Integrali tripli - Esercii svolti Integrali tripli Si calcolino gli integrali tripli seguenti riducendo per strati e per fili in coordinate cartesiane. Eventualmente fare cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi risultanti.. ( + )d d d, ove è il cubo [,] [,] [,];.. 4. ( +)d d d ove è il tetraedro di vertici (,,), (,,), (,,), (,,); d d d ove è la sfera unitaria di centro (,,). d d d con {(,,) +, + }. Cambiamento di coordinate 5. Si calcoli, utiliando le coordinate sferiche, (,,). 6. Si calcoli, utiliando le coordinate sferiche, d d d ove è la sfera unitaria di centro + d d d ove + + {(,,) + +, /}; 7. Si calcoli +4 E 8 ddd, dove E {(,,) R +4 ( + ), variabili uv v w. }, utiliando il cambiamento di
Ulteriori integrali tripli 8. 9. d d d con {(,,) R +, }; d d d, {(,,) 9 + +9, 9 ( +9 )};. d d d, ove è l insieme {(,,) + + }; Applicaioni. Calcolare il volume delle regioni seguenti: (a) A {(,,) R +, + 4 }; (b) B {(,,) R + 9, }; (c) C {(,,) R +, }; (d) {(,,) R 5 + e + };. Si consideri il tetraedro di vertici A (,,), B (,,), C (,,), O (,,) e lo si suddivida in due mediante il piano di equaione k. eterminare k R in modo che i due solidi ottenuti abbiano volumi uguali.. Calcolare i volumi dei seguenti solidi ottenuti ruotando il grafico della funione f() attorno all asse delle ascisse: (a), < < ; (b) ( / ) /, (asteroide ); (c), < < a; (d) e, < < a; (e) cosh, < < a. 4. Calcolare il volume degli insiemi delimitati dalle superfici: (a) sin,, π,,, ; (b) sin, π, π,,,.
5. I due paraboloidi + 5( + ) e + individuano una regione E che si suppone omogenea. Verificare che il baricentro di E cade nell origine. 6. Calcolare i momenti di ineria (rispetto all asse di rotaione) dei corpi seguenti, supposti omogenei, con densità e ruotanti rispetto alla retta indicata. (a) una sfera, ruotante intorno ad una retta tangente; (b) il volume interno all ellissoide a + b + c, ruotante intorno all asse delle ascisse; (c) un guscio sferico, di raggio interno r ed esterno R, ruotante intorno ad un diametro.
Integrali tripli. ( + )d d d, {(,,) R,, }. Per fili: si proietta su uno dei piani coordinati, per esempio sul piano, ottenendo il quadrato Q [,] [,], e ( + )ddd con S {( (,,) } [,]. unque ( + )ddd Q Q Q [ S ( + )d ] dd, [ ] [ ] ( + )d dd ( + ) dd Q [ ] ( + )dd ( + )d d ( + ) d. Per strati: si proietta su un asse, per esempio sull asse. Si ha [ ] ( + )ddd ( + )dd d, S con S {(,) (,,) } [,] [,]. Quindi, dal calcolo già fatto, S ( + )dd ( + )ddd.. ( +)ddd, {(,,) R,,, + + }. piano + + O
Per fili: la proieione di sul piano è il triangolo T delimitato dalla retta + e contenuto nel primo quadrante: [ ] ( +)ddd ( +)d dd, T S con S { (,,) } [, ]. S O Quindi [ ] [ ( +)ddd ( +)d dd + ] T T dd [( )+ ] T ( ) dd [ + ] T (+ + ) dd [ + T + + ] dd [ T + + ] dd [ ( + ) ] + d d { ( ) + 8 ( )4 4 ( ) 4 ( ) + } ( ) d si omette il calcolo dell integrale semplice. Per strati: si proietta sull asse ottenendo il segmento [, ] e quindi ( +)ddd [ ] ( +)dd d, S con S {(,) (,,) } {(,) +,, }.
