Cap. 8 Sistemi di controllo

Cap. 8 Sistemi i controllo Come già etto, in generale, un sistema è solo potenzialmente in grao i soisfare gli obiettivi per i quali è stato costruito, e cioè i comportarsi nella maniera esierata. Per conseguire tale obiettivo occorre esercitare sul sistema un complesso i azioni, ette azioni i controllo o, più semplicemente controllo. Per are una efinizione precisa i controllo si ammetta che: a) il comportamento effettivo el sistema possa essere riassunto all anamento temporale i una o più granezze uscita; b) l informazione sul comportamento esierato el sistema possa essere riassunta all anamento temporale i una o più granezze, ette granezze i comano o granezze i riferimento, il cui valore sia, istante per istante, proporzionale al valore esierato elle granezze i uscita. Forzare il sistema a comportarsi nel moo esierato significa, allora, far sì che le granezze uscita risultino proporzionali alle granezze i comano entro prefissati margini i tolleranza, contrastano gli effetti ei isturbi e elle variazioni parametriche che agiscono sul sistema. È possibile a questo punto fornire la seguente efinizione i controllo. Definizione 8. Si chiama controllo un insieme i azioni che consente i far variare nel moo voluto le granezze i uscita i un sistema, alle quali sia associato un livello i potenza notevolmente superiore rispetto a quello elle granezze i comano. Il controllo che i esercita senza l intervento ell uomo si ice controllo automatico. Un sistema i controllo automatico è un insieme i elementi fra loro interagenti, nei quali almeno una interazione rientra nella efinizione i azione i controllo automatico. Il sistema al quale si vuole imporre il comportamento esierato viene enominato, come etto sistema controllato, le granezze che esercitano l azione i controllo su i esso vengono enominate granezze controllanti, quelle i uscita vengono enominate granezze controllate. Il problema el controllo viene risolto associano al sistema controllato un opportuno sistema controllante, il cui compito è quello i sviluppare le azioni i controllo a partire alle granezze i riferimento e, eventualmente, a altre granezze. 8. Classificazione ei sistemi i controllo Un primo criterio i classificazione ei sistemi i controllo è quello basato sulle moalità i controllo impiegate. Le moalità i controllo i base sono: il controllo a catena aperta; il controllo a catena chiusa o a controreazione. Il controllo si ice a catena aperta se le azioni i controllo vengono esercitate a partire alle granezze i comano e alle cause i errore, cioè ai isturbi e alle variazioni parametriche, qualora questi possano essere misurati. In proposito, con riferimento ai isturbi si osservi che alcuni tipi i isturbi possono essere irettamente misurati, mentre altri tipi possono solamente essere stimati inirettamente, cioè a partire alle misure i altre granezze accessibili per la misura. Le variazioni parametriche, invece, possono solamente essere stimate inirettamente. Un sistema i controllo si ice a catena aperta se la moalità i controllo impiegata è quella a catena aperta. Lo schema strutturale i principio i un sistema i controllo a catena aperta è riportato in Fig. 8... Si noti che il ispositivo i controllo, usualmente realizzato meiante l impiego i sistemi igitali basati su microprocessore, ha il compito i elaborare

segnali i controllo i aeguato anamento temporale. Gli organi i potenza vengono utilizzati per conferire a tali segnali il livello i potenza aeguato generano azioni i controllo in grao i guiare l evoluzione el sistema controllato. SISTEMA CONTROLLANTE MISURA DISTURBI MISURA VARIAZ. PARAMETRICHE DISPOSITIVO ORGANI DI SISTEMA u( t ) DI CONTROLLO POTENZA m( t ) CONTROLLATO y( t ) Fig. 8.. Schema i principio i un sistema a catena aperta. Il controllo si ice invece a catena chiusa, o a controreazione se le azioni i controllo vengono esercitate a partire alla ifferenza tra le granezze i riferimento e le misure elle granezze controllate. Un sistema i controllo si ice a catena chiusa se in esso vengono sviluppate azioni i controllo a catena chiusa. Lo schema strutturale i principio i un sistema i controllo a catena chiusa è riportato nella Fig. 8... variazioni parametriche isturbi DISPOSITIVO DI CONFRONTO E CONTROLLO ORGANI DI POTENZA SISTEMA CONTROLLATO SISTEMA CONTROLLANTE DISPOSITIVO DI MISURA Fig. 8.. Schema i principio i un sistema a catena chiusa. L esame egli schemi i controllo a catena aperta e chiusa, mostra che: lo schema a catena aperta genera le azioni i controllo a partire alle cause i errore, isturbi e variazioni parametriche, mentre lo schema a catena chiusa genera le azioni i controllo a partire agli effetti che le cause i errore hanno sull uscita; se isturbi e variazioni parametriche potessero essere tutti misurati (anche inirettamente), i ispositivi i misura fossero istantanei e privi i errori, il ispositivo i controllo fosse in grao i elaborare i segnali i controllo in tempo reale e gli organi

