Appunti su RIDUTTORI A VITE

In queste poche pagine si raccolgono alcune considerazioni cinematiche e dinamiche sui riduttori epicicloidali. Questi appunti, attualmente ancora in bozza, no pretendono di essere esaurienti o di sostituire trattazioni riportate in libri di testo, ma sperano di essere utili a chi studia l argomento. 3

. - Generalità I riduttori a vite senza fine ruota elicoidale sono anche detti riduttori a vite. Essi hanno la possibilità di collegare alberi ad asse sghembo con rapporti di trasmissione elevati, dell ordine del centinaio, con un intervallo che va dalla metà di questo valore, al doppio. Altri tipi di riduttori che possono offrire rapporti di trasmissione di questo ordine di grandezza sono i riduttori epicicloidali, convenzionali o meno, ad uno o più stadi. Altri parametri fondamentali da tenere in considerazione, per la scelta, sono il rendimento, la rigidezza, i giochi e gli ingombri. In figura. si vede un tipico schema di riduttore a vite con la sua scatola. - albero di ingresso, motore vite 3 ruota elicoidale 4 albero di uscita, condotto 5 - scatola 3 4 5 igura. riduttore a vite I riduttori a vite sono realizzati con accoppiamento vite-ruota cilindrica, hanno bassi rendimenti rispetto ad altri accoppiamenti di ruote dentate cilindriche, hanno la possibilità di realizzare facilmente la condizione di irreversibilità del moto.. - Rapporto di trasmissione Nel caso, frequente, di assi sghembi e perpendicolari di vite e ruota, in un piano perpendicolare all asse della ruota e contenete l asse della vite, si ha schematicamente la situazione di figura.. Osservando il sistema si ha, sul piano contenente l asse della vite, una situazione equivalente ad una dentiera (vite) che ingrana con una ruota dentata cilindrica a denti diritti (ruota), come quella rappresentata in figura.c. A fronte di una traslazione della dentiera equivalente,, ad una velocità V si ha una rotazione della ruota,, alla velocità angolare ω. 5

Siano: r raggio della primitiva della vite r raggio della primitiva della ruota z numero di principi della vite z numero di denti della ruota P a passo assiale dell elica della vite misurato sulla primitiva P e =(z P a ) passo dell elica della vite della vite misurato sulla primitiva P = passo frontale della ruota elicoidale r ω θ b ω r ω θ V a c igura. ingranamento vite ruota Quando la ruota gira, gira anche la vite. La dentiera equivalente si muove a velocità V: P V = ω = π z ω π e P a Il moto è equivale a quello di una dentiera a denti trapezi con angolo di pressione θ (se la vite ha filetto a profilo trapezio, come quasi sempre è) che ingrana con una ruota a denti a profilo di evolvente di circonferenza. 6

La velocità V è anche la velocità circonferenziale della primitiva della ruota: ω = V r zpa = ω πr essendo, per l ingranamento, P a =P allora P a z =πr. ω z Il rapporto di trasmissione vale i = =, la ruota può avere molti denti, la vite anche un solo ω z principio. L ordine di grandezza del rapporto di trasmissione i può essere delle centinaia. Esiste uno strisciamento tra vite e ruota, che influisce in modo importante sul rendimento della trasmissione. Le velocità delle polari del moto di vite e ruota sono V =ω r, V =ω r. Queste due velocità sono perpendicolari tra loro, se gli assi di vite e ruota sono perpendicolari. Si osservi la figura.. Con α si è indicato l angolo tra la traccia del filetto e la direzione perpendicolare all asse della vite. V r asse della ruota V // α V ω V V // asse della vite V =ω r V =ω r ω ω velocità angolare della vite; ω velocità angolare della ruota; V velocità periferica del cilindro primitivo della vite; V velocità periferica del cilindro primitivo della ruota; V // componente parallela al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della vite; V // componente parallela al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della ruota; V componente perpendicolare al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della vite; V componente perpendicolare al contatto dei denti della velocità periferica del cilindro primitivo della ruota; V r velocità relativa dei due profili di denti: velocità di strisciamento igura.3 schema delle velocità al contatto dei denti Le velocità perpendicolare ai denti, V e V, sono uguali, poiché i denti restano a contatto e, dunque, né si compenetrano né si separano: sono polari del moto. 7

V = V V sin ω r sin ( α ) = V cos( α ) ( α ) = ω r cos( α ) ω r = ω r tg = z ( α ) z la velocità di strisciamento sarà la somma algebrica delle velocità parallele al profilo e sarà parallela alle V // e V //, nella figura. è indicata con V r. V r = V // + V // V // = V cos V // = V sin ( α ) = ωr cos( α ) ( α ) = ω r sin( α ) la velocità di strisciamento o relativa sarà parallela alla superficie dei denti a contatto: V V r r = V cos = ω r cos ( α ) + V cos( α ) ( α ) + ω r cos( α ). - orze scambiate Per quanto riguarda le forze scambiate ci si può riferire allo schema di figura.4. y r ω C θ y z z ω C z ω C α r z igura.4 forze scambiate fra vite e ruota x x 8

