Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione nella variabile è un'espressione della forma: p q p q p q p q Risolvere una disequazione significa trovare quell intervallo (o più intervalli) di valori che, attribuiti alle incognite, verificano la disuguaglianza. Osservazioni si può portare una quantità da primo a secondo membro e viceversa, cambiandone il segno si può cambiare il segno dei termini a primo e secondo membro, invertendo il verso della disuguaglianza; se si divide per una quantità positiva primo e secondo membro di una equazione il verso della disequazione rimane invariato; se si divide per una quantità negativa primo e secondo membro di una equazione il verso della disequazione deve essere invertito; se ho una disequazione razionale (cioè contenente l incognita a denominatore), non conviene eliminare il denominatore(se ha segno sempre positivo non cambia nulla, ma se il segno è positivo in alcuni intervalli, negativo in altri, eliminando il denominatore si eliminano anche delle soluzioni della disequazione assegnata, il che è un errore) Per scrivere le soluzioni utilizzeremo il metodo seguente: si traccia una linea orizzontale e su di essa si individuano gli estremi dell intervallo(o degli intervalli)che verifica la disequazione assegnata, tale intervallo viene contrassegnato

superiormente con dei segni +,il che sta a significare che l intervallo con i segni + sopra è l intervallo dove la disequazione è verificata; gli intervalli rimanenti, cioè quelli che non verificano la disequazione, vengono contrassegnati con dei segni -; Osservazione k, significa che la disequazione è verificata per i valori maggiori di k, con k compreso, vale a dire i valori più grandi di k, cioè quelli che stanno alla sua destra; k, significa che la disequazione è verificata per i valori minori di k, con k compreso, vale a dire i valori più piccoli di k, cioè quelli che stanno alla sua sinistra; se il valore di un estremo per la soluzione di una disequazione è un valore accettabile, cioè verifica la disequazione, nel grafico in corrispondenza di tale valore faremo un punto, per indicare che tale valore è compreso nelle soluzioni della disequazione; se il valore di un estremo per la soluzione di una disequazione non è un valore accettabile, cioè non verifica la disequazione, nel grafico in corrispondenza di tale valore non faremo un punto, per indicare che tale valore non è compreso nelle soluzioni della disequazione. Esempio i) Supponiamo di dover tracciare le soluzioni della disequazione, allora: - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + ii) Supponiamo di dover tracciare le soluzioni della disequazione, allora

- + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - iii) Supponiamo di dover tracciare le soluzioni della disequazione 5, allora: -5 - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + iv) Supponiamo di dover tracciare le soluzioni della disequazione, allora: + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - Esempio 7 0 7 7 7 - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + Paragrafo Disequazioni razionali

Definizione: una disequazione si definisce razionale quando l incognita compare a denominatore. Supponiamo di dover risolvere la seguente disequazione: 0 0 0 (porto gli eventuali termini da secondo a primo membro) (ora la disequazione è scritta nella forma pronta per la risoluzione)(*) Studio separatamente il segno del numeratore e del denominatore, ponendo il numeratore 0 o >0, a seconda che l uguale sia presente oppure no nel verso della disequazione da risolvere; mentre studio il segno del denominatore ponendolo sempre >0 (osservazione: un denominatore non si può annullare mai), pertanto in questo caso: N 0 D 0 Traccio ora due linee orizzontali (tante quante i termini di numeratore e denominatore), e delle linee verticali, tante quante i valori che sono soluzione delle disequazioni parziali studiate. In questo caso, ho due linee orizzontali(una per il numeratore e una per il denominatore), e due linee verticali(una per il valore, l altra per il valore ): N D + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + - + -

Per determinare i segni al di sotto dell ultima linea, si utilizza la regola dei segni, cioè si esegue la moltiplicazione tra tutti i segni che si trovano all interno (verticalmente) di ogni intervallo, il segno risultante lo si scrive al di sotto dell ultima linea orizzontale (in questo caso sotto la linea del denominatore). Per scegliere quali intervalli prendere come soluzioni della disequazione data, devo osservare il verso della disuguaglianza al passaggio precedente lo studio individuale dei termini che compongono il numeratore e il denominatore e procedere come segue: se la disuguaglianza generale della disequazione è 0 oppure 0 devo prendere i segni nella regola dei segni; se la disuguaglianza generale della disequazione è 0 oppure 0 devo prendere i segni + nella regola dei segni. Nell esempio considerato, dunque, il verso della disuguaglianza al passaggio precedente lo studio individuale dei termini che compongono il numeratore e il denominatore è <0 (vedi passaggio (*)), devo prendere allora gli intervalli dove la regola dei segni ha dato come risultato il segno -.. La parabola Definiamo come innanzitutto cosa sia una parabola, requisito che sarà necessario per affrontare lo studio delle disequazioni di secondo grado. Definizione: si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Una rappresentazione grafica indicativa della parabola nel piano cartesiano è data dalla figura seguente.

