MD6 Matematica finanziaria Capitalizzazione semplice e imposta preventiva Interesse composto
Capitalizzazione semplice, imposta preventiva Capitalizzazione semplice Un regime di capitalizzazione è semplice se l interesse è direttamente proporzionale al capitale e al tempo d impiego di esso. I = C i n M = C + I M = C (1 + i n) I = Interesse C = Capitale i = tasso d interesse % M = Montante n = periodi di capitalizzazione Per convenzione, l anno commerciale è considerato di 360 giorni e ogni mese di 30 giorni. Imposta preventiva L'imposta preventiva è un'imposta riscossa alla fonte dalla Confederazione sui redditi dei capitali mobili (in particolare su interessi e dividendi), sulle vincite alle lotterie di provenienza svizzera *) e su determinate prestazioni d'assicurazione. Il denaro ricavato mediante tale imposta viene versato nelle casse dell amministrazione federale per le contribuzioni. Esso può essere recuperato soltanto quando viene dichiarato all ufficio di tassazione. Per i redditi di capitali l aliquota d imposta è del 35%. Distingueremo perciò tra: Interesse lordo: I L = C i n Interesse netto: I N = I L 35 100 I L = 65 100 I L Imposta preventiva: IP = 35 100 I L Montante lordo: M L = C + I L Montante netto: M N = C + I N 1
1. Determina l interesse semplice lordo prodotto da un capitale di 1'000 CHF impiegato per 8 mesi, al tasso mensile del %. A quanto ammonta il montante? I L = C i n = 1000 8 = 160 CHF 100 M = C + I = 1000 + 160 = 1160 CHF. Determina l interesse semplice lordo prodotto da un capitale di 1'000 CHF impiegato per 8 mesi, al tasso annuo dello 0,75%. I L = C i n = 1000 0,75 100 5 = 3,15 CHF 1 3. Determina il montante lordo di '000 CHF impiegati in capitalizzazione semplice per un periodo di 10 mesi, al tasso d interesse semestrale semplice del 1,%. I L = C i n = 000 1, 100 10 = 40 CHF 6 M L = C + I L = 000 + 40 = 040 CHF 4. Calcola gli interessi lordi fruttati da un capitale di 5'000 CHF, impiegati al tasso trimestrale semplice del 1,5 % per 8 mesi e 13 giorni. I L = C i n = 5000 1,5 100 53 = 11,45 CHF 90 5. Determina il capitale che, in 6 mesi e 10 giorni, frutta 975 CHF di interessi lordi al tasso annuo semplice del 3,5%. I L = C i n 975 = C 3,35 100 190 360 975 100 3,35 360 190 = C C = 56 84, 10 CHF
6. Determina il capitale che, in 6 mesi e 10 giorni, genera un montante lordo di 975 CHF al tasso annuo semplice del 3,5%. M L = C + C i n 975 = C + C 3,5 100 190 360 975 = C + C 3,5 100 19 36 975 = C + C 61,75 3600 3510000 = 3600C + 61,75C 3510000 = 3661,75C 3510000 3661,75 = C C = 958, 55 CHF 7. Gli interessi lordi fruttati da un capitale di 585'000 CHF in 5 anni, 4 mesi e 3 giorni sono 7'500 CHF. Calcola il tasso d interesse annuo semplice. I L = C i n 7500 = 585000 i 193 360 7500 360 585000 193 = i i = 0, 004 0, 4% 8. Il 15 gennaio una ditta versa 75'000 CHF ad un tasso d interesse semplice del 1,37% annuo. Quando potrà ritirare 439,55 CHF di interessi lordi. I L = C i n 439,55 = 75000 1,37 100 n 439,55 100 75000 1,37 = n n = 0, 47786 anni = 5mesi e 4 giorni 19 giugno 9. Determina l interesse semplice netto e l imposta preventiva prodotti da un capitale di 00'000 CHF, impiegato per 9 mesi al tasso trimestrale dello 0,5%. I L = 00000 0,5 100 9 = 1500 CHF 3 I N = 1500 65 = 975 CHF 100 IP = 1500 35 = 55 CHF 100 3