3 i potenza fossero istantanei, lo schema a catena aperta potrebbe funzionare in assenza i errore sulle variabili i uscita; lo schema a catena chiusa, anche nelle succitate ipotesi ieali, comporterebbe la presenza i un errore finito che, a secona el tipo i legge i controllo elaborata al ispositivo i controllo, potrebbe o meno convergere a zero; lo schema a catena aperta, in presenza i isturbi o variazioni parametriche non previste, e quini non misurate, non è in grao i moificare le azioni i controllo generate in assenza i tali aizionali cause i errore, mentre lo schema a catena chiusa è in grao i reagire a esse poiché tali cause provocano effetti sulle granezze i uscita che rilevate al ispositivo i confronto e controllo, eterminano una moifica elle azioni i controllo preesistenti; Ne consegue che lo schema a catena chiusa è in grao i assicurare prestazioni migliori i un sistema i controllo a catena aperta. Ovviamente, possono essere realizzati schemi i controllo nei quali sono presenti entrambe le moalità i controllo. Un secono criterio i classificazione ei sistemi i controllo è quello basato sulle finalità che tale sistema persegue. In accoro a tale criterio, i sistemi i controllo si istinguono in: sistemi i regolazione; sistemi i asservimento. In un sistema i regolazione le granezze i riferimento sono costanti, e quini la sua finalità è quella i mantenere costanti e pari al livello esierato le granezze i uscita contrastano gli effetti ei isturbi e elle variazioni parametriche. Un sistema i asservimento è invece caratterizzato al fatto che le granezze i comano sono generiche funzioni el tempo, e la sua finalità è quella i forzare le granezze i uscita a assumere un anamento proporzionale a quello elle granezze i ingresso, entro prefissati margini i tolleranza, opponenosi anche in questo caso agli effetti ei isturbi e elle variazioni parametriche. Un terzo criterio i classificazione è quello basato sulla natura fisica elle granezze controllate. In accoro a tale criterio, i sistemi i controllo si istinguono in: sistemi i controllo cinetici; sistemi i controllo i processo. Nei sistemi i controllo cinetici le granezze controllate sono i natura meccanica (posizione, velocità, accelerazione), mentre nei sistemi i controllo i processo le granezze controllate sono i natura non meccanica (temperature, livelli, portate, tensioni, frequenze). I sistemi i asservimento i tipo cinetico vengono anche enominati servomeccanismi. Nelle Figg. 8..3 e 8..4 vengono illustrati ue possibili schemi i controllo, a catena aperta e a catena chiusa, il cui scopo è quello i mantenere costante il livello el liquio in un serbatoio. Nel sistema i Fig. 8..3 viene, anzitutto, misurato il isturbo q u. Tale informazione viene inviata al ispositivo i controllo che riceve anche quella relativa al livello esierato. A partire a tali informazioni, il ispositivo i controllo elabora un segnale elettrico che viene amplificato in livello e in potenza, al fine i forzare un motore a corrente continua a trascinare in rotazione il rotore i una pompa volumetrica alla velocità ionea a immettere nel serbatoio liquio con una portata q i ionea a contrastare gli effetti i q u. E facile renersi conto che a causa i inevitabili errori i misura e i ritari nel calcolo ella legge i controllo, il livello

4 el liquio non si mantiene costante e pari a quello esierato. Il serbatoio potrebbe, al limite, svuotarsi el tutto o riempirsi completamente. MOTORE C. C. ω AMPLIFICATORE DI POTENZA E DI LIVELLO DISPOSITIVO DI CONTROLLO POMPA VOLUMETRICA q i l q u MISURA DELLA PORTATA q u Fig. 8..3 Sistema i regolazione a catena aperta el livello el liquio in un serbatoio. Nel sistema i Fig. 8..4 la granezza l (t) viene misurata tramite un galleggiante e trasformata in una granezza i tipo elettrico, a essa proporzionale, collegano il galleggiante stesso al cursore i un potenziometro a ue cursori. L altro cursore viene posizionato in moo a fornire una granezza elettrica proporzionale al valore esierato el livello el liquio. La ifferenza fra le ifferenze i potenziale fra i ue cursori e la massa el potenziometro è, quini, proporzionale all errore i livello. A partire a tale granezza proporzionale all errore, il ispositivo i controllo elabora una legge i controllo che forza tale granezza, e quini l errore i livello, a seguire un anamento temporale esierato che tene a zero o a un valore inferiore a una soglia prefissata. ω AMPLIFICATORE DI POTENZA E DI LIVELLO DISPOSITIVO DI CONTROLLO guie r ( t ) r ( t ) POMPA VOLUMETRICA q i l (t) q u Fig. 8..4 Sistema i controllo a catena chiusa. 8. Struttura ei sistemi i controllo a controreazione Lo schema strutturale i un sistema i controllo a controreazione è illustrato nella Fig. 8..5, ove i blocchi e le granezze mostrati hanno il significato che segue. u: granezza i comano; G: generatore ella granezza i comano, ammesso che essa sia nota a priori; T, T : trasuttori, cioè ispositivi che moificano la natura fisica ei segnali ingresso u e y, generano segnali r e y c ella stessa natura fisica, ma i natura fisica iversa a u e y, legati a queste ultime granezze tramite una legge nota; le granezze i uscita ei ue trasuttori sono, generalmente, i natura elettrica per la semplicità

