I umeri aturali Quali soo i umeri aturali? I umeri aturali soo : 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,,11 I umeri aturali hao u ordie cioè dati due umeri aturali distiti a e b si può sempre stabilire qual è il loro ordie cioè se a < b ( a è miore di b ) oppure se a > b (a maggiore di b ). Per esempio 3<5 metre >. L isieme dei umeri aturali viee idicato co la lettera N. I umeri aturali possoo essere rappresetati su ua semiretta orietata: si idetifica il umero 0 co l'origie della semiretta, come verso di percorreza si prede quello da siistra verso destra, e come uità di misura u segmeto AB. Si riporta questa uità di misura più volte partedo all'origie e a ogi passo si va al umero successivo. Ogi umero aturale si costruisce a partire dal umero 0 passado di volta i volta al umero successivo: 1 è il successivo di 0, è il successivo di 1, 3 è il successivo di, etc. Ogi umero aturale ha il successivo e ogi umero, a eccezioe di 0, ha il precedete. L'isieme N ha 0 come elemeto miimo e o ha u elemeto massimo. 1
Operazioi tra umeri aturali L addizioe e la moltiplicazioe Sappiamo fi dalla scuola elemetare cosa sigifica addizioare (o sommare) due umeri aturali o moltiplicarli. Facciamo solo qualche osservazioe sulle proprietà di queste due operazioi. Dati due umeri aturali a e b la somma a + b è acora u umero aturale e ache il prodotto a b è acora u umero aturale ( si dice che addizioe e moltiplicazioe soo operazioi itere a N perché il risultato è acora all itero dei umeri aturali). Quado sommiamo o moltiplichiamo due umeri o è importate l ordie i cui li scriviamo cioè a + b = b + a a b = b a Diciamo che l addizioe e la moltiplicazioe godoo della proprietà commutativa. Quado dobbiamo sommare o moltiplicare più di due umeri possiamo associarli come vogliamo e il risultato o cambia cioè a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( b c) = ( a b) c Diciamo che l addizioe e la moltiplicazioe godoo della proprietà associativa. Quado dobbiamo moltiplicare u umero per ua somma possiamo moltiplicare quel umero per ciascu addedo e sommare i risultati cioè: a ( b + c) = a b + a c Diciamo che vale la proprietà distributiva della moltiplicazioe rispetto all addizioe. Se sommiamo ad u umero qualuque lo zero otteiamo sempre lo stesso umero cioè a + 0 = a Lo zero si dice elemeto eutro per l addizioe. Se moltiplichiamo u umero qualuque per zero otteiamo zero cioè a 0 = 0 Se moltiplichiamo u umero per 1 otteiamo il umero stesso cioè a = a 1 Il umero 1 si dice elemeto eutro della moltiplicazioe.
La sottrazioe Progetto Matematica i Rete Ricordiamo che se a b = d allora d + b = a. Per esempio 1-3=9 ed ifatti 9 + 3 = 1. Quidi la sottrazioe si può fare ell isieme dei umeri aturali solo se a b. Osserviamo che per la sottrazioe o vale é la proprietà commutativa é la proprietà associativa. Ifatti, per esempio: 4 = 6 metre 4 o ha sigificato ell isieme dei umeri aturali e quidi o vale la proprietà commutativa; (-)-1=7 metre -(-1)=9 e quidi o vale la proprietà associativa. La divisioe Ricordiamo che a : b = q se q b = a ( a si chiama dividedo, b divisore e q quoziete) Per esempio 1 : 3 = 4 poiché 4 3 = 1. Diciamo che 3 è u divisore di 1 (e che 1 è u multiplo di 3). Lo zero ella divisioe Si possoo avere tre casi: a : 0 co a 0 è ua divisioe impossibile poiché o esiste essu umero che moltiplicato per zero possa dare come risultato u umero diverso da zero. Per esempio 3 : 0 è impossibile 0 : 0 è ua divisioe idetermiata el seso che poiché moltiplicado qualuque umero per zero si ottiee zero questa divisioe ha ifiiti risultati. : b 0 co b 0 dà come risultato 0 poiché 0 b = 0. Per esempio 0 : 3 = 0 3
