Premessa Al fine di realizzare un tratto di strada in rilevato limitando il più possibile l area di occupazione del solido stradale, viene realizzato un terrapieno alto 4,50 m delimitato da un muro di sostegno posto a 1 m circa dal ciglio stradale. Visti l altezza del terrapieno da sostenere, l entità dei sovraccarichi gravanti su di esso dovuti al passaggio dei veicoli in transito, il fatto che il manufatto ricade in zona sismica di prima categoria (S=1), la necessità di limitare l occupazione laterale del manufatto, il muro verrà realizzato in c.a. con le caratteristiche geometriche rilevabili dagli elaborati grafici allegati. Le caratteristiche del terreno sono: peso specifico γ t =1.600 kg/mc, angolo di attrito interno ϕ=35, tensione di rottura σ rt =4 kg/cmq. Il muro, alto complessivamente 5 m compresa la fondazione, verrà realizzato con calcestruzzo ordinario con R bk =50 e barre di acciaio FeB38K con σ famm =.00 kg/cmq. La spinta del terrapieno sarà calcolata secondo la teoria di Coulomb. Il calcolo delle sezioni in c.a. sarà sviluppato secondo il metodo delle tensioni ammissibili. Calcolo della spinta Spinta in condizioni statiche Data la presenza del sovraccarico la spinta è data dalla risultante delle pressioni dovute al terrapieno e di quelle dovute al sovraccarico stesso. Per la teoria di Coulomb si ha: 1 90 ϕ h' F = γt h tg *1 + h in cui si tiene conto della presenza del sovraccarico, ipotizzato pari a 1 t/mq, q 1.000 trasformandolo in altezza di terra secondo la relazione h' = = = 0,65m. γt 1.600 Il valore della spinta sarà quindi: 1 90 35 *0,65 F 1.600*5 * tg = 1+ = 6.774,75kg 5 posta a distanza h h+ 3 h' 5 5+ 3*0,65 d = * = * = 1,83m 3 h+ h' 3 5+ *0,65 dalla base del muro. Spinta in condizioni dinamiche In alternativa alla spinta in condizioni statiche, vista la sismicità della zona (S=1), dovrà essere considerata l influenza delle azioni sismiche in direzione orizzontale. Secondo quanto prescritto dalle norme, oltre alla spinta statica, dovranno essere considerate ulteriori due forze: l incremento di spinta esercitata dal terreno sotto sisma, Ing. Gianfranco Minniti Esercitazioni di Costruzioni Muro di sostegno in c.a. 1
posta a due terzi dell altezza del muro, e una forza d inerzia orizzontale, applicata nel baricentro delle masse. L incremento di spinta va calcolato come differenza fra la spinta F S esercitata in condizioni sismiche e la spinta statica F. La spinta sismica F S è la componente orizzontale della spinta calcolata con estradosso del terrapieno inclinato di un angolo ε =ε+arctg C, essendo C il coefficiente di intensità sismica pari a S 1 C = = = 0,1 100 100 e inclinazione del paramento interno rispetto alla verticale pari a α =α+arctg C. Nel nostro caso si ha: ε =ε+arctg C=0 +arctg 0,1=5,71059 e α =α+arctg C=0 +arctg 0,1=5,71059. Per il calcolo delle spinta si opererà secondo la formula di Coulomb generalizzata per estradosso inclinato, paramento interno del muro inclinato e angolo di attrito fra terra e muro significativo, tenendo conto anche del sovraccarico. 1 sin ( β + ϕ) h' FS = γth 1 + sin( ϕ + ϑ) sin( ϕ ε) h sin βsin( β ϑ) 1+ sin( β ϑ) sin( β + ε) dove β è l angolo formato dal paramento interno con l orizzontale, ε è l angolo formato dall estradosso del terrapieno con l orizzontale e θ è l angolo di attrito fra terra e muro. Nel nostro caso β=90-5,71059=84,8941 ε=5,71059 θ=0 per cui si ha 1 sin ( 84,8941+ 35 ) F S = 1.600*5 * sin35 *sin( 35 5,71059 ) sin 84,8941*sin84,8941* 1+ sin84,8941*sin( 84,8941+ 5,71059 ) *0,65 *1 + = 8.193,7kg 5 A conclusioni analoghe si arriva utilizzando la costruzione di Poncelet riportata fra gli elaborati grafici: 1 h' 1 *0,65 FS = γtmn 1+ = 1.600*,86*,85 1+ = 8.151kg h 5 con una differenza minima dovuta alla minore precisione del metodo grafico. L incremento di spinta da applicare sarà quindi dato dalla differenza cos ( α + arctgc) FS = FS F cos α*cos arctgc e cioè applicata a distanza dalla base del muro. La forza di inerzia sarà ( + ) cos 0 5,71059 cos 0 *cos5,71059 ( ) F = 8.193,7 6.774,75= 1.378,8kg S hs = 5 = 3,33 m 3 Ing. Gianfranco Minniti Esercitazioni di Costruzioni Muro di sostegno in c.a.
