Controllo di velocità angolare di un motore in CC Descrizione generale Il processo è composto da un motore in corrente continua, un sistema di riduzione, una dinamo tachimetrica ed un sistema di visualizzazione. L ingresso del sistema coincide con la tensione applicata ai morsetti di armatura del motore in CC, mentre l uscita da controllare è la velocità angolare dell asse del motore opportunamente ridotta da un sistema di ruote dentate che effettuano una riduzione di 50:. L uscita viene misurata attraverso una dinamo tachimetrica. Per motivi di sicurezza, nonostante il motore possa essere alimentato ad una tensione nominale di ±24 Volt, la massima tensione applicabile è stata limitata a ±5 Volt. Figura : Foto del motore in CC.
replacements Modello Matematico i a Sarà adesso descritto il modello generale di un motore in continua, con particolare attenzione al modello del motore con comando in armatura, come quello in questione. Modello di un motore elettrico (con parametri parassiti) R a L a i p E = k Φ ω i e i C = k Φ I I a = I I p v a v e R e L e e R p V a = E (R a s L a ) I a V e = (R e s L e ) I e I p = E R p Φ K e I e C = C r ω(β s J) Figura 2: Modello del motore in CC. Di seguito viene riportata la rappresentazione in schemi a blocchi del sistema in Figura 2 ag replacements nel caso di comando in armatura. E possibile evidenziare i segnali di interesse: - Comando=V a (tensione di armatura) - Disturbo=C r (coppia resistente) - Variabile controllata=ω (velocità angolare) - Flusso=Φ costante v a C r i a i C R a sl a k Φ β sj ω E R p i p k Φ Figura 3: Schema a blocchi di un motore con comando in armatura.
Ponendo β c β k 2 Φ 2 Rp è possibile semplificare il modello di Figura 3 come segue: v a C r i a R a sl a k Φ β c sj ω E k Φ Figura 4: Schema a blocchi semplificato di un motore con comando in armatura. In Figura PSfrag 5 replacements viene illustrato il modello del motore con un carico applicato. i a v a C ω β C r Figura 5: Modello del motore con carico applicato. In Tabella sono riportati alcuni parametri fisici relativi al processo in questione. Tensione nominale Induttanza di armatura (L a ) Resistenza di armatura (R a ) Costante di coppia del motore Velocità nominale Tensione di soglia Massima tensione applicabile 24 V 2.8 mh 5.5 Ω 0.046 N m/a 4000 RP M ± 2.3 V ± 5 V Tabella : Parametri fisici del motore in CC.
Determinazione della funzione di trasferimento Dalla Figura 4 è possibile ricavare la funzione di trasferimento tra la tensione di armatura e la velocità angolare. Siano V (s) e Ω(s) rispettivamente la trasformata di Laplace della tensione di armatura e della velocità angolare dell asse del motore, risulta G(s) = Ω(s) V (s) = K m (R a s L a )(β c s J) K 2 m () dove K m KΦ. La () presenta 2 poli, e può essere riscritta come segue: G(s) = Ω(s) V (s) = K ( T s)( T 2 s) (2) A causa degli attriti statici presenti sul sistema, risulta che tensioni V 2.3 Volt non producono alcun effetto sull uscita. Inoltre, per ragioni di sicurezza, la tensione di ingresso è limitata tra -5 e 5 Volt. Considerando la presenza della soglia e della saturazione sull ingresso, la relazione tra ingresso ed uscita può essere riscritta come segue: Ω(s) = 0 se V [0, 2.3] 4 ( s) ( V (s) se V [2.3, 5] s) 0 2000 dove i valori numerici sono stati ricavati mediante un processo di identificazione. E opportuno precisare che la tensione di ingresso V è espressa in Volt, mentre la velocità angolare ω è espressa in giri al minuto (RPM).