Proprietà della divisioe Per la divisioe o vale é la proprietà commutativa é la proprietà associativa. Ifatti, per esempio: :5= ma 5: o ha alcu risultato ell isieme dei umeri aturali e quidi o vale la proprietà commutativa; ( 5 : 5) : 5 = 1 metre 5 : (5 : 5) = 5 e quidi o vale la proprietà associativa. Osserviamo però che se moltiplichiamo per uo stesso umero (diverso da zero) il dividedo e il divisore, il risultato o cambia. Per esempio: 30 : 6 = (30 ) : (6 ) Possiamo ache dividere dividedo e divisore per uo stesso umero (purché sia divisore di etrambi). Per esempio: 30 : 6 = (30 : ) : (6 : ) Questa proprietà si chiama proprietà ivariativa della divisioe. Ioltre vale ache la proprietà distributiva della divisioe rispetto all addizioe cioè per esempio ( + ) : = ( : ) + ( : ) cioè ( a + b) : c = ( a : c) + ( b : c) se c è u divisore di a e di b. Nota importate Dati due umeri aturali a e b 0 se b o è u divisore di a posso i ogi caso effettuare la divisioe co resto cioè trovare q (quoziete) e r (resto) tali che a = b q + r Per esempio 5:7 dà 3 come quoziete e 4 come resto poiché 5 = 7 3 + 4 Nota: ricordiamo i criteri per stabilire se u umero è divisibile per,3 5 u umero è divisibile per quado la sua cifra delle uità è u umero pari (0,,4,6,8,); u umero è divisibile per 3 quado la somma delle sue cifre è divisibile per 3 Per esempio 136 è divisibile per 3 perché 1++3+6=1 che è divisibile per 3; u umero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5. 4
Poteza Sappiamo che fare la poteza a di u umero a (detto base) elevato ad u umero (detto espoete) sigifica moltiplicare a per se stesso volte. Per esempio 5 = Proprietà delle poteze Quado si moltiplicao due poteze aveti la stessa base si ottiee ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete la somma degli espoeti. Per esempio e quidi i geerale possiamo dire che 4 3 3 = (3 3 3 3) (3 3) = a a 5 m = a Quado si dividoo poteze co la stessa base si ottiee ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete la differeza degli espoeti. Per esempio 4 3 : 3 = (3 3 3 3) : (3 3) = 3 e quidi i geerale possiamo dire che a a m = a m + m Quado si deve calcolare la poteza di ua poteza si moltiplicao gli espoeti. Per esempio 4 4 4 8 ( 3 ) = 3 3 = 3 e quidi i geerale possiamo dire che ( a ) Il prodotto di due poteze aveti gli stessi espoeti è ua poteza che ha per base il prodotto delle basi e per espoete l espoete comue. Per esempio 4 4 4 3 = 3 3 3 3 = (3 ) e quidi i geerale possiamo dire che m = a m 3 a b = ( a b) Il quoziete di due poteze aveti lo stesso espoete è ua poteza che ha per base il quoziete delle basi (se soo divisibili) e per espoete l espoete comue. Per esempio 4 4 4 8 : = (8 8 8 8) : ( ) = (8 : ) e quidi i geerale possiamo dire che Osservazioe Ha seso calcolare la poteza co espoete zero? 0 Ha seso cioè calcolare per esempio? Cosideriamo la divisioe a : a ( a 0) a ) Se applichiamo la proprietà delle poteze possiamo scrivere D altra parte abbiamo: a : a = 1 Allora se vogliamo attribuire u sigificato ache alla scrittura 6 : b = ( a : b (se b è u divisore di a ) a : a = a = a 0 a dobbiamo porre 0 = 1 0 a.
