Cap. 8 Sistemi di controllo

Cap. 8 Sistemi i controllo Come già etto, in generale, un sistema è solo potenzialmente in grao i soisfare gli obiettivi per i quali è stato costruito, e cioè i comportarsi nella maniera esierata. Per conseguire tale obiettivo occorre esercitare sul sistema un complesso i azioni, ette azioni i controllo o, più semplicemente controllo. Per are una efinizione precisa i controllo si ammetta che: a) il comportamento effettivo el sistema possa essere riassunto all anamento temporale i una o più granezze uscita; b) l informazione sul comportamento esierato el sistema possa essere riassunta all anamento temporale i una o più granezze, ette granezze i comano o granezze i riferimento, il cui valore sia, istante per istante, proporzionale al valore esierato elle granezze i uscita. Forzare il sistema a comportarsi nel moo esierato significa, allora, far sì che le granezze uscita risultino proporzionali alle granezze i comano entro prefissati margini i tolleranza, contrastano gli effetti ei isturbi e elle variazioni parametriche che agiscono sul sistema. È possibile a questo punto fornire la seguente efinizione i controllo. Definizione 8. Si chiama controllo un insieme i azioni che consente i far variare nel moo voluto le granezze i uscita i un sistema, alle quali sia associato un livello i potenza notevolmente superiore rispetto a quello elle granezze i comano. Il controllo che i esercita senza l intervento ell uomo si ice controllo automatico. Un sistema i controllo automatico è un insieme i elementi fra loro interagenti, nei quali almeno una interazione rientra nella efinizione i azione i controllo automatico. Il sistema al quale si vuole imporre il comportamento esierato viene enominato, come etto sistema controllato, le granezze che esercitano l azione i controllo su i esso vengono enominate granezze controllanti, quelle i uscita vengono enominate granezze controllate. Il problema el controllo viene risolto associano al sistema controllato un opportuno sistema controllante, il cui compito è quello i sviluppare le azioni i controllo a partire alle granezze i riferimento e, eventualmente, a altre granezze. 8. Classificazione ei sistemi i controllo Un primo criterio i classificazione ei sistemi i controllo è quello basato sulle moalità i controllo impiegate. Le moalità i controllo i base sono: il controllo a catena aperta; il controllo a catena chiusa o a controreazione. Il controllo si ice a catena aperta se le azioni i controllo vengono esercitate a partire alle granezze i comano e alle cause i errore, cioè ai isturbi e alle variazioni parametriche, qualora questi possano essere misurati. In proposito, con riferimento ai isturbi si osservi che alcuni tipi i isturbi possono essere irettamente misurati, mentre altri tipi possono solamente essere stimati inirettamente, cioè a partire alle misure i altre granezze accessibili per la misura. Le variazioni parametriche, invece, possono solamente essere stimate inirettamente. Un sistema i controllo si ice a catena aperta se la moalità i controllo impiegata è quella a catena aperta. Lo schema strutturale i principio i un sistema i controllo a catena aperta è riportato in Fig. 8... Si noti che il ispositivo i controllo, usualmente realizzato meiante l impiego i sistemi igitali basati su microprocessore, ha il compito i elaborare

segnali i controllo i aeguato anamento temporale. Gli organi i potenza vengono utilizzati per conferire a tali segnali il livello i potenza aeguato generano azioni i controllo in grao i guiare l evoluzione el sistema controllato. SISTEMA CONTROLLANTE MISURA DISTURBI MISURA VARIAZ. PARAMETRICHE DISPOSITIVO ORGANI DI SISTEMA u( t ) DI CONTROLLO POTENZA m( t ) CONTROLLATO y( t ) Fig. 8.. Schema i principio i un sistema a catena aperta. Il controllo si ice invece a catena chiusa, o a controreazione se le azioni i controllo vengono esercitate a partire alla ifferenza tra le granezze i riferimento e le misure elle granezze controllate. Un sistema i controllo si ice a catena chiusa se in esso vengono sviluppate azioni i controllo a catena chiusa. Lo schema strutturale i principio i un sistema i controllo a catena chiusa è riportato nella Fig. 8... variazioni parametriche isturbi DISPOSITIVO DI CONFRONTO E CONTROLLO ORGANI DI POTENZA SISTEMA CONTROLLATO SISTEMA CONTROLLANTE DISPOSITIVO DI MISURA Fig. 8.. Schema i principio i un sistema a catena chiusa. L esame egli schemi i controllo a catena aperta e chiusa, mostra che: lo schema a catena aperta genera le azioni i controllo a partire alle cause i errore, isturbi e variazioni parametriche, mentre lo schema a catena chiusa genera le azioni i controllo a partire agli effetti che le cause i errore hanno sull uscita; se isturbi e variazioni parametriche potessero essere tutti misurati (anche inirettamente), i ispositivi i misura fossero istantanei e privi i errori, il ispositivo i controllo fosse in grao i elaborare i segnali i controllo in tempo reale e gli organi

3 i potenza fossero istantanei, lo schema a catena aperta potrebbe funzionare in assenza i errore sulle variabili i uscita; lo schema a catena chiusa, anche nelle succitate ipotesi ieali, comporterebbe la presenza i un errore finito che, a secona el tipo i legge i controllo elaborata al ispositivo i controllo, potrebbe o meno convergere a zero; lo schema a catena aperta, in presenza i isturbi o variazioni parametriche non previste, e quini non misurate, non è in grao i moificare le azioni i controllo generate in assenza i tali aizionali cause i errore, mentre lo schema a catena chiusa è in grao i reagire a esse poiché tali cause provocano effetti sulle granezze i uscita che rilevate al ispositivo i confronto e controllo, eterminano una moifica elle azioni i controllo preesistenti; Ne consegue che lo schema a catena chiusa è in grao i assicurare prestazioni migliori i un sistema i controllo a catena aperta. Ovviamente, possono essere realizzati schemi i controllo nei quali sono presenti entrambe le moalità i controllo. Un secono criterio i classificazione ei sistemi i controllo è quello basato sulle finalità che tale sistema persegue. In accoro a tale criterio, i sistemi i controllo si istinguono in: sistemi i regolazione; sistemi i asservimento. In un sistema i regolazione le granezze i riferimento sono costanti, e quini la sua finalità è quella i mantenere costanti e pari al livello esierato le granezze i uscita contrastano gli effetti ei isturbi e elle variazioni parametriche. Un sistema i asservimento è invece caratterizzato al fatto che le granezze i comano sono generiche funzioni el tempo, e la sua finalità è quella i forzare le granezze i uscita a assumere un anamento proporzionale a quello elle granezze i ingresso, entro prefissati margini i tolleranza, opponenosi anche in questo caso agli effetti ei isturbi e elle variazioni parametriche. Un terzo criterio i classificazione è quello basato sulla natura fisica elle granezze controllate. In accoro a tale criterio, i sistemi i controllo si istinguono in: sistemi i controllo cinetici; sistemi i controllo i processo. Nei sistemi i controllo cinetici le granezze controllate sono i natura meccanica (posizione, velocità, accelerazione), mentre nei sistemi i controllo i processo le granezze controllate sono i natura non meccanica (temperature, livelli, portate, tensioni, frequenze). I sistemi i asservimento i tipo cinetico vengono anche enominati servomeccanismi. Nelle Figg. 8..3 e 8..4 vengono illustrati ue possibili schemi i controllo, a catena aperta e a catena chiusa, il cui scopo è quello i mantenere costante il livello el liquio in un serbatoio. Nel sistema i Fig. 8..3 viene, anzitutto, misurato il isturbo q u. Tale informazione viene inviata al ispositivo i controllo che riceve anche quella relativa al livello esierato. A partire a tali informazioni, il ispositivo i controllo elabora un segnale elettrico che viene amplificato in livello e in potenza, al fine i forzare un motore a corrente continua a trascinare in rotazione il rotore i una pompa volumetrica alla velocità ionea a immettere nel serbatoio liquio con una portata q i ionea a contrastare gli effetti i q u. E facile renersi conto che a causa i inevitabili errori i misura e i ritari nel calcolo ella legge i controllo, il livello