10. Un capitale di 50'000 CHF viene impiegato nel seguente modo: 30'000 CHF al tasso del 1% annuo per 10 mesi e 15 giorni, 15'000 CHF al tasso d interesse trimestrale del 0,% per 11 mesi e 18 giorni, infine il rimanente viene impiegato al 0,05% mensile per 9 mesi. Calcola gli interessi lordi complessivi fruttati dai tre investimenti. 1 I L = 30000 100 315 0, + 15000 360 100 348 0,05 + 5000 9 = 401 CHF 90 100 11. Ho depositato presso una banca, durante tutto il 013, '400 CHF ad interesse semplice. Il tasso annuo fissato inizialmente, è stato ridotto dello 0.5% dopo 5 mesi e di un ulteriore 1% dopo altri mesi. Sapendo che il montante lordo alla fine dell anno è stato di '480 CHF, trova i tassi praticati dalla banca. Gli interessi sono pagati a fine anno (chiusura annuale). 480 400 = 400 x = 4,04% 3,54%,54% x 100 5 x 0,5 + 400 1 100 x 1,5 + 400 1 100 5 1 1. Undici mesi or sono ho depositato su un libretto di risparmio 10'000 CHF al tasso d interesse semplice del 4.5%. Cinque mesi dopo, la banca ha ridotto il tasso al 4%. Successivamente ho effettuato un deposito di 8'000 CHF sul medesimo libretto. Oggi, a fine anno, dopo la deduzione dell I.P. del 35%, sul libretto ho a disposizione la somma di 18'300 CHF. Calcola la data di quando ho effettuato il secondo versamento. 31.01 31.1 +10'000 i = 4% x MN = 18'300 i = 4,5% +8'000 I L = (18300 18000) 100 65 = 461,55 461,55 = 10000 4,5 100 5 1 + 10000 4 100 6 1 + 8000 4 100 x 1 x =,776 mesi 31 dicembre,776 mesi 7 ottobre 4
13. Il signor Bianchi ha versato 10 mesi fa 30'000 CHF su un conto al % annuo semplice; dopo 3 mesi la banca cambia tasso; dopo altri 4 mesi egli versa ancora sullo stesso conto 0'000 CHF. Oggi si trova sul conto (tra capitale e interessi netti) la somma di 50'463.10. Di quanto la banca ha aumentato il tasso? -10m 0 +30'000 i = x +0'000 MN = 50'463,10 i = % I L = (50463,10 50000) 100 65 = 71,45 71,45 = 30000 100 3 1 + 30000 x 100 7 1 + 0000 x 100 3 1 x =,5% La banca ha aumentato il tasso d interesse dello 0,5%. 14. Dopo aver vinto una cospicua somma, ho deciso di investirne la metà durante tutto il 007 al tasso annuo semplice del 9%, un terzo della somma al 7% semplice annuo durante il secondo semestre del 007, mentre il resto del capitale è stato investito per gli ultimi 4 mesi dello stesso anno al tasso d interesse semplice semestrale del 4%. Sapendo che a fine anno 007 ho potuto ritirare un montante di 5'000 CHF, a quanto ammontava la somma vinta? Trascura l imposta preventiva per tutto l esercizio. x 9 100 1 + x 3 7 100 6 1 + x 6 4 100 4 6 = 5 000 x x = 3560,0 15. All inizio dell anno Giovanni deposita su un conto 7'650 CHF, dopo 4 mesi versa ancora 6'450 CHF, dopo altri 5 mesi preleva la somma necessaria per effettuare una vacanza. Alla fine dell anno gli interessi netti maturati ammontano a 353,60 CHF. La banca durante l anno ha applicato i seguenti tassi: 1,5% annuo semplice per i primi 6 mesi e % annuo semplice per gli altri 6 mesi. Calcolare la somma prelevata per effettuare il viaggio. 01.01 31.1 +7'650 +6'450 i = % - x IN = 353,60 i = 1,5% 353,60 = 7650 ( 1,5 100 6 1 + 100 6 1,5 ) + 6450 ( 1 100 1 + 100 6 1 ) x 100 3 1 x = 4180 CHF 5
16. Confronta i montanti lordi generati da un capitale di 3'000 CHF nelle seguenti situazioni: A. Deposito il capitale all inizio dell anno al tasso d interesse semplice annuo del % e ritiro alla fine dell anno. B. Deposito il capitale all inizio dell anno al tasso d interesse semplice annuo del %. Gli interessi vengono calcolati alla fine di ogni trimestre (chiusura trimestrale) e vengono aggiunti al capitale. Situazione A 01.01 31.1 +3'000 i = % I L = 3000 1 = 60 CHF 100 M L = C + I L = 3060 CHF Situazione B 01.01 31.1 +3'000 i = % Montante dopo 3 mesi: M 1 = 3000 + 3000 100 3 1 = 3015 Montante dopo 6 mesi: M = 3015 + 3015 100 3 1 = 3030,075 Montante dopo 9 mesi: M 3 = M + M 100 3 1 = 3045,5 Montante dopo 1 anno: M 4 = M 3 + M 3 100 3 = 3060, 45 CHF 1 A quale tasso annuo dovrebbe esser depositato il capitale di 3000 CHF nella situazione A per ottenere lo stesso montante della situazione B. 60,45 = 3000 i 1 i =,015% 6