Le espressioi umeriche I matematica, quado abbiamo più operazioi da eseguire dobbiamo chiarire l'ordie co cui si devoo eseguire le operazioi. Per esempio l'espressioe 3 4 risulta ambigua se o stabiliamo i quale ordie si devoo eseguire le operazioi. Ifatti: eseguedo per prima la moltiplicazioe diveta 3 4= 1=14 ; eseguedo per prima l'addizioe diveta 3 4=5 4=0. Per elimiare queste ambiguità soo state fissate alcue regole che bisoga rispettare ell'esecuzioe dei calcoli. Se u espressioe seza paretesi cotiee addizioi, sottrazioi, moltiplicazioi, divisioi e poteze, si eseguoo prima le poteze, poi moltiplicazioi e divisioi, rispettado l ordie co cui soo scritte, e poi addizioi e sottrazioi, rispettado l'ordie. Esempio 18: :9 5 3 : 3 1 = 18: :9 5 9 :3 1 = 9:9 5 18 :3 1 = 1 5 6 1 = 6 6 1 = 0 1=19 Se l espressioe cotiee più ordii di paretesi, si eseguoo per prima le operazioi racchiuse elle paretesi tode, rispettado le regole precedeti, si elimiao le paretesi tode e si procede co le operazioi racchiuse elle paretesi quadre. Dopo aver elimiato le paretesi quadre, si eseguoo le operazioi elle paretesi graffe. Si ottiee cosi u espressioe seza paretesi. L uso di paretesi di diverso tipo rede visivamete più semplice l ordie da seguire elle operazioi ma i u espressioe tutte le paretesi possoo essere tode. Ciò accade, per esempio, quado si usao gli strumeti di calcolo elettroico come il computer e la calcolatrice. Per esempio: (( : 5) + 1) = ( + 1) = 3 = 9 6
Espressioi umeriche co i umeri aturali 1. ( 1+ 3) : (5 ) + 1+ 4 [16]. [ 18 3 ] : [ 16 3 4] [ : + ] [9] 3. 6 [ 1 (3 + 4 3 : ] : + [8] 4. 0 : + 3 6 [35] 3 4 3 5. 5 5 5 : (5 ) + 5 [30] + + [5] 0 4 3 3 6 4 6. [ 3 ( ) : (4 : 4 ) 3] : ( : ) + + [6] 3 7. 5 [(16 : 8) 3 ( : 5) 3] : ( 4) + [3] 3 8. {[(15 : 3) ] : }: ( 3) 9. { 1 [(5 + ) 3 19] }: [(3 + 1) ( + 1) ] []. 3 5 ) : 5 : 5 + ( 3 ) : 6 [17] ( 4 Problema Proviamo a tradurre i espressioe questa frase: Dalla somma del quituplo di b e del triplo di a sottrai il quadrato della differeza tra il doppio di b e il doppio di a. Abbiamo : ( 5b + 3a) (b a) Quato vale questa espressioe se cosideriamo a = 3 e b = 4? Sostituedo i valori assegati alle due lettere abbiamo: (5 4 + 3 3) ( 4 3) = (0 + 9) (8 6) = 9 = 9 4 = 5 Prova tu Moltiplica il doppio di a per la somma di a e b e poi sottrai il triplo di b. Calcola l espressioe otteuta el caso i cui a = 3, b =. [4] 7
I umeri primi U umero si dice primo se ha come uici divisori (distiti) 1 e se stesso. Quidi i umeri primi soo :,3,5,7,11,13,17,19.. I umeri primi, per esempio miori di 0, possoo essere idividuati co u metodo detto crivello di Eratostee : si scrivoo i umeri da 1 a 0 ; si lascia il e si cacellao tutti i multipli di ; si lascia il 3 e si cacellao tutti i multipli di 3; adado avati dopo il 3 si lascia il 5 (che o è stato cacellato) e si cacellao tutti i suoi multipli e così via Quati soo i umeri primi? Proviamo a fare questo ragioameto: suppoiamo che i umeri primi siao solo u certo umero, per esempio,3,5,7,11. Cosideriamo ora il loro prodotto +1 cioè il umero ( 3 5 7 11) + 1 Questo umero è primo o o? Proviamo a dividerlo per i ostri umeri primi,3,5,7,11 (abbiamo supposto che siao solo questi): vediamo che ( 3 5 7 11) + 1 o ha come divisori essuo di questi poiché facedo la divisioe per questi umeri si ha sempre come resto 1. Ma allora ( 3 5 7 11) + 1 è u altro primo e quidi o è vero che,3,5,7,11 soo gli uici umeri primi (come avevo ipotizzato)! Questo ragioameto vale per qualsiasi umero fiito di primi si cosideri: posso sempre cosiderare il umero corrispodete al loro prodotto +1 e mi redo coto che dovrebbe essere u altro primo diverso da quelli che ho cosiderato e quidi cado i ua cotraddizioe : questo sigifica che o posso affermare che i umeri primi soo u umero fiito e quidi cocludo che i umeri primi soo ifiiti. 8