Valutazione degli errori a regime stazionario Errore di inseguimento al gradino Poiché il sistema è di tipo 0, chiudendo tale sistema in retroazione con un controllore puramente proporzionale C(s) = K c (vedi Figura 6), l errore di inseguimento a regime sarà finito. Infatti, sia K g il guadagno di Bode di G(S) e sia K s l ampiezza del gradino dipsfrag riferimento, replacements dal teorema del valore finale l errore a regime risulterà: e step ( ) = lim s 0 s K s K c G(s) s = K s K c K g (3) R E C(s) U G(s) Y Figura 6: Diagramma a blocchi di un sistema in retroazione unitaria. Esperienza: effettuare un esperienza pratica valutando l errore a regime per diversi valori di K c (es. K c =, 2, 5, 0, 00) e confrontando i risultati sperimentali con quelli teorici. Suggerimento: la presenza della soglia sull ingresso impone che il gradino di riferimento non sia troppo piccolo al fine di evidenziare correttamente l errore di inseguimento. Suggerimento: poiché il segnale in uscita y(t) presenterà delle oscillazioni ad alta frequenza, può essere opportuno renderlo più dolce al fine di semplificare le operazioni di analisi. A tal fine, una volta scaricato il file contenente la dinamica completa dell esperimento, sarà possibile utilizzare i seguenti comandi Matlab: % definiamo la forma del filtro passa-basso lp_filter=tf(,[0.05 ]); \% applichiamo il filtro al segnale di uscita Output_smooth=lsim(lp_filter,rt_Output,rt_Time);
Errore di inseguimento alla rampa Con il controllore puramente proporzionale realizzato in precedenza verificare che l errore di inseguimento alla rampa lineare risulta infinito. A tal fine si consiglia di applicare una rampa di pendenza opportuna (es. 0.25 RPM/sec). Applicando un polo in 0 nel controllore avremo C(s) = K c. In questo caso l errore di s inseguimento alla rampa lineare (di pendenza K r ) sarà finito e pari a: e ramp ( ) = lim s 0 s Kc s G(s) K r s 2 = K r K c K g (4) Esperienza: effettuare un esperienza pratica valutando l errore a regime di inseguimento della rampa per diversi valori di K c (es. K c =, 2, 5, 0, 00) e confrontando i risultati sperimentali con quelli teorici. Esperienza: verificare che l errore di inseguimento a regime di un gradino risulta essere nullo indipendentemente dal valore di K c.
Valutazione delle specifiche nel transitorio Valutazione delle specifiche temporali Sia C(s) = K c s e sia K c fissato arbitrariamente (es. K c = 0.2). Esperienza: eseguire un esperimento di inseguimento al gradino di ampiezza prescelta (es. 5) e valutare i seguenti indici di prestazione: Tempo di salita (t s ) Tempo di assestamento al 2% (t a ) Tempo di assestamento al 5% (t a ) Sovraelongazione massima percentuale (ŝ/00).5 ŝ Step Response { ± ε Amplitude PSfrag replacements 0.5 0 0 t 5 0 5 20 25 s t m t a Time (sec) Figura 7: Parametri caratteristici della risposta a gradino.
Valutazione delle specifiche in frequenza Denotiamo con G(s) = C(s) G(s) la cascata del controllore con l impianto. Sarà possibile valutare la banda passante ed il picco di risonanza del sistema nominale mediante la carta di Nichols (o equivalentemente mediante il diagramma di Bode dell anello chiuso). Esperienza: effettuare una esperienza che verifichi se la banda passante reale coincide con quella calcolata teoricamente. A tal fine applicare un riferimento sinusoidale con pulsazione pari alla banda passante, e verificare che l ampiezza dell uscita sia pari a / 2 volte quella in ingresso. Esperienza: nel caso che il sistema ad anello chiuso presenti un picco di risonanza, verificare sperimentalmente la presenza di tale picco applicando in ingresso una sinusoide con pulsazione pari a quello di picco, e verificare l eventuale amplificazione dell ampiezza del segnale di uscita.
Esercizio di sintesi di un controllore Data la seguente funzione di trasferimento determinata sperimentalmente G(s) = Ω(s) V (s) = 0 se V [0, 2.3] 4 ( s) ( se V [2.3, 5] s) 0 2000 progettare un controllore C(s) per il controllo di velocità del motore in CC, tale che: Errore di inseguimento alla rampa di pendenza 0.25 (a regime) e r 0.5 PSfrag replacements Tempo di salita t s 0.25 secondi Sovraelongazione massima ŝ 0% R E C(s) V G(s) Y = Ω Verificare le specifiche temporali sul transitorio applicando come riferimento un gradino di ampiezza 5. Valutare inoltre i seguenti indici di prestazione nel dominio del tempo: Tempo di assestamento al 2% (t 2% a ) Tempo di assestamento al 5% (t 5% a ) Calcolare approssimativamente i seguenti indici di prestazione in frequenza: Banda passante (B w ) Picco di risonanza (M r ) Paragonare i risultati ottenuti con quelli determinati analiticamente sulla base del modello del sistema dato.