ettori e coordinte crtesine ettori nel pino crtesino Aimo già incontrto i ettori e li imo usti per indicre uno spostmento: se un punto si muoe nel pino dll posizione A ll posizione B, lo spostmento AB può essere indicto con il ettore, crtterizzto d direzione, erso e modulo. Ricordimo che se due ettori hnno ugule direzione, erso e modulo, sono detti equipollenti. Aimo isto poi che si può moltiplicre un ettore per uno sclre, ottenere un ettore dll somm di ltri due ettori e scomporre un ettore lungo due direzioni qulsisi. Se si scompone un ettore nelle direzioni degli ssi crtesini (fig. ), si ottengono i ettori componenti e. I numeri e sono le componenti crtesine del ettore : scriimo ( ; ). C è un relzione tr il ftto che un ettore nel pino crtesino si indiiduto d un coppi di numeri, le componenti crtesine, e che nche un punto P( P ; P ) nel pino crtesino è determinto d un coppi di numeri, le sue coordinte crtesine (fig. )? Se ogni punto P del pino ssocimo il ettore OP, che h cod nell origine O e punt in P, edimo che le coordinte crtesine coincidono con le componenti del ettore e il modulo del et- tore, = +, esprime l distnz di P dll origine O, OP = +. P P Dunque, un coppi di numeri reli indiidu nel pino crtesino un unico punto P, cui ssocimo il ettore OP ente cod nell origine e punt in P. Tutti, tutti i ettori tr loro equipollenti hnno le stesse componenti crtesine: perciò, dti due numeri reli, si indiidu un inter clsse di ettori, uno solo dei quli h cod nell origine O e indiidu il punto P (fig. 3). Strumenti per l fisic O O P @ @ (3; ) @ @ OP igur P P( P ; P ) igur P(3; ) u@ (3; ) igur 3 Definizione Si dice ersore di un rett orientt il ettore che h modulo ed è diretto e orientto come l rett: in figur 4 il ettore è il ersore dell rett r. igur 4 r = Dipendenz o indipendenz linere In un pino crtesino O indichimo con i e j i ersori rispettimente dell sse e dell sse : essi hnno componenti crtesine i(; 0) e j(0; ) (fig. 5). Un ettore è l somm ettorile dei suoi componenti, : = + igur 5 j @ O i @ @ 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
Poiché = i e = j il ettore può essere scritto nell form: = i + j (5) Quest scrittur è ssociile per nlogi ll cominzione linere di due equzioni o di due riili. Se si moltiplic ciscun riile e per un coefficiente numerico, e si sommno i prodotti ottenuti, si ottiene un cominzione linere di e. Per esempio, se i coefficienti sono e 5, l cominzione linere cui dnno luogo è espress d 5. In modo nlogo si definisce l cominzione linere di due ettori. Definizione Dti i ettori u e e due coefficienti numerici h e k, il ettore w che si ottiene nell espressione w = h u + k è detto cominzione linere di u e. Nell (5) edimo che qulunque ettore può essere scritto come cominzione linere dei ersori degli ssi, e i coefficienti sono le sue stesse componenti. Come risultto di un cominzione linere di ettori si può nche ottenere il ettore nullo. L seguente definizione introduce un criterio di confronto tr i ettori. Definizione Due ettori si dicono: linermente dipendenti se esiste un loro cominzione linere, ftt con coefficienti h e k, non contempornemente nulli, che dà il ettore nullo; linermente indipendenti se ogni cominzione linere con coefficienti non nulli è diers dl ettore nullo. ESEMPI. Dte le componenti crtesine (; 4) del ettore e ( 3; ) del ettore (fig. 6), clcolimo le componenti del ettore, somm di e. Possimo disegnre i ettori prtire d un qulsisi punto del pino, m