5 con cui tali segnali possono essere manipolati, e la notevole isponibilità i ispositivi in grao i manipolarli; r: segnale i riferimento in senso stretto; y c : segnale i controreazione; u : segnale agente; m: granezza controllante; C: controllore o ispositivo i controllo, che ha il compito i elaborare la legge i controllo in moo che la granezza v abbia un anamento temporale esierato; A l : amplificatore elettrico i livello (v > v ), che agisce in moo che il guaagno ella funzione i trasferimento che lega y a u sia sufficientemente elevato; A p : amplificatore elettrico i potenza (v 3 ha un potenza maggiore i v ); E: esecutore o attuatore, che fornisce in uscita una granezza fisica m i natura ionea a poter pilotare il sistema controllato; poiché le granezze i ingresso e i uscita i E hanno una potenza elevata, si può ritenere che E sia un trasuttore a livello i potenza i potenza; S.C.: sistema controllato. LINEA DI AZIONE DIRETTA G u r u v v 3 T C A l A p + E S.C. y c T v m y Fig. 8..5 Struttura ei sistemi i controllo a controreazione. I blocchi a C a S.C. costituiscono la linea i azione iretta, il ramo su cui è presente T costituisce la linea i controreazione. Il segnale agente u può, in generale, non essere proporzionale all errore e( t) = y ( t) y( t) ato alla ifferenza fra l uscita esierata e quella effettiva. Tuttavia, in molti casi si preferisce utilizzare uno schema i controllo nel quale la legge i controllo viene elaborata a partire all errore o a una granezza a esso proporzionale. Si supponga, a esempio, che u(t) rappresenti proprio l anamento esierato ella granezza i uscita y ( t ), e che T e T abbiano la stessa funzione i trasferimento costante e pari a h. In tal caso si ha: Assumeno, invece, che: r( t) = hu( t), yc ( t ) = hy ( t ), u ( t) = r( t) y ( t) = h( y ( t) y( t)) = he( t) (8..) c y ( t) = K u( t), (8..) LINEA DI CONTROREAZIONE

6 è ancora possibile realizzare un sistema i controllo basato sull errore isponeno sulla linea i controreazione un blocco i trasferenza pari a K, come inicato nella Fig. 8..6. u (t) + u (t) y (t) h y c K h Fig. 8..6 Schema i controllo basato sull errore. 8.3 Analisi ello schema funzionale a controreazione Si ammetta, aesso, che associano a ciascun elemento ello schema i Fig. 8..6 il relativo moello matematico e utilizzano le relazioni i interconnessione, che esprimono il moo in cui i vari elementi sono interconnessi fra loro, sia possibile pervenire allo schema funzionale i Fig. 8..7. U ( s ) U ( s ) Y ( s ) G (s) + c ( ) Y s H (s) Fig. 8..7 Schema elementare a controreazione. Come già etto in preceenza, allo schema i Fig. 8..7 è possibile associare la funzione i trasferimento: Y G W = U = + G H. (8..3) Inoltre, al succitato schema possono essere associate la funzione i trasferimento a catena aperta F( s ) e la funzione ifferenza D( s ), ate a: F = G H, (8..4) D = + F = + G H. (8..5) La funzione ifferenza gioca un ruolo fonamentale nello stuio ei sistemi i controllo. Infatti, alla (8..3) emerge che gli zeri ella funzione ifferenza coinciono con i poli ella W ( s ). Inoltre, in certe conizioni, esiste una importante relazione tra la funzione ifferenza e il polinomio caratteristico ella matrice inamica, A cl, el moello con lo stato el sistema a catena chiusa. Al fine i stabilire tale relazione, si consieri il sistema a controreazione i Fig. 8..8, ove i ue sottosistemi S (ella linea iretta) e S c (ella linea i controreazione) sono escritti ai seguenti moelli con lo stato:

7 x = A x + b u S : T y = c x x c = Ac xc + bcuc S c : T y = c x + u c c c c c (8..6) (8..7) n n con x C, x C c. Le relazioni i interconnessione sono ate a: c u = u y = u u = u T uc = y = c x T T T c cc xc c c cc xc cc x. (8..8) Fig. 8..8 Schema a controreazione costituito all interconnessione i S e S c. Dalle relazioni (8..6)- (8..8) si ottiene: u( t ) u ( t ) y( t ) + yc ( t ) S S c che in forma matriciale iventano: T T = + u c c c T x c = Ac xc + bcc x, x A x b ( c x c x ), T T x A b cc b cc x b = + u T. (8..9) x c bcc Ac xc 0 Assumeno come stato ell intero sistema a controreazione l insieme egli stati ei sottosistemi S e S c, ove: T T T x = x x c, il moello a catena chiusa risulta: x = A x + b, (8..0) cl cl u T y = ccl x, (8..) T T A b cc b c c b T T T Acl =, b, T cl = ccl = c 0. bcc Ac 0 Le funzioni i trasferimento ei sistemi S e S c sono ate a:

