Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino
Proprietà Siano e funzioni integrabili su un intervallo la funzione per ogni f(x) g(x) I αf(x)+βg(x) α, β R e si ha è integrabile su I ³ αf(x)+βg(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx 4 2006 Politecnico di Torino 2
Dimostrazione F (x) G(x) f(x) g(x) Sia una qualunque primitiva di e una qualunque primitiva di Ricordando la proprietà di linearità della derivata, si ha ³ αf (x)+βg(x) 0 = αf 0 (x)+βg 0 (x) = αf(x)+βg(x), x I 5 Dimostrazione la funzione αf (x)+βg(x) αf(x)+βg(x) I è una primitiva di su ovvero, ricordando la definizione di integrale indefinito, vale la tesi 6 2006 Politecnico di Torino 3
Esempio Si voglia integrare il polinomio Si ha ³ 5x 2 +4x 3 dx =5 x 2 dx +4 5x 2 +4x 3 xdx 3 dx µ µ =5 3 x3 + c +4 2 x2 + c 2 3(x + c 3 ) = 5 3 x3 +2x 2 3x + c 7 Esempio 2 Si consideri la funzione Si noti che e che cos 2 xdx f(x) =cos 2 x cos 2 x = ( + cos 2x) 2 D sin 2x =2cos2x; = 2 dx + 2 dunque, cos 2xdx = + 2 x 4 sin 2x + c Analogamente, si trova sin 2 xdx= 2 x sin 2x + c 4 8 2006 Politecnico di Torino 4
Proprietà f(x) I Siano e due funzioni derivabili su un intervallo g(x) Se la funzione lo è anche la funzione f 0 (x)g(x) f(x)g 0 (x) è integrabile su I e si ha f(x)g 0 (x) dx = f(x)g(x) f 0 (x)g(x) dx 0 2006 Politecnico di Torino 5
Dimostrazione Sia H(x) f 0 (x)g(x) una qualunque primitiva della funzione su I Ricordando la formula di derivazione di un prodotto, abbiamo [f(x)g(x) H(x)] 0 =(f(x)g(x)) 0 H 0 (x) = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) f 0 (x)g(x) = f(x)g 0 (x) Dimostrazione Pertanto, la funzione primitiva della funzione esattamente la tesi f(x)g(x) H(x) f(x)g 0 (x), il che è è una 2 2006 Politecnico di Torino 6
Esempio Si voglia calcolare xe x dx Si ponga Abbiamo f(x) =x f 0 (x) = e e g 0 (x) =e x g(x) =e x Usando la formula di integrazione per parti, si ha xe x dx = xe x e x dx = xe x (e x + c) =(x )e x + c 3 Esempio Con la scelta f(x) =e x e g 0 (x) =x cioè f 0 (x) =e x g(x) = e 2 x2, xe x dx = 2 x2 e x 2 avremmo ottenuto x 2 e x dx che non ci avrebbe permesso di calcolare l integrale cercato 4 2006 Politecnico di Torino 7
Si voglia calcolare log xdx Esempio 2 Conviene porre f(x) =logx e g 0 (x) = In tale modo si ha f 0 (x) = x e g(x) =x 5 Esempio 2 Pertanto, si ottiene log xdx= x log x x xdx = x log x dx = x log x (x + c) = x(log x ) + c 6 2006 Politecnico di Torino 8
Si voglia calcolare S = e x sin xdx Esempio 3 Poniamo Abbiamo Pertanto f(x) =e x e g 0 (x) =sinx f 0 (x) =e x e g(x) = cos x S = e x cos x + e x cos xdx 7 Esempio 3 Integriamo nuovamente per parti con f(x) =e x e g 0 (x) =cosx Si ha f 0 (x) =e x e g(x) =sinx, da cui S = e x cos x +e x sin x e x sin xdx =e x (sin x cos x) S 8 2006 Politecnico di Torino 9
Esempio 3 Dunque, otteniamo ovvero 2S =e x (sin x cos x)+c S = 2 ex (sin x cos x)+c 9 2006 Politecnico di Torino 0