Scomposizioe di u umero aturale i fattori primi U umero aturale si può sempre scomporre el prodotto di umeri primi (fattori primi) facedo delle divisioi successive per i suoi divisori. 3 Per esempio: = 60 = 30 = 15 = 3 5 = 3 5 Massimo comu divisore Il massimo comue divisore di umeri aturali a e b, si idica co MCD(a,b), è il più grade tra tutti i divisori comui ad a e b. Naturalmete si può determiare ache tra più di due umeri e sarà sempre il più grade dei divisori comui tra i umeri assegati. Esempio: qual è il massimo comu divisore tra 1 e 15? I divisori di 1 soo 1,,3,4,6,1 I divisori di 15 soo 1,3,5,15 Quidi i divisori comui soo 1,3 e il divisore comue più grade è 3. I coclusioe MCD ( 1,15) = 3 Nota Possiamo trovare il MCD(a,b) scompoedo a e b i fattori primi: il MCD sarà dato dal prodotto dei fattori comui presi co il miimo espoete. Esempio: MCD(1,15) Scompoiamo i due umeri: 1 = 3 ; 18 = 3 L uico fattore primo comue I fattori primi comui soo e 3 e se li predo co il miimo espoete ho MCD ( 1,18) = 3 = 6 Defiizioe Due umeri a e b si dicoo primi tra loro se MCD(a,b)=1. Per esempio 6 e 35 soo primi tra loro. Miimo comue multiplo Il miimo comue multiplo di due umeri aturali a e b si idica co mcm(a,b) è il più piccolo dei multipli comui di a e b. Ache i questo caso si può defiire ache il miimo comue multiplo tra più di due umeri come il più piccolo dei multipli comui a tutti i umeri assegati. Esempio: qual è il miimo comue multiplo tra 1 e 15? I multipli di 1 soo: 1,4,36,48,60,7 I multipli di 15 soo: 15,30,45,60,75 I multipli comui soo: 60, 9
Quidi il più piccolo multiplo comue è 60 e quidi mcm ( 1,15) = 60 Nota Possiamo trovare il mcm(a,b) scompoedo a e b i fattori primi: il mcm sarà dato dal prodotto dei fattori comui e o comui presi co il massimo espoete. Esempio: mcm(1,30) Scompoiamo i due umeri: 1 = 3 ; 30 = 3 5 Per otteere il miimo comue multiplo dovrò moltiplicare quidi i fattori primi comui presi co il massimo espoete cioè e 3 e il fattore primo o comue cioè 5. I coclusioe mcm (1,15) = 3 5 = 60 Problemi 1) Si vuole pavimetare ua staza a piata rettagolare di 315 cm per 435 cm co mattoelle quadrate più gradi possibili, seza sprecare alcua. Quali soo le dimesioi delle mattoelle? Poiché le mattoelle devoo essere quadrate devoo avere il lato tale che etri u umero itero di volte sia el 315 sia el 435, pertato la dimesioe delle mattoelle deve essere u divisore comue di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattoelle siao quato più gradi possibile, la dimesioe deve essere il massimo divisore comue. La soluzioe del problema è data quidi dal MCD(315,435). 315 = 3 5 7 435=3 5 9 M.C.D. 315,435 =3 5=15 Le mattoelle devoo avere il lato di 15cm. ) Tre fuivie partoo cotemporaeamete da ua stessa stazioe sciistica. La prima compie il tragitto di adata e ritoro i 15 miuti, la secoda i 18 miuti, la terza i 0. Dopo quati miuti partirao di uovo isieme? Suggerimeto: occorre calcolare il mcm(15,18,0).
Sistemi di umerazioe posizioali U sistema di umerazioe come il ostro si chiama sistema di umerazioe posizioale i base perché utilizziamo le cifre 0,1,,3,4,5,6,7,8,9 e il valore delle cifre dipede però dalla loro posizioe ella scrittura del umero. Ifatti scrivedo 111 itediamo 1 cetiaio+1 decia+1 uità cioè 1 111 = 1 + 1 + 1 e quidi la stessa cifra 1 a secoda della posizioe che occupa idica 1 cetiaio, 1 decia e 1 uità. 0 Per esempio 3 1 4513 = 4 + 5 + 1 + 3 0 La scelta della base è dovuta al fatto che abbiamo dita, ma possiamo scrivere i umeri ache i altre basi. Particolarmete importate e utile per le sue applicazioi el campo dell iformatica è la base : ifatti se usiamo la base abbiamo bisogo solo di due cifre 0,1 che corrispodoo el computer a passa correte - o passa correte. Ma come si scrive u umero i base? Suppoiamo di voler scrivere il umero 9 i base : dovremo esprimere 9 come somma di opportue poteze di. 3 1 0 Poiché 9 = 1 + 0 + 0 + 1 scriverò ( 9) = (01) Posso trovare u metodo che valga ache co umeri più gradi : posso dividere per fio a che o ottego quoziete 1 e cosiderare l ultimo quoziete e i resti letti a ritroso. Per esempio el caso di 9 abbiamo: Leggedo l ultimo quoziete e i resti a ritroso ritroviamo ( 9) = (01) Proviamo co 6: Quidi ( 6) = (1) 11
Esercizi 1) Scrivi i base i segueti umeri (scritti i base ): a) 1 [( 1) = (10) ] b) 15 [( 15) (1111) ] c)11 [( 11) (11101) ] ) Scrivi i base i segueti umeri scritti i base : a) ( 0) [4] b) ( 111) [7] c) ( 1011) [51] 1