Da come si può intuire nel grafico dell esempio, ogni parabola presenta un asse di simmetria che divide la parabola in due parti sovrapponibili, detti anche rami. Il legame tra i punti del piano che costituiscono il grafico di una parabola si può scrivere in forma di funzione, cioè di legame tra la variabile indipendente e la variabile dipendente y, pertanto: y a b c rappresenta l equazione di una parabola (con asse parallelo all asse delle y). Il fuoco che concorre a definire la parabola è un punto appartenente alla parte di piano interna al grafico della funzione, le cui coordinate sono date da F b a b ac ; a Per definire la parabola viene utilizzata anche una retta fissa detta direttrice, la cui equazione è data da: b y a ac L asse di simmetria invece è dato dalla relazione: b a Nell equazione della parabola y a b c inoltre, bisogna distinguere tra due casi:

) a 0, allora la concavità della parabola è rivolta verso l alto (cioè il grafico della parabola è simile ad una U) ) a 0 allora la concavità della parabola è rivolta verso l alto (cioè il grafico della parabola è simile ad una U rovesciata)

Da quest ultima osservazione, possiamo concludere che esiste un punto particolare, rispetto a tutti gli altri è il più basso (caso a 0 ) o il più alto (caso a 0), tale punto viene detto vertice e ha coordinate: b b V ; a ac a b o equivalentemente V ; a a Richiamiamo l interpretazione analitica della soluzione di un sistema: la soluzione di un sistema di equazioni rappresenta i punti di intersezione nel piano cartesiano delle equazioni che lo compongono. Pertanto se mettiamo a sistema l equazione generica di una parabola e l equazione dell asse delle, otteniamo: y a y 0 b c E ricordando il metodo del confronto, otteniamo a b c 0 Che non è altro che un equazione di secondo grado, pertanto le soluzioni, rappresentano l intersezione della parabola con l asse delle.

Si possono verificare quindi tre possibilità: ) 0, allora, cioè vi sono due intersezioni tra il grafico della parabola e l asse delle. oppure ) 0, allora, cioè vi è una intersezione tra il grafico della parabola e l asse delle. oppure ) 0, allora non ci sono soluzioni, cioè non vi sono intersezioni tra il grafico della parabola e l asse delle.. Disequazioni di secondo grado oppure

Definizione: una disequazione di secondo grado è una disequazione costituita da polinomi di secondo grado del tipo: a b c 0 a b c 0 a b c 0 a b c 0 Definizione: definiamo equazione associata alla disequazione, l equazione sostituendo al segno di disuguaglianza il simbolo di uguaglianza. che si ottiene Pertanto data l equazione a b c 0, l equazione associata è a b c 0 Per risolvere una disequazione di secondo grado utilizzeremo il cosiddetto metodo della parabola : a) scriveremo l equazione della parabola facendo in modo che il coefficiente abbia segno positivo per avere sempre una parabola con concavità rivolta verso l alto (in pratica basta cambiare segno dei termini ed il verso della disequazione) b) risolveremo l equazione associata; c) tracceremo grafico delle intersezioni della parabola con l asse delle ; d) sceglieremo gli intervalli che soddisfano la disequazione iniziale:, si prendono gli intervalli +, si prendono gli intervalli - Nel punto a) dobbiamo calcolare le soluzioni, dell equazione associata Nel punto b) dobbiamo rappresentare le intersezioni tra parabola e asse delle, come nei casi ), ), ) Nel punto c) dobbiamo scegliere quegli intervalli dell asse che corrispondono alle condizioni in cui la parabola verifica la disuguaglianza iniziale, più precisamente: dove il grafico della parabola si trova sotto l asse delle, significa che per i corrispondenti valori dell ascissa il polinomio di secondo grado contrassegnano gli intervalli corrispondenti con i segni -; a b c assume valori negativi, allora si che significa + + + - - - - - - - - - - + + + a b c 0 per a b c 0 per

Se i valori, sono compresi, allora si contrassegna la rispettiva intersezione con un punto. Osservazioni Caso particolare + + + + + + + + + + La parabola è sempre sopra l asse delle ed è tangente nel punto, allora: i) a b c 0 ii) b c 0 a \ iii) a b c 0 iv) a b c 0 mai verificata Caso particolare La parabola è sempre sopra l asse delle, allora: i) a b c 0 ii) a b c 0 iii) a b c 0 mai verificata iv) a b c 0 mai verificata Con considerazioni analoghe sulla posizione tra parabola e asse, si analizzano le situazioni in cui la parabola abbia concavità rivolta verso il basso e sia tangente o meno la retta delle ascisse.

Esempio i) 0 Calcolo e :, 9 6 5 5 8 5 5 Pertanto le soluzioni positive sono date da ii) 5 0 + + + - - - - - - - - - - - + + + -., 5 5 7 6 6 5 6 5 7 6 6 5 6 9 5 7 6 Osservazione + + + - - - - - - - - - - + + + Pertanto la disequazione assume valori negativi per -.