4 el liquio non si mantiene costante e pari a quello esierato. Il serbatoio potrebbe, al limite, svuotarsi el tutto o riempirsi completamente. MOTORE C. C. ω AMPLIFICATORE DI POTENZA E DI LIVELLO DISPOSITIVO DI CONTROLLO POMPA VOLUMETRICA q i l q u MISURA DELLA PORTATA q u Fig. 8..3 Sistema i regolazione a catena aperta el livello el liquio in un serbatoio. Nel sistema i Fig. 8..4 la granezza l (t) viene misurata tramite un galleggiante e trasformata in una granezza i tipo elettrico, a essa proporzionale, collegano il galleggiante stesso al cursore i un potenziometro a ue cursori. L altro cursore viene posizionato in moo a fornire una granezza elettrica proporzionale al valore esierato el livello el liquio. La ifferenza fra le ifferenze i potenziale fra i ue cursori e la massa el potenziometro è, quini, proporzionale all errore i livello. A partire a tale granezza proporzionale all errore, il ispositivo i controllo elabora una legge i controllo che forza tale granezza, e quini l errore i livello, a seguire un anamento temporale esierato che tene a zero o a un valore inferiore a una soglia prefissata. ω AMPLIFICATORE DI POTENZA E DI LIVELLO DISPOSITIVO DI CONTROLLO guie r ( t ) r ( t ) POMPA VOLUMETRICA q i l (t) q u Fig. 8..4 Sistema i controllo a catena chiusa. 8. Struttura ei sistemi i controllo a controreazione Lo schema strutturale i un sistema i controllo a controreazione è illustrato nella Fig. 8..5, ove i blocchi e le granezze mostrati hanno il significato che segue. u: granezza i comano; G: generatore ella granezza i comano, ammesso che essa sia nota a priori; T, T : trasuttori, cioè ispositivi che moificano la natura fisica ei segnali ingresso u e y, generano segnali r e y c ella stessa natura fisica, ma i natura fisica iversa a u e y, legati a queste ultime granezze tramite una legge nota; le granezze i uscita ei ue trasuttori sono, generalmente, i natura elettrica per la semplicità

5 con cui tali segnali possono essere manipolati, e la notevole isponibilità i ispositivi in grao i manipolarli; r: segnale i riferimento in senso stretto; y c : segnale i controreazione; u : segnale agente; m: granezza controllante; C: controllore o ispositivo i controllo, che ha il compito i elaborare la legge i controllo in moo che la granezza v abbia un anamento temporale esierato; A l : amplificatore elettrico i livello (v > v ), che agisce in moo che il guaagno ella funzione i trasferimento che lega y a u sia sufficientemente elevato; A p : amplificatore elettrico i potenza (v 3 ha un potenza maggiore i v ); E: esecutore o attuatore, che fornisce in uscita una granezza fisica m i natura ionea a poter pilotare il sistema controllato; poiché le granezze i ingresso e i uscita i E hanno una potenza elevata, si può ritenere che E sia un trasuttore a livello i potenza i potenza; S.C.: sistema controllato. LINEA DI AZIONE DIRETTA G u r u v v 3 T C A l A p + E S.C. y c T v m y Fig. 8..5 Struttura ei sistemi i controllo a controreazione. I blocchi a C a S.C. costituiscono la linea i azione iretta, il ramo su cui è presente T costituisce la linea i controreazione. Il segnale agente u può, in generale, non essere proporzionale all errore e( t) = y ( t) y( t) ato alla ifferenza fra l uscita esierata e quella effettiva. Tuttavia, in molti casi si preferisce utilizzare uno schema i controllo nel quale la legge i controllo viene elaborata a partire all errore o a una granezza a esso proporzionale. Si supponga, a esempio, che u(t) rappresenti proprio l anamento esierato ella granezza i uscita y ( t ), e che T e T abbiano la stessa funzione i trasferimento costante e pari a h. In tal caso si ha: Assumeno, invece, che: r( t) = hu( t), yc ( t ) = hy ( t ), u ( t) = r( t) y ( t) = h( y ( t) y( t)) = he( t) (8..) c y ( t) = K u( t), (8..) LINEA DI CONTROREAZIONE

6 è ancora possibile realizzare un sistema i controllo basato sull errore isponeno sulla linea i controreazione un blocco i trasferenza pari a K, come inicato nella Fig. 8..6. u (t) + u (t) y (t) h y c K h Fig. 8..6 Schema i controllo basato sull errore. 8.3 Analisi ello schema funzionale a controreazione Si ammetta, aesso, che associano a ciascun elemento ello schema i Fig. 8..6 il relativo moello matematico e utilizzano le relazioni i interconnessione, che esprimono il moo in cui i vari elementi sono interconnessi fra loro, sia possibile pervenire allo schema funzionale i Fig. 8..7. U ( s ) U ( s ) Y ( s ) G (s) + c ( ) Y s H (s) Fig. 8..7 Schema elementare a controreazione. Come già etto in preceenza, allo schema i Fig. 8..7 è possibile associare la funzione i trasferimento: Y G W = U = + G H. (8..3) Inoltre, al succitato schema possono essere associate la funzione i trasferimento a catena aperta F( s ) e la funzione ifferenza D( s ), ate a: F = G H, (8..4) D = + F = + G H. (8..5) La funzione ifferenza gioca un ruolo fonamentale nello stuio ei sistemi i controllo. Infatti, alla (8..3) emerge che gli zeri ella funzione ifferenza coinciono con i poli ella W ( s ). Inoltre, in certe conizioni, esiste una importante relazione tra la funzione ifferenza e il polinomio caratteristico ella matrice inamica, A cl, el moello con lo stato el sistema a catena chiusa. Al fine i stabilire tale relazione, si consieri il sistema a controreazione i Fig. 8..8, ove i ue sottosistemi S (ella linea iretta) e S c (ella linea i controreazione) sono escritti ai seguenti moelli con lo stato:

7 x = A x + b u S : T y = c x x c = Ac xc + bcuc S c : T y = c x + u c c c c c (8..6) (8..7) n n con x C, x C c. Le relazioni i interconnessione sono ate a: c u = u y = u u = u T uc = y = c x T T T c cc xc c c cc xc cc x. (8..8) Fig. 8..8 Schema a controreazione costituito all interconnessione i S e S c. Dalle relazioni (8..6)- (8..8) si ottiene: u( t ) u ( t ) y( t ) + yc ( t ) S S c che in forma matriciale iventano: T T = + u c c c T x c = Ac xc + bcc x, x A x b ( c x c x ), T T x A b cc b cc x b = + u T. (8..9) x c bcc Ac xc 0 Assumeno come stato ell intero sistema a controreazione l insieme egli stati ei sottosistemi S e S c, ove: T T T x = x x c, il moello a catena chiusa risulta: x = A x + b, (8..0) cl cl u T y = ccl x, (8..) T T A b cc b c c b T T T Acl =, b, T cl = ccl = c 0. bcc Ac 0 Le funzioni i trasferimento ei sistemi S e S c sono ate a:

8 T φ G = c ( si A ) b =, (8..) T φc H = cc ( si Ac ) bc + c =, (8..3) c ove ( s ) e c sono, rispettivamente, i polinomi caratteristici elle matrici A e imostra il risultato che segue. A. Si c Teorema 8.. Il polinomio caratteristico ella matrice A, ( ), risulta: cl cl s φ φc cl = et( si Acl ) = c + = c + φ φc,(8..4) c La funzione ifferenza el sistema i Fig. 8..8, è ata a: c D = + G H = + φ φ. (8..5) Il confronto fra le (8..4) e (8..5) permette i imostrare la seguente Asserzione. Asserzione 8.. Assumeno che non esistano fenomeni i cancellazione nella funzione i trasferimento a catena aperta F = G H, gli zeri ella funzione ifferenza coinciono con gli zeri i cl, cioè con gli autovalori ella matrice inamica el moello a catena chiusa. Osservazione 8.. I fenomeni i cancellazione non evono essere presenti né nella G( s ), né nella H ( s ), né nel prootto G H ( s ) ; conseguentemente, S e S c evono essere completamente controllabili e completamente osservabili e, inoltre, non evono esistere zeri i G( s ) comuni a poli i H ( s ), né poli i G( s ) comuni a zeri i H ( s ). 8.4 Confronto fra sistemi a catena aperta e a catena chiusa Si consieri il sistema a catena aperta illustrato nella Fig. 8..9, ove Gc ( s ) e Gp ( s ) sono, rispettivamente, le funzioni i trasferimento el ispositivo i controllo e el sistema controllato, Z( s ) è la trasformata i Laplace i un isturbo z( t ), non misurabile, che agisce all uscita el sistema controllato e M ( s ) è la trasformata i Laplace ella granezza controllante. Si noti che l uscita el blocco G ( s ) non è accessibile per la misura; infatti, l insieme ei blocchi a M ( s ) a Y ( s ), compreso il isturbo Z( s ), costituiscono tutti una schematizzazione el sistema controllato. Si consieri, inoltre, il sistema a catena chiusa illustrato nella Fig. 8..0, ove N( s ) rappresenta la trasformata i Laplace i un segnale equivalente i rumore introotto al ispositivo i misura ella granezza i uscita, H ( s ) rappresenta la funzione i trasferimento el ispositivo i misura, mentre le altre granezze e/o funzioni hanno lo stesso significato illustrato in preceenza. p c