Fi = C* W dove W è il peso complessivo del muro e del terreno sovrastante la zattera di fondazione. Nel nostro caso 0,0*4,50 W =.500 0,50*3,00+ + 0,30*4,50 + 1600*1*4,5= 15.450kg avendo considerato il peso specifico del c.a. pari a 500 kg/mc. Si ha quindi Fi = 0.1*15.450= 1545kg posta a distanza 3.750*0,5+ 3.375*,75+ 1.15*+ 7.00*,75 hi = =,09m 15.450 dalla base del muro. Verifiche di stabilità per i soli carichi statici Verifica allo scorrimento La verifica allo scorrimento è soddisfatta quando fn 1,3 T dove f è il coefficiente di attrito fra la fondazione e il terreno, N la risultante delle forze normali al piano di fondazione e T la risultante delle forze tangenti al piano di fondazione. Nel caso in esame, ritenendo con buona approssimazione f=0,9*tg ϕ 0,6, si ha f( P ) 0,6*850 ( 7.00 m + P + t ) = = 1,37 S 6775 avendo indicato con P m il peso del muro e con P t il peso del terreno gravante sulla mensola interna di fondazione, sottoposta al rilevato. La verifica allo scorrimento è quindi soddisfatta. Per tale verifica non si tiene conto della presenza del sovraccarico sul rilevato, a tutto vantaggio della sicurezza. Verifica al ribaltamento La verifica al ribaltamento è soddisfatta se 1,5 M R dove M S è il momento delle forze che si oppongono al ribaltamento rispetto al lembo esterno della fondazione e M R è il momento delle forze che favoriscono il ribaltamento rispetto allo stesso punto. Sostituendo i valori, nel nostro caso si ha MR = 6.774,75*1,83= 1.398kgm e = 3.750*1,50+ 3.375*1,85+ 1.15*1,63+ 7.00*,50= 31.706kgm per cui 31.706,56 1.398 =. La verifica al ribaltamento è soddisfatta. Anche per tale verifica non si tiene conto della presenza del sovraccarico sul rilevato, a Ing. Gianfranco Minniti Esercitazioni di Costruzioni Muro di sostegno in c.a. 3
tutto vantaggio della sicurezza. Verifica allo schiacciamento La risultante delle forze sul piano di fondazione è posizionata rispetto al lembo esterno della fondazione a distanza MR 31.706 1.398 d = = = 1,5m. N 15.450 La sua eccentricità è quindi 300 e= 15 = 5 cm. Poiché il centro di pressione cade all interno del nocciolo centrale di inerzia si ha σ = N Ne 15.450 15.450*5 t A ± W = 100*300 ± 100*300 6 da cui si ricavano i valori massimo e minimo delle tensioni sul terreno ' σt = 0,575 kg/ cmq. '' σt = 0,775 kg/ cmq Il rapporto fra la tensione ammissibile e la tensione massima fornisce un coefficiente di sicurezza 4 0,775 = 5,18 pienamente accettabile. Verifiche di stabilità in condizioni sismiche Verifica allo scorrimento Considerando la presenza delle forze derivanti dalle azioni sismiche si ha 0,6( Pm + Pt) = S + S + F 0,6*15.450 = 0,956 6.774,75+ 1.378,8+ 1.545 valore, inferiore al limite fissato dalle norme perché la verifica sia soddisfatta. Per ovviare all inconveniente si predisporrà la + realizzazione di uno sperone in corrispondenza del lembo interno della fondazione. Lo sperone sarà lungo 40 cm e largo 0 cm. Così facendo il piano di scorrimento avrà inclinazione 40 η = arctg = 8,1301 80 e per la verifica allo scorrimento si ha 0,6 ( Pm + Pt) cosη+ Tsinη = Tcosη P + P sinη ( ) m t i Ing. Gianfranco Minniti Esercitazioni di Costruzioni Muro di sostegno in c.a. 4
