FiltrodiKalma Maria S. Greco Corso di Fodameti di Radar Ig. delle Telecomuicazioi Novembre 014
Modello del segale s( ) = a( ) s( 1) + w( ) Il filtro di Kalma fuzioa ache co processi o stazioari, cioè se il coefficiete a() varia co il tempo. Per semplicità suppoiamo che il segale osservato sia stazioario, quidi a()=a s( ) = as( 1) + w( ) E{ s( )} = 0 σ a σ s = 1 w w() rumore biaco di geerazioe. Se è Gaussiao, ache s() risulta essere Gaussiao.
Modello dell osservato x( ) = cs( ) + v( ) c è ua costate che dipede dal sistema di osservazioe, v() rumore biaco di osservazioe a valor medio ullo e variaza σ v Per implemetare il filtro di Wieer si richiede che x() e s() siao cogiutamete stazioari. Tale ipotesi o è ecessaria per il filtro di Kalma. Se sia v() che w() soo Gaussiai, il filtro di Kalma lieare che otteiamo è il filtro ottimo (tra tutti), el seso che miimizza l errore quadratico medio {( ˆ( ) ( )) } ε = E s s altrimeti è solo il filtro ottimo tra i lieari.
Filtro di Kalma scalare Dimostriamo che la stima lieare ottima i media quadratica è data da: ( ) sˆ = α( ) sˆ ( 1) + k( ) x( ) Ciò equivale a calcolare le espressioi dei coefficieti a() e k() per cui l errore ( ) ˆ ε = s( ) s( ) è ortogoale ai dati x( j), j (Pricipio di ortogoalità)
Filtro di Kalma scalare Applichiamo la codizioe di ortogoalitàtra x() e, cioè: E { ε ( ) x( ) } = 0 Sostituiamo al posto di x() la sua espressioe, per cui { ( ) ( )} ( ) ( ) cp( ) E{ ε ( ) v( ) } 0 Dove abbiamo posto P( ) = E ε, sostituito s( ) = sˆ ( ) + ε ( ) e osservato che, poiché dipede liearmete dai dati, E ε sˆ = 0 ε ( ) { ( ) } { ( ) ˆ( ) ( ) ( ) } E ε x = E ε cs + v = E ε cs + cε + v = + = { ( )} ŝ( ) ( ) ( ) Dall espressioe precedete otteiamo per ora che E P( ) = { ε ( ) v( ) } c { }
Riscriviamo ε ( ) ( ) α ˆ ε = as( 1) + w( ) ( ) s( 1) k( ) x( ) e sostituiamolo el calcolo del valor medio { ε ( ) v( ) } ( ) { ε ( ) v( ) } I primi due termii soo idipedeti da v() quidi il loro cotributo è ullo. Ache ( ) sˆ 1 { ( ) v } { + ( ) ( ) } σ E E cs v v v P( ) = = k( ) = k( ) c c c E E sˆ 1 ( ) = 0 poiché dipede solo dagli osservati (e quidi dal rumore) fio al passo -1. Quidi da cui ricaviamo che cp( ) k( ) = σ v
Cosideriamo ora le altre codizioi di ortogoalità tra x(j) e ε ( ) { } { ε ( ) ( )} 0 ( ) ˆ( ) ( ) E x j = = E s s x j co j < Co calcoli simili ai precedeti, possiamo scrivere { α α ε ( ) } E s( ) ( ) s( 1) + ( ) ( 1) k( ) x x( j) = 0 ( ) R ( j) α( ) R ( 1 j) = k( ) R j co j < xs xs x { } { } [ ] R ( j) = E s( ) x( j) = E s( ) cs( j) + v( j) = cr ( j) xs {[ ][ ]} R ( j) = E cs( ) + v( ) cs( j) + v( j) = c R ( j) x s s ( ) R ( j) = α( ) R ( 1 j) + ck( ) R j s s s
Dal modello AR(1) si sa che R ( j) = ar ( 1 j) s Sostituiamo ell equazioe precedete, si ottiee s [ ] α ( ) = a 1 c k( ) Sostituiamo questo risultato i ˆ( ) s = α( ) sˆ ( 1) + k( ) x( ) ( ) = ( 1) + ( ) ( ) ( 1) sˆ asˆ k x csˆ ( 1 ) = asˆ ( 1) csˆ ( 1) = xˆ ( 1) sˆ dove (predizioe ad u passo) metre (predizioe dell osservato)
