,50 ella popolazioe di pazieti la probabilità di avere il ciclo prima del trattameto e di riacquistarlo grazie al trattameto è uguale alla probabilità di avere il ciclo prima del trattameto e di perderlo a seguito del trattameto il trattameto o favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale H 1 : Π( No-Prima Si-opo) > Π( Si-Prima No-opo ) =,50 ella popolazioe di pazieti la probabilità di avere il ciclo prima del trattameto e di riacquistarlo grazie al trattameto è maggiore della probabilità di avere il ciclo prima del trattameto e di perderlo a seguito del trattameto il trattameto favorisce la ricomparsa del ciclo mestruale Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 5 La regola di decisioe sarà: se p < α è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se p > α o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo I base ai dati a disposizioe ricostruiamo la tavola di cotigeza ecessaria per idividuare i valori utili per le aalisi (i eretto i dati ricavati per differeza da quelli dispoibili): Prima del trattameto opo il trattameto Asseza Preseza ciclo ciclo Totale Asseza Ciclo ( 11 ) 8 ( 1 ) 10 Preseza Ciclo 1 ( 1 ) 10 ( ) 11 Totale 3 18 1 Poiché lavoriamo su 1 e 1, è come se ci trovassimo ella situazioe di verificare, per u ipotesi ulla Π =,50, se 8 successi su 9 prove (o, alterativamete, 1 successo su 9 prove) rappreseta u risultato coerete co l ipotesi ulla oppure o. I base al test della biomiale, dobbiamo calcolare le probabilità associate a questo eveto e a tutti quelli più estremi (i questo caso, l uico eveto più estremo è 9 successi su 9 prove o 0 successi su 9 prove) e sommarle. Il risultato verrà poi cofrotato co α. Applichiamo quidi la seguete formula: p ) i= k i i i ( S k) = Π (1 Π, ossia ( S 8) = 9 i i p,50 (1,50), dove S = umero di successi (pazieti ameorroiche prima del trattameto che presetao il ciclo mestruale dopo il trattameto) obbiamo quidi calcolare p(8) + p(9): 9 8 8 9 9! p(8) =,50 (1,50) =,003906,50 =, 017578 8 8!(9 8)! 9 9 9 9 9! p(9) =,50 (1,50) =,001953 1 =, 001953 9 9!(9 9)! La somma dei due valori è,019531. Coclusioe: poiché p < α (,019531 <,05), è troppo improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la rifiutiamo. Questi risultati suggeriscoo che molto probabilmete il trattameto ha favorito la ricomparsa del ciclo mestruale i= 8 9 i Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 6 imesioe dell effetto Per calcolare la dimesioe dell effetto calcoliamo la proporzioe di idividui che si trova ella cella 1 rispetto al totale 1 + 1, quidi 8/9 =,89, poi calcoliamo la dimesioe dell'effetto g = P,50, da cui,89,50 =,39, che i base liee guida della Tavola 10 i Appedice risulta essere u effetto grade. Rappresetazioe grafica Ache i questo caso rappresetiamo graficamete l itervallo di fiducia della differeza fra le proporzioi dipedeti (che a livello empirico è risultata,8,1 =,3). L estesioe dell itervallo di fiducia dovrebbe essere calcolata i base alla distribuzioe t (co gradi di libertà 1), dato che la umerosità campioaria è iferiore a 30, per cui il valore di t da utilizzare è quello per α =,05, ipotesi alterativa bidirezioale e gradi di libertà 1 1 = 0, che è,086. t α, ν 1 ( + ) 1 1 ( ) 1 1 =,086 1 1 ( 1+ 8) ( 1 8) 1 =,6 iffereza proporzioi ameorroiche prima-dopo 1,00,75,50,5,00 Si oti come ache i questo caso l itervallo di fiducia della differeza fra le proporzioi o cotega lo zero, coeretemete co la sigificatività del test di ipotesi. Esercizio Il disego di ricerca è per misure ripetute, per cui abbiamo bisogo di u test per campioi dipedeti. La valutazioe operata dagli esperti è u dato misurato su scala ordiale, per cui per valutare se il corso ha migliorato le capacità degli educatori di valutare il comportameto dei loro assistiti occorre il test di Wilcoxo. I u caso come questo (limitata ampiezza della scala di valutazioe, pochi soggetti) l impiego