Nel caso a b c 0 si può sintetizzare che le soluzioni sono date dai valori esterni a e, cioè, mentre se a b c 0 si può concludere che le soluzioni sono date dai valori interni a e, cioè. Inoltre posso sempre ricondurmi ad una situazione del tipo a b c 0 eventualmente cambiando i segni e il verso della disuguaglianza.. Disequazioni di grado superiore al secondo Alle disequazioni di secondo grado è possibile applicare i risultati visti per le disequazioni di primo grado quando si devono studiare disequazioni razionali o prodotto di più fattori. Vediamo con degli esempio di generalizzare le regole viste in precedenza. Caso: disequazioni contenenti il prodotto di più fattori Richiamiamo alcuni risultati Definizione (legge di annullamento del prodotto): una moltiplicazione tra più termini è nulla se almeno uno di essi è nullo. Utilizziamo questa legge per studiare particolari disequazioni di grado superiore al secondo, riconducibili allo studio di più disequazioni di primo grado e di secondo grado. Esercizio Risolvere 0 (*) Passo : studio separatamente i segni dei singoli fattori. In questa operazione vale sempre la regola che si deve porre ogni fattore maggiore o maggiore uguale di zero.. 0

. 0, + + + + + - - - - - - - - - - - - + + + + + + soluzioni Passo : applico la regola dei segni ai risultati ottenuti. Richiamiamo la regola dei segni : per determinare i segni al di sotto dell ultima linea, si utilizza la regola dei segni, cioè si esegue la moltiplicazione tra tutti i segni che si trovano all interno (verticalmente) di ogni intervallo, il segno risultante lo si scrive al di sotto dell ultima linea orizzontale (in questo caso sotto la linea del denominatore). Per scegliere quali intervalli prendere come soluzioni della disequazione data, devo osservare il verso della disuguaglianza al passaggio precedente lo studio individuale dei termini che compongono il numeratore e il denominatore e procedere come segue: se la disuguaglianza generale della disequazione è 0 oppure 0 devo prendere i segni nella regola dei segni; se la disuguaglianza generale della disequazione è 0 oppure 0 devo prendere i segni + nella regola dei segni. Devo tracciare pertanto tante linee orizzontali quante sono le condizioni ottenute al passo, ricordando che nel caso di una disequazione di secondo grado le soluzioni ottenute con il metodo della parabola vanno tracciate su un unica linea. + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - + + + + +- - - - - - - - + + + + + + + + + + - + -

Il verso generale della disequazione principale (*) è 0, pertanto devo prendere le soluzioni negative:. Osservazione: la disequazione data è stata scomposta nel prodotto di più termini di primo o di secondo grado, posso utilizzare pertanto la legge di annullamento del prodotto, applicandola alle disequazioni aventi come argomenti singoli fattori, cioè studio separatamente il segno di ogni termine (ponendoli tutti 0 o >0, a seconda che l uguale sia compreso o meno nella disuguaglianza generale della disequazione), e poi applico la regola dei segni. Disequazioni razionali Esercizio 7 0 5 Studio separatamente il segno del numeratore e del denominatore, ponendo il numeratore sempre maggiore o maggiore uguale a zero, mentre il denominatore va posto maggiore di zero. N 7 0 Soluzioni, 5 7 5 7 5 7 7 7. 7 D 5 0 + + + + - - - - - - - - - - + + + + + - 7, 5 5 6 8 5 8 9 5 8

5 8 5 8 8 Soluzioni + + + + - - - - - - - - - - - + + + + Le soluzioni della disequazione si ottengono applicando la regola dei segni alle condizioni ottenute per il numeratore e per il denominatore, pertanto: - + + + + - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - + + + + + 7 + - + - + Allora le soluzioni dell equazione sono:. 7 Il metodo si generalizza, cioè se a numeratore e a denominatore abbiamo una situazione riconducibile a quella del caso, allora per studiare la disequazione razionale: i) pongo il numeratore maggiore o maggiore uguale di zero; ii) iii) iv) pongo ogni fattore del numeratore maggiore o maggiore uguale di zero; pongo il denominatore maggiore di zero; pongo ogni fattore del denominatore maggiore di zero; v) per determinare le soluzioni della disequazione traccio tante linee orizzontali quante sono le vi) condizioni ottenute nei passaggi precedenti(nb:una disequazione di secondo grado vuole che le soluzioni siano tracciate su una singola linea); applico la regola dei segni alle condizioni così ottenute. Esempio 0 N 0. 0

. 0 8 9, + + + - - - - - - - - + + + - Soluzioni. D 0, + + + - - - - - - - - + + + - Soluzioni. Calcoliamo le soluzioni della disequazione:

- N - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + N + + + + - - - - - + + + + + + + + + + + + D + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + + - - + - + Soluzioni. Osservazione: se il numeratore che il denominatore presentano più fattori da studiare,si generalizza il procedimento sopra descritto, cioè si pongono numeratore e denominatore maggiori di zero (o maggiore uguale eventualmente per il numeratore) e poi si studiano i segni dei singoli fattori, le cui soluzioni vanno rappresentate tutte assieme alla fine per applicare la regola dei segni per individuare le soluzioni della disequazione.