8 T φ G = c ( si A ) b =, (8..) T φc H = cc ( si Ac ) bc + c =, (8..3) c ove ( s ) e c sono, rispettivamente, i polinomi caratteristici elle matrici A e imostra il risultato che segue. A. Si c Teorema 8.. Il polinomio caratteristico ella matrice A, ( ), risulta: cl cl s φ φc cl = et( si Acl ) = c + = c + φ φc,(8..4) c La funzione ifferenza el sistema i Fig. 8..8, è ata a: c D = + G H = + φ φ. (8..5) Il confronto fra le (8..4) e (8..5) permette i imostrare la seguente Asserzione. Asserzione 8.. Assumeno che non esistano fenomeni i cancellazione nella funzione i trasferimento a catena aperta F = G H, gli zeri ella funzione ifferenza coinciono con gli zeri i cl, cioè con gli autovalori ella matrice inamica el moello a catena chiusa. Osservazione 8.. I fenomeni i cancellazione non evono essere presenti né nella G( s ), né nella H ( s ), né nel prootto G H ( s ) ; conseguentemente, S e S c evono essere completamente controllabili e completamente osservabili e, inoltre, non evono esistere zeri i G( s ) comuni a poli i H ( s ), né poli i G( s ) comuni a zeri i H ( s ). 8.4 Confronto fra sistemi a catena aperta e a catena chiusa Si consieri il sistema a catena aperta illustrato nella Fig. 8..9, ove Gc ( s ) e Gp ( s ) sono, rispettivamente, le funzioni i trasferimento el ispositivo i controllo e el sistema controllato, Z( s ) è la trasformata i Laplace i un isturbo z( t ), non misurabile, che agisce all uscita el sistema controllato e M ( s ) è la trasformata i Laplace ella granezza controllante. Si noti che l uscita el blocco G ( s ) non è accessibile per la misura; infatti, l insieme ei blocchi a M ( s ) a Y ( s ), compreso il isturbo Z( s ), costituiscono tutti una schematizzazione el sistema controllato. Si consieri, inoltre, il sistema a catena chiusa illustrato nella Fig. 8..0, ove N( s ) rappresenta la trasformata i Laplace i un segnale equivalente i rumore introotto al ispositivo i misura ella granezza i uscita, H ( s ) rappresenta la funzione i trasferimento el ispositivo i misura, mentre le altre granezze e/o funzioni hanno lo stesso significato illustrato in preceenza. p c

9 U ( s ) M ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) Z( s ) Fig. 8..9 Schema a catena aperta. + + Y ( s ) U ( s ) + M ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) Z( s ) + + Y ( s ) + + N( s ) H ( s ) Fig. 8..0 Schema a catena chiusa Con riferimento ai sistemi i Figg. 8..9 e 8..0, si efinisca l errore e( t ) come segue: Sistema a catena aperta e( t) = y ( t) y( t) = K u( t) y( t), (8..6) Nel ominio i s, applicano il principio i sovrapposizione egli effetti, si ha: ove: Y = Y + Y, (8..7) z Y = Z, Y = W U. L errore nel ominio i s, per la (8..6), è ato a: z u [ ] u E = K U Y = K W U Z = E + E, (8..8) u z ove W = G G è la funzione i trasferimento ingresso-uscita, e E e E ( s ) c p sono le componenti ell errore ovute all ingresso e al isturbo, rispettivamente, ate a: [ ] E = K W U, (8..9) u E = Z. (8..0) z L errore prootto alla granezza i comano è ovuto all imperfetto legame ingressouscita, al fatto cioè che la funzione i trasferimento ingresso-uscita W ( s ) è iversa a K. Infatti, usualmente, G G ( s ) risulta strettamente propria e, quini, lim W = 0. c p Conviene osservare che, al punto i vista pratico, il fatto i non potere realizzare il sistema a catena chiusa in moo tale che W = K è vantaggioso poiché il segnale u( t ), s u z

0 come etto, viene generato a un ispositivo reale che introuce segnali i rumore che si sovrappongono al segnale utile che si esiera generare. Conseguentemente, esistono le seguenti ue esigenze contrastanti:. quella i riprourre feelmente i segnali i comano utili;. quella i cancellare gli effetti sull uscita el rumore sovrapposto al segnale i comano utile. Al fine i soisfare con un certo margine i tolleranza le ue esigenze contrapposte, conviene scegliere la W ( s ) in moo tale che la corrisponente risposta in frequenza W ( jω ) soisfi la conizione: W ( jω) K, ω Ω u, (8..) esseno Ω u la regione ella frequenza in cui si suppone confinato il contenuto armonico el segnale i comano utile, e che il moulo ella risposta in frequenza sia riotto a zero il più rapiamente possibile all esterno i tale regione ( ω Ω ). In tale caso, infatti, enotano con u ( t) = u( t) + n ( t) l effettivo segnale i comano generato, ivi incluso il segnale i rumore nu ( t ) a esso sovrapposto, l effettiva uscita yu ( t ), nel ominio i ω, è ata a: Y ( jω) = W ( jω) U ( jω) + W ( jω) N ( jω ), u la quale mostra che el rumore sovrapposto al segnale i comano viene riprootta all uscita solamente quella parte che ha contenuto armonico all interno ella regione Ω u. L esame ella (8..0) mette in luce che il isturbo z( t ) agisce irettamente sull errore senza alcuna possibilità i contrastarlo a meno che non si procea a una sua misura. Infine, se si manifestano variazioni nei parametri ella funzione G ( s ), il comportamento el sistema potrebbe eteriorarsi poiché la conizione W ( jω) = G ( jω) G ( jω) K potrebbe non risultare più soisfatta. Sistema a catena chiusa Per il sistema a catena chiusa, si ha: u u u p c p a cui si ottiene: ( ) Y = Z + Gc Gp U H Y + N, Y = Z Gc Gp U F N + F +, (8..) ove: F = G G H. (8..3) c p Ne consegue che, in accoro con la (8..6), l errore E risulta:

