QUADRATURA NUMERICA A. SOMMARIVA

QUADRATURA NUMERICA A. SOMMARIVA Conoscenze richieste. Integrle di Riemnn. Teorem di Weierstrss. Polinomi di Lgrnge. Derivte di ordine superiore. Opertori lineri limitti. Teorem di Weierstrss sull densità di uno spzio polinomile rispetto C([, b]) con [, b] chiuso. Progrmmzione in Mtlb/Octve. Conoscenze ottenute. Formule di qudrtur. Grdo di precisione. Formule interpoltorie. Formule di Newton- Cotes. Regol del trpezio e di Simpson. Formule composte. Errore di lcune formule di qudrtur. Formule pesi positivi. Errore formule di qudrtur di Newton-Cotes. Errore formule di qudrtur di Guss. Stbilità di un formul di qudrtur. Teorem di Poly-Steklov. 1. Introduzione. Un clssico problem dell nlisi numeric è quello di clcolre l integrle definito di un funzione f in un intervllo vente estremi di integrzione, b (non necessrimente finiti) cioè I w (f) := I w (f,, b) = dove w è un funzione peso in (, b) [1, p.06, p.70]. L nostr intenzione è di pprossimre I(f) come I w (f) Q N (f) := f(x)w(x)dx N w i f(x i ) (1.1) i=1 I termini w i e x i [α, β] sono detti rispettivmente pesi e nodi.. Formule interpoltorie. Si (, b) l intervllo di integrzione (non necessrimente limitto), x 1,..., x N un insieme di N punti due due distinti ed f C([, b]) un funzione w-integrbile cioè per cui esist finito I w (f). Se l intervllo è limitto, per il teorem di Weierstrss e l integrbilità dell funzione peso, questo è vero per qulsisi funzione continu in qunto Se f(x)w(x)dx p N 1 (x) = f(x) w(x)dx f w 1 < + N f(x i )L i (x) i=1 è il polinomio che interpol le coppie (x i, f(x i )) con i = 1,...,N, dove l solito L i indic l i-simo polinomio di Lgrnge llor Ultim revisione: 5 novembre 011. Diprtimento di Mtemtic Pur ed Applict, Universitá degli Studi di Pdov, stnz 419, vi Trieste 63, 3511 Pdov, Itli (lvise@euler.mth.unipd.it). Telefono: +39-049-871350. 1

f(x)w(x)dx = = p N 1 (x)w(x)dx N f(x i )L i (x)w(x)dx i=1 ( N ) b L i (x)w(x)dx f(x i ) (.1) i=1 per cui, confrontndo con l formul (1.1) bbimo per cui w i = L i (x)w(x)dx, i = 1,..., N. DEFINIZIONE.1. Un formul di qudrtur si dice interpoltori. w k = DEFINIZIONE.. Un formul f(x)w(x)dx N w i f(x i ) (.) i=1 L i (x)w(x)dx, k = 1,...,N (.3) f(x)w(x)dx M w i f(x i ) h grdo di precisione lmeno N se e solo se è estt per tutti i polinomi f di grdo inferiore o ugule N. H inoltre grdo di precisione N se e solo se è estt per ogni polinomio di grdo N ed esiste un polinomio di grdo N + 1 per cui non lo si. Mostrimo or il seguente TEOREMA.3. Un formul f(x)w(x)dx i=1 N w i f(x i ) è interpoltori se e solo se h grdo di precisione lmeno N 1. DIMOSTRAZIONE. Se f = p N 1 è un polinomio di grdo N 1 ovvimente corrisponde col polinomio interpolnte p N 1 nei nodi due due distinti x 1,..., x N e quindi l formul risult estt per polinomi di grdo inferiore o ugule N 1, cioè I w (p N 1 ) = N w i f(x i ), w i = i=1 i=1 L i (x)w(x)dx, i = 1,..., N. Vicevers se è estt per ogni polinomio di grdo N 1 llor lo è in prticolre per i polinomi di Lgrnge L i P n 1, il che implic che w i = L i(x)w(x)dx e quindi i pesi sono proprio quelli dell formul interpoltori corrispondente nei nodi x 1,...,x N.

0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0. 0. 0.1 0.1 0 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8. 0 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8. FIGURA 3.1. Regol del trpezio e di Cvlieri-Simpson per il clcolo di R 0.5 sin(x) dx (rispettivmente re in mgent e in zzurro). 3. Formule di Newton-Cotes. Si suppong [, b] un intervllo chiuso e limitto di R e si pong w 1. Per semplicità di notzione, in questo cso porremo I := I w = I 1. Il primo esempio di formule interpoltorie che considerimo sono le regole di tipo Newton-Cotes chiuse (cf. [9, p.336]) che si ottengono integrndo l interpolnte di f in nodi equispziti Alcune clssiche regole sono: 1. regol del trpezio x i = + (i 1)(b ), i = 1,...,N. N 1 I(f) S 1 (f) := S 1 (f,, b) := (b )(f() + f(b)) vente grdo di precisione 1, cioè estt per polinomi di grdo inferiore o ugule 1; si può dimostrre (con un po di ftic) dl teorem del resto per l interpolzione polinomile (cf. [3, p.13]) che l errore dell regol del trpezio [30] è per qulche ξ (, b);. regol di Cvlieri-Simpson E 1 (f) := I(f) S 1 (f) = h3 1 f() (ξ) I(f) S 3 (f) := S 3 (f,, b) := b 6 [ f() + 4f( + b ] ) + f(b) vente grdo di precisione 3, cioè estt per polinomi di grdo inferiore o ugule 3; si può dimostrre (non fcile!) che l errore dell regol di Cvlieri-Simpson [31] è per qulche ξ (, b); E 3 (f) := I(f) S 3 (f) = h5 90 f(4) (ξ), h = b NOTA 3.1. Vedimo clcolndo i pesi, che in effetti le due formule sono interpoltorie. Prtimo dll regol del trpezio. Posti x 1 =, x = b bbimo che L 1 (x) = x b b, L (x) = x b 3

FIGURA 3.. Isc Newton (164-177), Roger Cotes (168-1716), Bonventur Frncesco Cvlieri (1598-1647) e Thoms Simpson (1710-1761). e quindi visto che w 1 bbimo e w 1 = = 1 b L 1 (x)dx = (x b) x b b dx = 1 b b = 1 b (x b) b = 1 b (x b)dx ( b) = b (3.1) w = = 1 b L (x)dx = (x ) x b dx = 1 b b = 1 b (x ) b = 1 b (x )dx (b ) = b (3.) Per qunto rigurd l regol di Cvlieri-Simpson i rgionmenti sono nloghi. D ltr prte essendo quelle dei trpezi e Simpson regole rispettivmente venti e 3 punti con grdo e 4, llor sono entrmbe interpoltorie. Per ulteriori dettgli si confronti [1, p.5-58], [9, p.333-336]. NOTA 3.. Qulor le funzioni d integrre non sino sufficientemente derivbili, un stim dell errore viene fornit dlle formule dell errore vi nucleo di Peno ([1, p.59]). Ricordimo che per N 8 le formule di Newton-Cotes chiuse hnno pesi di segno diverso e sono instbili dl punto di vist dell propgzione degli errori (cf. [3, p.196]). 4. Formule di Newton-Cotes composte. Si suddivid l intervllo (chiuso e limitto) [, b] in N subintervlli T j = [x j, x j+1 ] tli che x j = + jh con h = (b )/N. Dlle proprietà dell integrle f(x)dx = N 1 j=0 xj+1 x j f(x)dx N 1 j=0 S(f, x j, x j+1 ) (4.1) dove S è un delle regole di qudrtur finor esposte (d esempio S 3 (f)). Le formule descritte in (4.1) sono dette composte. Due csi prticolri sono 1. formul compost dei trpezi [ S (c) f(x0 ) 1 := h + f(x 1 ) +... + f(x N 1 ) + f(x ] N) 4 (4.)