di u test parametrico (ad esempio, test t per campioi dipedeti) è scosigliabile, per quato o completamete errato. A dire la verità, la procedura migliore di aalisi i questo caso è l utilizzo di u test esatto, come è possibile fare co SPSS. Si veda Strumeti Iformatici 11.. Per realizzare il test esatto, ella fiestra Two-Related-Samples Test clickare su Exact e scegliere l opzioe Exact. Il risultato sarà ua probabilità da cofrotare co il livello di sigificatività α, aalogamete al caso del test della biomiale), che i questo caso è,09 per il test a ua coda (ipotesi alterativa moodirezioale),,188 per il test a due code (ipotesi alterativa bidirezioale) e,063 per la probabilità putiforme. Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 7 Obiettivo: verificare se il corso di formazioe ha migliorato la capacità degli educatori di idividuare i comportameti sociali adeguati e o adeguati di bambii co ritardo metale Variabili Variabile 1: Corso (omiale, dicotomica: Prima, opo) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Capacità di idividuare comportameti adeguati (valutazioe da parte di giudici; ordiale) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Ipotesi H 0 : Mε opo = Mε Prima la valutazioe mediaa ricevuta dalla popolazioe di educatori rimae ivariata prima e dopo il corso il corso o migliora la capacità degli educatori di idividuare comportameto adeguati e o e bambii co ritardo metale H 1 : Mε opo > Mε Prima la valutazioe mediaa ricevuta dalla popolazioe di educatori aumeta dopo il corso il corso migliora la capacità degli educatori di idividuare comportameto adeguati e o e bambii co ritardo metale La regola di decisioe sarà legata al calcolare il miore dei due T e cofrotarlo co quello critico sulle tavole di T per corretto 3 = 5, che per α =,05 e ipotesi alterativa moodirezioale (ua coda) è 0. se T calcolato T critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se T calcolato > T critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo Per applicare il test di Wilcoxo dobbiamo calcolare le differeze opo Prima, privarle del sego, assegare il rago alle differeze igorado i puteggi ivariati e calcolare la somma dei raghi positivi e dei raghi egativi Prima opo iffereza Prima opo iffereza Rago iffereza Sego iffereza 1 1 1 1,5 + 3,5 + 3 6 3 3 5 + 0 0. 1-1 1 1,5 1 3 3,5 + T+ = 1,5 + 3,5 + 5 + 3,5 = 13,5 T = 1,5 = 1,5 Il miore fra i due T è T (1,5), che verrà quidi utilizzato per il test di ipotesi. 3 corretto è il umero di soggetti che effettivamete hao mostrato ua modifica rispetto ai due livelli della variabile idipedete. I questo caso, u soggetto o ha mostrato variazioi (il quarto soggetto ha ricevuto il puteggio sia prima che dopo il corso), per cui corretto = 5. Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 8 Coclusioe: poiché T calcolato > T critico (1,5 > 0), o è così improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la accettiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete la valutazioe mediaa della popolazioe di educatori rimae ivariata prima e dopo il corso, per cui il corso o sembra migliorare la capacità degli educatori di idividuare comportameto adeguati e o e bambii co ritardo metale imesioe dell'effetto Per calcolare la dimesioe dell'effetto utilizziamo la formula: T+ mi( T+, T ) r = ( + 1) + T 13,5 + 1,5 1,5 = 6(6 + 1) = 0,57 che i base alle liee guida della Tavola 10 i Appedice risulta essere u effetto grade. Il fatto di o aver respito l'ipotesi ulla, quidi, sembra attribuibile ad u problema di macaza di poteza statistica dovuto alla bassa ampiezza campioaria. Rappresetazioe grafica Per la rappresetazioe grafica utilizziamo u boxplot. Calcoliamo iazitutto i raghi dei valori ei due campioi di osservazioi: Rago 1 3 5 6 Prima 1 1 3 Rago 1 3 5 6 opo 1 3 6 Idividuiamo poi i cique umeri di sitesi ecessari: Q3 (posizioe = Mediaa (posizioe = Q1 (posizioe = Idice