S O Quindi ( +)ddd si omette il calcolo degli integrali semplici. [ ( ) ] ( +)d d d. ddd, {(,,) + + }. Per fili: si proietti su ottenendo il disco E {(,) + }. Quindi ( ) ddd d dd, S [, ] E S dd. E Conviene calcolare quest integrale doppio passando a coordinate polari e integrando sul dominio R {(ρ,θ) R < ρ, θ π}. Quindi dd ρ cos θ ρ ρdρdθ E π cos θdθ R ρ ρ dρ π Si sostituisce prima ρ u e quindi u s : ( ) ρ π ρ ρ dρ π ρ ρ d Si omette il calcolo dell integrale semplice. ρ ρ dρ. π u udu π ( s )s ds. Per strati: ddd ddd, con {(,,) R >, + + } [ ] dd d con S {(,) R + }. S
Passo a coordinate polari { ρcosθ ρsinθ θ π, < ρ da cui [ ] { [ π ] } dd d (ρ cos θ)ρdρ dθ d S ( ) cos θdθ ρ dρ d π 4 ρ4 d π π Si omette il calcolo dell integrale semplice. ( ) d. 4. ddd, {(,,) R +, > + }. γ Cono e paraboloide si intersecano in (,,) e nella circonferena γ di equaione { +. unque la proieione di sul piano è il disco Per fili: {(,,) + }. [ ] + d dd [ ] + dd + + [ + ( + ) ]dd passando a coordinate polari otteniamo π [ { ρ [ (ρcosθ)(ρsinθ) ρ ρ 4]} dρdθ ] [ π ] cosθsinθdθ. ( ρ 5 ρ 7) dρ
Si spieghi il risultato studiando le simmetrie del problema. Per strati: possiamo scrivere [ ] ddd dd d, S con S {(,,) R + } γ S S Quindi [ ] dd d S [ ] dd d S [ ] ρ(ρcosθ)(ρsinθ)dρ { π } dθ.
Cambiamenti di coordinate 5. ddd, {(,,) R + + }. Passando a coordinate sferiche rcosθsinϕ rsinθsinϕ rcosϕ con ϕ π θ π r si ha che il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana è r sinϕ e dunque ddd r 4 dr π π π { π [ sin ϕdϕ π 5 ( cos ϕ)sinϕdϕ [ ] π π 5 cosϕ+ cos ϕ ] (rsinϕcosθ) r sinϕdr cos θdθ π 4π 5. +cosθ dθ } dθ dϕ 6. Notiamo che + + + + ( ) centro,, piani e, in. ( ) 4 è l equaione di una sfera di e raggio. i questa si vuole la parte contenuta nel diedro delimitato dai Passando a coordinate sferiche rcosθsinϕ rsinθsinϕ rcosϕ con ϕ π θ π 6 r cosϕ
si ha [ π π ( + + + ddd 6 cosϕ ) ] +r sinϕdr dϕ dθ [ π π cosϕ r ] + 6 sinϕ dr dϕ π π [ cosϕ sinϕ +r 6 π π cosϕ} 6 sinϕ{ r r +log(+r) dϕ π [ ] π 6 cos ϕ cosϕ+log(+cosϕ) dcosϕ π π cos ϕ + π 6 π π cos ϕ π 6 log(+cosϕ)dcosϕ π 6 ( )+ π ( ) π 6 Integrando per parti π log(+u)du ulog(+u) log(+cosϕ)dcosϕ. e sostituendo nell integrale precedente otteniamo ( r + ) ] dr dϕ +r u du ulog(+u) u log(+u), +u π 8 π 6 {cosϕ log(+cosϕ) cosϕ log(+cosϕ) π } π 8 π 6 [ (log )] π 9 + π log. 7. La matrice Jacobiana del cambiamento di coordinate φ è v u J φ detj φ v. Il dominio di integraione E diventa { E (u,v,w) R u +v +w, v } e quindi I E 4u v +4v w 8v vdudvdw. Integrando per strati paralleli al piano uw e passando a coordinate polari u ρcosϕ, v ρsinϕ I ( π ) v ( 4 dϕ ρ dρ dv π 5 49 ).