Proprietà Sia J Sia f(y) F(y) e sia una funzione integrabile su un intervallo una sua primitiva ϕ(x) I J f(ϕ(x))ϕ 0 (x) I e si ha f(ϕ(x))ϕ 0 (x) dx = F (ϕ(x)) + c una funzione derivabile, definita su un intervallo a valori nell intervallo la funzione è integrabile sull intervallo 2 Proprietà f(ϕ(x))ϕ 0 (x) dx = F (ϕ(x)) + c Tale formula viene sovente scritta, in modo meno preciso ma più sintetico, come f(ϕ(x))ϕ 0 (x) dx = f(y) dy 22 2006 Politecnico di Torino
Dimostrazione È sufficiente ricordare la formula di derivazione di una funzione composta, ossia d dx F (ϕ(x)) = df dy Dunque, F (ϕ(x)) f(ϕ(x))ϕ 0 (x), (ϕ(x)) dϕ dx (x) è una primitiva della funzione il che equivale alla tesi = f(ϕ(x))ϕ 0 (x) 23 Dimostrazione A livello mnemonico, la formula f(ϕ(x))ϕ 0 (x) dx = f(y) dy può essere ottenuta formalmente nel seguente modo: dy posto y = ϕ(x), derivando si ha dx = ϕ0 (x) da cui si ottiene dy = ϕ 0 (x)dx ; effettuando le sostituzioni in uno dei due integrali, si ottiene l altro 24 2006 Politecnico di Torino 2
Si voglia calcolare xe x2 dx Esempio Poniamo Allora xe x2 dx y = ϕ(x) =x 2, da cui ϕ 0 (x) =2x = = e = x2 2xdx e y dy 2 ey + c 2 2 x, Ritornando alla variabile si ottiene xe x2 dx = 2 ex2 + c 25 Si voglia calcolare tan xdx Esempio 2 Ricordiamo che tan x = sin x cos x (cos x) 0 = sin x e che 26 2006 Politecnico di Torino 3
Esempio 2 Ponendo tan xdx= y = ϕ(x) =cosx, si ha cos x (cos x)0 dx = y dy = log y + c = log cos x + c 27 Esempio 3 Si voglia calcolare S = p x2 dx Poniamo da cui si ha y =arcsinx dx =cosydy ovvero e x =siny, x2 =cosy 28 2006 Politecnico di Torino 4
Esempio 3 Si ottiene S = cos 2 ydy = 2 (cos 2y +)dy = 4 sin 2y + 2 y + c = 2 sin y cos y + 2 y + c = 2 xp x 2 + 2 arcsin x + c 29 Si consideri e x dx +e x Esempio 4 Poniamo y =e x da cui dy =e x dx cioè dx = y dy 30 2006 Politecnico di Torino 5
Esempio 4 Dunque e x dx +e x = = y + y y dy dy =arctany + c +y2 =arctane x + c 3 Osservazione L esempio 2 è un caso particolare della seguente formula, che si ottiene dalla f(ϕ(x))ϕ 0 (x) dx = f(y) dy con la scelta f(y) = y ϕ 0 (x) ϕ(x) dx =log ϕ(x) + c 32 2006 Politecnico di Torino 6
Integrazione di funzioni razionali Consideriamo la generica funzione razionale P (x) f(x) = P (x) Q(x) Q(x) n m (m ) con e polinomi di grado rispettivamente ed 34 2006 Politecnico di Torino 7
Integrazione di funzioni razionali Facciamo vedere che essa ammette primitive esprimibili in termini di funzioni razionali, logaritmi e arcotangenti 35 Integrazione di funzioni razionali Notiamo innanzitutto che se si ha con polinomio di grado e polinomio di grado n m, P (x) =Q(x)D(x)+R(x) D(x) n m R(x) m 36 2006 Politecnico di Torino 8
Integrazione di funzioni razionali P (x) =Q(x)D(x)+R(x) Possiamo scrivere P (x) Q(x) dx = D(x) dx + R(x) Q(x) dx 37 Integrazione di funzioni razionali Possiamo scrivere P (x) Q(x) dx = D(x) dx + R(x) Q(x) dx Il problema è ridotto al calcolo dell integrale di una funzione razionale g(x) = R(x) Q(x) in cui il grado del polinomio a numeratore è minore del grado del polinomio a denominatore 38 2006 Politecnico di Torino 9