Si ipotizzi, per il momento, attrito nullo. La risultante delle forze scambiate sarà perpendicolare alla superficie dei denti a contatto. Si definisce un sistema di riferimento (x, y, z), in cui l asse x è parallelo all asse della ruota, l asse z è parallelo all asse della vite e y di conseguenza per una terna destrorsa. Il piano (yz) contiene il piano medio della ruota e l asse della vite. Il piano (xz), invece conterà l asse della vite e sarà parallelo all asse della ruota. In assenza di attrito, la forza risultante scambiata tra i denti, perpendicolare alla superficie dei denti a contatto, sarà inclinata sia rispetto al piano (x,z), dell angolo di inclinazione dell elica α, sia rispetto al piano (y,z) dell angolo di pressione θ. sarà: yz xz x y z z = cos = cos = = = = xz yz yz xz sen sen cos cos ( α ); ( θ ); ( α ) = cos( θ ) sen( α ); ( θ ) = cos( α ) sen( θ ); ( θ ) = cos( α ) cos( θ ); ( α ) = cos( θ ) cos( α ). Il momento agente dal motore sull albero della vite e dall albero dell utilizzatore sulla ruota saranno rispettivamente: C C = r = r x z = r = r xz sen yz cos ( α ) = r cos( θ ) sen( α ) ( θ ) = r cos( α ) cos( θ ) Infatti, in assenza di attrito il rendimento è unitario: C ω r ω r η = = = essendo i = = C ω r tg i ω r tg α ( α ) Nel caso, frequente, in cui sia presente attrito tra vite e ruota, la forza normale al contatto sarà 9 ( ) accompagnata da una forza di attrito tangenziale al contatto attrito. In questo caso esisterà una componnte f cos( α ) T = f, dove f è il coefficiente di Tx = che, con braccio r, darà luogo ad un momento resistente sulla vite C T, che si somma al momento motore del caso senza attrito C : ( α ) CT = r Tx = r f cos. Anche sulla ruota ci sarà una forza T = f, essa darà un contributo penalizzante, C T, rispetto al momento C, che sarà C r r fsen( α ) Il momento in ingresso sarà =. T Tz = ( + ) = r [ ( θ ) sen( α ) + f cos( α )] = r [ cos( θ ) sen( α ) cos( α )] * C = r x Tx cos + f

il momento in uscita sarà: C * ( z Tz ) = r [ cos( α ) cos( θ ) fsen( α )] = r [ cos( α ) ( θ ) fsen( α )] r [ cos( α ) cos( θ ) fsen( α r cos ( ) ( α ) cos( θ ) fsen( α ) = tg α = tg( α ) r [ cos( θ ) sen( α ) + f cos( α )] r cos( θ ) sen( α ) + f cos( α ) = r cos * Cω η = * C ω A scopo di verifica, si noti come questa espressione di η abbia valore unitario per f=0..3 - Reversibilità del moto della trasmissione vite-ruota Nel caso di moto inverso, in cui il motore sia collegato alla ruota, la vite sarà soggetta ad un momento che tenderà a farla muovere dovuto a x per il suo braccio r e sarà presente una azione antagonista contraria al moto di rotazione della vite dovuta a TX per il suo braccio r. Questo, ricordando l espressione di x e di TX si traduce nella condizione seguente, per il coefficiente di aderenza massimo: ( θ ) sen( α ) cos( α )f cos = Il coefficiente di aderenza massimo f, ed il corrispondente massimo angolo di aderenza φ, per avere reversibilità del moto risulta: f tg tg tg = tg( α ) cos( θ ) ( φ) = tg( α ) cos( θ ) ( φ) = cos( θ ) ( α ) Se si vuole avere l irreversibilità del moto è necessario avere f a > tg( α ) cos( θ ) non acceda che il moto inverso si inneschi è bene avere tg( α ) cos( θ ) ; per assicurare che f > con f coefficiente di attrito; questo per evitare che vibrazioni e disturbi inneschino il moto inverso che poi si mantenga. Per avere un idea dei valori di massimo coefficiente di aderenza f a, si considerino valori verosimili per gli angoli di pressione θ e di inclinazione dell elica α: per θ=0 α= si ha fa massimo 0,03. 0

Per ottenere sistemi vite senza fine ruota elicoidale reversibili si utilizzano configurazioni a bassissimo attrito come quelli in cui si ha sistemi a ricircolo di sfere del tipo di quelli schematizzati in figura.5. In questi sistemi il coefficiente di attrito (e aderenza) possono essere contenuti nell intervallo (0.05-0.00). 3 vite sfere ricircolanti 3 ruota igura.5 schema di accoppiamento vite senza fine ruota elicoidale con ricircolo di sfere.

Bibliografia C. errari, A. Romiti, Meccanica Applicata alle Macchin", UTET, Torino. G. Jacazio, B. Piombo, Meccanica applicata alle Macchine, Levrotto & Bella, Torino. Belforte G., Meccanica applicata alle Macchine, Levrotto & Bella, Torino unaioli., Maggiore A., Meneghetti U, Lezioni di Meccanica applicata alle Macchine, Patron Editore, Bologna. C. erraresi, T. Raparelli, Meccanica Applicata alle Macchine, clut, Torino G. Jacazio, S. Pastorelli, Meccanica Applicata alle Macchine, Levrotto & Bella Torino J.L. Merian, L.G. Kraige, Engineering Mechanics, J. Wiley and sons inc. J. Hanna and R.C. Stephens, Mechanics of Machines, Edward Arnold. 3