per comodità li trsportimo in modo che ino l cod nell origine degli ssi. Sppimo trccire grficmente il ettore somm con l regol del prllelogrmmo o con il metodo punto-cod. Per clcolre le componenti crtesine del ettore somm scriimo i ettori e come cominzione linere dei ersori degli ssi crtesini: = i + 4j e = 3i + j L somm dei due ettori + = (i + 4j ) + ( 3i + j ) = per l proprietà commutti e distriuti = ( 3) i + (4 + ) j = i + 5j Nell ultim scrittur edimo le componenti ( ; 5) del ettore somm.. Dti nel pino i punti A(; 3) e B( ; ) (fig. 7), i ettori OA e OB sono linermente dipendenti o indipendenti? Per rispondere scriimo ciscuno dei ettori OA, OB come cominzione linere dei ersori degli ssi: OA = i 3 j OB = i + j igur 6 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
ccimo un generic cominzione linere dei due ettori: h OA + k OB = h( i 3 j ) + k( i + j ) e riscriimol come un nuoo ettore: h OA + k OB = (h k)i + ( 3h + k)j che h componenti = (h k) e = ( 3h + k) Cerchimo i lori di h e k che rendono uguli zero le A componenti del ettore cominzione linere; li ottenimo risolendo il sistem: h k = 0 { 3h + k = igur 7 0 Poiché l unic coppi di lori che soddisf il sistem è l coppi (0; 0), possimo concludere che OA e OB sono linermente indipendenti. 3. Sono dti nel pino crtesino i ettori ( ; 3) e (;,5) (fig. 8). erifichimo che sono linermente dipendenti. Come nell esercizio precedente scriimo un cominzione linere dei due ettori: h( i + 3 j ) + k( i,5 j ) Æ 0,5 Æ ( h + k)i + (3h,5k j { h + k = 0 Il sistem corrispondente è: 3h, 5k = 0 igur 8 Il sistem è indeterminto e le sue soluzioni sono infinite: tutte le coppie del tipo (h; h). Esiste quindi un cominzione linere dei due ettori con i coefficienti non nulli che dà il ettore nullo, per esempio, prendendo h = e k =, si ottiene: + = ( + )i + (3 3)j = 0 I coefficienti non sono nulli, m l cominzione linere è null. I ettori sono quindi linermente dipendenti; come si ede nell figur 9, essi hnno l stess direzione. B O I risultti ottenuti nell ultimo esempio suggeriscono un relzione tr dipendenz linere e prllelismo delle direzioni dei ettori. Indghimo tle relzione, generlizzndo. Esprimimo innnzitutto l relzione tr le componenti che crtterizz due ettori di ugule direzione. Per le rette, imo isto che l condizione perché due rette sino prllele è che ino i coefficienti ngolri uguli, cioè, se sono in form implicit, che i coefficienti di e sino in proporzione. In simoli, le rette r: + = c e s: + + c risultno prllele se = Æ = 0 =, cioè se: L ultim espressione prende il nome di determinnte dei quttro coefficienti,,,, che si scriono itulmente nell form di tell, come ppiono nel sistem delle due rette: 3 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
Con i simoli che imo introdotto nel metodo di Crmer per l risoluzione dei sistemi, possimo scriere l condizione di prllelismo tr rette fcendo riferimento ll nnullmento del determinnte dei coefficienti delle rette: Allo stesso modo, due ettori ( ; ) e ( ; ) hnno l stess direzione se formimo con le loro componenti crtesine un nlog tell, di cui si nnull il determinnte: Si può dimostrre che: = = 0 = = 0 due ettori di ugul direzione sono sempre linermente dipendenti e iceers, se due ettori sono linermente dipendenti, hnno ugule direzione. ESEMPI. erifichimo che i ettori (3; ) e ( 6; 4) sono linermente dipendenti. Scriimo il determinnte delle loro componenti: 3 6 4 = ( ) = 0 Dl momento che il determinnte risult