g(x) = x α, α R; dx =log x α + c x α Sia con otteniamo Esempio Ad esempio, si ha 2x 4 dx = 2 log x 2 + c 39 Esempio 2 Sia con otteniamo g(x) = (x α) r, r>; (x α) r dx = r (x α) r + c Ad esempio, si ha (3x +5) 2 dx = 3(3x +5) + c 40 2006 Politecnico di Torino 20
Sia g(x) = Esempio 3 con x 2 +2px + q, p2 q<0 notiamo che il polinomio a denominatore non ha radici reali ed è sempre > 0 4 Esempio 3 Con semplici passaggi algebrici, ponendo s = p q p 2 > 0 42 2006 Politecnico di Torino 2
Esempio 3 abbiamo x 2 +2px + q = x 2 +2px + p 2 +(q p 2 ) =(x + p) 2 + s 2 µ # 2 x + p = s "+ 2 s 43 Esempio 3 Eseguendo la sostituzione otteniamo dy = s dx x 2 +2px + q dx = s 2 e y = ϕ(x) = x + p, s +y 2 sdy 44 2006 Politecnico di Torino 22
Eseguendo la sostituzione otteniamo dy = s dx x 2 +2px + q dx = s 2 e Esempio 3 y = ϕ(x) = x + p, s +y 2 sdy e dunque, concludiamo che x 2 +2px + q dx = s arctan x + p s + c 45 Sia g(x) = Esempio 4 ax + b ancora con x 2 +2px + q, p2 q<0 Grazie all identità ax + b = ax + ap + b ap abbiamo ax + b x 2 +2px + q dx = = a 2x +2p 2 x 2 dx +(b ap) +2px + q = a (2x +2p)+(b ap) 2 x 2 +2px + q dx 46 2006 Politecnico di Torino 23
Esempio 4 Pertanto, otteniamo ax + b x 2 +2px + q dx = = a 2 log(x2 +2px + q)+ b ap s arctan x + p s + c 47 Esempio 4 Ad esempio, si ha 4x 5 x 2 2x +0 dx =2 = 2x 2 x 2 2x +0 dx (x ) 2 +9 dx =2log(x 2 2x +0) 3 arctan x 3 + c 48 2006 Politecnico di Torino 24
Esempio 5 Sia ed g(x) = r> ax + b con (x 2 +2px + q) r, p2 q<0 49 Esempio 5 Usando la regola di integrazione per parti nel calcolo dell integrale dx (x 2 +2px + q) r e la regola di integrazione per sostituzione con ϕ(x) =x 2 +2px + q, si giunge ad esprimere l integrale di g come somma di funzioni note e dell integrale di una funzione analoga alla g, in cui è sostituito da r r 50 2006 Politecnico di Torino 25
Esempio 5 In questo modo, partendo dal caso trattato nell Esempio 4 si calcola l integrale di r =2, r =3, caso poi e così via r = già f nel 5 Osservazione Ritorniamo al problema dell integrazione della generica funzionale razionale Per ricondurci ai casi particolari sopra considerati, è necessario decomporre il denominatore nel prodotto di fattori elementari del tipo (x α) r oppure (x 2 +2px + q) s con p 2 q<0 g(x) = R(x) Q(x) 52 2006 Politecnico di Torino 26
Osservazione L esistenza di una tale decomposizione è garantita dal seguente teorema, che è una forma del cosiddetto Teorema fondamentale dell Algebra 53 Teorema Ogni polinomio di grado a coefficienti reali si scrive in modo unico come Q(x) =d(x α ) r (x α h) r h (x 2 +2p x + q ) s (x 2 +2p k x + q k ) s k, con d, α i, numeri reali, e con r i, s j interi tali che p j, q j Q(x) m r + + r h +2s + +2s k = m 54 2006 Politecnico di Torino 27