[ ] E = K W U W Z + W N = E + E + E, (8..4) z n u z n ove le funzioni i trasferimento ingresso-uscita, W ( s ), isturbo-uscita, W ( s ) e rumoreuscita, W ( s ), sono ate a: n e le tre componenti l errore complessivo sono ate a: z Gc Gp W =, + F (8..5) Wz F (8..6) F Wn =, + F (8..7) [ ] E = K W U, (8..8) u E = W Z, (8..9) z z E = W N. (8..30) n L esame ella (8..4) mette che in un sistema a catena chiusa l errore complessivo è ato alla sovrapposizione i tre componenti, ovute alla granezza i comano, al isturbo e al rumore i misura ella granezza i uscita. Conviene esaminare in ettaglio il contributo elle tre succitate componenti. Errore ovuto alla granezza i comano Dall analisi svolta per i sistemi a catena aperta, è emerso che conviene scegliere la W ( s ) in moo tale che la corrisponente risposta in frequenza W ( jω ) soisfi la conizione: n W ( jω) K, ω Ω u, (8..3) esseno Ω u la regione ella frequenza in cui è confinato il contenuto armonico el segnale i comano utile, e che il moulo ella risposta in frequenza sia riotto a zero il più rapiamente possibile all esterno i tale regione ( ω Ωu ). Dall esame ella funzione i trasferimento W ( s ) (cfr. (8..5)) emerge che la (8..3) può essere ottenuta progettano Gc e H ( s ) in moo tale che: e scegliere H ( jω ) in moo tale che risulti: F( jω) = G ( jω) G ( jω) H ( jω), ω Ω. (8..3) c p u H ( jω), ω Ωu. (8..33) K Infatti, in tale caso, è possibile trascurare rispetto a F( jω ) nella espressione ella W ( jω ) che, pertanto, iviene:

Errore ovuto al isturbo Gc ( jω) Gp( jω) W ( jω) =, ω Ωu. (8..34) G ( jω) G ( jω) H ( jω) H ( jω) c p Assumeno F( jω), ω Ωu, la funzione i trasferimento isturbo-uscita soisfa la conizione W ( jω), ω Ω e, i conseguenza, le armoniche el isturbo all interno z u ella bana i frequenza utile Ω u vengono fortemente attenuate. Tuttavia, conviene osservare che, usualmente, il sistema a retroazione è strettamente proprio a catena aperta, il che implica che lim F( jω) = 0. Ne consegue che lim W ( jω) =, ω ω il che implica che eventuali armoniche el isturbo al isopra i una certa frequenza si ripercuotono sull uscita quasi per intero. Le preceenti consierazioni mostrano che il sistema a controreazione i Fig. 8..0 è in grao i riprourre i segnali i comano, attenuare gli effetti el rumore a essi sovrapposto e attenuare anche gli effetti i quei isturbi che hanno lo stesso contenuto armonico el segnale i comano. Nell ipotesi che il isturbo contenga armoniche a frequenza maggiore ella massima frequenza presente nel segnale utile e sufficientemente elevate, il sistema i Fig. 8..0 iviene inefficace per contrastare gli effetti el isturbo stesso. Se si esiera contrastare gli effetti el isturbo occorre, in tale caso, utilizzare uno schema a controreazione a ue grai i libertà, come quello illustrato nella Fig. 8... Con riferimento a tale schema, si ha che le funzioni W e W ( s ) rimangono invariate; quini, E e E ( s ) rimangono invariate, mentre l errore E ( s ) è ato a: z n ove W ( s ) ha ancora l espressione 8..5. [ ] z E = K W G U, (8..35) u u u n z U ( s ) Gu ( s ) + Z( s ) M ( s ) + Y ( s ) Gc ( s ) Gp ( s ) + + + H ( s ) Fig. 8.. Schema a catena chiusa a ue grai i libertà. Tali consierazioni mostrano che lo schema i Fig. 8.. è in grao i contrastare gli effetti egli errori ovuti al isturbo e al segnale i comano anche se tali granezze hanno contenuti armonici in bane i frequenza ifferenti. Infatti, per contrastare gli effetti el isturbo z( t ) si sceglie opportunamente la funzione F = G G H, mentre per contrastare quelli ovuti al segnale i comano basta scegliere convenientemente la funzione Gu ( s ). c p