Toriamo idietro al calcolo di { ε ( )} P( ) = E { ( ) ˆ } ( ) ˆ [ ˆ ] Utilizzado il modello del segale e dell osservato { } P( ) = E s s( ) = E s as( 1) k( ) x( ) c a s( 1) { ( ) ˆ [ ˆ ] } P( ) = E as 1 + w( ) as( 1) k( ) c a s( 1) + v( ) + cw( ) c a s( 1) { ε ( 1 ) ( ) ( )[ ε ( 1) ( ) ( )] } = E a + w k c a + v + cw = a P( 1) + σ + k ( ) c a P( 1) + k ( ) σ + c k ( ) σ w v w a k( ) cp( 1) k( ) cσ w Compattado e sostituedo l espressioe di k(), si ottiee [ ] σ [ ] v σ w P( ) = a 1 k( ) c P( 1) + k ( ) + 1 k( ) c
[ ] P( ) = 1 k( ) c a P( 1) + σ w k( ) c a P( 1) + σ w = σ v + c a P( 1) + σ w Per completare la derivazioe dobbiamo calcolare l espressioe dell errore quadratico di predizioe ad u passo { } ˆ [ ˆ ] {[ ˆ ] } { } P( 1) = E s( ) s( 1) = E s( ) as( 1) = E as( 1) + w( ) as( 1) = a P( 1) + σ w Da cui le uove espressioi di k() e P() k( ) = σ cp( 1) + c P( 1) v [ ] P( ) = 1 k( ) c P( 1)
Riassumiamo: Stimatore: ( ) = ( 1) + ( ) ( ) ( 1) sˆ asˆ k x casˆ Guadago fitro: k( ) = σ cp( 1) + c P( 1) v Errore quadratico medio: [ ] P( ) = 1 k( ) c P( 1) co P( 1) = a P( 1) + σ w
x() Termie di correzioe k() Stima correte ŝ ( ) sˆ ( 1) c a z -1 Predizioe dato xˆ ( 1) Predizioe segale ( ) sˆ 1
Il filtraggio si ottiee i modo ricorsivo. Si suppogoo oti sˆ( 1) e P( 1) Step 1: ( ) sˆ 1 = asˆ ( 1) Predizioe ad u passo Step : ( ) xˆ 1 = csˆ ( 1) Step3: ( ) = x( ) xˆ ( 1) Predizioe del dato Scarto al passo Step 4: Step 5: P( 1) = a P( 1) + σ w ( ) ( ) sˆ = sˆ 1 + k( ) ( ) k( ) = σ cp( 1) + c P( 1) v Nuova stima Step6: P [ ] ( ) = 1 k( ) c P( 1) Errore quadratico medio
Iizializzazioe del filtro Step 1: Step : Step 4: Step 5: sˆ xˆ { } sˆ( 1) = E s( 1) = 0 { ( ) ˆ( ) } ( ) 0 1 = asˆ ( 1) = 0 ( ) 0 1 = csˆ (0 1) = 0 Step3: ˆ( ) (0) = x(0) x 0 1 = x(0) P(0 1) = a P( 1) + σ k( ) = w = a σ s + σ w σ ( ) sˆ 0 = k(0) x(0) P(0) = 1 k(0) c P(0 1) Step6: [ ] Stima ottima i asseza di osservazioi P( 1) = E s 1 s 1 = σ s cp(0 1) + c P(0 1) v
Osservazioi: Se, come supposto ella derivazioe, x() e s() soo cogiutamete stazioari, il filtro di Kalma a regime si riduce a quello di Wieer, ma è di più semplice implemetazioe perché ricorsivo. Se il filtro è stazioario, i pesi k(), gli errori P( -1) e P() possoo essere precalcolati.
Filtro di Kalma vettoriale Il filtro di Kalma vettoriale è ecessario per estedere i risultati a modelli di segale ARMA e alla stima di segali multidimesioali come el caso radar. Il filtro vettoriale viee usato el radar per il trackig, cioè per stimare la traiettoria ed i parametri ciematicidel target (posizioe, velocità e possibile accelerazioe) a partire da misure di distaza, agolo di azimuth ed, evetualmete, ache elevazioe La posizioe e la velocità stimate vegoo usate per la predizioe della misura successiva e, el caso di phased array radar, per orietare il fascio dell atea.