9 U ( s ) M ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) Z( s ) Fig. 8..9 Schema a catena aperta. + + Y ( s ) U ( s ) + M ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) Z( s ) + + Y ( s ) + + N( s ) H ( s ) Fig. 8..0 Schema a catena chiusa Con riferimento ai sistemi i Figg. 8..9 e 8..0, si efinisca l errore e( t ) come segue: Sistema a catena aperta e( t) = y ( t) y( t) = K u( t) y( t), (8..6) Nel ominio i s, applicano il principio i sovrapposizione egli effetti, si ha: ove: Y = Y + Y, (8..7) z Y = Z, Y = W U. L errore nel ominio i s, per la (8..6), è ato a: z u [ ] u E = K U Y = K W U Z = E + E, (8..8) u z ove W = G G è la funzione i trasferimento ingresso-uscita, e E e E ( s ) c p sono le componenti ell errore ovute all ingresso e al isturbo, rispettivamente, ate a: [ ] E = K W U, (8..9) u E = Z. (8..0) z L errore prootto alla granezza i comano è ovuto all imperfetto legame ingressouscita, al fatto cioè che la funzione i trasferimento ingresso-uscita W ( s ) è iversa a K. Infatti, usualmente, G G ( s ) risulta strettamente propria e, quini, lim W = 0. c p Conviene osservare che, al punto i vista pratico, il fatto i non potere realizzare il sistema a catena chiusa in moo tale che W = K è vantaggioso poiché il segnale u( t ), s u z

0 come etto, viene generato a un ispositivo reale che introuce segnali i rumore che si sovrappongono al segnale utile che si esiera generare. Conseguentemente, esistono le seguenti ue esigenze contrastanti:. quella i riprourre feelmente i segnali i comano utili;. quella i cancellare gli effetti sull uscita el rumore sovrapposto al segnale i comano utile. Al fine i soisfare con un certo margine i tolleranza le ue esigenze contrapposte, conviene scegliere la W ( s ) in moo tale che la corrisponente risposta in frequenza W ( jω ) soisfi la conizione: W ( jω) K, ω Ω u, (8..) esseno Ω u la regione ella frequenza in cui si suppone confinato il contenuto armonico el segnale i comano utile, e che il moulo ella risposta in frequenza sia riotto a zero il più rapiamente possibile all esterno i tale regione ( ω Ω ). In tale caso, infatti, enotano con u ( t) = u( t) + n ( t) l effettivo segnale i comano generato, ivi incluso il segnale i rumore nu ( t ) a esso sovrapposto, l effettiva uscita yu ( t ), nel ominio i ω, è ata a: Y ( jω) = W ( jω) U ( jω) + W ( jω) N ( jω ), u la quale mostra che el rumore sovrapposto al segnale i comano viene riprootta all uscita solamente quella parte che ha contenuto armonico all interno ella regione Ω u. L esame ella (8..0) mette in luce che il isturbo z( t ) agisce irettamente sull errore senza alcuna possibilità i contrastarlo a meno che non si procea a una sua misura. Infine, se si manifestano variazioni nei parametri ella funzione G ( s ), il comportamento el sistema potrebbe eteriorarsi poiché la conizione W ( jω) = G ( jω) G ( jω) K potrebbe non risultare più soisfatta. Sistema a catena chiusa Per il sistema a catena chiusa, si ha: u u u p c p a cui si ottiene: ( ) Y = Z + Gc Gp U H Y + N, Y = Z Gc Gp U F N + F +, (8..) ove: F = G G H. (8..3) c p Ne consegue che, in accoro con la (8..6), l errore E risulta:

[ ] E = K W U W Z + W N = E + E + E, (8..4) z n u z n ove le funzioni i trasferimento ingresso-uscita, W ( s ), isturbo-uscita, W ( s ) e rumoreuscita, W ( s ), sono ate a: n e le tre componenti l errore complessivo sono ate a: z Gc Gp W =, + F (8..5) Wz F (8..6) F Wn =, + F (8..7) [ ] E = K W U, (8..8) u E = W Z, (8..9) z z E = W N. (8..30) n L esame ella (8..4) mette che in un sistema a catena chiusa l errore complessivo è ato alla sovrapposizione i tre componenti, ovute alla granezza i comano, al isturbo e al rumore i misura ella granezza i uscita. Conviene esaminare in ettaglio il contributo elle tre succitate componenti. Errore ovuto alla granezza i comano Dall analisi svolta per i sistemi a catena aperta, è emerso che conviene scegliere la W ( s ) in moo tale che la corrisponente risposta in frequenza W ( jω ) soisfi la conizione: n W ( jω) K, ω Ω u, (8..3) esseno Ω u la regione ella frequenza in cui è confinato il contenuto armonico el segnale i comano utile, e che il moulo ella risposta in frequenza sia riotto a zero il più rapiamente possibile all esterno i tale regione ( ω Ωu ). Dall esame ella funzione i trasferimento W ( s ) (cfr. (8..5)) emerge che la (8..3) può essere ottenuta progettano Gc e H ( s ) in moo tale che: e scegliere H ( jω ) in moo tale che risulti: F( jω) = G ( jω) G ( jω) H ( jω), ω Ω. (8..3) c p u H ( jω), ω Ωu. (8..33) K Infatti, in tale caso, è possibile trascurare rispetto a F( jω ) nella espressione ella W ( jω ) che, pertanto, iviene:

Errore ovuto al isturbo Gc ( jω) Gp( jω) W ( jω) =, ω Ωu. (8..34) G ( jω) G ( jω) H ( jω) H ( jω) c p Assumeno F( jω), ω Ωu, la funzione i trasferimento isturbo-uscita soisfa la conizione W ( jω), ω Ω e, i conseguenza, le armoniche el isturbo all interno z u ella bana i frequenza utile Ω u vengono fortemente attenuate. Tuttavia, conviene osservare che, usualmente, il sistema a retroazione è strettamente proprio a catena aperta, il che implica che lim F( jω) = 0. Ne consegue che lim W ( jω) =, ω ω il che implica che eventuali armoniche el isturbo al isopra i una certa frequenza si ripercuotono sull uscita quasi per intero. Le preceenti consierazioni mostrano che il sistema a controreazione i Fig. 8..0 è in grao i riprourre i segnali i comano, attenuare gli effetti el rumore a essi sovrapposto e attenuare anche gli effetti i quei isturbi che hanno lo stesso contenuto armonico el segnale i comano. Nell ipotesi che il isturbo contenga armoniche a frequenza maggiore ella massima frequenza presente nel segnale utile e sufficientemente elevate, il sistema i Fig. 8..0 iviene inefficace per contrastare gli effetti el isturbo stesso. Se si esiera contrastare gli effetti el isturbo occorre, in tale caso, utilizzare uno schema a controreazione a ue grai i libertà, come quello illustrato nella Fig. 8... Con riferimento a tale schema, si ha che le funzioni W e W ( s ) rimangono invariate; quini, E e E ( s ) rimangono invariate, mentre l errore E ( s ) è ato a: z n ove W ( s ) ha ancora l espressione 8..5. [ ] z E = K W G U, (8..35) u u u n z U ( s ) Gu ( s ) + Z( s ) M ( s ) + Y ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) + + + H ( s ) Fig. 8.. Schema a catena chiusa a ue grai i libertà. Tali consierazioni mostrano che lo schema i Fig. 8.. è in grao i contrastare gli effetti egli errori ovuti al isturbo e al segnale i comano anche se tali granezze hanno contenuti armonici in bane i frequenza ifferenti. Infatti, per contrastare gli effetti el isturbo z( t ) si sceglie opportunamente la funzione F = G G H, mentre per contrastare quelli ovuti al segnale i comano basta scegliere convenientemente la funzione Gu ( s ). c p

