In alcuni casi una struttura soggetta a carichi statici può collassare con un meccanismo diverso da quello del superamento dei limiti di resistenza del materiale. Uno di questi casi è rappresentato dal cedimento in elementi di strutture soggetti a carichi di compressione che danno luogo ad instabilità elastica Tale collasso è particolarmente pericoloso poiché avviene a carichi inferiori a quelli limite del materiale e, in vari casi, senza preavviso. 1
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In pratica alcune combinazioni di geometria e carico danno luogo ad instabilità. Spostamenti e rotazioni non sono linearmente proporzionali con il carico Esempi nella progettazione di componenti meccanici: biella molle ad elica viti di trasmissione All aumentare della lunghezza del componente, il ruolo della geometria e della rigidezza diventa cruciale nell assicurare la resistenza 4
Il caso più semplice di elementi soggetti a carico di punta è quello dell asta di Eulero: P P Condizioni iniziali: trave perfettamente rettilinea sollecitata a compressione carico perfettamente assiale omogenea tensioni entro il limite elastico L L e 5
Si definisce carico critico (P cr) ) quel carico limite oltre il quale se si verifica anche un minimo movimento dell asta, o dei supporti o del carico, la struttura collassa. x P y P y x y L M P 6
soluzione generale: che ovviamente dipenderà dalle condizioni al contorno 7
formula di Eulero per P < P cr situazione stabile configurazione rettilinea con A = area sezione trave e w = raggio inerzia (di A) 8
per un acciaio strutturale: σ snerv. = 250 MPa E = 200 GPa 350 300 250 200 σ 150 100 50 0 0 50 100 150 200 250 L/r 9
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Il carico unitario ha le stesse dimensioni di una sollecitazione ma si tratta della resistenza di un asta specifica non del materiale. Raddoppiare la lunghezza (ad esempio) ha un drastico effetto sul valore del carico unitario ma non influenza in alcun modo la resistenza del materiale di cui è fatta l asta Il carico critico unitario dipende solo dal modulo di elasticità e dalla snellezza e NON dal carico di snervamento o di rottura del materiale 11
per differenti condizioni al contorno: 12
Nella progettazione di aste sottoposte a compressione, il progettista cercherà di fissare le estremità nel modo più opportuno per realizzare le condizioni di vincolo desiderate (utilizzando ad es. saldature, perni, bulloni ecc.) Si è visto sperimentalmente che si possono verificare collassi (a causa di eccentricità del carico e deformazioni localizzate) anche sotto la curva di Eulero in prossimità del punto di intersezione con la retta di snervamento, perciò tale motivo, quando la snellezza è prossima a valori vicini al punto di intersezione suddetto, non si dovrebbe impiegare né la curva di Eulero né il metodo di compressione semplice Un possibile approccio è quello di scegliere un generico punto T sulla curva e impiegare la relazione di Eulero solo se la snellezza è superiore a quella corrispondente al punto T. In caso contrario si devono utilizzare delle tecniche alternative 13
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Per tenere conto delle evidenze sperimentali (che riportavano collassi anche per combinazioni carico critico-snellezza teoricamente sicure, sono state proposte alcune modifiche empiriche alla relazione di Eulero Una delle più utilizzate è la cosiddetta formula parabolica proposta da J.B. Johnson la parabola è sempre tangente alla curva di Eulero nel punto 15
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Il punto di tangenza può aiutare a distinguere le travi intermedie (campo parabolico di Johnson) da quelle lunghe (campo Euleriano) Le travi corte sono comunemente definite come quelle aventi snellezza inferiore a 10. In questo caso il carico unitario critico può essere assunto pari alla tensione di snervamento A volte i coefficienti della parabola di Johnson vengono variati per trovare un migliore accordo con i dati sperimentali 17
Travi tozze α = 1 Eulero Johnson 18
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Esempi 22