Modello diamico o equazioe di stato s = F s + G w 1 F è la matrice che defiisce il modello ciematico del target tra l istate t e t +1. G èla matrice che lega gli errori del sistema allo stato del target all istate. w èil rumore di geerazioe. Si suppoe Gaussiao, w N ( 0, Q ) Modello dell osservato z = Hs + v H èla matrice che lega l osservato allo stato del target v èil rumore di osservazioe, v N ( 0, R )
Riscriviamo tutti gli step el caso vettoriale stazioario Step 1: sˆ = 1 Fs ˆ 1 Predizioe ad u passo Step : ˆ zˆ = Hs 1 1 Predizioe del dato Step 3: ˆ = z z 1 Scarto al passo Step 4: P FP F GQG = T + 1 1 T Errore di predizioe T 1 k = P H M 1 M HP H R T = + 1 Step 5: sˆ = sˆ + k 1 Nuova stima P = I k H P Step6: [ ] 1 Errore quadratico medio
Modello a velocità quasi-costate Cosideriamo il caso semplicissimo a sigola coordiata x. Le equazioi del moto soo: T x+ 1 = x + T xɺ + w xɺ + 1 = xɺ + T w quidi: s x = xɺ 1 T F = 0 1 T = T G Q = σ w Il moto è detto a velocità quasi-costate perché il termie di rumore w itroduce ua piccola accelerazioe casuale. Il modello delle misure è z = x + v quidi: [ 1 0] H = R = σ v
A regime, cioèalla fie del trasitorio dovuto all iizializzazioe, se, come supposto, il rumore di geerazioe e di osservazioe soo stazioari, i pesi k del filtro di Kalmadivetao costati, e cioè: k = [ α β T ] T Il filtro prede apputo il ome alfa-beta ed è il più semplice dei filtri di Kalma. Il filtro alfa-beta è caratterizzato a regime dalle equazioi: ˆ xˆ = xˆ 1 1 + T xɺ 1 xˆɺ = xˆɺ Predizioe 1 1 xˆ ˆ ˆ = x + α z 1 x 1 xˆ ˆ β ˆ = x + z 1 x 1 ɺ ɺ T Stima P α β T = P = β ( α β ) β T ( 1 α ) T Errore quadratico medio
Filtro alfa-beta Il filtro alfa-beta fuzioa molto bee a regime. Se ivece viee applicato durate il trasitorio, gli errori possoo essere ache piuttosto elevati. Per calcolare i valori di α e β si usao le segueti relazioi σ T σ w Γ = = v β β = 1 α ( α ) 4 1 α
Modello ad accelerazioe quasi-costate Le equazioi del moto soo: quidi: s T x = x + T xɺ + x + w xɺ + 1 = xɺ + T ( ɺɺ x + w ) ɺɺ x+ 1 = ɺɺ x + w x = xɺ ɺɺ x 1 T T F = 0 1 T 0 0 1 ( ɺɺ ) + 1 T = T 1 G Q = σ w Il moto è detto ad accelerazioe quasi-costate perché il termie di rumore w itroduce ua piccola accelerazioe casuale. Il modello delle misure è z = x + v quidi: [ 1 0 0] H = R = σ v
A regime, cioèalla fie del trasitorio dovuto all iizializzazioe, se, come supposto, il rumore di geerazioe e di osservazioe soo stazioari, i pesi k del filtro di Kalmadivetao costati, e cioè: ( ) k = α β T γ T T Il filtro prede il ome alfa-beta-gamma. Il filtro alfa-beta è caratterizzato a regime dalle equazioi: ˆ T ˆ xˆ = xˆ + T xɺ + ɺɺ x 1 xˆɺ = xˆɺ ˆ 1 1 + Tɺɺ x 1 ɺɺ xˆ = ɺɺ xˆ 1 1 Predizioe 1 1 1 xˆ ˆ ˆ x α z 1 x = + 1 ˆ ˆ β xɺ ˆ = xɺ + z 1 x 1 T xˆ ˆ γ ˆ x z 1 x ɺɺ = ɺɺ + 1 T Stima
La matrice dell errore quadratico medio a regime è dato da: P γ α β T T 8αβ + γ ( β α 4) β ( β γ ) = P = β T 3 8( 1 α ) T 4( 1 α ) T γ β ( β γ ) γ ( β γ ) 3 4 T 4( 1 α ) T 4( 1 α ) T I 3 parametri soo legati tra loro dalle relazioi Γ = γ 4 1 ( α ) ( ) β = α 4 1 α γ = β α
Alcui esempi
Alcui esempi
Alcui esempi
Misure i coordiate o cartesiae e EKF Sfortuatamete ei casi reali i modelli di moto di target soo i coordiate cartesiae, le misure del radar ivece i coordiate polari o sferiche. L equazioe delle misure o è più lieare ei parametri di stato del target ed i geere si ha: z = Hs + v Al posto del filtro di Kalmasi usa il filtro di Kalmaesteso (EKF) che si ottiee liearizzado il modello delle osservazioi così: Il filtro EKF può avere ache grossi errori a secoda della botà dell approx lieare i vari pt della traiettoria del target.