3 Errore ovuto al rumore n( t ) L esame ella (8..6) mostra che nella bana i frequenze Ω u, si ha: Wn ( jω ), mentre al i fuori i Ω e al crescere i ω il moulo i tale W ( jω ) iminuisce e si ha: u n lim W ( jω) = 0. ω n Ne consegue che il sistema a controreazione è sensibile alle armoniche el rumore i misura che ricaono nel campo i frequenze Ω u, mentre attenua le armoniche a alta frequenza. Ciò costituisce un vantaggio poiché, usualmente, il rumore i misura ha un contenuto armonico confinato alle alte frequenze. Effetti elle variazioni parametriche L esame ella (8..3) mostra che nella bana i frequenze Ω u la funzione i trasferimento ingresso-uscita coincie praticamente con l inverso ella funzione i trasferimento ella linea i controreazione. Ciò significa che la controreazione attenua notevolmente gli effetti elle variazioni parametriche che si manifestano nella funzione i trasferimento ella linea i azione iretta, mentre non ha praticamente alcun effetto sulle variazioni parametriche che si manifestano nella funzione i trasferimento ella linea i controreazione. Ne consegue che gli elementi ella linea i azione iretta possono essere progettati con tolleranze maggiori i quelli ella linea i controreazione. 8.5 Analisi ello schema a retroazione per H ( s ) = Nel caso i H ( s ) =, le (8..)-(8..7) iventano: mentre l errore, per K =, iviene: ove: F = G G. (8..36) c p F W =, + F (8..37) Wz F (8..38) F Wn =, + F (8..39) ( ) E = S U Z + C N, (8..40)

4 S F (8..4) F C =. + F (8..4) Le funzioni S( s ) e C( s ) vengono, rispettivamente, enominate funzione i sensibilità e funzione i sensibilità complementare. Com è facile verificare, le ue funzioni sono legate fra loro alla relazione: S + C =. (8..43) Naturalmente, in tale caso, le consierazioni svolte nel paragrafo preceente sono ancora più evienti. 8.6 Impostazione ello stuio ei sistemi i controllo Nell ambito ella teoria classica, lo stuio ei sistemi i controllo viene effettuato in accoro ai criteri ella soluzione parziale e el legame iretto fra il comportamento ell intero sistema e quello elle singole parti i cui è costituito. Il criterio ella soluzione parziale consiste nell isolare e analizzare separatamente i vari aspetti el comportamento el sistema; come già osservato in preceenza, sono aspetti caratteristici el comportamento i un sistema la stabilità, il comportamento in regime permanente e il comportamento transitorio al oppio punto i vista ella prontezza i risposta e ella precisione inamica. I segnali i comano e i isturbi che si consierano nella valutazione el comportamento i un sistema sono i segnali canonici, l impulso i Dirac e i suoi integrali successivi o i segnali sinusoiali i frequenza opportuna. Il criterio el legame iretto consiste nella iniviuazione i metoi i stuio che permettono i ottenere informazioni sull intero sistema a partire a quelle sulle singole parti i cui esso è costituito.

5 Cap. 9 Stabilità ei sistemi i controllo a controreazione. Criterio i Nyquist Lo stuio ella stabilità ei sistemi i controllo a controreazione può essere effettuato ricorreno ai criteri algebrici i stabilità o a criteri basati sulla consierazione i funzioni associate alle singole parti i cui è costituito il sistema. Al primo gruppo appartiene il già noto criterio i Routh, mentre al secono gruppo appartiene il criterio i Nyquist che verrà illustrato nel presente capitolo. L inconveniente principale ei criteri algebrici si manifesta quano si vuole impiegarli per risolvere un problema i sintesi. In tal caso, infatti, occorre eterminare i parametri liberi el sistema controllante in moo tale che il sistema sia stabile. Utilizzano il criterio i Routh, la soluzione el problema implica quella el seguente sistema i isequazioni non lineari: 9. Criterio i Nyquist r > 0, r > 0,, r > 0. n, n, 0, Si consieri il sistema a controreazione e a ciclo unico riportato nella Fig. 8..7, che si riporta i seguito per comoità, e si ammetta che: U ( s ) U ( s ) Y ( s ) G (s) + c ( ) Y s H (s) Fig. 9.. Schema elementare a controreazione.. gli zeri ella funzione ifferenza coinciano con gli autovalori ella matrice inamica el sistema a catena chiusa;. la funzione i trasferimento a catena aperta F = G H sia propria o strettamente propria; Osservazione 9.. - L ipotesi permette i valutare la stabilità interna asintotica el sistema i Fig. 9.. a partire alla islocazione egli zeri ella funzione ifferenza D = + F = + G H ; l ipotesi assicura che quest ultima funzione sia propria e quini ella forma: D = K D n i= n i= ( s z ) i ( s p ) i. (9..) Per lo stuio ella stabilità interna asintotica occorre e basta verificare che gli zeri ella funzione ifferenza D( s ) abbiano tutti parte reale negativa, in quanto essi, come etto (cfr. ipotesi ), coinciono con quelli el polinomio caratteristico relativo al sistema a retroazione. Tale verifica può essere effettuata meiante il criterio i Nyquist che si basa sul seguente principio ell argomento.

6 Principio ell argomento Nella ipotesi che la funzione ifferenza non abbia zeri e/o poli sull asse immaginario, la variazione i fase ξ D, ella funzione D( jω ) quano s escrive l asse immaginario a j a j, valutata positivamente in senso antiorario, è uguale a π volte la ifferenza fra il numero i poli, P, e il numero i zeri, Z, a parte reale positiva ella funzione ifferenza D( s ). In simboli, si ha: ξd, = π ( P Z). (9..) Prova. Al fine i imostrare il principio ell argomento, si consieri la Fig. 9.., ove i fattori jω zi e jω pi vengono interpretati come vettori che hanno origine nei poli o negli zeri e estremo nel punto jω. Poiché si ha (cfr. (9..)): ne consegue che: n [ ] ξ ( jω) = ψ ( ω) φ ( ω ), (9..3) D i i i= n ξ = ψ φ, (9..4) D, i, i, i= ove ψ i, e φ i, sono, rispettivamente, le variazioni i fase ei vettori jω zi e jω pi quano s escrive l asse immaginario a j a j, valutate positivamente in senso antiorario. L esame ella Fig. 9.. mostra che: ψ π per poli e zeri a parte reale negativa ( φ )= π per poli e zeri a parte reale positiva i, i, Assumeno quini che D( s ) abbia P poli e Z zeri a parte reale positiva, si ha: [ ] ξd, = ( n Z) π Ζπ ( n P) π Pπ = π ( P Z). (9..5) z i ψ ( ω ) i jω jω p i φi ( ω ) σ Fig. 9.. Interpretazione ei fattori jω zi e j pi ω. Inicano con T il numero i giri che il vettore rappresentativo ella funzione D( jω ) compie intorno all origine el piano i Nyquist ella D( jω ), si ha: ξ π T, (9..6) D, =

7 e quini risulta: T = P Z. (9..7) Osservazione 9.. Si noti, aesso, che P è noto poiché i poli ella D( s ) coinciono con quelli ella F( s ). Ne consegue che se si riesce a calcolare T è possibile calcolare Z con la (9..7) e quini valutare la stabilità interna asintotica el sistema a controreazione i Fig. 9... Osservazione 9..3 Aveno escluso che la funzione D( s ) abbia zeri sull asse immaginario, per la stabilità el sistema a controreazione occorre e basta che risulti Z = 0. Di conseguenza, la conizione necessaria e sufficiente i stabilità è T = P. Osservazione 9..4 Il calcolo i T può essere effettuato a partire al iagramma polare ella funzione i trasferimento a catena aperta F( jω ). Con riferimento alla Fig. 9..3, interpretano come un vettore che ha origine nel punto i coorinate (, j0), enominato punto critico, e estremità nell origine el piano i Nyquist ella F( jω ), la somma vettoriale i tale vettore e el vettore rappresentativo ella F( jω ), vettore OQ, fornisce proprio il vettore rappresentativo ella D( jω ), vettore che ha origine nel punto critico e estremità nel punto Q. Pertanto, il numero i giri che il vettore rappresentativo i D( jω ) compie intorno all origine el piano i Nyquist i D( jω ) è pari al numero i giri che il vettore rappresentativo i D( jω ) compie intorno al punto critico el piano ella F( jω ). (, j0) D( jω ) F( jω ) ω Q Im[ F( jω )] O Re[ F( jω )] Fig. 9..3 Determinazione el vettore rappresentativo i D( jω ) sul piano ella F( jω ). Le osservazioni 9.., 9..3 e 9..4 permettono i enunciare il seguente Criterio i Nyquist generalizzato. Criterio i Nyquist generalizzato. Sia ato un sistema lineare e stazionario, a controreazione, a ciclo unico, tale che la funzione i trasferimento a catena aperta sia propria o strettamente propria, e priva i fattori comuni a numeratore e a enominatore. Conizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia asintoticamente stabile internamente è che il numero i giri T che il vettore rappresentativo ella funzione D( jω ) compie attorno al punto critico el piano i Nyquist ella F( jω ), valutato positivamente in senso antiorario e per ω variabile a a +, sia pari al numero P i poli a parte reale positiva ella funzione i trasferimento a catena aperta F( s ). Osservazione 9..5 A partire alla espressione (8..3) ella funzione i trasferimento ingresso-uscita W ( s ) el sistema a controreazione i Fig. 9.., si rileva che gli zeri ella funzione ifferenza sono certamente i poli ella W ( s ). Ne consegue che il criterio i Nyquist

