Aspetti e temi della Geometria

Aspetti e temi della Geometria I punti essenziali sui quali si basa il metodo euclideo; Una riflessione critica: il gioco degli assiomi: esempi e primi approcci al software Cabri; Possibile legame tra la Geometria euclidea, l algebra e la Geometria analitica: definizioni ed esercizi guidati in aula. Università degli Studi di Palermo Scienze della Formazione Primaria Fondamenti di Matematica II, 2007

Gli elementi essenziali sui quali si basa il metodo euclideo si possono riassumere in 5 punti: alcuni concetti vengono assunti come primitivi, cioè, senza una dimostrazione; alcune proposizioni, dette assiomi (o postulati) vengono assunte come vere, cioè, senza alcuna dimostrazione; ogni nuovo oggetto della teoria viene definito, usando soltanto i concetti primitivi o altre espressioni di cui si conosce il significato; usando gli assiomi e i concetti primitivi, mediante il ragionamento di tipo deduttivo, si deducono altre proposizioni relative agli oggetti studiati, dette teoremi. l insieme dei ragionamenti che permette di dedurre un teorema si chiama dimostrazione. Ogni definizione deve contenere dei termini che siano stati definiti prima; ma anche le definizioni di questi termini devono contenere termini già definiti prima, per cui questa marcia all indietro non può continuare indefinitamente, perché necessariamente ci si dovrà fermare assumendo alcuni enti senza definizione.

Relazioni tra Punti-Rette e Piani Alcune delle definizioni euclidee sono le seguenti: 1. Punto è ciò che non ha parti; 2. Linea è lunghezza senza larghezza; 3. Estremi di una linea sono punti; 4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa; 5. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza; I postulati sono proposizioni primitive che si riferiscono agli enti geometrici definiti prima. Oggi non si distinguono più i postulati dagli assiomi. Euclide enuncia cinque Postulati: I. Si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. II. Una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta. III. Si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi distanza (raggio). IV. Tutti gli angoli retti siano uguali fra loro. V. Se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due rette.

Assioma di appartenenza alla retta: - ad ogni retta appartengono almeno due punti distinti -dati due punti distinti esiste una ed una sola retta alla quale appartengono entrambi. Assioma di appartenenza al piano: Ogni piano contiene almeno tre punti non allineati. Assiomi d ordine della retta Nell insieme dei punti di una retta è possibile introdurre due relazioni d ordine totale, con le seguenti proprietà: - dati due punti distinti A e B, tali che A precede B, esiste sempre un punto C compreso tra A e B - Dato un punto P, esistono sempre due punti A e B, tali che A precede P e P precede B. Il modello ideale del piano, dove si assumo gli assiomi che abbiamo elencato e quelli che vedremo meglio in seguito (es. quinto postulato), viene detto piano euclideo.

Una riflessione critica sugli assiomi Pensate ad un qualsiasi gioco soggetto a delle regole, come il gioco della dama, il gioco degli scacchi, il gioco dell oca Gli assiomi corrispondono alle regole del gioco, le parole che compaiono in esse corrispondono ai termini primitivi. Nel gioco della dama quindi le parole: pedina, casella, mangiare, dama sono termini primitivi, mentre un assioma è, per esempio una pedina ne mangia una avversaria in diagonale in avanti ; una mossa corrisponderà all applicazione di una regola. Con altri esempi simili, si può comprendere meglio che se le regole (gli assiomi) di un gioco (una teoria matematica come in questo caso la Geometria) vengono cambiate, oppure non si considerano tutte, allora si ottengono altri tipi di gioco (altre Geometrie), in cui non sono più permesse alcune regole. Certi modelli geometrici non sono validi per tutti gli assiomi, solo aggiungendo altri assiomi spesso si possono trarre più conseguenze, cioè più teoremi.