Teorema α i, I numeri distinti tra loro, sono le radici reali del polinomio, ciascuna con molteplicità r i Ogni fattore ed irriducibile in x 2 +2p j x + q j è distinto dagli altri R, cioè tale che p 2 j q j < 0; ad esso corrispondono due radici complesse (coniugate) β j,±, che hanno molteplicità s j 55 Osservazione È possibile dimostrare che la decomposizione del polinomio Q(x) permette di scrivere il quoziente nella forma g(x) R(x) Q(x) = F (x)+ + F h (x)+ d F (x)+ + F k (x) in cui ogni F i (x) è del tipo F i (x) = A i x α i + A i2 (x α i ) 2 + + A iri (x α i ) r i per opportune costanti A i` 56 2006 Politecnico di Torino 28
Osservazione Mentre ogni F j (x) è del tipo F j (x) = B jx + C j x 2 +2p j x + q j + B j2 x + C j2 (x 2 +2p j x + q j ) 2 + + B j r j x + C j rj (x 2 +2p j x + q j ) s j per opportune costanti B jµ, C jµ 57 Osservazione Notiamo che il numero di tali costanti è r + r h +2s + +2s k = m 58 2006 Politecnico di Torino 29
Osservazione Per determinare il valore delle costanti, scriviamo l espressione a secondo membro della R(x) Q(x) = F (x)+ + F h (x)+ d F (x)+ + F k (x) in forma di unica frazione, il cui denominatore comune è ovviamente Q(x) 59 Osservazione Il numeratore m, R(x) è un polinomio di grado che deve coincidere con R(x); i suoi coefficienti sono combinazioni delle costanti incognite 60 2006 Politecnico di Torino 30
Teorema Due polinomi di grado m coincidono Se e solo se hanno ordinatamente uguali i coefficienti di ciascuna potenza della variabile indipendente oppure Se e solo se assumono valori uguali in distinti m punti 6 Osservazione Per determinare le possiamo quindi m incognite A i`,b jµ,c jµ Uguagliare i coefficienti di ciascuna potenza di nei polinomi oppure R(x) e Scegliere in modo oculato valori di in cui far coincidere i due polinomi R(x) m x x 62 2006 Politecnico di Torino 3
Osservazione Nel secondo caso, conviene sempre considerare gli zeri reali di Q(x) e/o il punto x =0 63 Osservazione Una volta determinati i valori di tali costanti, possiamo integrare termine a termine l espressione che compare a secondo membro e siamo ricondotti agli Esempi -5 64 2006 Politecnico di Torino 32
Esempio Vogliamo integrare la funzione f(x) = 2x3 + x 2 4x +7 x 2 + x 2 Eseguiamo la divisione, ottenendo f(x) =2x + x +5 x 2 + x 2 Il polinomio a denominazione si fattorizza come Q(x) =(x )(x +2) 65 Esempio Dunque cerchiamo costanti tali che A 2 = A 2 x +5 A = A e vale a dire x 2 + x 2 = A x + A 2 x +2 x +5=A (x +2)+A 2 (x ) 66 2006 Politecnico di Torino 33
METODO x +5=A (x +2)+A 2 (x ) è equivalente a da cui, uguagliando i coefficienti di il sistema x +5=(A + A 2 )x +(2A A 2 ) A + A 2 = 2A A 2 =5 x, Esempio otteniamo che ammette come soluzione A =2 e A 2 = METODO 2 x +5=A (x +2)+A 2 (x ) Calcoliamo tale espressione nei due zeri x = e x = 2 di Q(x) otteniamo le relazioni 6=3A e 3= 3A 2 Esempio dalle quali si ricava A =2 e A 2 = 68 2006 Politecnico di Torino 34
Esempio In conclusione, abbiamo f(x) = 2x3 + x 2 4x +7 x 2 + x 2 =2x + 2 x x +2 =2x + x +5 x 2 + x 2 e dunque f(x) dx = (2x ) dx +2 x dx x +2 dx = x 2 x +2 log x log x +2 + c 69 Esempio 2 Vogliamo integrare la funzione f(x) = x2 3x +3 x 3 2x 2 + x Il denominatore si fattorizza come Q(x) =x(x ) 2 70 2006 Politecnico di Torino 35