8 permette, in generale, i effettuare lo stuio ella stabilità esterna nello stato zero. L analisi preceente mette comunque in luce che è anche possibile stuiare la stabilità interna asintotica purché sia possibile accertare la completa controllabilità e la completa osservabilità ei sottosistemi sulla linea i azione iretta e su quella i controreazione. 9. Casi critici I casi critici el criterio i Nyquist hanno origine alla presenza i zeri o poli ella funzione ifferenza sull asse immaginario el piano complesso. Zeri sull asse immaginario La presenza i zeri sull asse immaginario viene immeiatamente messa in evienza al fatto che il iagramma polare ella F( jω ) passa per il punto critico. Infatti, ammesso che D( s ) abbia uno zero nel punto jω, si ha: D( j ω) = + F( j ω) = 0, (9..) a cui risulta F( j ω ) =. In tale caso, si può affermare che il sistema non è asintoticamente stabile internamente né stabile esternamente nello stato zero. Poli sull asse immaginario Il problema connesso con la presenza i poli sull asse immaginario nasce per il fatto che quano il punto s passa per uno i tali poli, a es. p, si ha una brusca variazione i fase el vettore corrisponente jω p i il cui segno è ineterminato; inoltre, il moulo ella funzione F( jω ), e quini quello ella D( jω ), tene a. Al fine i superare tale problema, si eforma l asse immaginario meiante un percorso semicircolare i raggio infinitesimo e centrato nel polo immaginario che lasci alla propria sinistra o alla propria estra il polo stesso (cfr. Fig. 9..4 per il caso i un polo nell origine). i b jω a σ Fig. 9.. Deformazione ell asse immaginario in prossimità i un polo nell origine. Come già osservato, quano s attraversa il polo jω il moulo tene a e il iagramma polare si spezza in ue rami, uno ei quali termina per ω = ω mentre l altro inizia a + ω = ω. Tali rami possono essere raccorati osservano che, quano s escrive uno ei ue percorsi semicircolari (a o b), l estremo el vettore rappresentativo ella funzione F( jω ) escrive tante semicirconferenze i raggio infinitamente grane quante ne inica la molteplicità el polo, in verso orario se si sceglie il percorso a o in verso antiorario se si sceglie il percorso b. Esempio 9.. Si supponga che la funzione F( s ) abbia la istribuzione poli e zeri mostrata in Fig. 9..5, cui corrispone la seguente espressione analitica nella variabile ω:

9 F ( jω) = K F jω jω + jω + T T. (9..) T b T jω a σ Fig. 9.. istribuzione poli-zeri i una funzione F( s ). Segueno le regole per il tracciamento el iagramma polare, si ottiene il iagramma i Fig. 9..3 per ω + 0, + e per ω,0. I ue tratti el iagramma polare vengono raccorati con la semicirconferenza a i raggio infinito se si sceglie il percorso a o con quella b se si sceglie il percorso b. 0 a b 0 + j Im[ F( jω )] D (jω) + Re[ F( jω )] F( jω ) Fig. 9..3 Diagramma completo per la valutazione ella stabilità. Punto critico a sinistra ell intersezione con il semiasse reale negativo. Come è facile verificare, sceglieno il percorso a risulta T = 0 e esseno P = 0 risulta T = P e il sistema è asintoticamente stabile internamente. Sceglieno il percorso b risulta T = e esseno P = il sistema risulta asintoticamente stabile internamente. E facile renersi conto che se il punto critico si trovasse alla estra el punto i intersezione el iagramma polare con il semiasse reale negativo, come illustrato nella Fig. 9..4, il sistema sarebbe instabile. Infatti, per quanto concerne il calcolo i T, sceglieno il percorso a si ha T =, mentre sceglieno il percorso b si ha T =. Poiché nel primo caso P = 0 (il polo nell origine viene computato come un polo a parte reale negativa), mentre nel secono caso P = (il polo nell origine viene computato come un polo a parte reale positiva), si ha in entrambi i casi T P e Z =. Ne consegue che il sistema è instabile. 9.3 Sistemi a stabilità regolare e conizionata 0 +

0 Dall esempio 9.. si evince che, aumentano il guaagno ella funzione i trasferimento a catena aperta, il sistema a stabile iventa instabile. Può, comunque, accaere che il passaggio alla stabilità alla instabilità si manifesti anche a seguito i riuzioni el guaagno. Con riferimento alle variazioni el guaagno, i sistemi i controllo si classificano in: sistemi a stabilità regolare sistemi a stabilità conizionata. 0 a Im[ F( jω )] b 0 + D (jω) + Re[ F( jω )] F( jω ) 0 + Fig. 9..4 Diagramma completo per la valutazione ella stabilità. Punto critico a estra ell intersezione con il semiasse reale negativo. I sistemi a stabilità regolare sono caratterizzati alla esistenza i un solo valore critico el guaagno k c tale che per k > kc il sistema a catena chiusa risulta instabile (IST), mentre k < k c il sistema è asintoticamente internamente stabile (S) (cfr. Fig. 9.3.). Per tali sistemi, il iagramma polare ella funzione i trasferimento a catena aperta presenta una sola intersezione con il semiasse reale negativo. S IST k c k Fig. 9.3. Influenza el guaagno sulla stabilità: sistemi a stabilità regolare. Nella Fig. 9.3. sono riportati i iagramma polari per sistemi a stabilità regolare corrisponenti a moelli stabili, instabili e al limite i stabilità (LS). Il guaagno critico è quello corrisponente al caso in cui il iagramma polare ella funzione i trasferimento a catena aperta passa per il punto critico (-, j0). S

IST LS 9.3. Diagrammi polari F( jω ) per sistemi a stabilità regolare. I sistemi a stabilità conizionata sono caratterizzati a iversi valori critici el guaagno che iniviuano regioni contigue all interno elle quali il sistema risulta alternativamente stabile (S) o instabile (IST, cfr. Fig. 9.3.3). I sistemi in questione sono caratterizzati a iversi punti i intersezione el iagramma polare ella funzione i trasferimento a catena aperta presenta con il semiasse reale negativo (cfr. Fig. 9.3.4). S IST S IST k k c c c3 k k Fig. 9.3.3 Influenza el guaagno sulla stabilità: sistemi a stabilità conizionata. C B A O Fig. 9.3.4 Diagramma polare ella F( jω ) per sistemi a stabilità conizionata. Con riferimento alla Fig. 9.3.4, k c è il guaagno corrisponente al caso in cui l intersezione C el iagramma polare ella F( jω ) con il semiasse reale negativo coincie con il punto critico (-, j0), k c corrisponente al caso in cui l intersezione B el iagramma polare ella F( jω ) con il semiasse reale negativo coincie con il punto critico (-, j0), e k c3 corrisponente al caso in cui l intersezione A el iagramma polare ella F( jω ) con il semiasse reale negativo coincie con il punto critico (-, j0). Utilizzano il criterio i Nyquist è facile verificare che: per k < k c C è a estra el punto critico e il sistema a catena chiusa risulta asintoticamente stabile internamente; per k ( kc, kc) il punto critico appartiene al tratto BC e il sistema è instabile; per k ( kc, kc3) il punto critico appartiene al tratto BA e il sistema è asintoticamente stabile internamente; per k > k c 3 il sistema risulta instabile. 9.4 Margini i stabilità L analisi svolta in preceenza mette in luce che meiante il criterio i Nyquist è possibile stuiare la stabilità el moello matematico nominale i un sistema reale, cioè i un moello nel quale figurano i valori nominali ei parametri. Com è noto, a causa elle tolleranze ei componenti utilizzati, el loro invecchiamento e elle conizioni operative el