il cui errore è E (c) 1 (b ) (f) := I(f) S(c) 1 (f) = h f () (ξ), h = 1 (b ) N per qulche ξ (, b);. formul compost di Cvlieri-Simpson fissti il numero N di subintervlli e i punti x k = + kh/ dove h = b N si I(f) S (c) 3 (f) := h 6 il cui errore è E (c) 3 per qulche ξ (, b). [ f(x 0 ) + N 1 r=1 N 1 f(x r ) + 4 (b ) (f) := I(f) S(c) 3 (f) = 180 s=0 f(x s+1 ) + f(x N ) ( ) 4 h f (4) (ξ) ] ; (4.3) 5. Formule gussine. Nelle formule interpoltorie di Newton-Cotes (come d esempio l regol del Trpezio o di Cvlieri-Simpson) i nodi x 1,...,x n sono equispziti e il grdo di precisione δ è generlmente ugule lmeno n 1 m in lcuni csi, come per l regol di Cvlieri-Simpson, ugule l numero di nodi n. Vedimo or formule che prità di nodi hnno grdo di precisione mggiore di n. Si w : (, b) R (non necessrimente limitto) è un funzione peso, cioè tle che (cf. [1, p.06, p.70]) 1. w è nonnegtiv in (, b);. w è integrbile in [, b]; 3. esist e si finito per ogni n N; 4. se x n w(x)dx g(x)w(x) dx per un qulche funzione nonnegtiv g llor g 0 in (, b). Tr gli esempi più noti ricordimo 1. Legendre: w(x) 1 in [, b] limitto;. Jcobi: w(x) = (1 x) α (1 + x) β in ( 1, 1) per α, β 1; 3. Chebyshev: w(x) = 1 1 x in ( 1, 1); 4. Lguerre: w(x) = exp( x) in [0, ); 5. Hermite: w(x) = exp ( x ) in (, ); NOTA 5.1. Dimo di seguito l ide sul perchè si utilizzino funzioni peso w per il clcolo di integrli. Qunto detto non deve essere preso letterlmente m con un po di elsticitá. Se 5

dobbimo pprossimre g(x)dx con g regolre llor di solito non srà difficile clcolre numericmente il vlore dell integrle, mentre se g è poco regolre srà molto più oneroso ottenere buoni risultti. A tl proposito introducimo delle stime d errore che verrnno discusse in un sezione successiv. Se (, b) è limitto llor I(g) I n (g) (b ) min q n P n g q n. Essendo min qn P n g q n l elemento di miglior pprossimzione, ricordimo il teorem di Jckson TEOREMA 5.. Se f C k ([, b]), ed f (k) è α hölderin, cioè sup f (k) (x) f (k) (y) M x y α x,y [,b] per qulche M > 0, 0 < α 1. Allor esiste un costnte M k indipendente d f e n per cui inf p P n f p M k, n 1. nk+α L disuguglinz del Teorem 5. dice che l crescere dell regolrità k sintoticmente l crescere di n si h un errore di migliore pprossimzione inferiore. Introducendo un funzione peso w, e supposto che f = g/w si regolre, si consider il clcolo di g(x)dx = g(x) w(x) w(x)dx = f(x)w(x) dx. L regolrità di f e l prticolrità del clcolo dipendentemente dll funzione peso permette di pprossimre meglio g(x)dx = f(x)w(x)dx. Inftti per I(f) = f(x)w(x)dx e I n (f) un pproprit formul di qudrtur (che verrà dett gussin rispetto w) bbimo I(f) I n (f) w 1 min q n P n f q n. e quindi, nuovmente dlle stime di Jckson, l fcilità di clcolo dell integrle dipenderà esclusivmente dll regolrità di f (e non d quell di g = f w che potrebbe essere notevolmente inferiore visto che priori l funzione g potrebbe essere perfino discontinu). Si suppong or di dover clcolre per qulche funzione f : (, b) R I w (f) := f(x)w(x) dx. Il problem è evidentemente più generle di quello di clcolre un integrle del tipo f(x)dx con f C([, b]), [, b] limitto, visto che l integrndfw non é necessrimente continu in [, b] (si consideri d esempio il peso di Chebyshev che h un singolrità in = 1, b = 1) oppure può succedere che l intervllo si illimitto come nel cso del peso di Lguerre o Hermite. Esistono nuovmente x 1,...,x n e pesi w 1,..., w n (detti di Guss-nome funzione peso) per cui le reltive formule di qudrtur di tipo interpoltorio bbino grdo di precisione lmeno δ > n, cioè clcolino esttmente p m (x)w(x)dx 6

FIGURA 5.1. Adrien-Mrie Legendre (175-1833), Chrles Hermite (18-1901), Crl Gustv Jcob Jcobi (1804-1851) e Edmond Nicols Lguerre (1834-1886). per m > n? L rispost è ffermtiv, come si può vedere in [1, p.7]. TEOREMA 5.3. Per ogni n 1 esistono e sono unici dei nodi x 1,..., x n e pesi w 1,...,w n per cui il grdo di precisione si lmeno n 1. I nodi sono gli zeri del polinomio ortogonle di grdo n, e i corrispettivi pesi sono w i = φ n (x) = A n (x x 1 )... (x x n ) L i (x)w(x)dx = L i (x)w(x)dx, i = 1,...,n. DIMOSTRAZIONE. Trtt d [3, p.09]. Per prim cos mostrimo che in effetti con tle scelt dei nodi l formul interpoltori h grdo di precisione lmeno n 1, che i pesi sono univocmente determinti e positivi. Si p n 1 P n 1 e q n 1, r n 1 P n 1 tli che Allor poichè p n 1 = q n 1 φ n + r n 1. q n 1(x)φ n (x)w(x)dx = (q n 1, φ n ) w = 0, poichè φ n è il polinomio ortogonle rispetto w di grdo n; inftti essendo (φ k, φ n ) w = 0, k = 0 < n necessrimente d q n 1 = n 1 k=0 γ kφ k bbimo n 1 (q n 1, φ n ) w = ( γ k φ k, φ n ) w k=0 n 1 = γ k (φ k, φ n ) w = 0 (5.1) k=0 l formul è interpoltori per costruzione (vedere l definizione dei pesi!), per cui estt per ogni polinomio di grdo n 1 in qunto bst su n punti due due distinti; 7