Ulteriori integrali tripli 8. ddd {(,,) R +, }. ddd π cos θ { π [ ] } r cos θdr dθ d ρ dρ π 4 π 8. 9. ddd, {(,,) R 9 + +9, 9 ( +9 )}. ( ) L equaione 9 + 9 + rappresenta un paraboloide ellittico di vertice,, 9 mentre + +9 9èun ellissoide di centro l origine esemiassi, e. Il dominiodi integraione è l ellissoide, tolta la parte superioredel paraboloide. iciamo, con ellissoide e interseione dell ellissoide e del paraboloide. unque sembra naturale. La funione da integrare è costante rispetto ad ed. Quindi conviene integrare per strati paralleli al piano. ddd ove S è l ellisse +9 9, ossia 9 + 9 [ ] dd S, d,
la cui area è π (9 ) ( 9 ) π (9 ). unque ddd π 9 d. Notare: questo metodo non funiona perché si è incontrato un integrale improprio divergente. Si noti però che il punto (,,) non appartiene al dominio d integraione. Procediamo allora in un altro modo. Chiamiamo e i due insiemi in figura e notiamo che +. [ ] Per fissato,, 9 va calcolato S dd, con S ellisse di area π (9 ), come visto sopra, e quindi ddd π 9 Calcoliamo, ancora per strati perpendicolari all asse. In questo caso la seione è la corona ellittica (9 )d π 9 (+)d π ( + ) 55 6 486 π. S {(,,) 9 +9 9 }. Inoltre abbiamo 9? cioè va capito a che quota si intersecano l ellissoide ed il paraboloide. Si impone quindi l uguagliana ( ) ( 9 + ) 9 + 9 + ossia + 9 +9, le cui radici sono, e di cui va presa la positiva. unque 9 ed abbiamo ddd 9 [ ] dd d AreaS S 9 d. L area di S è π (9 ) π (9 ) π ( +9 ),
dunque ddd π +9 [ 9 ] + +6log [ 9( 4 + +6log 8 ( ) π π π π Concludendo, 6 6 4 6log 6 ( 9 995 6 6log 6 ). 9 + 55 486 π + π d π 9 ( ++ 6 ) d + )] 9 +6log 9 ( 995 6 6log 6 ) 5π 9 6π 6 log 9.. ddd, {(,,) R + + }. + + è come scrivere ( ) + +, dunque il dominio di integraione è la ona interna alla sfera + +, meno l interseione con la sfera ( ) + +. La seione del dominio con piano è Seponiamo { } {(,,) R + +, } e { > }, possiamo scrivere + e, dal momento che la funione integranda è costante rispetto ad e, conviene calcolare i due integrali per strati paralleli al piano (, ). Per quanto riguarda, le seioni con piani perpendicolari all asse sono cerchi S, di raggio, quindi ( ) ddd dd d AreaS d S [ π ( )d π ( )d π ] 4 4 π 4.
Per quanto riguarda, le seioni T sono corone circolari di raggi e, e quindi ddd Concludendo ( ) dd d T π [ ( )]d π + AreaT d ( )d π π 4 + π 4 5π 4. [ ] π 4.
Applicaioni. (a) La regione A è delimitata dalle superfici + e 4 e la sua proieione sul piano è il dominio {(,,) + }. Indichiamo con V il volume di A ed integriamo per fili paralleli all asse : V A ddd Passando a coordinate polari V ( 4 π ( [ π π π. + ) d dd (6 )dd. ) (6 ρcosθ ρsinθ ρ )ρdρ dθ ρ ρ ρ4 (cosθ +sinθ) 4 [ 4 ] (cosθ+sinθ) dθ ] dθ (b) La superficie ( + ) è un paraboloide di rotaione di vertice U (,,), mentre + + 9 è un ellissoide di semiassi,, e centro (,,). Le seioni B di B con piani cost, per sono corone circolari di raggi r ed r 9, mentre per sono cerchi di raggio r.
B Quindi V π π ddd B ( [ 7 65 54 π. ( 9 + ] [ +π ) dd d + B) ( d +π ] 7 ( 9 ) dd d ) B d (c) La proieione di C sul piano è π Integrando per fili paralleli all asse V C ( ddd ) d dd ( )dd...
passando a coordinate polari π [ ] 4π [... (ρ cos θ ρ sin ] θ)ρdρ dθ+ (ρ cos θ ρ sin θ)ρdρ dθ π π π 4π (4cos θ )dθ ρ dρ+ (4cos θ )dθ ρ dρ π π [ π ] 4π 4 (+cosθ)dθ+ (+cosθ)dθ π π { } 4 [θ +sinθ] π π +[θ+sinθ] 4π π {[( ) ( π 4 + π )] [( ) )]} + 4π + ( π π +. (d) La proieione di E sul piano è {(,) R + α}, dove < α < è la radice dell equaione e α 5 α. 5 + e + Integrando per fili paralleli all asse : V ddd E π π dθ α e + 5 + (e ρ ) 5 ρ ρdρ ( αe α e α 5 α). d dd. La seione del tetraedro ABC mediante i piani cost è
( ) T ( ) enotiamo con V e V i volumi di S ed S rispettivamente. S S Si ha V V k ( ) k ddd dd d S T k ( ) d [ ( ) ] k ( k), ( ) ddd dd d ( ) d S k T k [ ( ) ] k ( k). unque la condiione affinché si abbia V V è ( k) ( k) k. ( ) ( )d
. Ricordiamo che se f(), [a,b], è una funione continua, il volume del solido ottenuto ruotandone il grafico intorno all asse delle ascisse è dato da (a) V π +. d π [ b V π f ()d. a ]. Notare che il volume rimane finito al tendere di a (b) V π ( / ) d π ( / + 4/ )d [ π 5 5 + 7 7 ] ( π 9 5 + 9 7 ) π 5. a (c) V π 6 d π 7 a7. a (d) V π e d π ( ) e a. (e) ( a e e ) ( a e ++e ) V π d d 4 π [ ( ) e a +a ( e ) ] a 4 π 4 (a+sinha).