nullo, llor i ettori hnno l stess direzione, perciò sono linermente dipendenti. Se, inftti, scriimo un loro cominzione linere: c = (3i + j ) + k( 6i 4j ) edimo che risult c = 0 per k = 3. Osserndo le componenti dei due ettori, edimo che quelle del ettore sono ottenute d quelle di moltiplicndole per il fttore.. Generlizzimo e considerimo due ettori enti l stess direzione, per esempio: = i j e = i + 4 j Un loro cominzione linere con i coefficienti non nulli è: +. Clcolndo l somm ottenimo: ( i 4 j ) + ( i + 4 j ) = ( ) i + ( 4 + 4) j = 0 Aimo quindi un cominzione linere null, con i coefficienti diersi d zero: i due ettori sono quindi linermente dipendenti, per qulsisi lore di e. 3. erifichimo se le rette r: + = e s: 5 = 4 sono prllele. I coefficienti,,, 5, non sono in proporzione: perciò le rette non sono prllele. Il sistem 5, delle loro equzioni: { + = 5 = 4 h soluzione P( ; ), come si ede in figur 9. P - + = - 5 = 4 igur 9 4 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
3 Prodotto sclre e prodotto ettorile Definimo or due nuoe operzioni con i ettori, reltie l prodotto di due ettori.. Il prodotto sclre di due ettori e è un numero, dto dl prodotto dei moduli dei due ettori, moltiplicti per il coseno dell ngolo α compreso tr di essi. In simoli, si indic con : cos = cos igur 0 ESEMPIO. Spendo che i ettori e hnno modulo = 0 e = 8, e che l ngolo tr essi compreso misur 30, clcolimo il prodotto sclre. Il prodotto sclre è = cos 30 = 0 8 3 = 40 3. Osserzioni. Il prodotto sclre di due ettori risult ugule zero, = 0: se lmeno uno dei ettori è il ettore nullo; se cosα =0, cioè se α =90 : questo ccde se i due ettori sono tr loro perpendicolri. In prticolre, nel pino crtesino le i j = 0 perché i ersori degli ssi sono perpendicolri.. Il prodotto sclre è semplicemente il prodotto dei moduli, =, qundo cos α =, cioè se α =0, e i ettori sono prlleli. In prticolre i i = j j =. Clcolimo or il prodotto sclre prtire dlle componenti crtesine dei ettori ( ; ) e ( ; ). Scriimo: = ( i + j ) ( i + j ) Applichimo l proprietà distriuti: ( i + j ) ( i + j ) = i i + i j + i j + j j Poiché i j = 0 e i i = j j =, imo infine: = + (6) A prole: il prodotto sclre di due ettori è un numero, dto dll somm dei prodotti delle componenti lungo lo stesso sse dei due ettori. 5 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
ESEMPI. Clcolimo il prodotto sclre dei ettori (3; ) e (; 5) spendo che l ngolo formto dlle direzioni dei due ettori è di 45 in figur. Se pplichimo l (6), è: = 3 + 5 = 3. Se pplichimo l definizione di prodotto sclre imo: cos 45 = 3 + + 5 cos 45 = 3 6 = 3. Clcolimo il prodotto sclre tr i ettori (3; 0) e ( 3; 3) (fig. ). Usndo le componenti dei ettori cioè l (), si ottiene: = 3 ( 3) + 0 3 = 9 Questo prodotto risult negtio, edimo perché. Dl momento che il prodotto sclre si ottiene nche moltiplicndo i moduli di e per il coseno dell ngolo compreso tr i due ettori, possimo scriere cos α = 9. Dl risultto negtio, poiché i moduli sono sempre numeri non negtii, deducimo che è cos α <0, quindi che l ngolo compreso tr e è ottuso. Nell figur, inftti, possimo riconoscere che è α =35. Completimo il clcolo del prodotto sclre; poiché = 3 e = cos35 = 3 3 3. erifichimo, clcolndo il prodotto sclre ttrerso le componenti crtesine, che i ettori (; ) e ( ; 4) (fig. 3) sono perpendicolri. Inftti si h: = ( ) + 4 = 4 + 4 = 0 Poiché il prodotto è nullo, m nessuno dei due ettori è il ettore nullo, dee essere cos α =0, cioè essi sono perpendicolri. igur 3 9 = 3 scriimo: O 35 igur igur Mettiti ll pro. Di due ettori e non nulli, si s che:. = c. = 0 e. < 0. = d. > 0 f. = In ciscuno dei csi, cos puoi dedurre?. Dimostr in se ll definizione che il prodotto sclre è un operzione commutti, m non è ssociti. 6 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