bbimo se x k è uno zero di φ n llor p n 1 (x k ) = q n 1 (x k )φ n (x k ) + r n 1 (x k ) = r n 1 (x k ). p n 1 (x)w(x)dx = = 0 + = = q n 1 (x)φ n (x)w(x)dx + r n 1 (x)w(x)dx w k r n 1 (x k ) k=1 r n 1 (x)w(x)dx w k p n 1 (x k ) (5.) k=1 per cui l formul di Guss h grdo di precisione lmeno n 1. Inoltre, come dimostrto d Stieltjes nel 1884, i pesi sono positivi, poichè in prticolre l formul è estt per ognuno dei qudrti dei polinomi di Lgrnge reltivo i punti x 1,..., x n per cui 0 < n L j (x)w(x)dx = w k L j (x k) = w j. in qunto deg(l i )=(n 1) e l formul h grdo di precisione lmeno n 1. Se esistesse un ltr formul interpoltori con grdo di precisione lmeno n 1 e vesse nodi { x j },...,n e pesi { w j },...,n per prim cos i pesi srebbero positivi poichè il grdo di precisione è lmeno n 1 e quindi srebbe estt per il j-simo polinomio di Lgrnge L j d cui k=1 0 < L j(x)w(x)dx = w k L j ( x k ) = w j. D ltr prte se L j è il j-simo polinomio di Lgrnge (vente grdo n 1), poichè φ n è il polinomio ortogonle di grdo n rispetto l peso w, e w j > 0 bbimo che d 0 = (φ n, L j ) w = φ n (x) L j (x)w(x)dx = k=1 w k Lj ( x k )φ n ( x k ) = w j φ n ( x j ) necessrimente x j = x j e visto che questo implic L j = L j ricvimo nche w j = per cui l formul gussin cerct è unic. k=1 L j (x)w(x)dx = L j (x)w(x)dx = w j 8

6. Formule dell errore. Per qunto rigurd gli errori compiuti d lcune delle formul di qudrtur discusse si h (cf.[1, p.64]) TEOREMA 6.1. Si un regol di Newton-Cotes. I(f) I n (f) = 1. se n è pri e f C (n+) ([, b]) llor con w i,n f(x i,n ) I(f) I n (f) = C n h n+3 f (n+) (η), η (, b) C n = 1 (n + )! n. se n è dispri e f C (n+1) ([, b]) llor con 0 µ (µ 1)...(µ n)dµ; I(f) I n (f) = C n h n+ f (n+1) (η), η (, b) C n = 1 (n + 1)! n 0 µ(µ 1)...(µ n)dµ; Si osserv fcilmente che qunto visto in precedenz per l regol del trpezio e l regol di Cvlieri-Simpson, è consistente con questi due teoremi. Inoltre, d questi ultimi, si ottengono gli errori di regole composte d un numero di punti minore o ugule 7 (per motivi di stbilità non si suggeriscono regole con più punti). Per qunto concerne le formule gussine (cf.[1, p.7], cf.[3, p.64], cf.[5, p.344]) ricordimo il seguente teorem di Mrkov TEOREMA 6.. Si f C (n) (, b) con (, b) comptto e supponimo I w (f) = f(x)w(x)dx I n (f) = w i,n f(x i,n ) i=1 si un formul gussin rispetto ll funzione peso w. Allor E n (f) := I w (f) L n (f) = γ n A n(n)! f(n) (η), η (, b) dove A n è il coefficiente di grdo mssimo del polinomio ortogonle φ n di grdo n, γ n = φ n(x)w(x)dx. In prticolre, se w 1, [, b] [ 1, 1] llor E n (f) = n+1 (n!) 4 (n + 1)[(n)!] 3 f(n) (η), η ( 1, 1). 9

10 0 10 0 10 40 10 60 10 80 10 100 10 10 10 140 0 5 10 15 0 5 30 35 FIGURA 6.1. Grfico in scl semilogritmic dell funzione n+1 (n!) 4 (n+1)[(n)!] 3. 7. Stbilità di un formul di qudrtur. Si (, b) un intervllo non necessrimente comptto e w un funzione peso in (, b). Inoltre supponimo I w (f) := f(x)w(x)dx I n (f) := w j f j, con f j = f(x j ) (7.1) e che invece di {f j } j si dispong di un loro pprossimzione { f j } j. Di conseguenz l posto di I n (f) si clcol Ĩ n (f) = w j fj, ed è Quindi l quntità I n (f) Ĩn(f) = w j (f j f j ) w j f j f j w j mx f j f j (7.) w j è un indice di stbilità dell formul di qudrtur. Si dimostr che se (, b) è limitto llor in effetti l opertore linere I n : C([, b]) R è continuo in qunto per il teorem di Weierstrss esiste f ed è I n (f) = w j f j w j f j w j mx f j w j f (7.3) j 10 j

per cui l norm dell opertore di qudrtur I n = I n (f) mx f C([,b]),f 0 f coincide con n w j. Mostrimo or il seguente teorem ttribuito Stieltjes, che leg l errore delle formule di qudrtur quello di miglior pprossimzione. TEOREMA 7.1. Si (, b) un intervllo limitto e si suppong w : (, b) R si un funzione peso e I n (f) = w j f j, con f j = f(x j ) un formul di qudrtur vente grdo di precisione lmeno n. Allor I(f) I n (f) ( w 1 + I n ) min q n P n f q n. DIMOSTRAZIONE. Se q n P n è un polinomio rbitrrio di grdo n ed I(f) = I n (f) vendo l formul di qudrtur grdo di precisione lmeno n, essendo I(f) = f(x)w(x)dx mx f(x) w(x)dx = f w 1 x [,b] poichè per definizione bbimo I n (f) I n f I(f) I n (f) = I(f) I n (q) + I n (q) I n (f) I(f) I n (q) + I n (q) I n (f) I(f) I(q) + I n (q f) I(f q) + I n (f q) w 1 f q + I n f q = ( w 1 + I n ) f q (7.4) L interesse di questo teorem è il legme col polinomio di miglior pprossimzione. Se i pesi sono positivi, llor I n = w 1 e si h Per stime delle quntità I(f) I n (f) w 1 min q n P n f q n. min q n P n f q n si devono usre i teoremi di Jckson per l errore del polinomio di miglior pprossimzione di un funzione f C([, b]) (dotndo C([, b])) dell norm infinito). 11

Così d esempio, se usimo l funzione peso di Legendre w 1 nell intervllo ( 1, 1) si h che I(f) I n (f) 4 min q n P n f q n Vist l rbitrrietà di q n, scelto qule q n il polinomio di miglior pprossimzione in norm infinito, si ottiene l sserto. Risult importnte osservre che il teorem precedente che h quli contributi il prodotto di due termini. Il primo è dovuto ll funzione peso e ll stbilità dell formul di qudrtur, mentre il secondo è dto esclusivmente dll miglior pprossimzione di f (e non fw)! Quindi se w è un funzione peso con fw non regolre m f regolre llor l utilizzo di formule gussine rispetto ll funzione peso w, come nticipto prim, offre risultti potenzilmente migliori. Qule esempio si pensi di dover clcolre l integrle 1 exp (x) 1 x dx con l formul di Guss-Legendre e un formul di Guss-Jcobi con esponenti α = 1/ e β = 0. Qule delle due srà d usre e perchè? NOTA 7.. Supponimo che lcuni pesi sino negtivi. Sino {w + j },...,n + e {w l } l=1,...,n rispettivmente i pesi positivi e negtivi. Di conseguenz w(x)dx = I n = d cui w k = k=1 w k = k=1 n + n w + j + w l (7.5) l=1 n + n n w j + + + n w l = w j + w l (7.6) l=1 l=1 I n = n + n w + j w l = l=1 w(x)dx n + w + j n w l = w(x)dx n l=1 l=1 w l, mentre se i pesi fossero tutti positivi vremmo I n = n + n w + j w l = l=1 n + w + j = w(x)dx per cui mggiore è n l=1 w l > 0 e peggiore è l stbilità dell formul di qudrtur. 8. Teoremi di convergenz. Considerimo un formul di qudrtur del tipo I w (f) := f(x)w(x)dx I n (f) := 1 w i,n f(x i,n ) (8.1)