3 Errore ovuto al rumore n( t ) L esame ella (8..6) mostra che nella bana i frequenze Ω u, si ha: Wn ( jω ), mentre al i fuori i Ω e al crescere i ω il moulo i tale W ( jω ) iminuisce e si ha: u n lim W ( jω) = 0. ω n Ne consegue che il sistema a controreazione è sensibile alle armoniche el rumore i misura che ricaono nel campo i frequenze Ω u, mentre attenua le armoniche a alta frequenza. Ciò costituisce un vantaggio poiché, usualmente, il rumore i misura ha un contenuto armonico confinato alle alte frequenze. Effetti elle variazioni parametriche L esame ella (8..3) mostra che nella bana i frequenze Ω u la funzione i trasferimento ingresso-uscita coincie praticamente con l inverso ella funzione i trasferimento ella linea i controreazione. Ciò significa che la controreazione attenua notevolmente gli effetti elle variazioni parametriche che si manifestano nella funzione i trasferimento ella linea i azione iretta, mentre non ha praticamente alcun effetto sulle variazioni parametriche che si manifestano nella funzione i trasferimento ella linea i controreazione. Ne consegue che gli elementi ella linea i azione iretta possono essere progettati con tolleranze maggiori i quelli ella linea i controreazione. 8.5 Analisi ello schema a retroazione per H ( s ) = Nel caso i H ( s ) =, le (8..)-(8..7) iventano: mentre l errore, per K =, iviene: ove: F = G G. (8..36) c p F W =, + F (8..37) Wz F (8..38) F Wn =, + F (8..39) ( ) E = S U Z + C N, (8..40)

4 S F (8..4) F C =. + F (8..4) Le funzioni S( s ) e C( s ) vengono, rispettivamente, enominate funzione i sensibilità e funzione i sensibilità complementare. Com è facile verificare, le ue funzioni sono legate fra loro alla relazione: S + C =. (8..43) Naturalmente, in tale caso, le consierazioni svolte nel paragrafo preceente sono ancora più evienti. 8.6 Impostazione ello stuio ei sistemi i controllo Nell ambito ella teoria classica, lo stuio ei sistemi i controllo viene effettuato in accoro ai criteri ella soluzione parziale e el legame iretto fra il comportamento ell intero sistema e quello elle singole parti i cui è costituito. Il criterio ella soluzione parziale consiste nell isolare e analizzare separatamente i vari aspetti el comportamento el sistema; come già osservato in preceenza, sono aspetti caratteristici el comportamento i un sistema la stabilità, il comportamento in regime permanente e il comportamento transitorio al oppio punto i vista ella prontezza i risposta e ella precisione inamica. I segnali i comano e i isturbi che si consierano nella valutazione el comportamento i un sistema sono i segnali canonici, l impulso i Dirac e i suoi integrali successivi o i segnali sinusoiali i frequenza opportuna. Il criterio el legame iretto consiste nella iniviuazione i metoi i stuio che permettono i ottenere informazioni sull intero sistema a partire a quelle sulle singole parti i cui esso è costituito.

5 Cap. 9 Stabilità ei sistemi i controllo a controreazione. Criterio i Nyquist Lo stuio ella stabilità ei sistemi i controllo a controreazione può essere effettuato ricorreno ai criteri algebrici i stabilità o a criteri basati sulla consierazione i funzioni associate alle singole parti i cui è costituito il sistema. Al primo gruppo appartiene il già noto criterio i Routh, mentre al secono gruppo appartiene il criterio i Nyquist che verrà illustrato nel presente capitolo. L inconveniente principale ei criteri algebrici si manifesta quano si vuole impiegarli per risolvere un problema i sintesi. In tal caso, infatti, occorre eterminare i parametri liberi el sistema controllante in moo tale che il sistema sia stabile. Utilizzano il criterio i Routh, la soluzione el problema implica quella el seguente sistema i isequazioni non lineari: 9. Criterio i Nyquist r > 0, r > 0,, r > 0. n, n, 0, Si consieri il sistema a controreazione e a ciclo unico riportato nella Fig. 8..7, che si riporta i seguito per comoità, e si ammetta che: U ( s ) U ( s ) Y ( s ) G (s) + c ( ) Y s H (s) Fig. 9.. Schema elementare a controreazione.. gli zeri ella funzione ifferenza coinciano con gli autovalori ella matrice inamica el sistema a catena chiusa;. la funzione i trasferimento a catena aperta F = G H sia propria o strettamente propria; Osservazione 9.. - L ipotesi permette i valutare la stabilità interna asintotica el sistema i Fig. 9.. a partire alla islocazione egli zeri ella funzione ifferenza D = + F = + G H ; l ipotesi assicura che quest ultima funzione sia propria e quini ella forma: D = K D n i= n i= ( s z ) i ( s p ) i. (9..) Per lo stuio ella stabilità interna asintotica occorre e basta verificare che gli zeri ella funzione ifferenza D( s ) abbiano tutti parte reale negativa, in quanto essi, come etto (cfr. ipotesi ), coinciono con quelli el polinomio caratteristico relativo al sistema a retroazione. Tale verifica può essere effettuata meiante il criterio i Nyquist che si basa sul seguente principio ell argomento.