Es.1 Consideriamo l insieme {A,B,C}. Chiamiamo: - piano l insieme stesso; - punto ogni elemento dell insieme; - retta ogni sottoinsieme di {A,B,C} avente due elementi. Quali degli assiomi introdotti sono soddisfatti in questo ambiente? Sono soddisfatti tutti gli assiomi di appartenenza: -a ogni retta appartengono due punti distinti; - dati due punti distinti, esiste una ed una sola retta alla quale appartengono entrambi; - il piano contiene tre punti non allineati. Sorgono invece dei problemi per gli assiomi d ordine. E infatti possibile definire una relazione d ordine fra i punti ma non in modo che, dati due punti sia sempre possibile trovarne uno tra essi. Questo ci permette di poter escludere che l ambiente descritto sia un modello della geometria euclidea che stiamo studiando.

Es.2 Consideriamo l insieme {A,B,C, D}. Chiamiamo: - piano l insieme stesso; - punto ogni elemento dell insieme; - retta ciascuno dei seguenti sottoinsiemi {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B, C}, {B, D}. Quali degli assiomi introdotti sono soddisfatti in questo ambiente? Es.3 Il piano è l insieme {A,B,C, D}; i punti, gli elementi dell insieme e le rette sono i sottoinsiemi {A,B}, {A,D}, {B,C,D}. Sono validi gli assiomi di appartenenza? Es.4 Dati tre punti, quante rette distinte, contenenti ciascuna almeno due punti dati, si possono condurre? A B C

Es.5 Linee ferroviarie:quante nuove linee ferroviarie devono costruirsi al minimo perché tutte le città (indicate dai punti A, B, C, D e E) siano raggiungibili dalle restanti città? Es.6 A D Tre rette si incontrano a due a due. In quanti insiemi di Punti, privi di punti in comune, dividono il piano? 1 2 B E A B C 6 5 4 C

Es.7 Un modello geometrico particolare: il modello rappresentato dalla figura accanto. In questo caso, i pallini neri rappresentano i punti, le rette sono tutti gli insiemi di due punti e il piano risulta costituito da tre punti e tre rette. Si può verificare che valgono i postulati di appartenenza ma non sono presenti le altre proprietà che siamo abituati ad attribuire agli enti geometrici denominati punto, retta e piano. Infatti, per un punto non passano, in questo modello, infinite rette, né vale il postulato delle parallele, perché per un punto non esiste una retta parallela ad una retta che non contiene il punto. Tuttavia questi tre postulati sono sufficienti per determinare che due rette distinte possono avere in comune un solo punto; che comunque presi due punti distinti di un piano c è una sola retta alla quale essi appartengono; e che tre punti distinti determinano un piano. Come abbiamo detto prima, gli assiomi della geometria servono per modellizzare il mondo reale; tutto ciò che si apprende in campo matematico può costituire un modello per risolvere problemi legati non solo alla realtà della vita quotidiana ma anche prettamente matematici. Così, quando si risolve un problema geometrico relativo ai perimetri e alle aree di figure poligonali, esso può benissimo essere considerato come il modello geometrico di un problema reale, così come, l uso dell algebra per la risoluzione di un problema rappresenta il modello algebrico di quel problema. Lo scopo principale degli studi di matematica deve essere quello di sapere usare, secondo le diverse circostanze, i vari campi del sapere matematico (aritmetica, algebra, geometria, analisi, ) per risolvere un problema La conoscenza dei vari campi permetterà di utilizzare il modello più adatto per risolvere un problema, anche se è innegabile una certa difficoltà iniziale della scelta del modello da utilizzare.

Es.8 La geometria della carta Alla base dell origami vi sono alcune semplici regole (gli assiomi) I primi sei di questi assiomi dell origami sono stati enunciati da Huzita nel 1992; il settimo è stato aggiunto da Hatori nel 2002. P P. 1. 2 P 1.. P 2. P 1 P 1 P 2... P 2 P. r 2 r 1 r 2 r. P 2 P 1. r r 1 r 2 r 1 Applicando queste regole, che possono essere combinate in una infinita varietà di modi, si possono realizzare molte costruzioni geometriche che si eseguono con riga e compasso creando anche modelli estremamente complicati.