FIGURA 8.1. George Poly (1887-1985) e Vldimir Andreevich Steklov (1864-196). con l solito w un funzione peso definit nell intervllo (, b). Se tle intervllo è limitto ed f continu in [, b] llor per qunto visto in precedenz si h fw L 1 (, b). Si E n (f) := f(x)w(x)dx w i,n f(x i,n ). Dimostrimo or il teorem di Poly-Steklov [3, p.0], lscindo l lettore che h conoscenze di nlisi funzionle l prte di dimostrzione che utilizz il celebrto teorem di Bnch-Steinhus. TEOREMA 8.1. Sino x i,ki,k dei punti di un intervllo comptto [, b]. Condizione necessri e sufficiente ffinchè per ogni funzione continu f C([, b]) si bbi lim E n(f) = 0 n + è che si 1. esiste M R tle che per ogni n si bbi. per ogni k N si bbi w i,n M; lim E n(x k ) = 0. k + DIMOSTRAZIONE. Supponimo che 1. esiste M R tle che per ogni n si bbi. per ogni k N si bbi w i,n M; lim E n(x k ) = 0. k + 13

Per un teorem di densità dovuto Weierstrss, per ogni ǫ > 0 esiste un polinomio p tle che f p n ǫ e quindi E n (f p n ) (f(x) p n (x))w(x)dx + w i,n (f(x i,n ) p n (x i,n )) f p n w 1 + w i,n f(x i,n ) p n (x i,n ) ( n ) f p n w 1 + w i,n f p n = ( w 1 + ) w i,n ǫ. (8.) Di conseguenz E n (f) E n (f) E n (p) + E n (p) ( w 1 + w i,n ) ǫ + E n (p) ( w 1 + M) ǫ + E n (p) (8.3) e siccome E n (p) 0 l crescere di n poichè se p(x) = m k=0 kx k llor m E n (p) = k E n (x k ) 0 k=0 bbimo lim n E n (f) ( w 1 + M) ǫ + 0 = ( w 1 + M) ǫ d cui per l rbitrrietà di ǫ bbimo lim n E n (f) = 0 e quindi per l continuità dell funzione bbimo lim n E n (f) = lim n E n (f) = 0 che permette di concludere lim n E n (f) = 0. 14

Vicevers supponimo lim n E n (f) = 0 per ogni f C([, b]). Si vede che In reltà si prov che E n (f) = E n = f(x)w(x)dx f(x) w(x)dx + w 1 f + w 1 f + ( = ( w 1 + w i,n f(x i,n ) w i,n f(x i,n ) w i,n f(x i,n ) w i,n ) f ) w i,n f (8.4) E n (f) mx = w 1 + f C([,b]),f 0 f w i,n. Il teorem di uniforme limittezz (tlvolt citto come di Bnch-Steinhus) [, p.58] stbilisce che se L n è un sequenz di opertori lineri limitti d uno spzio di Bnch V uno spzio di Bnch W e per ogni v V l sequenz {L n (v)} n è limitt llor sup L n < +. n Nel nostro cso V (C([, b]), ), W R sono spzi di Bnch, posto L n E n, se f C([, b]) bbimo che E n (f) è limitt in qunto per ipotesi è infinitesim, quindi per il teorem di Bnch-Steinhus si h Essendo sup n w i,n sup n ( sup E n < +. n w 1 + ) w i,n esiste M finito ed indipendente d n tle che n w i,n M. = sup E n < +, n Il secondo punto d dimostrre è ovvio in qunto per ogni k, si h x k C([, b]) Notimo che 1. L intervllo [, b] è limitto per cui il teorem di Poly non è pplicbile per funzioni peso quli Guss-Lguerre e Guss-Hermite.. Si consideri un suddivisione m = {τ i },...,m dell intervllo (, b) con τ i < τ i+1, τ 0 =, τ m = b; si suppong che h i = τ i+1 τ i e che si h m = 15 mx h k. k=0,...,m 1

Se l l-simo intervllo (con l = 1,..., m) dell suddivisione contiene i punti τ l 1 = x (l 1) n < x (l 1) n+1 <... < x l n = τ l si s m,n(f) l funzione polinomile trtti di grdo n ottenut interpolndo nell isimo subintervllo con un polinomio di grdo n le coppie (x (l 1) n, f(x (l 1) n )),..., (x l n, f(x l n )), i = 1,...,m. Come è noto, se f C (n+1) (, b), per qulche ξ (, b) f s m,n h(n+1) f (n+1) (ξ) (n + 1)! h(n+1) f (n+1). (n + 1)! Se considerimo un formul compost bst sull pplicre un formul di Newton- Cotes su n + 1 pesi positivi in ognuno degli m subintervlli, si vede fcilmente che tutti i suoi pesi sono positivi (perchè?) e siccome in ogni sottointervllo l formul interpoltori h grdo di precisione lmeno 0, bbimo w i,n = w i,n = w i,n 1 = 1 dx = b. Quindi, reltivmente ll prim ipotesi del teorem di Poly-Steklov, ess è verifict per M = b. Per qunto rigurd l verific dell second ipotesi, tle formul compost integr esttmente ogni funzione polinomile trtti di grdo n su e quindi dll formul dell errore dell interpolnte polinomile trtti si h f(x)dx = = (f(x) s m,n)dx + (f(x) s m,n)dx + s m,ndx w i,n f(x i,n )dx (8.5) d cui E n (f) = = f(x)dx w i,n f(x i,n ) (f(x) s m,n)dx 1 dx f s m,n (b ) f s m,n (b ) h(n+1) f (n+1) (n + 1)! (8.6) Siccome un polinomio f(x) = x k è infinitmente derivbile, f (n+1) è continu in [, b] e quindi per il teorem di Weierstrss f (n+1) è finito. Di conseguenz, se l successione di formule composte è tle che l mssim suddivisione h tende 16

0 llor E n (x k ) 0. Per il teorem di Poly-Steklov si h così che l formul compost f(x)w(x)dx i w i,n f(x i,n ) (8.7) è tle che qulsisi si l funzione continu f, E m (f) 0 qundo l mssim mpiezz dei subintervlli tende 0. 3. Se considerimo un formul di Guss, su un dominio limitto, i nodi w i,n sono positivi ed vendo grdo di precisione lmeno 1 w i,n = w i,n = w i,n 1 = 1 w(x)dx = w 1. Quindi posto M = w 1, l prim ipotesi del teorem di Poly è verifict. Per qunto rigurd l second ipotesi, essendo il grdo di precisione lmeno n + 1, fissto k, per n ceil((k 1)/) si h E n (x k ) = 0. Di conseguenz, essendo tutti gli zeri contenuti in (, b), possimo pplicre il teorem di Poly-Steklov e dedurre che l crescere del numero di punti n + 1 dell formul gussin si h che lim E n(f) = 0 n + qulsisi si l funzione continu f C(, b). 8.1. Implementzione Mtlb di lcune formule composte. Mostreremo di seguito un implementzione in Mtlb/Octve dell formul compost dei trpezi e di Cvlieri- Simpson. function [x,w]=trpezi_compost(n,,b) % FORMULA DEI TRAPEZI COMPOSTA. % INPUT: % N: NUMERO SUBINTERVALLI. %, b: ESTREMI DI INTEGRAZIONE. % OUTPUT: % x: NODI INTEGRAZIONE. % w: PESI INTEGRAZIONE (INCLUDE IL PASSO!). h=(b-)/n; x=:h:b; x=x ; w=ones(n+1,1); w(1)=0.5; w(n+1)=0.5; w=w*h; % PASSO INTEGRAZIONE. % NODI INTEGRAZIONE. % PESI INTEGRAZIONE. L funzione trpezi compost ppen espost clcol i nodi e i pesi dell omonim formul compost. L unic difficoltà del codice consiste nel clcolo dei pesi w. Essendo per loro definizione N I(f) S1 c (f) := w i f(x i ) (8.8) 17