( ) ( ) 0,6*15.450*cos8,1301 + 6.774,75+ 1.378,8+ 1.545*sin8,1301 = = 1,348 6.774,75+ 1.378,8+ 1.545 *cos8,1301 15.450*sin8,1301 La verifica allo scorrimento è soddisfatta. Verifica al ribaltamento Il momento di ribaltamento sarà MR = 6.774,75*1,83+ 1.378,8*3,33+ 1.545*,09= 0.17kgm. Il momento stabilizzante sarà = 3.750*1,50+ 3.375*1,85+ 115*1,63+ 7.00*,50 = 31.706kgm. Il coefficiente di sicurezza al ribaltamento vale 31.706 1,568 0.17 =. La verifica al ribaltamento è soddisfatta. Verifica allo schiacciamento In questo caso si ha MR 31.706 0.17 d = = = 0,74m N 15.450 300 e= 74 = 76 cm per cui il centro di pressione cade di 6 cm fuori dal nocciolo centrale d inerzia. Si ha: N *15.450 σ t = = = 1,3919 kg / cmq 300d 300*74 Il rapporto fra la tensione ammissibile e la tensione massima fornisce un coefficiente di sicurezza 4 1,3919 =,87 pienamente accettabile. Verifica delle sezioni Per semplicità e certamente a vantaggio della sicurezza, può ritenersi che la sezione di incastro del muro in elevazione sia soggetta ad un momento flettente pari a M R. Fissando un copriferro pari a 4 cm, si ha quindi 46 r = = 0,34 01700 100 a cui corrispondono, nelle tabelle del c.a. per le sezioni a semplice armatura con σ f =.00 kg/cmq e n=15, σ c =67,5 kg/cmq e t=0,001568. L armatura metallica sarà 01700 Af = 0,001568*100* =,9cmq. 100 Si disporranno quindi 10 18/m pari a 5,45 cmq. L armatura di ripartizione sarà realizzata con 5 10/m. Ad un terzo dell altezza della mensola in elevazione 5 tondini verranno piegati verso il lembo compresso non essendo più necessari, vista la rapida diminuzione della Ing. Gianfranco Minniti Esercitazioni di Costruzioni Muro di sostegno in c.a. 5
sollecitazione momento. L armatura di ripartizione verrà ridotta, altresì, a 3 10/m. Inoltre, al fine di realizzare una opportuna gabbiatura metallica, lungo il paramento esterno sarà disposta una armatura longitudinale di 5 18/m ed una armatura trasversale di ripartizione di 3 10/m. La mensola di fondazione esterna sarà sollecitata dalle pressioni sul terreno. Queste daranno vita ad uno schema di carico di forma trapezia i cui valori minimo e massimo saranno qmax = 1,3919*100*100= 13.919 kg/ m 1,3919 qmin = *3*74 ( 150 ) *100*100 = 4.514,3 kg / m. 3*74 Approssimando il carico trapezio con un carico uniforme si ha 13.919+ 4.514,3 qmed = = 9.16,7 kg/ m. Il momento flettente nella sezione di incastro vale qmedl 9.16,7*1,50 M = = = 10.369kgm. Avendo fissato un copriferro pari a 4 cm si ha 46 r = = 0,45 1.036.900 100 cui corrispondono, per σ f =.00 kg/cmq e n=15, σ c =45,14 kg/cmq e t=0,00109, da cui 1.036.900 Af = 0,00109*100* = 11,11cmq 100 corrispondenti a 5 18/m pari a 1,7 cmq. Tale armatura verrà disposta anche nella zona superiore della mensola di fondazione interna; in particolare verrà sagomata in modo da costituire l armatura metallica per lo sperone realizzato per ottenere la verifica allo scorrimento. L armatura di ripartizione sarà costituita da 3 10/m. Ing. Gianfranco Minniti Esercitazioni di Costruzioni Muro di sostegno in c.a. 6