sistema reale stesso i parametri el moello sono noti con un certo margine i incertezza. E unque i fonamentale importanza valutare, accanto alla stabilità nominale, se la stabilità risulti anche robusta, nel senso che essa venga mantenuta per tutti i valori previsti per i parametri el moello. Nell ambito ella teoria classica el controllo, un moo per valutare la robustezza ella proprietà i stabilità è quello i fare ricorso ai margini i stabilità, il margine i guaagno e il margine i fase, i quali misurano la istanza el moello alle conizioni per cui si verifica l instabilità. Per efinire i margini i stabilità si ipotizza che la curva polare abbia una sola intersezione con il semiasse reale negativo (cioè che il sistema sia a stabilità regolare) e che abbia una sola intersezione col cerchio i raggio unitario centrato nell origine el piano i Nyquist (cfr. Fig. 9.4.). In tali ipotesi è possibile efinire un solo margine i fase e un solo margine i guaagno. I( ω ) (, j0) R( ω ) Fig. 9.4. Diagramma polare utile per efinire i margini i stabilità. Com è noto, per i sistemi a stabilità regolare le conizioni limite fra stabilità interna asintotica e instabilità sono caratterizzate al fatto che la curva polare ella F( jω ) passa per il punto critico: esiste cioè un certo valore ω * i ω tale che F( j ω *) =. Tale equazione equivale alle seguenti ue equazioni scalari: F( j ω *) =, (9.4.) F( jω*) = π. (9.4.) I margini i stabilità vengono, allora, efiniti ammetteno che sia soisfatta una elle preceenti conizioni e valutano il margine rimanente perché sia soisfatta anche la conizione rimanente. Per efinire il margine i guaagno m g si consiera il valore ω π i ω in corrisponenza al quale viene soisfatta la conizione i fase (9.4.) e si valuta il margine che rimane affinché sia soisfatta la conizione sul moulo (9.4.). In particolare, il margine i guaagno viene efinito come quel numero per cui occorre moltiplicare il F( jω π ) per ottenere un risultato pari a. Quini, si ha: m g = F ( jω ). (9.4.3) π Ne consegue che il margine i guaagno è maggiore i se l intersezione ella curva polare con il semiasse reale negativo è a estra el punto critico, e cioè nel caso in cui il sistema a controreazione sia stabile. Il margine i guaagno può essere eotto a partire alla curva polare o ai iagrammi i Boe ella F( jω ). Con riferimento alla Fig. 9.4., il margine i guaagno è pari all inverso

3 el moulo ell ascissa el punto i intersezione el iagramma polare con il semiasse negativo. Con riferimento alla Fig. 9.4.3, il margine i guaagno espresso in ecibel è ato a mg = F( jω π ) e risulta positivo se F( j ω ) < 0. B B π B I( ω ) m g (, j0) R( ω ) Fig. 9.4. Valutazione el margine i guaagno a partire al iagramma polare ella F( jω ). F( jω ) B ω t ω F( jω π ) B F( jω ) ω π ω π m φ Fig. 9.4.3 Valutazione el margine i guaagno a partire ai iagrammi i Boe ella F( jω ). In maniera el tutto analoga, per efinire il margine i fase m φ si consiera il valore ω t i ω in corrisponenza al quale è soisfatta la (9.4.), cioè F( jω ) = ( F( jω ) = 0), e si t t B valuta il margine che rimane affinché sia soisfatta la conizione sulla fase (9.4.). Il margine in questione viene efinito come segue: mφ = F( jω ) ( π ) = F( jω ) + π. (9.4.4) t Il margine i fase può essere eotto al iagramma polare come inicato nella Fig. 9.4.4. 0, π. Con riferimento a tale figura, poiché il punto P è al isotto ell asse reale, si ha m φ [ ] Se P si trova al isopra ell asse reale si ha [ π,0]. m φ Il margine i fase può anche essere eotto ai iagrammi i Boe ella F( jω ) come inicato nella Fig. 9.4.3. Più precisamente, si etermina, anzitutto, la pulsazione ω t in t

4 corrisponenza alla quale F( jω ) = 0 ; il margine i fase è ato alla istanza el punto P t B rappresentativo ella F( jω t ) alla retta π, e è positivo se P sta al isopra i tale retta. La pulsazione ω t viene enominata pulsazione i attraversamento. P F ( jω t ) I ( ω ) m φ R ( ω ) Fig. 9.4.4 Valutazione el margine i fase a partire al iagramma polare ella F( jω ). La efinizione i ue margini i stabilità è giustificata al fatto che nessuno ei ue margini è sufficiente a misurare a solo la istanza el moello nominale alle conizioni per cui si ha il passaggio alla instabilità. Ciò emerge chiaramente all esame ella Fig. 9.4.5, ove sono illustrati i iagrammi polari i ue funzioni che i trasferimento a catena aperta alle quali corrispone ientico valore per il margine i guaagno ma valori ben iversi el margine i fase. Chiaramente, il sistema caratterizzato alla funzione II, cui corrispone il valore più piccolo el margine i fase, è più vicino alle conizioni per cui si ha il passaggio alla instabilità rispetto al sistema caratterizzato alla funzione I. I( ω ) R( ω ) II I Fig. 9.4.5 Valori tipici i m φ e m g sono, rispettivamente, 40 50 e 6 8 B. Per sistemi a stabilità regolare è possibile verificare la proprietà i stabilità a partire alla conoscenza el segno i ei margini i stabilità. Sussistono in proposito i seguenti ue teoremi. Teorema 9. Un sistema a controreazione, per il quale la funzione i trasferimento a catena aperta F( s ) abbia un iagramma polare che, per valori positivi i ω, presenti un unica intersezione con l asse reale negativo el piano i Nyquist ella F( jω ), e non abbia poli a parte reale positiva (P = 0), è asintoticamente stabile internamente se e solo se m g > 0. B Teorema 9. Un sistema a controreazione, per il quale la funzione i trasferimento a catena aperta F( s ) abbia un iagramma polare che, per valori positivi i ω, presenti un unica intersezione con il cerchio unitario centrato nell origine el piano i Nyquist ella F( jω ), e non abbia poli a parte reale positiva (P = 0), è asintoticamente stabile internamente se e solo se m > 0 φ.

5 Per sistemi a fase minima, per i quali si possa ritenere valia la seguente relazione approssimata fra moulo e fase, in corrisponenza alla pulsazione i attraversamento, ata a: π F( jω) B F( jωt ), (9.4.5) 40 logω ω ω è possibile giuicare qualitativamente la stabilità el sistema a catena chiusa in base alla penenza el iagramma ei mouli in corrisponenza alla pulsazione i attraversamento. Assumeno infatti P = 0, per il Teorema 9. la conizione necessaria e sufficiente per la stabilità è che risulti: ovvero che: π F( jω) B F( jωt ) > π, 40 logω ω ω = t = F( jω) B > 40 B/ec. (9.4.6) logω ω ω = 9.5 Legame fra il comportamento i un sistema, i margini i stabilità e la pulsazione i attraversamento Il margine i fase e la pulsazione i attraversamento caratterizzano il comportamento transitorio i un sistema i controllo semplice el secono orine, a catena chiusa. Con riferimento al sistema a catena chiusa i Fig. 9.5., si ha: t t ωn n n G W = = + G s + ζω s + ω, (9.5.) che, com è noto, è la funzione i trasferimento i un sistema semplice el secono orine. U + G (s) Y Fig. 9.5. Sistema semplice el secono orine: n ω G = s( s + ζω ). Il margine i fase e la pulsazione i attraversamento el sistema i Fig. 9.5., sono ati a: n 4 ω = ω + 4ζ ζ, (9.5.) t n m φ π = arctan 4 + 4ζ ζ ζ. (9.5.3)

fig. 79 6 L esame ella (9.5.) mostra che, a parità i ζ, ω t è proporzionale a ω n e, quini è una misura ella prontezza i risposta. L esame ella (9.5.3) mostra che il margine i fase ipene esclusivamente a ζ e, quini, è una misura ella precisione inamica. Una relazione approssimata fra m φ e ζ, che può essere ottenuta per ζ 0.707, è ata a: ζ 0.0m. 9.6 Criterio i Nyquist per sistemi a più anelli i controreazione Lo stuio ella stabilità asintotica interna i sistemi con più anelli i controreazione, può essere effettuato applicano ripetutamente il criterio i Nyquist a partire all anello più interno. Consierato, a esempio, il sistema i Fig. 9.6., assorbeno l anello interno, la cui funzione i trasferimento W ( s ) è ata a: φ G W = + G H, U + U U Y G H H il sistema si riuce a un ciclo Fig. 9.6. Schema i controllo a ue anelli i controreazione. unico (fig. 79). La D (s) è la funzione ifferenza el ciclo interno: D (s) = +F (s) = +G (s) H (s). Al sistema rimanente è possibile apfig. 78 plicare il criterio i Nyquist: affinché il sistema sia asintoticamente stabile internamente si eve verificare che il numero i giri che il vettore rappresentativo ella funzione ifferenza: D (jω) = + W (jω) H (jω) U + Y compie attorno al punto critico el piano i Nyquist el- W H