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8. FIGURA 8.. Formul dei trpezi compost per il clcolo di R 0.5 sin(x) dx (re in mgent). come pure per (4.) S (c) 1 := h [ f(x0 ) + f(x 1 ) +... + f(x N 1 ) + f(x ] N) (8.9) deducimo che w 0 = w N = h/ mentre w 1 =... = w N 1 = h, cos che giustific le ultime linee dell function trpezi compost. Si potrebbe usre il comndo Mtlb trpz nell su implementzione >> help trpz TRAPZ Trpezoidl numericl integrtion. Z = TRAPZ(Y) computes n pproximtion of the integrl of Y vi the trpezoidl method (with unit spcing). To compute the integrl for spcing different from one, multiply Z by the spcing increment. For vectors, TRAPZ(Y) is the integrl of Y.......... e sostituire l prte reltiv l clcolo dei pesi con I=h*trpz(fx); Vedimone i dettgli in Mtlb (versione 6.1) per il clcolo di 0 sin(x)dx = cos(1) ( cos(0)) = cos(1) + 1 0.45969769413186. si utilizzndo l funzione trpz che trpezi compost >> formt long; >> [x,w]=trpezi_compost(10,0,1); >> fx=sin(x); >> I_trpezi_compost=w *fx I_trpezi_compost = 0.45931454885798 >> h=(1-0)/10; >> I_trpz=h*trpz(fx) 18

I_trpz = 0.45931454885798 >> Di conseguenz per implementre l regol è del tutto equivlente usre l function trpezi compost o trpz. Si osserv che è sbglito chimre trpz senz il psso h (nell esempio non si dividerebbe per 10, e invece di 0.45931454885798 vremmo 4.5931454885798). Evitimo il diretto utilizzo di trpz perchè non presente in lcune vecchie versioni di Octve (m non nell più recente.1.73). Per qunto rigurd l formul di Cvlieri-Simpson compost function [x,w]=simpson_compost(n,,b) % FORMULA DI SIMPSON COMPOSTA. % INPUT: % N: NUMERO SUBINTERVALLI. %, b: ESTREMI DI INTEGRAZIONE. % OUTPUT: % x: INTEGRAZIONE. % w: PESI INTEGRAZIONE (INCLUDE IL PASSO!). h=(b-)/n; x=:(h/):b; x=x ; % AMPIEZZA INTERVALLO. % NODI INTEGRAZIONE. w=ones(*n+1,1); % PESI INTEGRAZIONE. w(3::*n-1,1)=*ones(length(3::*n-1),1); w(::*n,1)=4*ones(length(::*n),1); w=w*h/6; Similmente ll routine per il clcolo dei nodi e i pesi di trpezi compost, le ultime righe sono le più difficili d cpire, m un confronto con (8.8) e (4.3) ne spieg il significto. Un volt noti il vettore (colonn) x dei nodi e w dei pesi di integrzione, se l funzione f è richimt d un m-file f.m, bst fx=f(x); I=w *fx; % VALUT. FUNZIONE. % VALORE INTEGRALE. per clcolre il risultto fornito dll formul di qudrtur compost. Ricordimo che se w = (w k ) k=0,...,n R N+1, fx = (f(x k )) k=0,...,n R N+1 sono due vettori colonn llor il prodotto sclre w fx := N N w k fx k := w k f(x k ) k=0 si scrive in Mtlb/Octve come w *fx. Osservimo che dimensionlmente il prodotto di un vettore 1 (N + 1) con un vettore (N + 1) 1 dà uno sclre (cioè un vettore 1 1). Applichimo or l formul compost di Cvlieri-Simpson ll esempio precedente: k=0 >> formt long; 19

>> [x,w]=simpson_compost(5,0,1); >> fx=sin(x); >> I_simpson=w *fx I_simpson = 0.459697949838 >> length(x) ns = 11 >> Fccimo or un ltro esempio. Clcolimo numericmente utilizzndo le formule composte sopr citte 1 x 0 dx = (1 1 /1) ( 1) 1 /1 = /1 0.095380953810. A tl proposito scrivimo il seguente codice demo composte. N=11; =-1; b=1; %SCEGLIERE DISPARI. N_trp=N-1; [x_trp,w_trp]=trpezi_compost(n_trp,,b); fx_trp=x_trp.ˆ0; % VALUT. FUNZIONE. I_trp=w_trp *fx_trp; % TRAPEZI COMPOSTA. N_simpson=(N-1)/; [x_simp,w_simp]=simpson_compost(n_simpson,,b) fx_simp=x_simp.ˆ0; % VALUT. FUNZIONE. I_simp=w_simp *fx_simp; % SIMPSON COMPOSTA. fprintf( \n \t [TRAPEZI COMPOSTA] [PTS]: %4.0f, length(x_trp)); fprintf( \n \t [TRAPEZI COMPOSTA] [RIS]: %14.14f, I_trp); fprintf( \n \t [SIMPSON COMPOSTA] [PTS]: %4.0f, length(x_simp)); fprintf( \n \t [SIMPSON COMPOSTA] [RIS]: %14.14f, I_simp); ottenendo [TRAPEZI COMPOSTA] [PTS]: 11 [TRAPEZI COMPOSTA] [RIS]: 0.04663150504 [SIMPSON COMPOSTA] [PTS]: 11 [SIMPSON COMPOSTA] [RIS]: 0.1394900364447 Si può vedere che usndo formule di tipo gussino (cf. [8], [9]) o di tipo Clenshw-Curtis (cf. [6], [11], [13]) prità di vlutzioni dell funzione f vremmo ottenuto [GAUSS-LEGENDRE ]: 0.0953809538095649 [CLENSHAW-CURTIS ]: 0.09490517604004307 col costo ggiuntivo di dover clcolre trmite complicti lgoritmi i pesi e i nodi di Guss o i nodi di Clenshw-Curtis vi un IFFT [7]. 0