6 Principio ell argomento Nella ipotesi che la funzione ifferenza non abbia zeri e/o poli sull asse immaginario, la variazione i fase ξ D, ella funzione D( jω ) quano s escrive l asse immaginario a j a j, valutata positivamente in senso antiorario, è uguale a π volte la ifferenza fra il numero i poli, P, e il numero i zeri, Z, a parte reale positiva ella funzione ifferenza D( s ). In simboli, si ha: ξd, = π ( P Z). (9..) Prova. Al fine i imostrare il principio ell argomento, si consieri la Fig. 9.., ove i fattori jω zi e jω pi vengono interpretati come vettori che hanno origine nei poli o negli zeri e estremo nel punto jω. Poiché si ha (cfr. (9..)): ne consegue che: n [ ] ξ ( jω) = ψ ( ω) φ ( ω ), (9..3) D i i i= n ξ = ψ φ, (9..4) D, i, i, i= ove ψ i, e φ i, sono, rispettivamente, le variazioni i fase ei vettori jω zi e jω pi quano s escrive l asse immaginario a j a j, valutate positivamente in senso antiorario. L esame ella Fig. 9.. mostra che: ψ π per poli e zeri a parte reale negativa ( φ )= π per poli e zeri a parte reale positiva i, i, Assumeno quini che D( s ) abbia P poli e Z zeri a parte reale positiva, si ha: [ ] ξd, = ( n Z) π Ζπ ( n P) π Pπ = π ( P Z). (9..5) z i ψ ( ω ) i jω jω p i φi ( ω ) σ Fig. 9.. Interpretazione ei fattori jω zi e j pi ω. Inicano con T il numero i giri che il vettore rappresentativo ella funzione D( jω ) compie intorno all origine el piano i Nyquist ella D( jω ), si ha: ξ π T, (9..6) D, =

7 e quini risulta: T = P Z. (9..7) Osservazione 9.. Si noti, aesso, che P è noto poiché i poli ella D( s ) coinciono con quelli ella F( s ). Ne consegue che se si riesce a calcolare T è possibile calcolare Z con la (9..7) e quini valutare la stabilità interna asintotica el sistema a controreazione i Fig. 9... Osservazione 9..3 Aveno escluso che la funzione D( s ) abbia zeri sull asse immaginario, per la stabilità el sistema a controreazione occorre e basta che risulti Z = 0. Di conseguenza, la conizione necessaria e sufficiente i stabilità è T = P. Osservazione 9..4 Il calcolo i T può essere effettuato a partire al iagramma polare ella funzione i trasferimento a catena aperta F( jω ). Con riferimento alla Fig. 9..3, interpretano come un vettore che ha origine nel punto i coorinate (, j0), enominato punto critico, e estremità nell origine el piano i Nyquist ella F( jω ), la somma vettoriale i tale vettore e el vettore rappresentativo ella F( jω ), vettore OQ, fornisce proprio il vettore rappresentativo ella D( jω ), vettore che ha origine nel punto critico e estremità nel punto Q. Pertanto, il numero i giri che il vettore rappresentativo i D( jω ) compie intorno all origine el piano i Nyquist i D( jω ) è pari al numero i giri che il vettore rappresentativo i D( jω ) compie intorno al punto critico el piano ella F( jω ). (, j0) D( jω ) F( jω ) ω Q Im[ F( jω )] O Re[ F( jω )] Fig. 9..3 Determinazione el vettore rappresentativo i D( jω ) sul piano ella F( jω ). Le osservazioni 9.., 9..3 e 9..4 permettono i enunciare il seguente Criterio i Nyquist generalizzato. Criterio i Nyquist generalizzato. Sia ato un sistema lineare e stazionario, a controreazione, a ciclo unico, tale che la funzione i trasferimento a catena aperta sia propria o strettamente propria, e priva i fattori comuni a numeratore e a enominatore. Conizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia asintoticamente stabile internamente è che il numero i giri T che il vettore rappresentativo ella funzione D( jω ) compie attorno al punto critico el piano i Nyquist ella F( jω ), valutato positivamente in senso antiorario e per ω variabile a a +, sia pari al numero P i poli a parte reale positiva ella funzione i trasferimento a catena aperta F( s ). Osservazione 9..5 A partire alla espressione (8..3) ella funzione i trasferimento ingresso-uscita W ( s ) el sistema a controreazione i Fig. 9.., si rileva che gli zeri ella funzione ifferenza sono certamente i poli ella W ( s ). Ne consegue che il criterio i Nyquist

