Capitolo 1 - Elementi di trigonometria 1.1 Unità di misura angolari Esistono quattro unità di misura principali degli angoli: sessagesimali, sessadecimali, centesimali e radianti. Negli angoli sessagesimali l'angolo retto vale 90 e l'angolo giro 360. Le frazioni di grado non sono decimali, ma sono invece costituite dai primi e dai secondi. In particolare un grado è costituito da 60 primi e un primo consta di 60 secondi; di conseguenza un grado corrisponde a 3600 secondi. Le frazioni di secondo sono decimali. Un angolo sessagesimale si indica ad esempio come 45 27'19''.89983. Gli angoli sessagesimali sono principalmente usati per esprimere le coordinate geografiche di un punto, cioè latitudine e longitudine. Gli angoli sessadecimali sono la versione decimale dei precedenti. L'angolo retto vale 90 e l'angolo giro 360, ma le frazioni sono decimali, indicate con un numero dopo la virgola. Per quanto riguarda la scrittura, un angolo sessadecimale si indica ad esempio con 26.763973. Si usa lo stesso simbolo ( ) usato per indicare i gradi negli angoli sessagesimali, ma la parte frazionaria seguente consente di discriminare fra le due unità di misura. Gli angoli sessadecimali erano usati negli strumenti topografici, ma oggi sono stati quasi completamente sostituiti dai centesimali. Sono utili come prodotto intermedio nelle conversioni. Negli angoli centesimali l'angolo retto vale 100, l'angolo giro vale 400 e le frazioni di grado sono decimali. Si indicano nel modo seguente: 389 g.981364. Attualmente la grande maggioranza degli strumenti topografici usa angoli centesimali. I radianti sono una metodologia decimale di misura degli angoli basata sulla lunghezza dell'arco di circonferenza unitaria circoscritta all'angolo. La lunghezza di una circonferenza unitaria vale 2π, dunque l'angolo giro ha proprio il valore 2π, mentre l'angolo retto vale 2π. Un angolo in radianti viene indicato ad esempio come 2 r.76323. I radianti sono gli unici tipi di angoli riconosciuti da tutti i sistemi di calcolo. I linguaggi di programmazione in genere sanno gestire solo questo tipo di dati angolari e, dovendo elaborare dati espressi in altre unità, è necessario convertirli. Gli angoli sessadecimali, centesimali e radianti sono misurati da numeri decimali, mentre i sessagesimali non lo sono. Se indichiamo con x e y la misura decimale (in una delle tre unità considerate) di due angoli, la metà del primo angolo misurerà semplicemente 2x e la somma dei due angoli misurerà xy+. Per gli angoli
sessagesimali le cose sono più complesse. La metà di un angolo di 45 non misura, ma piuttosto 22 30. Analogamente la somma degli angoli 1 40 e 1 50 non è 2 90, ma piuttosto 3 30. 45/222.50= Nei testi anglosassoni le quattro unità considerate vengono indicate rispettivamente con: DMS (Degreees, Minutes, Seconds), DEG (Degrees), GRAD (Gradiants), RAD (Radiants). La conoscenza di tali acronimi può essere utile perché spesso anche la manualistica in italiano, le calcolatrici tascabili e i software di gestione degli strumenti topografici li adottano. Per quanto riguarda le notazioni, infine, quelle qui adottate sono chiare se riferite ad angoli indicati esplicitamente, come ad esempio 123.4578, ma presentano un ambiguità se impiegate in notazioni simboliche. Se indichiamo con α la misura di un angolo, la scrittura αg indicherà un angolo centesimale, αr un angolo in radianti, mentre α potrebbe indicare sia un angolo sessagesimale sia un sessadecimale. Per rimuovere tale ambiguità in queste note, nel caso di notazioni simboliche, si adotterà per gli angoli sessadecimali la scrittura α d. Esistono anche altre unità, sottomultiple di quelle considerate. Si usano ad esempio i milligon, la millesima parte dell angolo centesimale, indicati dalla sigla MGON e si usano anche gli archi di secondo, ARCSEC, pari a un secondo sessagesimale. 