4. (a) Si tratta del volume di un cilindro la cui proieione sul piano è il rettangolo R [,π] [,]. π R R π Conviene quindi integrare per fili: V ddd ] R sind d [ cos] π. [ π [ sin ] d dd sindd R (b) Si tratta ancora di calcolare il volume di un cilindro, ma ora il grafico di sin è in parte sopra e in parte sotto il piano. π π Quindi vanno calcolati due integrali: quello relativo alla parte di solido nel semispaio e quello relativo alla parte di solido in <, che dà non il volume ma l opposto del volume. I due numeri vanno quindi sottratti. Usando la simmetria della figura ed il calcolo precedente, si vede che il volume vale 4.
5. I due paraboloidi si intersecano lungo la circonferena +,. Per simmetria a a. Verifichiamo che anche a, cioè che dove E La proieione di E sul piano è E ddd, { (,,) R +5( + ) } + +. Integrando per fili paralleli all asse : E ddd { (,) R + }. ( + + +5( + ) π dθ ρ d [ ( ) +ρ dd ) (5ρ ) ] dρ.
6. (a) Prendiamo come asse di rotaione la retta tangente di equaioni R,. La distana del punto (,,) da tale retta è data da (R ) +. asse unque il momento d ineria è I Se passiamo a coordinate sferiche ρcosθsinϕ ρsinθsinϕ ρcosϕ, [(R ) + ]ddd. r ρ R, θ π, π ϕ π abbiamo che il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana della trasformaione è detj ρ sinϕ, e dunque il momento d ineria diventa { π [ π R ] } I ρ sinϕ(r Rρcosθsinϕ+ρ sin ϕ)dρ dθ dϕ π π πr5 4πR5 4πR5 8πR5. 5 R R sinϕdϕ π [ cosϕ] π + R5 ++ πr5 5 + 8πR5 5 π R R4 π 4 sin ϕdϕ sin ϕdϕ [sinθ] π + πr5 5 )] [ ( + π cosθdθ+π [ cosϕ+ cos ϕ R 5 5 sin ϕdϕ ] π
(b) L asse di rotaione sia quello delle ascisse. asse La distana di (,,) da tale asse è +. Il momento d ineria è I ( + )ddd. Passando a coordinate polari ellittiche aρcosθsinϕ bρsinθsinϕ cρcosϕ, ρ, θ π, ϕ π si trova che il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana della trasformaione è detj abcρ sinϕ,
e dunque il momento d ineria diventa π { π [ ( ) ] } I c ρ cos ϕ+b ρ sin θsin ϕ abcρ sinϕdρ dϕ dθ π { π [ abc ρ 4( ) ] } c cos ϕsinϕ+b sin θsin ϕ dρ dϕ dθ abc [ π ( π ) π ( π ) ] c cos ϕsinϕdϕ dθ+ b sin θsin ϕdϕ dθ 5 abc [ ] π {πc cos ϕ π ( ) } cosθ) π +b dθ sinϕ( cos ϕ)dϕ 5 abc { [ πc 5 + [ ] π } ]+πb cosϕ+ cos ϕ abc [ 4πc ( +πb 5 + ) ] abc [ ] 4πc + 4πb 5 4πabc 5 (b +c ). (c) L asse di rotaione sia l asse. La distana di (,,) da tale asse è +. Va quindi calcolato I Passando a coordinate sferiche ρcosθsinϕ ρsinθsinϕ ρcosϕ, ( + )ddd. r ρ R, θ π, π ϕ π si trova che il momento d ineria è { π [ π R ( ) ] } I ρ sin ϕ ρ sinϕdρ dθ dϕ r ( π R ) π ρ 4 sin ϕdρ dϕ r π (R5 r 5 ) π sinϕ( cos ϕ)dϕ 5 π(r5 r 5 [ ] π ) cosϕ+ cos ϕ 5 π(r5 r 5 ) 5 8π(R5 r 5 ). 5 4