8 permette, in generale, i effettuare lo stuio ella stabilità esterna nello stato zero. L analisi preceente mette comunque in luce che è anche possibile stuiare la stabilità interna asintotica purché sia possibile accertare la completa controllabilità e la completa osservabilità ei sottosistemi sulla linea i azione iretta e su quella i controreazione. 9. Casi critici I casi critici el criterio i Nyquist hanno origine alla presenza i zeri o poli ella funzione ifferenza sull asse immaginario el piano complesso. Zeri sull asse immaginario La presenza i zeri sull asse immaginario viene immeiatamente messa in evienza al fatto che il iagramma polare ella F( jω ) passa per il punto critico. Infatti, ammesso che D( s ) abbia uno zero nel punto jω, si ha: D( j ω) = + F( j ω) = 0, (9..) a cui risulta F( j ω ) =. In tale caso, si può affermare che il sistema non è asintoticamente stabile internamente né stabile esternamente nello stato zero. Poli sull asse immaginario Il problema connesso con la presenza i poli sull asse immaginario nasce per il fatto che quano il punto s passa per uno i tali poli, a es. p, si ha una brusca variazione i fase el vettore corrisponente jω p i il cui segno è ineterminato; inoltre, il moulo ella funzione F( jω ), e quini quello ella D( jω ), tene a. Al fine i superare tale problema, si eforma l asse immaginario meiante un percorso semicircolare i raggio infinitesimo e centrato nel polo immaginario che lasci alla propria sinistra o alla propria estra il polo stesso (cfr. Fig. 9..4 per il caso i un polo nell origine). i b jω a σ Fig. 9.. Deformazione ell asse immaginario in prossimità i un polo nell origine. Come già osservato, quano s attraversa il polo jω il moulo tene a e il iagramma polare si spezza in ue rami, uno ei quali termina per ω = ω mentre l altro inizia a + ω = ω. Tali rami possono essere raccorati osservano che, quano s escrive uno ei ue percorsi semicircolari (a o b), l estremo el vettore rappresentativo ella funzione F( jω ) escrive tante semicirconferenze i raggio infinitamente grane quante ne inica la molteplicità el polo, in verso orario se si sceglie il percorso a o in verso antiorario se si sceglie il percorso b. Esempio 9.. Si supponga che la funzione F( s ) abbia la istribuzione poli e zeri mostrata in Fig. 9..5, cui corrispone la seguente espressione analitica nella variabile ω:

9 F ( jω) = K F jω jω + jω + T T. (9..) T b T jω a σ Fig. 9.. istribuzione poli-zeri i una funzione F( s ). Segueno le regole per il tracciamento el iagramma polare, si ottiene il iagramma i Fig. 9..3 per ω + 0, + e per ω,0. I ue tratti el iagramma polare vengono raccorati con la semicirconferenza a i raggio infinito se si sceglie il percorso a o con quella b se si sceglie il percorso b. 0 a b 0 + j Im[ F( jω )] D (jω) + Re[ F( jω )] F( jω ) Fig. 9..3 Diagramma completo per la valutazione ella stabilità. Punto critico a sinistra ell intersezione con il semiasse reale negativo. Come è facile verificare, sceglieno il percorso a risulta T = 0 e esseno P = 0 risulta T = P e il sistema è asintoticamente stabile internamente. Sceglieno il percorso b risulta T = e esseno P = il sistema risulta asintoticamente stabile internamente. E facile renersi conto che se il punto critico si trovasse alla estra el punto i intersezione el iagramma polare con il semiasse reale negativo, come illustrato nella Fig. 9..4, il sistema sarebbe instabile. Infatti, per quanto concerne il calcolo i T, sceglieno il percorso a si ha T =, mentre sceglieno il percorso b si ha T =. Poiché nel primo caso P = 0 (il polo nell origine viene computato come un polo a parte reale negativa), mentre nel secono caso P = (il polo nell origine viene computato come un polo a parte reale positiva), si ha in entrambi i casi T P e Z =. Ne consegue che il sistema è instabile. 9.3 Sistemi a stabilità regolare e conizionata 0 +

0 Dall esempio 9.. si evince che, aumentano il guaagno ella funzione i trasferimento a catena aperta, il sistema a stabile iventa instabile. Può, comunque, accaere che il passaggio alla stabilità alla instabilità si manifesti anche a seguito i riuzioni el guaagno. Con riferimento alle variazioni el guaagno, i sistemi i controllo si classificano in: sistemi a stabilità regolare sistemi a stabilità conizionata. 0 a Im[ F( jω )] b 0 + D (jω) + Re[ F( jω )] F( jω ) 0 + Fig. 9..4 Diagramma completo per la valutazione ella stabilità. Punto critico a estra ell intersezione con il semiasse reale negativo. I sistemi a stabilità regolare sono caratterizzati alla esistenza i un solo valore critico el guaagno k c tale che per k > kc il sistema a catena chiusa risulta instabile (IST), mentre k < k c il sistema è asintoticamente internamente stabile (S) (cfr. Fig. 9.3.). Per tali sistemi, il iagramma polare ella funzione i trasferimento a catena aperta presenta una sola intersezione con il semiasse reale negativo. S IST k c k Fig. 9.3. Influenza el guaagno sulla stabilità: sistemi a stabilità regolare. Nella Fig. 9.3. sono riportati i iagramma polari per sistemi a stabilità regolare corrisponenti a moelli stabili, instabili e al limite i stabilità (LS). Il guaagno critico è quello corrisponente al caso in cui il iagramma polare ella funzione i trasferimento a catena aperta passa per il punto critico (-, j0). S