8.. Formule gussine in Mtlb. Eccetto che in pochi csi (come d esempio per l funzione peso di Chebyshev), non esistono formule esplicite per l individuzione di tli nodi e pesi. Un volt venivno tbulti, oggi si consigli di pplicre del softwre che si può trovre d esempio nell pgin di Wlter Gutschi http://www.cs.purdue.edu/people/wxg Fissto un peso, d esempio quello di Jcobi, si cercno per prim cos i coefficienti di ricorrenz, che possono essere clcolti con l m-file r jcobi.m nel sito di W. Gutschi. L sintssi è l seguente b=r_jcobi(n,,b) Come si vede di commenti l file % R_JACOBI Recurrence coefficients for monic Jcobi polynomils. % % b=r_jacobi(n,,b) genertes the first n recurrence % coefficients for monic Jcobi polynomils with prmeters % nd b. These re orthogonl on [-1,1] reltive to the % weight function w(t)=(1-t)ˆ(1+t)ˆb. The n lph-coefficients % re stored in the first column, the n bet-coefficients in % the second column, of the nx rry b. The cll b= % R_JACOBI(n,) is the sme s b=r_jacobi(n,,) nd % b=r_jacobi(n) the sme s b=r_jacobi(n,0,0). % % Supplied by Dirk Lurie, 6--1998; edited by Wlter % Gutschi, 4-4-00., b corrispondono rispettivmente ll α e β delle formule di Jcobi (e non gli estremi di integrzione!). I coefficienti di ricorrenz sono immgzzinti nell vribile b. Ricordimo che se {φ n (x)} è un fmigli di polinomi ortogonli su [, b], rispetto d un funzione peso w(x), llor per n 1 φ n+1 (x) = α n (x β n )φ n (x) γ n φ n 1 (x) ove, detto A n il coefficiente di grdo n in φ n, si h α n = A n+1 /A n, β n = (xφ n, φ n ) φ n, γ n = (φ n, xφ n 1 ) φ n, con (f, g) = f(x)g(x)dx. Nel cso di r jcobi si us l formul ricorsiv dei polinomi ortogonli (monici!) [7, p.16] φ n+1 (x) = (x α n )φ n (x) β n φ n 1 (x), k = 1,,... φ 1 (t) = 0, φ 0 (t) = 1. (8.10) Osservimo che, essendo i polinomi ortogonli definiti meno di un costnte moltiplictiv non null (se (φ k,φ j )= 0 per ogni j < k pure (τφ k,φ j )= 0 per ogni j < k, per ogni τ 0), si può richiedere che l fmigli tringolre di polinomi ortogonli si di polinomi monici (cioè con coefficienti di grdo mssimo uguli 1). Il vettore b h qule prim colonn il vettore dei coefficienti {α k } e qule second colonn il vettore dei coefficienti {β k }. 1

1 10 0 0.8 0.6 0.4 0. 0 10 1 0. 0.4 0.6 0.8 1 1 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 10 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 FIGURA 8.3. Grfico che illustr l distribuzione dei 0 nodi e il vlore dei 0 pesi di Guss-Legendre nell intervllo [1, 1]. Per ulteriori dettgli sui polinomi ortogonli si confronti [1, p.70-83], [3, p.978-985], [9, p.375-401]. A questo punto si chim l funzione guss.m (reperibile nuovmente presso lo stesso sito di W. Gutschi) % GAUSS Guss qudrture rule. % % Given weight function w encoded by the nx rry b of the % first n recurrence coefficients for the ssocited orthogonl % polynomils, the first column of b contining the n lph- % coefficients nd the second column the n bet-coefficients, % the cll xw=gauss(n,b) genertes the nodes nd weights xw of % the n-point Guss qudrture rule for the weight function w. % The nodes, in incresing order, re stored in the first % column, the n corresponding weights in the second column, of % the nx rry xw. % function xw=guss(n,b) N0=size(b,1); if N0<N, error( input rry b too short ), end J=zeros(N); for n=1:n, J(n,n)=b(n,1); end for n=:n J(n,n-1)=sqrt(b(n,)); J(n-1,n)=J(n,n-1); end [V,D]=eig(J); [D,I]=sort(dig(D)); V=V(:,I); xw=[d b(1,)*v(1,:).ˆ]; che per un certo N, ugule l mssimo l numero di righe dell mtrice di coefficienti di ricorrenz b, fornisce nodi x e pesi w immgzzinti in un mtrice xw che h qule prim colonn x e qule second colonn w. Osservimo che dll help si evince che i polinomi ortogonli sono monici e quindi comptibili con quelli forniti d r jcobi. L descrizione di perchè tle softwre fornisc il risultto desiderto è complict m può essere trovt nell monogrfi di W. Gutschi sui polinomi ortogonli, per Act Numeric.

Conseguentemente per trovre i nodi e pesi reltivi ll formul di Guss-Legendre in (, b), che è un formul di tipo Guss-Jcobi per α = 0 e β = 0, nonchè clcolre con essi degli integrli di un funzione f, si procede come segue. 8..1. Un demo di Guss-Jcobi. Slvimo nel file integrzione guss jcobi.m function [I_jc,x_jc,w_jc]=integrzione_guss_jcobi(N,jc,bjc,,b,f) % INPUT: % % N: GRADO DI GAUSS-JACOBI. SE SI VUOLE CALCOLARE I(f) CON % I(f)=int_ˆb f(x) dx % PORRE jc=0, bjc=0 (FUNZIONE PESO DI LEGENDRE w(x)=1). % jc, bjc: PARAMETRI DI GAUSS-JACOBI, CIOE SI INTEGRA: % I(fw)=int_ˆb f(x) w(x) dx % CON w(x)=(1-x)ˆjc (1+x)ˆbjc. %,b: ESTREMI INTERVALLO INTEGRAZIONE. % f: FUNZIONE DA INTEGRARE. % % OUTPUT: % % I_jc: VALORE DI I(fw) APPROSSIMATO DA guss_jcobi. PER jc=0, % bjc=0 CORRISPONDE A I(f). % x_jc: NODI GAUSS-JACOBI. % w_jc: PESI GAUSS-JACOBI. % ROUTINES ESTERNE: r_jcobi, guss. b_jc=r_jcobi(n,jc,bjc); % TERM. RICORSIVI. xw_jc=guss(n,b_jc); % NODI E PESI IN MATRICE. x_jc=xw_jc(:,1); % NODI GAUSS-LEGENDRE [-1,1]. x_jc_b=((+b)/)+((b-)/)*x_jc; % NODI GAUSS-LEGENDRE [,b]. w_jc=xw_jc(:,); % PESI GAUSS-LEGENDRE [-1,1]. w_jc_b=((b-)/)*w_jc; % PESI GAUSS-LEGENDRE [,b]. fx_jc_b=fevl(f,x_jc_b); % VALUTAZIONE FUNZIONE. I_jc=w_jc_b *fx_jc_b; % VALORE INTEGRALE. e nel file f.m delle funzioni su cui effettueremo dei test. Un esempio è function fx=f(x) fx=x.ˆ0; % ALCUNE FUNZIONI CHE FANNO PARTE DEL SET STUDIATO NELL ARTICOLO: % "IS GAUSS QUADRATURE BETTER THAN CLENSHAW-CURTIS?" % DI L.N. TREFETHEN. % fx=exp(x); % fx=exp(-x.ˆ); % fx=1./(1+16*(x.ˆ)); % fx=exp(-x.ˆ(-)); % fx=bs(x); fx=fx.ˆ3; 3