Prima opo Max 6 ( + 1) 3 ) +1 ) ( + 1) 1 ) Posizioe = (6 + 1) 3 = 5,5 6, valore = Posizioe = 6 + 1 = 3,5, valore = (6 + 1) 1 Posizioe = = 1,5, valore = 1 Posizioe = (6 + 1) 3 = 5,5 6, valore = 6 Posizioe = 6 + 1 = 3,5, valore = (6 + 1) 1 Posizioe = = 1,5, valore = Mi 1 1 e realizziamo il grafico: Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 9 Esercizio 3 I questo caso la variabile i questioe, ossia il livello di soddisfazioe per l attività didattica, è ua variabile ordiale, e come tale verrà trattata ella soluzioe del puto (a) utilizzado il test di Wilcoxo. Nodimeo, il umero relativamete ampio di puti della scala Likert utilizzata per otteere i dati può ragioevolmete prestarsi ache ad u trattameto a livello metrico, da cui la domada al puto (b), la cui risposta cosisterà ell applicazioe del test t per campioi dipedeti. L ipotesi alterativa che formuleremo, dato che ella domada o c è ua direzioe attesa dell evetuale differeza, sarà di tipo bidirezioale. Puto (a) Obiettivo: verificare se la soddisfazioe per l attività didattica varia dal primo al secodo semestre Variabili Variabile 1: Semestre (omiale, dicotomica: Primo, Secodo) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Soddisfazioe per l attività didattica (valutazioe self-report su scala Likert a 10 puti; ordiale) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Ipotesi H 0 : Mε Primo = Mε Secodo la soddisfazioe mediaa dell attività didattica ella popolazioe di studeti rimae ivariata dal primo al secodo semestre o c è differeza di soddisfazioe fra i due semestri H 1 : Mε Primo Mε Secodo la soddisfazioe mediaa dell attività didattica ella popolazioe di studeti cambia dal primo al secodo semestre c è differeza di soddisfazioe fra i due semestri Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 10 La regola di decisioe sarà legata al calcolare il miore dei due T e cofrotarlo co quello critico sulle tavole di T per corretto = 17, che per α =,01 e ipotesi alterativa bidirezioale (due code) è 3. Nodimeo, è possibile utilizzare ache l'approssimazioe a z dato che l ampiezza campioaria è superiore a 16. I questo caso il valore di z critico per α =,01 e ipotesi alterativa bidirezioale è,58. se T calcolato T critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se T calcolato > T critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo oppure se z calcolato > z critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se z calcolato < z critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo Per applicare il test di Wilcoxo dobbiamo calcolare le differeze Secodo Primo, privarle del sego, assegare il rago alle differeze igorado i puteggi ivariati e calcolare la somma dei raghi positivi e dei raghi egativi: Primo Secodo iffereza Semestre semestre Primo Secodo iffereza Rago iffereza Sego iffereza 10 7-3 3 7-6 6 0 0. 10 1-9 9 17-0 0. 7 3 3 7 + 8 6 - - 5 1 1 1,5 + 8 7-1 1 1,5-3 1 - - 8 6 6 15,5 + 3 7 10 + 10 6-10 - 7-5 5 13-5 9 10 + 7-3 3 7-0 0. 6 1-5 5 13-0 0. 8 6 6 15,5 + 5 10 5 5 13 + 3 1 - - T+ = 7 + 1,5 + 15,5 + 10 + 10 + 15,5 + 13 = 7,5 T = 7 + 17 + + 1,5 + + 10 + 13 + 7 +13 + = 80,5 Il miore fra i due T è T+ (7,5), che verrà quidi utilizzato per il test di ipotesi. Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 11 Coclusioe: poiché T calcolato > T critico (7,5 > 3), o è così improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la accettiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete la soddisfazioe mediaa dell attività didattica ella popolazioe di studeti rimae ivariata dal primo al secodo semestre Utilizzado l approssimazioe a z avremmo ivece otteuto il seguete risultato: corretto ( corretto + 1) 17(17 + 1) T 7,5 z =, per cui z = = 0, 19 corretto ( corretto + 1)( corretto + 1) 17(17 + 1)( 17 + 1) Coclusioe: poiché z calcolato < z critico (0,19 <,58), o è così improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la accettiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete la soddisfazioe mediaa dell attività didattica ella popolazioe di studeti rimae ivariata dal primo al secodo semestre imesioe dell effetto Utilizzado la formula riportata el mauale avremo: r = mi( T +, T T ) ( + 1) + + T = 7,5 + 80,5 7,5 1(1 + 1) = 0,0 Per calcolare la dimesioe dell effetto utilizziamo il valore di z già calcolato (preso i valore assoluto): r = z corretto = 0,19 17 = 0,03 I base alle liee guida della Tavola 10 i Appedice possiamo iterpretare la dimesioe dell'effetto come trascurabile. Il fatto di o essere riusciti a respigere l ipotesi ulla, quidi, o sembra poter essere attribuibile ad u ampiezza campioaria troppo ristretta. Rappresetazioe grafica Per rappresetare graficamete i dati utilizziamo u boxplot. Calcoliamo iazitutto i raghi dei valori ei due campioi di osservazioi: Rago 1 3 5 6 7 8 9 10 11 1 13 1 15 16 17 18 19 0 1 Primo 3 3 3 5 5 6 6 7 7 8 8 10 10 10 Rago 1 3 5 6 7 8 9 10 11 1 13 1 15 16 17 18 19 0 1 Secodo 1 1 1 1 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 9 10 Idividuiamo i cique umeri di sitesi: Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 1 Q3 (posizioe = Mediaa (posizioe = Q1 (posizioe = Idice Primo Secodo Max 10 10 ( + 1) 3 ) +1 ) ( + 1) 1 ) Posizioe = (1+ 1) 3 = 16,5 17, valore = 8 Posizioe = 1+ 1 = 11, valore = 5 (1+ 1) 1 Posizioe = = 5,5 6, valore = 3 Posizioe = (1+ 1) 3 = 16,5 17, valore = 7 Posizioe = 1+ 1 = 11, valore = 6 (1+ 1) 1 Posizioe = = 5,5 6, valore = Mi 1 Puto (b) La situazioe è idetica al puto (a), ad eccezioe del fatto che la variabile dipedete è cosiderata su scala ad itervalli e che le ipotesi soo sulla media delle differeze e o sulle mediae. Questo comporta l impiego del test statistico t per campioi dipedeti Obiettivo: verificare se la soddisfazioe per l attività didattica varia dal primo al secodo semestre Variabili Variabile 1: Semestre (omiale, dicotomica: Primo, Secodo) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Soddisfazioe per l attività didattica (valutazioe self-report su scala Likert a 10 puti; itervalli) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 13 Ipotesi H 0 : µ = 0 ella popolazioe la media della differeze fra i valori di soddisfazioe fra il primo e il secodo semestre è uguale a zero o c è differeza di soddisfazioe fra i due semestri H 1 : µ 0 ella popolazioe la media della differeze fra i valori di soddisfazioe fra il primo e il secodo semestre è diversa zero c è differeza di soddisfazioe fra i due semestri I questo caso facciamo riferimeto alla distribuzioe t di Studet, per cui troveremo quel valore di t critico per α =,01, ipotesi alterativa bidirezioale e gradi di libertà 1 = 1 1 = 0, che è,85. La regola di decisioe quidi sarà: se t calcolato > t critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se t calcolato < t critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo I pratica abbiamo già a disposizioe, dalla tabella al puto (a), parte dei calcoli da eseguire (soo già state calcolate le differeze soggetto per soggetto). Abbiamo solo bisogo di aggiugere la coloa co i valori delle differeze elevati al quadrato che ci servirao per calcolare la deviazioe stadard delle differeze: Primo Secodo iffereza () Semestre semestre Primo Secodo 10 7-3 9 6 6 0 0 10 1-9 81 0 0 7 3 9 8 6-5 1 1 8 7-1 1 3 1-8 6 36 3 7 16 10 6-16 7-5 5 5 9 16 7-3 9 0 0 6 1-5 5 0 0 8 6 36 5 10 5 5 3 1 - Somma 7 317 7 Calcoliamo la media delle differeze: M = = = 0, 33 e la deviazioe stadard delle 1 differeze: 317 s ( 0,33 = M d = ) = 3, 87. 