TEST D IPOTESI 1 Le resistenze alla rottura delle funi prodotte da una fabbrica hanno una media pari a µ = 1800N ed uno scarto quadratico medio di σ = 100N Immettendo una nuova tecnica nel processo produttivo, si pensa che la resistenza alla rottura possa essere accresciuta Per provare ciò, si prende un campione di 50 funi e si trova che la resistenza media alla rottura è 1850N Provare l ipotesi che la media sia rimasta la stessa (µ = 1800N), contro l alternativa che la media sia davvero aumentata (µ > 1800N) al livello di significatività dello 001 2 Il tempo di vita medio di un campione di 100 lampadine prodotte da una fabbrica è 1570h con uno scarto quadratico medio di 120h Se µ è il tempo di vita di tutte le lampadine prodotte dalla fabbrica, provare l ipotesi µ = 1600h contro l alternativa µ 1600 con un livello di significatività α = 005 3 Una ditta produce detersivi che vende in confezioni per le quali dichiara un peso medio di 4Kg Un supermercato che è interessato all acquisto di una grossa partita indaga su un campione di 45 scatole accertando un peso medio di 3,8Kg con uno sqm dell intera produzione 0,6Kg Verificare l affermazione fatta dalla casa produttrice provando l ipotesi µ = 4Kg contro l alternativa µ < 4Kg con un livello di significatività del 3% 4 In un esperimento sulla percezione extrasensoriale, ad un soggetto viene chiesto di indovinare il colore, rosso o blu, di 50 carte Il soggetto individua il colore di 32 carte Determinare se il risultato sia significativo oppure no al livello α = 005, ovvero provare l ipotesi che la probabilità di indovinare il colore sia p = 1/2 (in qual caso il soggetto tira ad indovinare), contro l ipotesi p > 1/2 (in qual caso il soggetto è dotato di percezione extrasensoriale) 5 Due dadi vengono lanciati 100 volte e si osserva che la somma sette si presenta 23 volte Provare l ipotesi che i dadi siano equi contro l alternativa che non siano equi al livello α = 001 6 Nello studio di una particolare specie di farfalla si vuole studiare se la colorazione delle sue ali venga influenzata dalla stagione Ne vengono recensite 600 e per ciascuna si esse si prende nota del colore: vivace, non vivace e della stagione:primavera, estate, autunno, inverno Si ottiene la seguente tabella Vivace Non vivace Totali Primavera 85 65 150 Estate 85 65 150 Autunno 140 60 200 Inverno 50 50 100 Totali 360 240 600 Stabilire con un livello di significatività del 5% e dell 1% se si può accettare l ipotesi di indipendenza della colorazione dalla stagione 7 Un gruppo di Americani ed un gruppo di Inglesi vengono interpellati per decidere dove passerebbero le loro vacanze dovendo scegliere tra Roma e Firenze I risultati sono riportati nella tabella che segue 1
Americani Inglesi Firenze 30 50 Roma 80 40 Provare l ipotesi che la nazionalità non influisca sulla scelta della meta 8 Un certo corso universitario è impartito a studenti del terzo anno di tre diversi indirizzi; gli studenti frequentano le lezioni del medesimo professore, che registra il numero di studenti di ogni indirizzo che hanno superato l esame nel corso dell anno I dati sono i seguenti; Indirizzo A Indirizzo B Indirizzo C Tot esami esame superato 20 20 50 90 esame non superato 30 20 40 90 Tot studenti iscritti 50 40 90 180 Il rendimento degli studenti dei tre indirizzi, relativamente all esame in questione, si può ritenere sostanzialmente equivalente o le differenze sono statisticamente significative? 9 Si consideri la seguente classificazione di 1000 persone secondo il sesso e il fatto di essere o non essere daltonici: Maschio Femmina Tot Daltonici 40 10 50 Normali 460 490 950 Tot 500 500 1000 Si esegua un test sull indipendenza del fattore daltonismo dal sesso 10 Nella tabella che segue sono riportati i voti per i partiti A, B e C A livello di significatività del 5% e dell 1% provate l ipotesi che non ci sia differenza tra i voti dei 3 partiti a favore contrari indecisi A 85 78 37 B 118 61 25 C 90 42 20 2