7 la funzione i trasferimento a catena aperta F = W H sia pari al numero i poli a parte reale positiva ella F : T = P. D F Ma tale numero risulta: P = P + P F W H i cui il primo è incognito e il secono noto. Per eterminare P W si eve applicare il criterio i Nyquist al ciclo interno che è stato assorbito (fig. 80), U + U Y G per il quale eve risultare: Il valore i quini: ZD P W = Z D. si ricava al principio ell argomento: T D = P D Se T D = P D, si evince che Z D risultare instabile, vale la relazione ell in-tero sistema. Z D fig. 80 Z D = = 0, quini P = W Z D P D T D. P = P, mentre se l anello interno ovesse F H H. Alla fine si riesce quini a provare la stabilità

8 Cap. 0 Comportamento in regime permanente e transitorio Premessa - Il comportamento in regime permanente e transitorio i un sistema i controllo viene stuiato a partire all errore E( s ) ato a: [ ] E = K W U W Z = E + E, (0..) z u z che coincie con la (8..) assumeno n( t) = 0 t 0. Più precisamente, il comportamento i un sistema i controllo viene valutato assumeno che:. il sistema sia asintoticamente internamente stabile;. il sistema evolva allo stato zero; 3. i segnali i ingresso, cioè isturbi e segnali i comano, siano i segnali canonici ati a: δ t ( t) = δ ( t), (0..) k! ( k+ ) 4. nella prima fase i stuio, sia presente uno solo ei segnali in gioco: per i sistemi i asservimento sia presente il segnale i comano e non il isturbo, mentre per i sistemi i regolazione sia presente il isturbo e non il segnale i comano. 0. Comportamento in regime permanente e transitorio ei sistemi i asservimento In accoro al punto 4, lo stuio el comportamento in regime permanente e transitorio ei sistemi i asservimento viene sviluppato a partire allo schema i controllo i riferimento illustrato nella Fig. 0... Ovviamente, l errore che si consiera è quello ovuto all imperfetto legame funzionale ingresso-uscita, ato alla (8..5) che si riporta i seguito per comoità: k ove: [ ] E = K W U = W U. (0..3), u eu W = K W. eu U ( s ) + M ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) Y ( s ) H ( s ) Fig. 0.. Schema i controllo i riferimento per un sistema i asservimento 0.. Comportamento in regime permanente. Il Comportamento in regime permanente viene effettuato a partire all errore finale così efinito.

9 Definizione 0.. Si ice errore finale corrisponente a un segnale i comano i tipo canonico i orine k, la granezza e = lim e ( t) ove e ( t ) è l errore corrisponente al segnale i comano stesso. Per il teorema el valore finale, si ha: uk t u W ( ) lim ( ) lim ( ) lim eu s euk = seu s = sweu s =. (0..4) s 0 s 0 s k + s 0 s k u Dal punto i vista el comportamento in regime permanente, i sistemi i asservimento vengono classificati in tipi, in accoro alla seguente efinizione. Definizione 0.. Un sistema i asservimentosi ice i tipo ρ se l errore finale corrisponente a un segnale i comano i orine ρ risulta finito e iverso a zero. E facile imostrare il seguente Teorema. Teorema 0.. Un sistema i asservimento è i tipo ρ se e solo se la funzione i trasferimento ell errore ovuto all ingresso, Weu ( s ), ha uno zero i molteplicità ρ nell origine. Prova Dall esame ella (0..4) emerge che se W ( s ) ha uno zero i molteplicità ρ nell origine, allora eu ρ è finito e iverso a zero. Inoltre, eu ρ finito e iverso a zero implica che Weu ( s ) abbia uno zero i molteplicità ρ nell origine. Infatti, se Weu ( s ) avesse uno zero nell origine i molteplicità maggiore i ρ allora e uρ = 0, mentre se Weu ( s ) avesse uno zero nell origine i molteplicità minore i ρ allora e uρ =. Dal Teorema 0.. emerge che: un sistema i asservimento i tipo ρ, sollecitato a un ingresso canonico i orine minore i ρ ha un errore finale nullo, il che implica che il sistema, a partire a un certo istante i tempo, è in grao i inseguire perfettamente il segnale i comano; un sistema i asservimento i tipo ρ, sollecitato con un ingresso canonico i orine ρ, è in grao i inseguire asintoticamente il segnale i comano, ma con un errore finito e iverso a zero; un sistema i asservimento i tipo ρ, sollecitato con un ingresso canonico i orine maggiore i ρ, non è in grao i inseguire il segnale i comano. Aesso, nello spirito el legame iretto fra il comportamento ell intero sistema e quello elle singole parti i cui è costituito, conviene eterminare conizioni per l appartenenza i un sistema al tipo ρ irettamente sulle funzioni G = G G e H ( s ). In proposito conviene istinguere il caso ei sistemi a reazione proporzionale a quello ei sistemi a reazione inamica. eu c p

30 Sistemi a reazione proporzionale Un sistema a reazione proporzionale è un sistema a controreazione (cfr. 0..) nel quale H = K. Per tale sistema, la funzione Weu ( s ) risulta: W = K W = eu K K, (0..5) + G ove G = G G e, pertanto, gli zeri ella funzione W ( s ) coinciono con i poli c p ella funzione G( s ). Si imostra, allora, la seguante Asserzione. Asserzione Un sistema a reazione proporzionale è i tipo ρ se la funzione G( s ) ha un polo i molteplicità ρ nell origine. Per un sistema i tipo ρ, l errore finale è ato a (cfr. (0..4)): eu K u ρ = lim eu ( ) = lim s 0 s 0 K s ρ + ρ e W s. (0..6) s G Poiché G( s ) ha un polo i molteplicità ρ nell origine, com è noto, si ha ove K gg è il guaagno ella funzione G( s ). Ne consegue che: lim s G KgG s 0 ρ e K K + K gg uρ = K K gg, ρ = 0, ρ. (0..7) La (0..7) mostra che l errore finale iminuisce al crescere el guaagno ella funzione i trasferimento ella linea i azione iretta. Sistemi a reazione inamica Si assuma, aesso, che la retroazione sia inamica e, cioè, che H ( s ) sia ata a: H = L j= 0 P j= 0 δ s j γ s j j j. (0..8) In tale caso, il fatto che la funzione G( s ) abbia un polo i molteplicità ρ nell origine non implica che il sistema sia i tipo ρ. Ciò può essere verificato osservano che la funzione Weu ( s ) ha uno zero i molteplicità ρ nell origine se risulta:

3 k lim eu ( ) 0, 0, s 0 k W s = k = ρ, s (0..9) ρ lim W eu ( s ) 0 e finito. s 0 ρ s (0..0) Assumeno che G( s ) abbia un polo nell origine i molteplicità e scriveno tale funzione come segue: la funzione W ( s ) iviene: eu e per s 0, si ha: G = G, G (0) 0, s G G Weu = K W = K = K, + G H s + G H G (0) lim Weu = K = K. (0..) s 0 G (0) H H (0) Ne consegue che il sistema è i tipo 0, a meno che il guaagno ella funzione H ( s ) non venga scelto pari a: δ0 H (0) = =. (0..) γ K Osservazione 0.. Si noti che la conizione (0..), molto semplice a realizzare, è anche semplice a mantenere nel tempo, poiché essa coinvolge parametri ella funzione H ( s ) che, come già etto, eve essere realizzata con tolleranze molto strette. Assumeno, aesso, che G( s ) abbia un polo nell origine i molteplicità, poneno: G = G, G (0) 0 s le conizioni per l appartenenza el sistema i asservimento al tipo sono ate alla (0..) e alla relazione: lim W eu ( s ) = 0. (0..3) s 0 s Poiché risulta: 0 () G Weu Weu = = s s s + G H () () () G s + G H G s + G H + G H, (0..4) s + G H ( ) ( ) ( )