Esempio 2 Dunque cerchiamo costanti e A 22 tali che vale a dire A = A, A 2 x 2 3x +3 x 3 2x 2 + x = A x + A 2 x + A 22 (x ) 2 x 2 3x +3=A (x ) 2 + A 2 x(x ) + A 22 x 7 Esempio 2 x 2 3x +3=A (x ) 2 + A 2 x(x ) + A 22 x per per x =0si ricava A =3 x =si ricava A 22 = per determinare A 2 x 6= 0, : per x = si ha 7=2+2A 2 si può scegliere un valore di da cui A 2 = 2 72 2006 Politecnico di Torino 36
Esempio 2 In conclusione abbiamo f(x) dx =3 x dx 2 x dx + (x ) 2 dx =3log x 2log x x + c 73 Esempio 3 Vogliamo integrare la funzione f(x) = 3x 2 + x 4 x 3 +5x 2 +9x +5 Il denominatore si annulla in fattorizza come x = Q(x) =(x +)(x 2 +4x +5) e si 74 2006 Politecnico di Torino 37
Esempio 3 Dunque cerchiamo costanti e C = C tali che A = A, B = B 3x 2 + x 4 x 3 +5x 2 +9x +5 = vale a dire A x + + Bx + C x 2 +4x +5 3x 2 + x 4=A(x 2 +4x +5)+(Bx + C)(x +) 75 Esempio 3 3x 2 + x 4=A(x 2 +4x +5)+(Bx + C)(x +) per per per x = si ricava A = x =0si ricava C = x =si ricava B =4 76 2006 Politecnico di Torino 38
Esempio 3 In conclusione, abbiamo f(x) dx = x + dx + 4x + x 2 +4x +5 dx 2x +4 = dx +2 x + x 2 +4x +5 dx 7 +(x +2) dx 2 = log x + +2 log(x 2 +4x +5) 7arctan(x +2)+c Osservazione Osserviamo che molte funzioni sono razionali nella variabile che non possono essere integrate mediante una opportuna sostituzione t = ϕ(x) che conduce all integrale di una funzione razionale nella nuova variabile x f(x), t 78 2006 Politecnico di Torino 39
Caso f è una funzione razionale di un certo intero e reale p In tal caso si pone a p x a per t = p x a da cui x = a + t p e dx = pt p dt 79 Esempio Consideriamo l integrale S = x + x dx 80 2006 Politecnico di Torino 40
Esempio Poniamo t = x, x =+t 2 e Sostituendo, otteniamo da cui dx =2tdt ( + t 2 )t S =2 +t dt 8 Caso 2 f è funzione razionale di e ax per un certo a 6= 0 In tal caso si pone t =e ax da cui e x = a log t dx = at dt 82 2006 Politecnico di Torino 4
Esempio 2 Consideriamo l integrale S = e x e 2x 2e x +2 dx 83 Esempio 2 Poniamo t =e x da cui dx = t dt Sostituendo, otteniamo S = t 2 (t 2 2t +2) dt 84 2006 Politecnico di Torino 42
Caso 3 f è funzione razionale di sin x e/o di cos x In tal caso si pone t =tan x 2 e si ricorre alle identità trigonometriche sin x = 2t +t 2 cos x = e t2 +t 2 85 Esempio 3 Inoltre si ha x =2arctant, dx = 2 da cui +t 2 dt 86 2006 Politecnico di Torino 43
Esempio 3 Consideriamo l integrale S = sin x +sinx dx Otteniamo S =4 t ( + t) 2 ( + t 2 ) dt 87 Caso 4 f sin 2 x, cos 2 x, tan x; t =tanx è funzione razionale degli argomenti sin 2 x = è più conveniente porre e usare le identità trigonometriche t2 +t 2 cos 2 x = e +t 2 inoltre x =arctant, da cui dx = +t 2 dt 88 2006 Politecnico di Torino 44
Esempio 4 Consideriamo l integrale S = +sin 2 x dx Abbiamo S = +2t 2 dt 89 2006 Politecnico di Torino 45