. Il prodotto ettorile di due ettori e w è inece un ettore t, e si indic con : t = w Esso però non è nello stesso pino dei due ettori e w. Per comprendere come è ftto, doimo drne modulo, direzione e erso: il modulo di t è dto d t = w sen α; l direzione è perpendicolre l pino che contiene i ettori e w; il erso è indicto dll nzmento di un ite destrors, se si ruot dl primo l secondo ettore: è erso l lto se l rotzione iene in senso ntiorrio, è erso il sso se iene in senso orrio (regol dell mno destr) (fig. 4., ). Ÿ w w w Ÿ w igur 4. igur 4. Dll definizione di prodotto ettorile deducimo che esso non è commuttio: inftti, il ettore w h l stess direzione e modulo del ettore w, m h erso opposto: w = w ESEMPIO. Spendo che i ettori e w in figur 5 hnno modulo = 8 e w = 0, e che l ngolo tr essi compreso misur 30, descriere il prodotto ettorile w. Il prodotto ettorile è un ettore t, ente modulo: t = 0 8 sen30 = 0 8 = 40 30 direzione perpendicolre l pino di e w, erso determinto dll regol dell mno destr. igur 5 L trttzione generle dell operzione di prodotto ettorile srà ripres nel secondo iennio licele; or esminimone un cso prticolre, considerndo due ettori che pprtengono l pino O, di componenti crtesine e per il ettore, e w, w per il ettore w. Il modulo del ettore t = w è dto dl lore ssoluto del determinnte delle componenti: t = = w w w w Dll definizione possimo dedurre che per due ettori che pprtengono l pino O: il prodotto ettorile è un ettore che h solo l componente erticle lungo l sse z; se i ettori e w sono perpendicolri, il modulo del prodotto ettorile è il prodotto dei moduli dei due ettori; se e w sono linermente dipendenti, il loro prodotto ettorile è nullo. 7 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
Osserzione Se il prodotto ettorile di due ettori non nulli è nullo, llor i ettori d cui proiene il prodotto ettorile hnno l stess direzione. Questo discende dl clcolo del modulo del prodotto ettorile: se il determinnte delle componenti è nullo, le l condizione di prllelismo tr i ettori. ESEMPI. Clcolimo il prodotto ettorile di = i e w = 3 j. I due ettori sono perpendicolri, il primo orizzontle e il secondo erticle: il loro prodotto ettorile w è un ettore perpendicolre l pino O, con modulo ugule 4 3, orientto erso il sso.. Mostrimo geometricmente che il modulo del prodotto ettorile è ugule ll re del prllelogrmmo che h per lti i due ettori (fig. 6). w wsen Disegnimo due ettori qulsisi e w e considerimo il modulo del prodotto ettorile w senα come prodotto di per w sen α. Se disegnimo il prllelogrmmo, edimo che è l se e il prodotto w senα è l ltezz del prllelogrmmo: il igur 6 modulo del prodotto ettorile coincide quindi con l re del prllelogrmmo. Se i ettori sono prlleli, α le 0 o 80 : il prllelogrmmo è degenere e l re è null. 8 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