Capitalizzazione composta I = C (1 + i) n I = M C I = Interesse C = Capitale i = tasso d interesse % (relativo al periodo) M = Montante n = periodi di capitalizzazione Tassi equivalenti Annuale Tasso Simbolo i 1 = i Semestrale i Quadrimestrale i 3 Trimestrale i 4 Bimestrale i 6 Mensile i 1 i = (1 + i k ) k 1 k i k = 1 + i 1 = (1 + i) 1 k 1 Tasso annuo nominale convertibile Il tasso annuo nominale convertibile k volte (j k ) è un tasso espresso formalmente in riferimento all anno. La capitalizzazione degli interessi avviene k volte in un anno. j k k = i k 7
1. Vengono impiegati 8'00 CHF al tasso annuo composto del 1,3% per 5 anni. Determina il montante. M = 800 1,013 5 = 8747,05. Vengono impiegati 0'400 CHF al tasso annuo composto dello 0,5% per 3 anni e due mesi. Determina il montante. M = 0400 1,005 38 1 = 0561,95 3. Vengono impiegati 5'300 CHF al tasso semestrale composto del 1% per 16 anni e 5 mesi. Determina il montante. M = 5300 1,01 197 6 = 7347,85 4. Quale capitale devo impiegare oggi al % annuo per avere tra 7 anni 1'300 CHF? 1300 = C 1,0 7 C = 10707,90 5. Quale capitale devo impiegare oggi al 5% annuo per avere tra 10 anni degli interessi di 3'000 CHF? C + 3000 = C 1,05 10 C = 4770,30 6. A quale tasso trimestrale composto devono essere investiti oggi 1'00 CHF per ottenere 1'500 CHF tra 14 anni e mesi? 1500 = 100 (1 + i) 170 3 i = ( 5 3 4 ) 170 1 = 0,39% 7. Tra quanto tempo 1'000 CHF investiti al tasso annuo composto del,5% genereranno un montante di 1'00 CHF? 100 = 1000 1,05 n 1, = 1,05 n log(1,) = n log(1,05) n = log(1,) = 7,383647 anni 7 anni, 4 mesi e 19 giorni log(1,05) 8. Un capitale di '000 CHF è impiegato ad interesse composto per 19 anni. Il tasso, inizialmente del 4%, è aumentato al 4,5% dopo 6 anni e al 4,75% dopo altri 4 anni. Trova il montante. M = 000 1,04 6 1,045 4 1,0475 9 = 4538,60 9. Verso 1'500 CHF su di un conto remunerato al tasso annuo composto del %. Dopo sei mesi vengono versati 3'000 CHF. Quanto potrò ritirare 3 anni dopo il primo versamento? M = 1500 1,0 3 + 3000 1,0 30 6 = 4904,05 8
10. Un capitale di 10'000 CHF viene suddiviso in due parti e investito nel seguente modo: - La prima parte al 3% composto semestrale - La seconda parte al 1,6% composto trimestrale Dopo 4 anni ritiro un montante complessivo di 1'801,90 CHF. Determina in che modo è stato suddiviso il capitale iniziale. x 1,03 48 6 + (10000 x) 1,016 48 3 = 1801,90 x = 4000,30 11. Quattro anni fa ho versato su un conto 3'000 CHF, due anni fa ho versato sullo stesso conto altri '000 CHF guadagnati durante un lavoro estivo. L anno scorso per acquistare uno smartphone ho utilizzato parte dei soldi del conto. Oggi mi restano 5'000 CHF. Quanto è costato lo smartphone se il conto è remunerato al % composto annuo. 3000 1,0 4 + 000 1,0 x 1,0 1 = 5000 x = 31,65 1. Dato il tasso effettivo annuo del 5%, trova: a) Il tasso equivalente semestrale; i = 1,05 1 1 =,47% b) Il tasso equivalente trimestrale. i 4 = 1,05 1 4 1 = 1,3% 13. Dato il tasso semestrale del 1,5%, determina il tasso equivalente annuo. i = 1,015 1 = 3,0% 14. Dato il tasso trimestrale del 3%, determina il tasso equivalente quadrimestrale. i = 1,03 4 1 = 1,55% i 3 = 1,155 1 3 1 = 4,0% 15. Determinare il montante di 400'000 CHF impiegati per 1 anni al tasso nominale annuo del 5% convertibile semestralmente. j = 5% i =,5% n = 4 M = 400000 1,05 4 = 73490,40 Determinare il tasso effettivo annuo e verificare lo stesso montante appena calcolato. i =,5% i = 1,05 1 = 0,05065 M = 400000 1,05065 1 = 73490,40 9