Iizializzazioe delle tracce Suppoiamo che a scasuccessive ci siao rivelazioi vicie, compatibili co la massima velocitàpossibile del target. La traccia viee iizializzata come traccia di tetativo. Se M misurazioi di N sca cosecutive soo associate alla traccia di tetativo, la traccia viee cofermata altrimeti abortita. Validazioe delle misure o Gatig
Validazioe delle misure o Gatig Si fa idividuado ua zoa itoro alla posizioe predetta. Di solito si sceglie u gatigrettagolare e poi uo piùfie ellissoidale. Le dimesioi dell ellissoide soo legate alla velocità del target e all errore del filtro di Kalma. Le misure all itero vegoo validate, quelle all estero escluse
Validazioe delle misure o Gatig Tra le misure validate, quale si associa alla traccia? Nearest Neighbor (NN): si calcolao tutte le distaze di Mahalaobis e si sceglie la misura a distaza miima Strogest Neighbor (SN): Il filtro selezioa la misura a rapporto segalerumore massimo Probabilistic Data Associatio (PDA): Tutte le misure validate vegoo cosiderate el costruire la traccia e il termie di correzioe itrodotto sulla predizioe dalla uova misura è otteuto pesado tutte le misure co la rispettiva probabilità che ciascua misura sia origiata dal target.
Trackig i agolo Quado si ha a che fare co radar di scoperta, determiare la posizioe agolare di u target co la risoluzioe del fascio a 3dB può essere sufficiete. Se ivece si ha a che fare co radar di trackig, i geere è richiesta u accuratezza maggiore. Esisto varie teciche di trackig d agolo. Ua delle più comui è il cosiddetto MONOPULSE. Come dice la parola stessa il Moopulse permette di stimare la direzioe di arrivo (DOA) di u target co u solo impulso, utilizzado per ogi coordiaata agolare due fasci d atea.
Trackig i agolo I due fasci guardao i direzioi leggermete diverse, soo cioè squited.
Moopulse di ampiezza Il fascio somma è usato i trasmissioe, metre etrambi soo usati i ricezioe. Idichiamo co il fascio somma e co il fascio differeza. Il loro rapporto è approssimativamete lieare itoro al boresight, e prede il ome di segale errore
Moopulse di ampiezza I segali ricevuti sul fascio somma e differeza soo dati da: Cofrotado il valore di R calcolato dai segali ricevuti co ve è possibile stimare la posizioe del target e spostare di cosegueza il fascio d atea i modo da seguire il target. Vataggi: può fuzioare co u sigolo impulso e o è sesibile alle fluttuazioi dell ampiezza del target ache se si dovessero usare più impulsi. Criticità: se ci soo piùtarget el fascio a 3dB il moopulseo è i gradi di distiguere tra di loro e forisce ua posizioe che è il baricetro di tutti i target.
Sequetial lobig La prima misura è presa co il boresight dell atea che puta leggermete da u lato rispetto alla posizioe prevista del target, e l altro impulso ell altra direzioe. Come stima della posizioe vera si prede quella che ha forito u eco a poteza maggiore rispetto alle cofrotate. Vataggi: è u procedimeto più semplice del moopulse perché richiede u solo fascio. Criticità: è molto più sesibile del moopulse alle fluttuazioi i ampiezza del target.