1.2 Conversioni fra formati angolari Le conversioni fra i formati decimali sono agevoli e comportano il calcolo di semplici proporzioni. Le relazioni fra la misura sessadecimale α d, centesimale α g, e in radianti α r di uno stesso angolo sono date da: Più complesso è il caso della conversione fra uno qualunque dei formati decimali e il formato sessagesimale. Limitiamoci a considerare la conversione fra il formato sessadecimale e quello sessagesimale, in quanto le conversioni fra il formato sessagesimale e gli altri formati dovrebbero semplicemente essere ottenute in due passi, cioè trasformando preliminarmente in sessadecimali. Consideriamo allora un angolo sessagesimale α ; esso sarà del tipo 123 34 54.9752. Indichiamo con g il numero intero di gradi [g=123]; con p il numero intero di primi [p=34]; con s il numero decimale di secondi [s=54.9752]. Un numero di primi p corrisponderà a una frazione di grado pari a p/60 e un numero di secondi s corrisponderà a una frazione di grado pari a s/3600. Si può allora concludere Esaminiamo ora la conversione opposta. Consideriamo un angolo sessadecimale α d, come ad esempio 78.83765 e convertiamolo in sessagesimali. Si tratta di esplicitare i tre valori g, p e s precedentemente introdotti. Per il primo si avrà
1.3 Alcune conversioni notevoli Consideriamo alcune conversioni notevoli, particolarmente utili. Troviamo anzitutto l equivalente in centesimali e radianti di un secondo sessagesimale. La ne riassume alcune. A volte si pone il problema di quante cifre significative debbano essere mantenute, nell angolo d arrivo, per non perdere informazioni contenute in quello di partenza. La Tabella 1 fornisce una risposta semplice e ragionevole. Se di un angolo sessagesimale si conoscono i centesimi di secondo, la sua conversione nelle altre unità dovrà avere 6 cifre decimali per DEG e GRAD e 8 cifre decimali per RAD. Esercizi. La tabella riporta su ogni riga le misure sessagesimali, sessadecimali, centesimali e radianti di uno stesso angolo. Usare tali dati per esercitarsi sulle conversioni. 1.4 Coordinate cartesiane e polari Consideriamo un punto P del piano e le sue coordinate cartesiane (,)xy. La posizione di P può essere anche caratterizzata in termini di coordinate polari (r, θ), dove r indica la distanza dall origine, mentre θ è l angolo antiorario formato dal segmento OP con il semiasse positivo delle ascisse.
E naturalmente possibile ricavare le coordinate cartesiane dalle polari e viceversa. Nel primo caso si ha La conversione da cartesiane a polari presenta qualche difficoltà: è semplice ricavare per l angolo θ, la (1.1) ci dice che che tuttavia non è sufficiente ad individuare univocamente θ a causa della periodicità della tangente. Infatti per la periodicità angoli diversi, anche nell intervallo [0, 2π], hanno la stessa tangente e l applicazione della trasformazione non garantisce che l angolo di arrivo θ2 coincida con quello di partenza θ1. Alcuni semplici esempi evidenziano tale fenomeno. Consideriamo dei punti notevoli appartenenti ai vari quadranti, consideriamo le loro coordinate cartesiane, quelle polari vere (in particolare ci soffermeremo sull angolo θ) e quelle polari che si ottengono dall applicazione della (1.2) Tuttavia proprio questo esempio consente di comprendere come la valutazione combinata della tangente di θ e delle componenti del vettore cartesiano (x, y) consenta di risolvere il problema. Calcolato anzitutto un angolo ausiliario l angolo cercato può essere ricostruito nel modo seguente
Esercizi. La Tabella 3 contiene sia le coordinate cartesiane sia le polari di alcuni punti. Essa può essere usata per esercizi di conversione nelle due direzioni. 1.5 Teoremi sui triangoli rettangoli e sui triangoli qualunque Tali teoremi servono a risolvere i triangoli, cioè a calcolare alcuni elementi incogniti (lati e/o angoli) in funzione di altri noti. Per i triangoli rettangoli valgono risultati particolarmente forti. Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all ipotenuta per il seno dell angolo opposto (al cateto che si vuole calcolare). Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all ipotenuta per il coseno dell angolo adiacente (al cateto che si vuole calcolare). Formalmente essi si traducono in Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all altro cateto per la tangente dell angolo opposto (al cateto che si vuole calcolare). Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all altro cateto per la cotangente dell angolo adiacente (al cateto che si vuole calcolare). Per i triangoli qualunque si rivelano spesso utili due altri teoremi.
Teorema dei seni Teorema del coseno Tale teorema costituisce una generalizzazione del teorema di Pitagora, al quale si riduce se il triangolo è retto, cioè γ=0.