Bisettrice di un angolo O A B Con centro in O, si traccia un arco di circonferenza che taglia in A e B i lati dell angolo AOB. Con la stessa apertura si centra in A e B descrivendo due archi che si tagliano in M. La semiretta OM è la bisettrice cercata. Infatti, il quadrilatero OAMB, che risulta avere tutti i lati uguali, è un rombo; per cui la sua diagonale OM biseca l angolo di vertice O. Si può giungere alla stessa conclusione dimostrando la congruenza dei due triangoli OAM e OBM.

Es. 9 Il gioco della Dama: Le regole basilari del gioco sono le seguenti : 1) le pedine si muovono ad una ad una sulle caselle nere in senso trasversale passando dall'una all'altra, e di un solo tratto per volta, sempre in avanti; 2) quando un pezzo si trova a contatto con un altro avverso che dietro di se abbia una casella vuota, lo prende scavalcandolo, e passa nella casella vuota; dopo la presa, se trova davanti a se ancora un altro pezzo nelle stesse condizioni, lo prende ugualmente col medesimo tratto, e così di seguito; 3) quando la pedina raggiunge le caselle dell' ultima linea diventa DAMA, e per distinguerla le si sovrappone un' altra pedina; il tratto con il quale la pedina diventa dama si intende compiuto, e se trova un pezzo in presa essa potrà prenderlo al tratto successivo; 4) la dama muove e prende come la pedina, ma può anche retrocedere; la dama prende dame e pedine; la pedina prende solo le pedine.

DEFINIZIONE DEGLI ELEMENTI COSTITUTIVI: A= {12 pedine bianche nelle rispettive posizioni di partenza: Ai,j} A* = {dame bianche: A*i,j} B= {12 pedine nere nelle rispettive posizioni di partenza: Bi,j} B* = {dame nere: B*i,j} U= {1,2,3,4,5,6,7,8 } x {1,2,3,4,5,6,7,8} Universo C= {C1,1, C1,2,.., C8,8} Ci,j = 0 casella vuota Ci,j = 1 casella occupata MOVIMENTO PEDINE: Ai-1,j+1 per i 1, j 8, Ci-1,j+1 = 0 m(ai,j ) = Ai+1,j+1 per i 8, j 8, Ci+1,j+1 = 0 Bi-1,j-1 per i 1, j 1, Ci-1,j-1 = 0 m(bi,j ) = Bi+1,j-1 per i 8, j 1, Ci+1,j-1= 0