1 Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 1 A questo puto applichiamo il test t per campioi dipedeti: t = M s 1 = 0,33 3,87 1 1 = 0,38 Coclusioe: poiché t calcolato < t critico (0,38 <,85), o è così improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la accettiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete la soddisfazioe mediaa dell attività didattica ella popolazioe di studeti rimae ivariata dal primo al secodo semestre. imesioe dell effetto Per calcolare la dimesioe dell effetto utilizziamo la formula: d = s M 1 0,33 = 1 3,87 1 1 = 0,08 Preso i valore assoluto, i base alle idicazioi della Tavola 10 i Appedice questo valore è idicatore di ua dimesioe dell'effetto piccola. Rappresetazioe grafica Possiamo scegliere se rappresetare le medie di soddisfazioe del primo e del secodo semestre col relativo itervallo di fiducia, oppure se rappresetare la differeza media, sempre col suo itervallo di fiducia. Tipicamete i questi casi si opta per la prima rappresetazioe. Per cui calcoliamo media e deviazioe stadard delle due sommiistrazioi, e idividuiamo i rispettivi itervalli di fiducia. Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 15 Primo Semestre Secodo semestre x x x x 10 100 7 9 6 36 6 36 10 100 1 1 16 16 16 7 9 8 6 6 36 16 5 5 8 6 7 9 3 9 1 1 8 6 3 9 7 9 10 100 6 36 7 9 5 5 9 81 7 9 16 6 36 1 1 8 6 5 5 10 100 3 9 1 1 Somma 111 739 10 686 x 111 x M Pr imo = = = 5,9 ; 739 s (5,9 Pr imo = M = ) =, 69 1 1 10 = x x M Secodo = =,95 ; 686 s (,95 Secodo = M = ) =, 86. 1 1 L estesioe dell itervallo di fiducia per i due semestri è calcolabile co la formula: t s α, ν I questo caso α/ è uguale a,01/ =,005 e ν = 1 1 = 0, che di fatto è il t bidirezioale per α =,01, lo stesso che abbiamo utilizzato per il test di ipotesi (ossia,85). I due itervalli di fiducia avrao duque estesioe:,69,86 Primo:,85 = 1, 71; Secodo:,85 = 1, 8 ; 1 1 1 1 1 Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 16 Livello di soddisfazioe per l'attività didattica 10 9 8 7 6 5 3 1 0 Primo Secodo Semestre Si oti come i questo caso possa essere appropriato l uso di ua liea che collega le due medie, i quato si tratta di campioi di osservazioi dipedeti (i particolare, riferiti agli stessi soggetti i due diversi mometi). Esercizio La situazioe proposta i questo esercizio potrebbe trarre i igao i meo atteti, i quato i due campioi di osservazioi, relativi ad u campioe di maschi (mariti) e uo di femmie (mogli) sembrerebbero idipedeti. Nodimeo, ad u esame più atteto otiamo che soo coppie maritomoglie, per cui dobbiamo cosiderare i campioi di osservazioi come dipedeti, e quidi come campioi appaiati. I altri termii, o è la stessa cosa se appaiamo i dati della Moglie della coppia 1 co il Marito della coppia 3, ivece che co il Marito della coppia 1. Per rispodere ai vari quesiti dovremo quidi utilizzare i test statistici per campioi dipedeti. Puto (a) Obiettivo: verificare se esiste ua differeza di geere ella scala Fiducia Iterpersoale Variabili Variabile 1: Geere (omiale, dicotomica: Marito; Moglie) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Puteggio al test (itervalli) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Ipotesi H 0 : µ = 0 ella popolazioe la media della differeze fra i puteggi di Fiducia Iterpersoale fra mariti e mogli è uguale a zero o c è differeza di geere el puteggio al test H 1 : µ 0 ella popolazioe la media della differeze fra i puteggi di Fiducia Iterpersoale fra mariti e mogli è diversa da zero c è differeza di geere el puteggio al test I questo caso facciamo riferimeto alla distribuzioe t di Studet, per cui troveremo quel valore di t critico per α =,05, ipotesi alterativa bidirezioale e gradi di libertà 1 = 13 1 = 1, che è,18. La regola di decisioe quidi sarà: Per le iformazioi forite dal testo o abbiamo modo di stabilire ua direzioalità ella differeza Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 17 se t calcolato > t critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se t calcolato < t critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo Per calcolare media e deviazioe stadard delle differeze Moglie Marito, abbiamo bisogo di calcolarle ed elevarle al quadrato: Marito Moglie iffereza () Moglie Marito 8 