% fx=x.ˆ(0.5); % fx=exp(x).*(sqrt(1-x)); Altre funzioni test [11] sono fx = x.ˆ0 fx = exp(x) fx = exp(-x.ˆ) fx = 1./(1+16*(x.ˆ)) fx = exp(-x.ˆ(-)) fx = (bs(x)).ˆ3; fx=x.ˆ(0.5); fx=exp(x).*(sqrt(1-x)); con = 1, b = 1 e per cmbire il tipo di funzione, bst modificre l posizione dei crtteri %. Scricndo dll pgin web del corso i files integrzione guss jcobi.m, f.m e dll pgin di W. Gutschi r jcobi.m e guss.m possimo fre lcuni esperimenti. 1. Si osservi che per ottenere i nodi e pesi di Guss-Legendre in (, b) d quelli di Guss-Jcobi in ( 1, 1) bbimo effettuto uno scling: se x i,[ 1,1] sono i nodi di Guss-Jcobi in [ 1, 1] llor i nodi di Guss-Jcobi x i,[,b] in [, b] sono x i,[,b] = (( + b)/) + ((b )/) x i,[ 1, 1] ;. se w i,[ 1,1] sono i pesi di Guss-Jcobi in [ 1, 1] llor i pesi di Guss-Jcobi w i,[,b] in [, b] sono w i,[,b] = ((b )/) w i,[ 1,1]. L ide è l seguente. Dovendo le formule essere estte per le costnti come l funzione f 1, nel cso dell funzione peso di Legendre w 1 w i,[,b] = i w(x)dx = b mentre nel cso di = 1, b = 1 derivnte dll funzione peso di Jcobi bbimo w i,[ 1,1] = i 1 w(x)dx = ; si h quindi l intuizione che i pesi in (, b) sino quelli in ( 1, 1) moltiplicti per b. 3. Nonostnte l introduzione rigurdnte nodi e pesi in [, b] non necessrimente ugule [ 1, 1], ll fine eseguiremo test esclusivmente in quest ultimo intervllo. Qulor necessrio, bst ggiungere nuove funzioni mtemtiche l file f.m, modificre degutmente, b, fornire il reltivo risultto estto in exct results.m e testre l formul gussin. Per vere il risultto con lt precisione si usi l funzione qudl.m o qud8.m di Mtlb oppure integrzione guss jcobi.m con N = 500; 4. l intervllo tipico di Guss-Legendre è [, b] (chiuso), mentre per Guss-Jcobi l intervllo è tipicmente (, b) (perto),poichè in generle gli esponenti dell funzione peso di Jcobi possono essere negtivi; per Guss-Legendre il problem non sussiste, visto che l funzione peso è continu, e i punti, b sono un insieme trscurbile. 4

Se or testimo il primo esempio, cioè il clcolo di ottenimo 1 x 0 dx 0.09538095380953300 >> formt long; >> N=11; jc=0; bjc=0; =-1; b=1; >> [I_jc,x_jc,w_jc]=integrzione_guss_jcobi(N,jc,bjc,,b,@f); >> I_jc I_jc = 0.095380953810 >> length(x_jc) ns = 11 >> fprintf( \n \t [GAUSS-LEGENDRE]: \%15.0f,I_jc); [GAUSS-LEGENDRE]: 0.095380953809564900 >> 0.09538095380953300-0.095380953809564900 ns = -4.16333634344337e-016 >> 8... Un integrle con funzione peso. Considerimo or l integrle 1 exp (x) 1 xdx = 1.77914365469190979591179099941. (8.11) Tle risultto è stto ottenuto usndo il comndo simbolico di Mtlb 6.5 (non funzion in Octve, vedere in lterntiv il progrmm Mxim!!) >> syms x >> int( (exp(x)) * ( (1-x)ˆ(0.5) ),-1,1) ns = 1.77914365469190979591179099941 Si cpisce che 1. syms x rende l vribile x di tipo simbolico (e non numerico!);. il termine int( (exp(x)) * ( (1-x)ˆ(0.5) ),-1,1) clcol simbolicmente l integrle 1 exp (x) 1 xdx. E immedito osservre che w(x) = 1 x è un peso di Guss-Jcobi per α = 1/ e β = 0. w(t) = (1 t) α (1 + t) β 5

10 0 tpz 10 1 simp gl cc 10 10 3 10 4 10 5 10 6 0 5 10 15 0 5 30 35 40 FIGURA 8.4. Grfico che illustr l errore delle formule di qudrtur dei trpezi compost, Cvlieri-Simpson compost, Guss-Legendre e Clenshw-Curtis [11] sull funzione test (8.11). Inftti se w(x) = 1 x, llor g(x) = exp (x)w(x) il che corrisponde usre Guss- Jcobi con f(x) = exp (x). Quindi prgonimo le formule gussine (il codice funzion in Mtlb 6.1 come pure nell relese.1.73 di Octve >> =-1; b=1; >> [I_jc,x_jc,w_jc]=integrzione_guss_jcobi(10,1/,0,,b,@exp); >> fprintf( \n \t [GAUSS-JACOBI]: %15.0f,I_jc); [GAUSS-JACOBI]: 1.77914365469190930000 >> 1.77914365469190979591179099941-1.77914365469190930000 ns = 4.4408909850066e-016 >> length(x_jc) ns = 10 >> [I_jc,x_jc,w_jc]=... integrzione_guss_jcobi(10,0,0,-1,1,inline( exp(x).*sqrt(1-x) )); >> fprintf( \n \t [GAUSS-LEGENDRE]: %15.0f,I_jc) [GAUSS-LEGENDRE]: 1.779841110147800000 >> 1.77914365469190979591179099941-1.779841110147800000 ns = -6.9747e-004 >> length(x_jc) ns = 10 >> Entrmbe le formule hnno lo stesso numero di nodi (e pesi), come si vede dll rig di comndo >> length(x_jc) ns = 10 m offrono risultti diversi, con un errore ssoluto di circ 4.44 10 16 per Guss-Jcobi con = 1/, b = 0 e di.5 10 3 per Guss-Legendre (cioè Guss-Jcobi con = 0, b = 0). 6

8.3. Esercizio. Si clcolino per N = 10, 0 con l formul compost dei trpezi, di Cvlieri-Simpson e un pproprit formul gussin i seguenti integrli 1 1 1 1 1 1 0 1 x 0 dx = /1 0.0953809538096801 (8.1) e x dx = e e 1.3504038787603 (8.13) e x dx = erf(1) π 1.49364865648538 (8.14) 1/(1 + 16x )dx = 1/ tn(4) 0.669088318340168 (8.15) e 1/x dx 0.17814771178156086 (8.16) x 3 dx = 1/ (8.17) x dx = /3 (8.18) e x 1 xdx 1.7791436546919095 (8.19) 1. Quli delle due formule h errori reltivi inferiori?. Quli funzioni risultno più difficili d integrre numericmente? 3. L scelt N = 10, 0 nei singoli codici qunti nodi corrisponde? 4. Suggerimento: ricordrsi che il peso w(x) 1 corrisponde d un opportun scelt del peso di Jcobi. 9. Fcolttivo: Equzioni di Fredholm di second specie. Si consideri l equzione integrle di Fredholm di second specie λu(x) = k(x, y)u(y)dy + f(x), x [, b] (9.1) dove k C([, b] [, b]) e f C([, b]), λ R. Esistono vri teoremi di esistenz ed unicità dell soluzione u. Un primo esempio è che si (cf.[, p.139]) mx k(x, y) dy < λ. x b Per un nlisi più ccurt si consulti [1]. Introducimo or il metodo di Nyström (cf.[, p.373]). Si un sequenz di formule di qudrtur g(y)dy w j,n g(x j,n ), g C([, b]) (9.) 7