ESERCIZI ettori e coordinte crtesine 3 4 5 6 7 8 ero o flso?. Il prodotto sclre tr due ettori e che formno tr loro un ngolo α è un ettore ente modulo ugule cos α.. Se due ettori e hnno erso opposto, il loro prodotto sclre è ugule. c. Il prodotto sclre tr due ettori e è nullo solo se uno dei due ettori è nullo. d. Il prodotto di due ettori equipollenti è uno sclre ugule l prodotto dei moduli dei due ettori. Clcolre il modulo dei ettori: ( 3; 4) e (5; ). [5; 3] Clcolre il prodotto sclre dei ettori: ( ; ) e (6; 3). [ 5] Determinre il lore di k in modo che i ettori (5; 4) e (; k ) ino prodotto sclre nullo. [3,5] Disegnre tre ettori linermente indipendenti di modulo 5. Dti i ettori, e c in figur, indicre quli sono linermente dipendenti. [ S] Clcolre il prodotto sclre dei ettori e spendo che = 3, = 3, α = 0. 3 3 Spendo che il prodotto sclre = 0, = 3 e α = 45 clcolre il modulo del ettore. 0 3 c 9 0 3 Clcolre il prodotto sclre dei ettori e in figur. Indicre se le seguenti ffermzioni sono ere o flse:. = 8. = c. I due ettori sono perpendicolri: il loro prodotto sclre è nullo. d. I ettori in figur sono linermente dipendenti. Spendo che il loro L, misurto in joule (J), compiuto d un forz pplict un corpo che suisce uno spostmento s è il prodotto sclre tr e s, rispondere lle seguenti domnde:. qul è il loro compiuto d un forz che h modulo = 0 N, per trscinre di 0 m un ligi dott di ruote, prllelmente l suolo?. qul è il loro compiuto d un forz di 0 N per sollere un oggetto d terr fino m? [. 00 J;. 0] Il prodotto ettorile è un prodotto tr: due ettori con risultto ugule un ettore un ettore e uno sclre con risultto ugule un ettore c due ettori con risultto ugule uno sclre d un ettore e uno sclre con risultto ugule uno sclre ero o flso?. Il prodotto ettorile gode dell proprietà commutti.. Il prodotto ettorile di due ettori perpendicolri è nullo. c. Il modulo del ettore prodotto ettorile può essere negtio. d. Il prodotto di due ettori equipollenti è nullo. Nel pino crtesino sono dti due ettori (3; ) e w(; ). Clcolre il modulo del prodotto ettorile di e w. [] 9 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce
4 Nel pino crtesino sono dti i ettori 8 Sono dti due ettori ; e w(; k). ( 5; 0) e w(0; 4). Descriere il ettore Determinre il lore di k in modo che il t = w. prodotto ettorile tr e w i modulo 0. [t = 0; direzione perpendicolre l pino di e w; erso il sso] 6, 4 5 6 Dti i ettori e w in figur, descriere il ettore t = w. [t = 6; direzione perpendicolre l pino di e w; erso l lto] Dti i ettori e w in figur, sino t e u i ettori t = w e u = w. Indicre se è ero o flso che:. il modulo di t le 8 e quello di u le +8.. t e u hnno lo stesso modulo. c. t e u hnno l stess direzione. d. t e u hnno lo stesso erso. w w 9 0 ( ) I due ettori e w hnno modulo = e 3 w = e il prodotto ettorile di e w h 6 modulo 3: qul è l mpiezz dell ngolo compreso tr i due ettori? [60, 0 ] Il momento M di un forz pplict un corpo in un punto P che dist r d un punto incolto O, è il prodotto ettorile tr e r. Possimo dire llor che M h direzione prllel? [ S] Per entrre in un negozio si dee pssre in un tornello, costituito d un st di metllo orizzontle incolt in un estremo, che permette il pssggio di un sol person per olt. Se si pplic sull estremo liero un forz di 3 N in orizzontle, in un punto che dist 80 cm dl centro di rotzione del tornello, qunto le il momento dell forz? [,4 N m] 7 L ngolo compreso tr e w è di 45 e il modulo di è = 4. Qul è il lore di w se il modulo di t = w, le 8? w = Per fr ruotre un girndol di crt che h rggio cm, si pplic un forz di 0,5 N un estremo, perpendicolrmente l rggio: qunto le il momento dell forz? [0,06 N m] 0 0 RCS Liri S.p.A., ETAS - Andreini, Mnr, Prestipino, Sporiti - Mtemtic Controluce