3 si ottiene: G G H G G H G H lim Weu = = s 0 s H ( ) ( G (0) H (0)) () () () (0) (0) (0) (0) (0) (0) + (0) (0) () H (0) (0..5) Esseno inoltre: (0). si ha: e la (0..3) iviene: H () = L P L P j j j j jδ js γ js δ js jγ js j= j= 0 j= 0 j= P j js γ j= 0 H () 0 0 (0) γ 0 = δ γ δ γ, δ γ δ γ 0 0 γ 0 δγ 0 δ0γ δ0 δ0 lim W eu ( s ) = = = 0. (0..6) s 0 s γ 0 Le (0..) e (0..6) mostrano che la presenza i un polo oppio nell origine nella funzione i trasferimento ella linea i azione iretta, G( s ), non implica che il sistema sia i tipo. Tuttavia, se G( s ) ha un polo oppio nell origine, le conizioni i appartenenza el sistema al tipo ρ sono soisfatte se e solo se risulta: δ0 H (0) = =, (0..7) γ 0 K δ δ0 = =. (0..8) γ γ 0 Le (0..7) e (0..8) sono semplici a realizzare e a mantenere nel tempo per le stesse motivazioni illustrate nella Osservazione 0... K, 0.. Comportamento transitorio

33 Lo stuio el comportamento transitorio viene effettuato assumeno che il segnale i comano sia a graino unitario e calcolano il corrisponente errore transitorio. Tale errore è ato a: e ( t) = e ( t) e, (0..9) utr u u0 ove e u0 è l errore finale e eu ( t ) è l errore complessivo ato a: eu ( t) = L ( Eu ) = L ( K W ) = K w ( t), t 0 s. (0..0) Ne consegue che: e ( t) = K e w ( t), t 0. (0..) utr u0 Poiché lim eutr ( t) = 0, si ha lim w ( t) = K eu 0. t t Ciò premesso, lo stuio el comportamento transitorio ei sistemi i asservimento può essere effettuato in ue moi. Nel primo vengono utilizzate le granezze caratteristiche ell errore transitorio e cioè il tempo i salita, il tempo i formazione, la eventuale sovraelongazione, il tempo i assestamento, il tempo all emivalore e l eventuale tempo al picco. Nel secono vengono impiegati gli inici i qualità. Tali inici permettono i valutare il comportamento transitorio in maniera globale, in quanto sono ei funzionali che permettono 0,+. i associare un numero all anamento ell errore transitorio nell intervallo [ ) L espressione generale i un inice i qualità è la seguente: J = f ( e ( t)) t i t, (0..) 0 + ove f ( e ( t )), enominata funzione importanza, pesa gli errori in relazione alla loro entità, tr i mentre t, enominata funzione peso, pesa gli errori in relazione al tempo in cui si manifestano. Sceglieno come funzione importanza la funzione: possono essere efiniti i seguenti inici: tr tr f ( e ( t)) = e ( t), (0..3) tr Sceglieno come funzione peso la funzione: + tr 0 ISE = e ( t) t, (0..4) + tr 0 ITSE = e ( t) tt. (0..5)

34 possono essere efiniti gli inici: f ( e ( t)) = e ( t), (0..6) tr tr IAE = e ( t) t, (0..7) 0 0 + + tr ITAE = e ( t) tt. (0..8) L impiego più interessante egli inici i qualità si ha nella sintesi i un sistema i controllo. In tale ambito, il problema che ci si pone è quello i progettare un controllore in moo tale a minimizzare l inice i qualità prescelto. L inice più iffuso è l inice ISE poiché può essere minimizzato per via analitica. Tuttavia, la minimizzazione i tale inice porta a controllori troppo aggressivi. Infatti, la funzione importanza i tipo quaratico penalizza fortemente gli errori elevati e, conseguentemente, il controllore progettato minimizzano l inice ISE tene a riurre rapiamente tali errori. Ciò comporta una elevata prontezza i risposta accompagnata, però, a una elevata sovraelongazione e a una rilevante tenenza alle oscillazioni poiché, a causa ella elevata azione i controllo iniziale, l uscita supera i molto il valore finale prima i iniziare a iminuire; la riuzione ell errore è ancora piuttosto rapia ovuta a una forte azione i controllo, il che comporta una sottoelengazione ell uscita. D altra parte, poiché la funzione importanza attribuisce poco peso agli errori piccoli, il tempo i assestamento può risultare elevato. Risultati migliori possono essere ottenuti con gli altri inici i qualità che, però, possono essere minimizzati solamente per via numerica. 0. Comportamento in regime permanente e transitorio ei sistemi i regolazione Lo stuio el comportamento in regime permanente e transitorio ei sistemi i regolazione, nell ambito ella teoria classica ei sistemi i controllo, viene effettuato assumeno che l ingresso sia costituito a un isturbo a graino unitario. Lo schema i riferimento è quello illustrato nella Fig. 0.. e l errore corrisponente è ato alla 8..6 che si riporta i seguito per comoità: 0.. Comportamento in regime permanente tr E = W Z. (0..9) z Dal punto i vista el comportamento in regime permanente, i sistemi i regolazione si suiviono in sistemi statici e astatici, in accoro alla seguente efinizione. Definizione 0..3 Un sistema i regolazione si ice statico o astatico rispetto a un isturbo a graino, a secona che l errore finale conseguente al isturbo sia, rispettivamente, finito e iverso a zero o nullo. Teorema 0.. Un sistema i regolazione è astatico se e solo se la funzione i trasferimento isturbo-uscita presenta uno zero nell origine. Prova L errore relativo al isturbo è ato alla (0..9); quini l errore finale 0 z e, corrisponente a un isturbo a graino, risulta: z

35 ez0 = lim sez = lim swz = Wz (0). (0..30) s 0 s 0 s + M ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) Z( s ) + + Y ( s ) H ( s ) Fig. 0.. Schema i controllo i riferimento per un sistema i regolazione. Conviene, aesso, eterminare le conizioni a soisfare perché il sistema sia astatico, sulle funzioni associate alle singole parti el sistema stesso. In proposito, conviene osservare che la funzione i trasferimento isturbo-uscita, con riferimento allo schema i Fig. 0.., è ata a: Wz = + F. Pertanto, il sistema è astatico se e solo se la funzione i trasferimento a catena aperta F = G G H ha un polo nell origine. Esclueno che H ( s ) abbia un polo c p nell origine, perché altrimenti una granezza i uscita costante prourrebbe una granezza i controreazione a rampa lineare, si euce che il sistema i Fig. 0.. è astatico se e solo se la funzione G G ( s ) ha un polo nell origine. c p Se il isturbo agisce all ingresso ella funzione i trasferimento G ( s ), com è facile verificare, si ha: Gp Wz =. (0..3) + F Osservano che gli zeri i Wz ( s ) sono gli zeri i Gp ( s ) e i poli i Gc H ( s ), che H ( s ) non può avere poli nell origine e che G ( s ) non può avere zeri nell origine, altrimenti l uscita non p potrebbe risultare costante, si conclue che il polo nell origine, che rene astatico l intero sistema, eve essere contenuto nella G ( s ). Risulta quini imostrato il seguente risultato: c Teorema 0..3 Un sistema i regolazione è astatico se e solo se la funzione i trasferimento ella linea i azione iretta, che sta a monte el punto i ingresso el isturbo, presenta un polo nell origine. 0.. Comportamento transitorio Lo stuio el comportamento transitorio ei sistemi i regolazione si effettua assumeno che il isturbo sia a graino unitario, z( t) = δ ( t). Tale stuio si basa sul calcolo ell errore transitorio, in accoro alla seguente espressione: p

36 e ( t) = e ( t) e, t 0 (0..3) ztr z z0 ove e z0 è l errore finale e ez ( t ) è l errore complessivo ato a: Ne consegue che: ez ( t) = L ( Ez ) = L Wz = wz, ( t), t 0 s. (0..33) e ( t) = e w ( t), t 0. (0..34) ztr z0 z, Poiché lim e ( t) = 0, si ha lim w, ( t) = e 0. t ztr t z u Ciò premesso, lo stuio el comportamento transitorio ei sistemi i regolazione si effettua in moo analogo a quello ei sistemi i asservimento.