7-1 1 3 5 6 6 0 0 3-1 1 3 1 1 7 8 1 1 6 6 0 0 8 8 0 0 5 5 0 0 8 8 0 0 0 0 6 5-1 1 Somma 3 13 3 Calcoliamo la media delle differeze: = M = = 0, 3 e la deviazioe stadard delle 13 differeze: 13 s 0,3 = M d = = 0, 97. A questo puto applichiamo il test t per 13 campioi dipedeti: t = M s 1 = 0,3 0,97 13 1 = 0,8 Coclusioe: poiché t calcolato < t critico (0,8 <,18), o è così improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la accettiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete o c è ua differeza di geere el puteggio di Fiducia Iterpersoale. imesioe dell effetto Per calcolare la dimesioe dell effetto utilizziamo la formula: d = s M 1 0,3 = 13 0,97 13 1 = 0,3 Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 18 Preso i valore assoluto, i base alle liee guida della Tavola 10 i Appedice questo valore è idicatore di ua dimesioe dell'effetto piccola. Rappresetazioe grafica Possiamo scegliere se rappresetare le medie di soddisfazioe del primo e del secodo semestre col relativo itervallo di fiducia, oppure se rappresetare la differeza media, sempre col suo itervallo di fiducia. Tipicamete i questi casi si opta per la prima rappresetazioe. Per cui calcoliamo media e deviazioe stadard delle due sommiistrazioi, e idividuiamo i rispettivi itervalli di fiducia: Marito Moglie x x x x 8 6 7 9 3 9 5 5 6 36 6 36 3 9 3 9 7 9 8 6 6 36 6 36 16 8 6 8 6 5 5 5 5 8 6 8 6 16 16 6 36 5 5 Somma 68 16 71 33 68 = x x M Marito = = 5,3 ; 16 s (5,3 Marito = M = ) =, 16 13 13 71 = x x M Moglie = = 5,6 ; 33 s (5,6 Moglie = M = ) = 1, 87. 13 13 L estesioe dell itervallo di fiducia per i due semestri è calcolabile co la formula: t s α, ν I questo caso α/ è uguale a,05/ =,05 e ν = 13 1 = 1, che di fatto è il t bidirezioale per α =,05, lo stesso che abbiamo utilizzato per il test di ipotesi (ossia,18). I due itervalli di fiducia avrao duque estesioe:,16 1,87 Marito:,18 = 1, 36 ; Moglie:,18 = 1, 18; 13 1 13 1 1 Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 19 Puteggio medio Fiducia Iterpersoale 10 9 8 7 6 5 3 1 0 Marito Moglie Geere I questo caso potremmo ache decidere di o utilizzare la liea che uisce le due medie (per quato appaiati, soo gruppi composti da idividui distiti), ma il mateerla aiuta a mettere i evideza il carattere di dipedeza fra i puteggi legato alla particolare situazioe di ricerca. Puto (b) I questo caso la soluzioe varia leggermete, poiché coosciamo la differeza media attesa a livello di popolazioe. Obiettivo: idagare se la media delle differeze el puteggio di Fiducia Iterpersoale fra maschi e femmie ella popolazioe da cui è stato estratto il campioe di soggetti i esame è la stessa ota a livello di popolazioe geerale, al etto dell'errore casuale di campioameto (che è +1 a favore delle femmie) I questo caso o vale la pea parlare di variabili idipedeti e dipedeti, i quato ci iteressa sapere se la media delle differeze campioaria è coerete co quella posta i ipotesi ulla Ipotesi H 0 : µ = +1 ella popolazioe dalla quale è stato tratto il campioe i esame la media delle differeze fra i puteggi di Fiducia Iterpersoale fra mogli e mariti è uguale a +1 la media delle differeze el puteggio di Fiducia Iterpersoale fra maschi e femmie ella popolazioe da cui è stato estratto il campioe di soggetti i esame è la stessa ota a livello di popolazioe geerale H 1 : µ +1 ella popolazioe dalla quale è stato tratto il campioe i esame la media delle differeze fra i puteggi di Fiducia Iterpersoale fra mogli e mariti è diversa da +1 la media delle differeze el puteggio di Fiducia Iterpersoale fra maschi e femmie ella popolazioe da cui è stato estratto il campioe di soggetti i esame o è la stessa ota a livello di popolazioe geerale Poiché l ampiezza campioaria è miore di 30, facciamo riferimeto alla distribuzioe di probabilità t, per cui troveremo quel valore di t critico per α =,05, ipotesi alterativa bidirezioale e gradi di libertà 