MOVIMENTO DAMA: m(a*i,j ) = A*i+1,j+1 per i 8, j 8, Ci+1,j+1 = 0 A*i+1,j-1 per i 8, j 1, Ci+1,j-1 = 0 A*i-1,j+1 per i 1, j 8, Ci+1,j+1 = 0 A*i-1,j-1 per i 1, j 1, Ci-1,j-1 = 0 m(b*i,j ) = B*i+1,j+1 per i 8, j 8, Ci+1,j+1 = 0 B*i+1,j-1 per i 8, j 1, Ci+1,j-1 = 0 B*i-1,j+1 per i 1, j 8, Ci+1,j+1 = 0 B*i-1,j-1 per i 1, j 1, Ci-1,j-1 = 0 REGOLE DELLA PRESA: P(Ai,j, Bi+1,j+1) = Ai+2,j+2 e Ci+1,j+1 = 0 per i 7, j 7, Ci+2,j+2 = 0 P(Ai,j, Bi-1,j+1) = Ai-2,j+2 e Ci-1,j+1 = 0 per i 2, j 7, Ci-2,j+2 = 0 P(Bi,j, Ai+1,j-1) = Bi+2,j-2 e Ci+1,j-1= 0 per i 7, j 2, Ci+2,j-2 = 0 P(Bi,j, Ai-1,j-1) = Bi-2,j-2 e Ci-1,j-1 = 0 per i 2, j 2, Ci-2,j-2 = 0 P(A*i,j, Bi+1,j+1) = A*i+2,j+2 e Ci+1,j+1 = 0 per i 7, j 7, Ci+2,j+2 = 0 P(A*i,j, Bi-1,j+1) = A*i-2,j+2 e Ci-1,j+1 = 0 per i 2, j 7, Ci-2,j+2 = 0 P(A*i,j, B*i+1,j+1) = A*i+2,j+2 e Ci+1,j+1 = 0 per i 7, j 7, Ci+2,j+2 = 0 P(A*i,j, B*i-1,j+1) = A*i-2,j+2 e Ci-1,j+1 = 0 per i 2, j 7, Ci-2,j+2 = 0 P(B*i,j, Ai+1,j-1) = B*i+2,j-2 e Ci+1,j-1= 0 per i 7, j 2, Ci+2,j-2 = 0 P(B*i,j, Ai-1,j-1) = B*i-2,j-2 e Ci-1,j-1 = 0 per i 2, j 2, Ci-2,j-2 = 0 P(B*i,j, A*i+1,j-1) = B*i+2,j-2 e Ci+1,j-1= 0 per i 7, j 2, Ci+2,j-2 = 0 P(B*i,j, A*i-1,j-1) = B*i-2,j-2 e Ci-1,j-1 = 0 per i 2, j 2, Ci-2,j-2 = 0

REGOLE DI INTERAZIONE (per A e B, in questo caso, si intende i due schieramenti opposti, di conseguenza sia pedine che dame): Da m(a) segue m(b) P(B) D(A) Da P(A) segue m(b) P(A) P((B) D(A) Da D(A) segue m(b) P(B) Le regole di interazione sono perfettamente identiche nel caso di B. Una possibile semplificazione del sistema assiomatico, potrebbe, ad esempio, portare ad un nuovo modello interpretativo come potrebbe essere un nuovo gioco: La dama lineare. Il gioco della dama lineare si gioca fra due giocatori (Bianco e Nero) su una "scacchiera di 12 caselle disposte in linea. Ogni giocatore ha inizialmente 4 pedine del proprio colore, (B per il Bianco e N per il Nero). Il carattere "S" rappresenta (nella scrittura formale) le caselle vuote. All'inizio della partita, le quattro pedine di ogni giocatore occupano un estremo della scacchiera, e ci sono quattro caselle vuote fra i due giocatori. La configurazione iniziale è quindi: BBBBSSSSNNNN Un altro possibile esempio potrebbe essere la Quadrama.

Nel momento in cui è necessario modellizzare le esperienze motorie, di localizzazione, di posizionamento, non ci si può riferire più alla geometria euclidea, in quanto i punti, le rette, i segmenti, vengono studiati in essa senza fare riferimento alla loro posizione sul piano relativa ad altri enti di riferimento. È quindi necessario strutturare il piano euclideo in modo da potere individuare la posizione degli oggetti geometrici e identificarli univocamente. Con l introduzione delle coordinate si crea un legame tra la geometria euclidea e l algebra, e questa nuova geometria prende il nome di geometria analitica, che rappresenta un nuovo mondo, perché raccorda le conoscenze geometriche anteriori con un modo diverso di rappresentarle. -Metodo delle coordinate per la traccia dei punti; -definizione e rappresentazione della retta; -posizione reciproca di due rette (perpendicolarità e parallelismo); -possibilità di definire in un unica equazione TUTTE le possibili rette con una determinata caratteristica; -posizione di un punto da una retta; ESERCIZI GUIDATI IN AULA

Bibliografi essenziale Di Paola B., Manno G., Scimone A., Sortino C., La Geometria. Una guida ai suoi contenuti e alla sua didattica, Palumbo Ediore, 2007