16. Un signore decide di costituire la somma necessaria per effettuare fra 6 anni un viaggio in America con la sua famiglia. Deposita subito 5'000.- CHF, fra anni e 6 mesi aggiungerà 4'000.- CHF e a 1 anno e 3 mesi dalla fine depositerà anche la somma di '500.- CHF che riceverà dalla sua assicurazione vita. Calcolare il montante fra 6 anni sapendo che il tasso applicato i primi 3 anni sarà dello 0,9 % bimestrale composto e dell 1,% semestrale composto per gli ultimi 3. [13'300, 45 CHF] 17. Un capitale è stato depositato per anni, 3 mesi e 10 giorni al ¾% annuo, per 3 anni e 4 mesi all 1 ½% quadrimestrale composto e per 5 anni, 5 mesi e 5 giorni al ¾% mensile composto. Calcolare il capitale depositato, se il montante accumulato è di 0'089,40 CHF [10'000 CHF] 18. Un capitale di 5'000.- CHF viene impiegato per 4 anni all 1% semestrale composto, per altri 5 anni al ¾% trimestrale composto e per gli ultimi 6 anni ad un nuovo tasso annuo composto. Calcolare il tasso applicato gli ultimi 6 anni, sapendo che il montante sarà di 34'803,0 CHF. [1,71%] 19. Un capitale di 5'000.- CHF viene impiegato per 4 anni all 1% semestrale composto, per altri 5 anni al ¾% trimestrale composto e per un certo numero di anni al % annuo composto. Calcolare per quanto tempo resta depositato il capitale al % annuo composto, sapendo che il montante sarà di 35'400,80 CHF. [6 anni] 0. Un capitale di 5'000.- CHF è impiegato per 8 anni ad interesse composto. Il tasso inizialmente è del 4% annuo, dopo anni viene ridotto al % annuo. Calcola quale importo andrebbe aggiunto all inizio al capitale di 5'000.- CHF per avere alla fine dell 8 anno lo stesso montante che si avrebbe avuto se il tasso non fosse stato ridotto? [3'76,65 CHF] 1. 15 anni fa ho depositato 15'000.- CHF, dopo 4 anni e 6 mesi ho aggiunto 5'500.- CHF, dopo altri 3 anni ho aggiunto '750.- CHF e a 5 anni dalla fine ho prelevato una somma per fare un viaggio. Sapendo che per i primi 8 anni il tasso è stato del % annuo composto, poi del ½% trimestrale composto fino alla fine, calcolare la somma prelevata per fare il viaggio sapendo che il montante accumulato dopo 15 anni è stato di '446,40 CHF [7'000 CHF] 10
Esercizi aggiuntivi sui tassi equivalenti 1. Dato il tasso effettivo annuo del 5%, calcola il tasso trimestrale equivalente.. Dato il tasso mensile dello 0,5%, calcola il tasso annuo effettivo equivalente. 3. Ricerca il tasso semestrale equivalente al tasso quadrimestrale del,5%. 4. Determina il tasso trimestrale equivalente al tasso semestrale del 4%. Calcolare il montante di un capitale di 850'000.- CHF impiegato per 10 anni e 6 mesi a capitalizzazione semestrale al tasso del 6% annuo composto. Se si volesse applicare una capitalizzazione mensile, quale tasso dovrebbe essere applicato? (Verificare il montante). 5. Si conosce il tasso effettivo annuo del 4,5%. Determina: a) Il tasso semestrale equivalente; b) Il tasso trimestrale equivalente. c) Il tasso nominale annuo convertibile trimestralmente. 6. Si conosce il tasso trimestrale del %. Determina: a) Il tasso quadrimestrale equivalente; b) Il tasso semestrale equivalente. c) Il tasso nominale annuo convertibile trimestralmente. 7. Calcolare il montante di 85'550.- CHF depositati su un libretto di risparmio al tasso nominale annuo del,5% convertibile semestralmente per una durata di 6 anni, 6 mesi. 8. Quale dei seguenti tassi è più conveniente? a) i = 9%, i = 4,5%, j4 = 8,8% b) tasso semestrale = 4%; tasso trimestrale = %; tasso nominale annuo convertibile mensilmente = 7,8% 11