SOLUZIONI 1 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : µ = 1800N, non c è in realtà alcun miglioramento nella resistenza alla rottura H 1 : µ > 1800N, c è un reale miglioramento nella resistenza alla rottura Bisogna far uso del test ad una coda Il diagramma associato è quello seguente area α = 001 0 z = 233 z = 355 Al livello di significatività α = 001 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato, è maggiore di 233 (valore ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato, è minore di 233, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 001 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 il valore normalizzato è z = x n µ σ/ n = 1850 1800 100/ 50 = 355, che è molto maggiore di 233 Quindi concludiamo che il risultato sia altamente significativo: c è un reale miglioramento nella resistenza dei cavi alla rottura! 2 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : µ = 1600h, le lampade hanno una durata media di 1600h H 1 : µ 1600h, le lampade non hanno una durata media di 1600h Bisogna far uso del test a due code Il diagramma associato è quello seguente Al livello di significatività α = 005 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato z, è minore di z = 196 oppure è maggiore di z = 196 (il valore è ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato z, compreso tra -196 e 196, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 005 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 il valore normalizzato, utilizzando lo scarto campionario come stima di σ, è z = x n µ σ/ n = 1570 1600 120/ 100 = 25, 3
area α 2 = 0025 z = 196 0 z = 196 area α 2 = 0025 che cade nelle regione critica Quindi concludiamo che il risultato è significativo: le lampade non hanno una durata media di 1600h 3 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : µ = 4Kg, le confezioni hanno un medio peso di 4Kg H 1 : µ < 4Kg, le confezioni hanno un medio peso minore di 4Kg Bisogna far uso del test ad una cosa Il diagramma associato è quello seguente area α = 003 z = 188 0 Al livello di significatività α = 003 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato z, è minore di z = 188, il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato z, è maggiore di z = 188, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 003 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 il valore normalizzato, è z = x n µ σ/ n = 39 40 06/ 100 = 167, che non cade nelle regione critica Quindi concludiamo che il risultato non è significativo: le confezioni hanno un peso medio di 4Kg 4
4 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : p = 1/2, il soggetto tira ad indovinare H 1 : p > 1/2, il soggetto è dotato di poteri extrasensoriali Bisogna far uso del test ad una coda Il diagramma associato è quello seguente 0 z = 164 Al livello di significatività α = 005 la regola di decisione è la seguente: area α = 005 Se il valore osservato, normalizzato, è maggiore di 164 (valore ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato, è minore di 164, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 005 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 (p = 1/2) il valore osservato, che è il numero dei successi, normalizzato è z = x np 32 25 = = 198, np(1 p) 354 che è maggiore di 164 Quindi concludiamo che il risultato sia significativo: il soggetto è dotato di poteri extrasensoriali! 5 La probabilità che la somma sia sette nel lancio di due dadi equi è p = 1/6 pertanto dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : p = 1/6, i dadi sono equi H 1 : p 1/6, i dadi non sono equi Bisogna far uso del test a due code Il diagramma associato è quello seguente Al livello di significatività α = 005 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato z, è minore di z = 196 oppure è maggiore di z = 196 (il valore è ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato z, compreso tra -196 e 196, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 005 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 (p = 1/6) il valore osservato, che è il numero dei successi, normalizzato è z = x np 23 1667 = = 170, np(1 p) 373 5
area α 2 = 0025 z = 196 0 z = 196 area α 2 = 0025 che cade nelle regione critica Quindi concludiamo che il risultato non è significativo: i dadi sono equi! 6 Si tratta di provare l ipotesi che la colorazione della li sia indipendente dalla stagione contro l alternativa che il colore dipende dalla stagione In ipotesi di indipendenza, ricordando che al posto ij va il totale della riga i per il totale della colonna j il tutto diviso per il totale complessivo, si avrebbe, Vivace Non vivace Totali Primavera 90 60 150 Estate 90 60 150 Autunno 120 80 200 Inverno 60 40 100 Totali 360 240 600 Occorre un test ad una coda La statistica da utilizzare è una va T χ 2 (2) Ed il quantile χ 2 095 (2) = 599 Il valore della statistica osservato è t = + (90 85)2 (90 85)2 (120 140)2 (60 50)2 + + + 90 90 120 60 (60 65)2 (60 65)2 (80 60)2 (40 50)2 + + + = 139 60 60 80 40 Il valore trovato cade nella regione critica, pertanto occorre rifiutare l ipotesi di indipendenza Il colore delle ali dipende dalla stagione 6