FIGURA 9.1. Erik Ivr Fredholm (1866-197). e supponimo che tle sequenz converg ll integrle estto qulsisi si g C([, b]). Possimo così considerre qule ppossimzione del problem originrio, l determinzione dell funzione u n soluzione del problem λu n (x) = w j,n k(x, x j,n )u n (x j,n ) + f(x), x [, b]. (9.3) dove {u n (x j,n )},...,qn verific λu(x i,n ) = w j,n k(x i,n, x j,n )u n (x j,n ) + f(x), x [, b]. (9.4) Posti A (n) i,j = w j,nk(x i,n, x j,n ), u n = {u n (x j,n )} j, f n = {f(x j,n )} j si h così che λu n = A (n) u n + f n per cui se B (n) = λ I A (n) è non singolre, llor B (n) u n = f n, sistem linere che può essere risolto con il comndo \ di Mtlb. Un volt ottenuto u n (x j,n ), trmite (9.3), l funzione soluzione u n può essere vlutt in qulsisi punto x [, b]. Per le proprietà di convergenz di questo metodo si ved [, p.376] 9.1. Fcolttivo. Esercizio. Si consideri il problem u(x) = 0 exp (xy)u(y)dy + ( exp(x) 1 (exp(x + 1) 1)), x [, b]. (9.5) x + 1 vente unic soluzione exp (x) (perchè?). Usndo un formul di Guss-Legendre, sclt nell intervllo [0, 1], si vlutino per n =, 4, 8, 16, 3 le soluzioni pprossimte u n nei nodi test x k = kh dove h = 1/100, k = 0,...,100 e si clcoli E n = mx u n(x k ) exp(x k ). k=0,...,100 Come diminuisce l errore (frne un plot in scl semilogritmic)? Suggerimento: in un versione di bse, si può descrivere l vlutzione dell opertore integrle trmite due cicli for innestti 8

for i_index=1:length(x_pts) for j_index=1:length(x_gl_b) kern_evl=fevl(kern,x_pts(i_index),x_gl_b(j_index)); B_gl_grid(i_index,j_index)=kern_evl*w_gl_b(j_index); end end 10. Online. Qule not storic osservimo che d [] Simpson is best remembered for his work on interpoltion nd numericl methods of integrtion. However the numericl method known tody s Simpson s rule, lthough it did pper in his work, ws in fct due to Newton s Simpson himself cknowledged. By wy of compenstion, however, the Newton-Rphson method for solving the eqution f(x) = 0 is, in its present form, due to Simpson. Newton described n lgebric process for solving polynomil equtions which Rphson lter improved. The method of pproximting the roots did not use the differentil clculus. The modern itertive form x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) is due to Simpson, who published it in 1740. 11. Frsi celebri. 1. Cyley, Hermite nd I constitute the Invrintive Trinity. (Sylvester). The trditionl mthemtics professor of the populr legend is bsentminded. He usully ppers in public with lost umbrell in ech hnd. He prefers to fce blckbord nd to turn his bck on the clss. He writes, he sys b, he mens c, but it should be d. Some of his syings re hnded down from genertion to genertion: () In order to solve this differentil eqution you look t it till solution occurs to you. (b) This principle is so perfectly generl tht no prticulr ppliction of it is possible. (c) Geometry is the science of correct resoning on incorrect figures. (d) My method to overcome difficulty is to go round it. (e) Wht is the difference between method nd device? A method is device which you used twice. 3. Even firly good students, when they hve obtined the solution of the problem nd written down netly the rgument, shut their books nd look for something else. Doing so, they miss n importnt nd instructive phse of the work.... A good techer should understnd nd impress on his students the view tht no problem whtever is completely exhusted. (Poly) 4. One of the first nd foremost duties of the techer is not to give his students the impression tht mthemticl problems hve little connection with ech other, nd no connection t ll with nything else. We hve nturl opportunity to investigte the connections of problem when looking bck t its solution. (Poly) 5. If there is problem you cn t solve, then there is n esier problem you cn solve: find it. (Poly) 6. A gret discovery solves gret problem, but there is grin of discovery in the solution of ny problem. Your problem my be modest, but if it chllenges your curiosity nd brings into ply your inventive fculties, nd if you solve it by your own mens, you my experience the tension nd enjoy the triumph of discovery. (Poly) 9

7. The first rule of discovery is to hve brins nd good luck. The second rule of discovery is to sit tight nd wit till you get bright ide. (Poly) 8. If you hve to prove theorem, do not rush. First of ll, understnd fully wht the theorem sys, try to see clerly wht it mens. Then check the theorem; it could be flse. Exmine the consequences, verify s mny prticulr instnces s re needed to convince yourself of the truth. When you hve stisfied yourself tht the theorem is true, you cn strt proving it. (Poly) 9. Mthemtics consists of proving the most obvious thing in the lest obvious wy. (Poly) 10. Mthemtics is the chepest science. Unlike physics or chemistry, it does not require ny expensive equipment. All one needs for mthemtics is pencil nd pper. (Poly) 11. There re mny questions which fools cn sk tht wise men cnnot nswer. (Poly) 1. A mthemticin who cn only generlise is like monkey who cn only climb up tree, nd mthemticin who cn only specilise is like monkey who cn only climb down tree. In fct neither the up monkey nor the down monkey is vible creture. A rel monkey must find food nd escpe his enemies nd so must be ble to incessntly climb up nd down. A rel mthemticin must be ble to generlise nd specilise. (Poly) 13. Look round when you hve got your first mushroom or mde your first discovery: they grow in clusters. (Poly) 14. John von Neumnn ws the only student I ws ever frid of. (Poly) 15. The pex nd culmintion of modern mthemtics is theorem so perfectly generl tht no prticulr ppliction of it is fesible. (Poly) 16. I m too good for philosophy nd not good enough for physics. Mthemtics is in between. (Poly) 17. The elegnce of mthemticl theorem is directly proportionl to the number of independent ides one cn see in the theorem nd inversely proportionl to the effort it tkes to see them. (Poly) RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI [1] K. Atkinson, Introduction to Numericl Anlysis, Wiley, 1989. [] K. Atkinson e W. Hn, Theoreticl Numericl Anlysis, Springer, 001. [3] V. Comincioli, Anlisi Numeric, metodi modelli ppliczioni, Mc Grw-Hill, 1990. [4] S.D. Conte e C. de Boor, Elementry Numericl Anlysis, 3rd Edition, Mc Grw-Hill, 1980. [5] P.J. Dvis, Interpoltion nd Approximtion, Dover, 1975. [6] W. Gutschi, personl homepge, http://www.cs.purdue.edu/people/wxg. [7] W. Gutschi,, Orthogonl polynomils (in Mtlb), Journl of Computtionl nd Applied Mthemtics 178 (005) 1534 [8] The MthWorks Inc., Numericl Computing with Mtlb, http://www.mthworks.com/moler. [9] A. Qurteroni e F. Sleri, Introduzione l clcolo scientifico, Springer Verlg, 006. [10] A. Suli e D. Myers, An Introduction to Numericl Anlysis, Cmbridge University Press, 003. [11] L.N. Trefethen, Is Guss qudrture better thn Clenshw-Curtis?, SIAM Reviews, to pper (007), http://web.comlb.ox.c.uk/oucl/work/nick.trefethen/cc trefethen revised.pdf. [1] F.G. Tricomi, Integrl Equtions, Dover, 1985. [13] J. Wldvogel, Fst Construction of the Fejer nd Clenshw-Curtis Qudrture Rules, BIT 46 (006), no. 1, 195 0, http://www.mth.ethz.ch/ wldvoge/ppers/fejer.pdf. [14] Mc Tutor, Cvlieri, http://www-gp.dcs.st-nd.c.uk/ history/biogrphies/cvlieri.html. [15] Mc Tutor, Cotes, 30

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