1 = 13 1 = 1, che è,18. La regola di decisioe quidi sarà: Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 0 se t calcolato > t critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se t calcolato < t critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo Aalogamete al puto (a), per calcolare media e deviazioe stadard delle differeze Moglie Marito, abbiamo bisogo di calcolarle ed elevarle al quadrato: Marito Moglie iffereza () Moglie Marito 8 7-1 1 3 5 6 6 0 0 3-1 1 3 1 1 7 8 1 1 6 6 0 0 8 8 0 0 5 5 0 0 8 8 0 0 0 0 6 5-1 1 Somma 3 13 3 Calcoliamo la media delle differeze: = M = = 0, 3 e la deviazioe stadard delle 13 differeze: 13 s 0,3 = M d = = 0, 97. A questo puto applichiamo il test t per 13 campioi dipedeti: M t = s µ 1 0,3 1 = =,75 0,97 13 1 Coclusioe: poiché t calcolato > t critico (,75 >,18), è troppo improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la rifiutiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete la media delle differeze el puteggio di Fiducia Iterpersoale fra maschi e femmie ella popolazioe da cui è stato estratto il campioe di soggetti i esame o è la stessa ota a livello di popolazioe geerale. imesioe dell effetto Per calcolare la dimesioe dell effetto utilizziamo la formula: M d = s 0,3 1 = 13 0,97 1 13 1 µ = 0,76 Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 1 Il valore di d, preso i valore assoluto, i base alle liee guida della Tavola 10 i Appedice è idicatore di ua dimesioe dell effetto moderata. Rappresetazioe grafica I questo caso rappresetiamo graficamete l itervallo di fiducia della media delle differeze, la cui estesioe è data dalla formula: t s α ; ν I questo caso α =,05, ipotesi alterativa bidirezioale e gradi di libertà 1 = 13 1 = 1, per cui t =,18, da cui u estesioe dell itervallo di fiducia: 1 0,97,18 = 0,61 13 1 1,50 Popolazioe ( = 1) 1,5 Media delle differeze 1,00 0,75 0,50 0,5 0,00-0,5-0,50 Si oti come l itervallo di fiducia della medie delle differeze o cotega il valore +1, coeretemete co la sigificatività del test statistico, metre cotiee il valore zero, i accordo co quato osservato al puto (a). Puto (c) I questo caso dobbiamo verificare se le variaze dei puteggi di Fiducia Iterpersoale di mariti e mogli soo omogeee. Obiettivo: verificare che le variaze dei puteggi di Fiducia Iterpersoale di mariti e mogli soo omogeee Variabili Variabile 1: Geere (omiale, dicotomica: Marito; Moglie) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Puteggio al test (itervalli) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 Ipotesi H 0 : σ Mariti = σ Mogli la variaza della popolazioe dei puteggi di Fiducia Iterpersoale dei mariti è uguale a quella della popolazioe di mogli o esiste ua differeza legata al geere relativamete alla variaza dei puteggi di Fiducia Iterpersoale H 1 : σ Mariti σ Mogli la variaza della popolazioe dei puteggi di Fiducia Iterpersoale dei mariti è diversa da quella della popolazioe di mogli esiste ua differeza legata al geere relativamete alla variaza dei puteggi di Fiducia Iterpersoale Facciamo riferimeto alla distribuzioe t di Studet che, i questo caso, ha gradi di libertà, quidi 13 = 11. Cosiderado che l ipotesi alterativa è bidirezioale e che α =,01, il valore di t critico è 3,11. La regola di decisioe sarà: se t calcolato > t critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se t calcolato < t critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo La formula da applicare è la seguete: ( F 1) t = F(1 r ) max s max ˆ σ max max 1 dove F è uguale a =. Le deviazioi stadard dei campioi di mariti e mogli le ˆ σ mi mi smi mi 1 abbiamo già calcolate al puto (a), e abbiamo visto che soo, rispettivamete,,16 e 1,87, per cui: F,16 = 1,87 13 13 1 13 13 1 = 1,33 Il valore di r è forito el testo dell esercizio (,8), per cui: (1,33 1) 13 t = 1,33(1,8 ) = 0,83 Coclusioe: poiché t calcolato < t critico (0,83 < 3,11), o è così improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la accettiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete o esiste ua differeza legata al geere relativamete alla variaza dei puteggi di Fiducia Iterpersoale. Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 3 imesioe dell effetto U valore geerico di t (quidi o associato ad u test per il quale esiste ua precisa formula per il calcolo della dimesioe dell effetto) può essere covertito i u valore iterpretabile come r e iterpretato i base alle liee guida della Tabella 5.6 mediate la formula: r = t t + gdl 0,83 Nel ostro caso avremo che r = =,, che i base alle liee guida della Tavola 10 i 0,83 + 11 Appedice può essere iterpretato come idice di ua dimesioe dell effetto piccola. Rappresetazioe grafica I questo caso o si ricorre a rappresetazioi grafiche. Puto (d) Se cosideriamo i dati solo a livello ordiale, dobbiamo utilizzare il test di Wilcoxo Obiettivo: verificare se esiste ua differeza di geere ella scala Fiducia Iterpersoale Variabili Variabile 1: Geere (omiale, dicotomica: Marito; Moglie) variabile che cosideriamo come causa, perciò è la variabile idipedete dello studio Variabile : Puteggio al test (i questo caso, ordiale) variabile che cosideriamo come effetto, perciò è la variabile dipedete dello studio Ipotesi H 0 : Mε Mariti = Mε Mogli il puteggio mediao di Fiducia Iterpersoale della popolazioe di mariti è uguale a quello della popolazioe di mogli o esiste ua differeza di geere el puteggio di Fiducia Iterpersoale H 1 : Mε Mariti Mε Mogli il puteggio mediao di Fiducia Iterpersoale della popolazioe di mariti è diverso da quello della popolazioe di mogli esiste ua differeza di geere el puteggio di Fiducia Iterpersoale La regola di decisioe sarà legata al calcolare il miore dei due T e cofrotarlo co quello critico sulle tavole di T per corretto = 7, che per α =,05 e ipotesi alterativa bidirezioale (due code) è. se T calcolato T critico è troppo improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo se T calcolato > T critico o è così improbabile che i dati osservati siao il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 Calcoliamo i due T i base ai raghi dei valori assoluti delle differeze: Marito Moglie iffereza Moglie Marito iffereza Rago iffereza Sego iffereza 8 7-1 1 3-3 5 6,5 + 6 6 0. 3-1 1 3-3 1 1 3 + 7 8 1 1 3 + 6 6 0. 6,5 + 8 8 0. 5 5 0. 8 8 0. 0. 6 5-1 1 3 - T+ = 6,5 + 3 + 3 + 6,5 = 19 T = 3 + 3 +3 = 9 Il miore fra i due T è T (9), che verrà quidi utilizzato per il test di ipotesi. Coclusioe: poiché T calcolato > T critico (9 > ), o è così improbabile che quato osservato sia il risultato di u ipotesi ulla vera, per cui la accettiamo. Questo risultato suggerisce che molto probabilmete ella popolazioe o esiste ua differeza di geere el puteggio di Fiducia Iterpersoale imesioe dell effetto Utilizzado la formula riportata el mauale avremo: r = mi( T +, T T ) ( + 1) + + T = 19 + 9 9 13(13 + 1) = 0,11 I base alle idicazioi della Tavola 10 i Appedice questo valore è idicatore di ua dimesioe dell'effetto piccola. Rappresetazioe grafica Per la rappresetazioe grafica utilizziamo u boxplot. Iazitutto idividuiamo i cique umeri di sitesi per i due campioi di osservazioi: Rago 1 3 5 6 7 8 9 10 11 1 13 Mariti 3 3 5 6 6 6 7 8 8 8 Rago 1 3 5 6 7 8 9 10 11 1 13 Mogli 3 5 5 5 6 6 7 8 8 8 Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia
Chiorri, C. (01). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 11 5 Q3 (posizioe = Mediaa (posizioe = Q1 (posizioe = Idice Mariti Mogli Max 8 8 ( + 1) 3 ) +1 ) ( + 1) 1 ) Posizioe = (13 + 1) 3 = 10,5 11, valore = 8 Posizioe = 13 + 1 = 7, valore = 6 (13 + 1) 1 Posizioe = = 3,5, valore = 3 Posizioe = (13 + 1) 3 = 10,5 11, valore = 8 Posizioe = 13 + 1 = 7, valore = 5 (13 + 1) 1 Posizioe = = 3,5, valore = Mi Realizziamo poi il boxplot: Copyright 01 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia