POLITECNICO DI TORINO

POLITECNICO DI TORINO EERCITAZIONI DI LOGITICA Laurea Igegera Lgstca e della Prduze Crs d Lgstca e d Dstrbuze 1 Dcete: Prf. Ig. Gul Ztter Tutre: Ig. Gula capacc A.A. 007/008 VERIONE 3

METODI EPLANATORY NOTA: MATERIALE PROPEDEUTICO AL CORO NON OTITUICE IL TETO DI RIFERIMENTO REGREIONE LINEARE EMPLICE POLITECNICO DI TORINO - EERCITAZIONI LOGITICA DI DITRIBUZIONE 1 AUTORE: G. CAPACCINO - VERIONE 3.0 FONTE: DALLA RETE

- a è l'tercetta della retta d regresse, - b è l ceffcete aglare; ess dca la quattà utara d cu vara Y al varare d ua utà d. La rappresetaze grafca evdeza che l terme cstate a, chamat tercetta, fssa la psze della retta rspett all asse delle rdate: - a è l valre d Y, quad è uguale a 0. Due rette che dffersca sl per l valre d a, qud c b uguale, s tra lr parallele. Cme evdeza l dagramma cartesa precedete, g put spermetale ha ua cmpete d errre e, che rappreseta l scart vertcale del valre sservat dalla retta (qud tra la Y sservata e quella prettata perpedclarmete sulla retta). Pché la retta d regresse serve per predre Y sulla base d, l errre cmmess è quat la Y predetta ( Yˆ ) s avvca alla Y sservata ( Y ). Utlzzare u qualsas put spermetale per stmare a prterebbe ad avere tate stme dverse quat s put spermetal, tutt affett apput da u errre dvers. D csegueza, cme put d rfermet - per stmare a e cstrure la retta, - vee utlzzat l put detfcat da valr med d Y e d (Y e ), - che rappreseta l barcetr della dstrbuze, attravers l quale la retta passerà sempre per cstruze. 13

Nel calcl della retta d regresse, l'tercetta a è stmata a partre da b e dalle mede delle varabl e Y sulla base della relaze a Y b D csegueza, l'uca reale cgta è l valre del ceffcete aglare b. Per calclare la retta che megl apprssma la dstrbuze de put, è utle partre dall'sservaze che g put sservat Y s dscsta dalla retta d ua certa quattà e detta errre resdu Y a + b + e Ogu d quest valr e può essere pstv ppure egatv: - è pstv quad l put Y spermetale è spra la retta (cme ella fgura precedete), - è egatv quad l put Y spermetale è stt la retta. Per cstrure la retta che descrve la dstrbuze de put, prcp a qual rferrs pss essere dfferet e da ess derva metd dvers. Gl statstc ha scelt l metd de mm quadrat. La retta scelta è quella che rduce al mm la smma de quadrat degl scart d g put dalla sua preze vertcale (parallel all asse delle Y). E u valre del tutt detc alla devaza e permette aals sml a quelle dell'anova, che verra successvamete spegate. I md pù frmale, dcad c - Y l valre sservat d emprc e c - Y $ l crrspdete valre sulla retta, s stma cme mglre terplate, quella che mmzza la smmatra del quadrat degl scart de valr sservat (Y ) rspett a quell stmat sulla retta ( $ Y ) Pché è pssble scrvere e da essa 1 ( Y Y $ ) mm e Y (a + b e (Y (a + b )) e (Y (a + b )) ) mm mm 14

Eguaglad a zer le dervate parzal, s trva l valre d b che mmzza tale smmatra b ( ) ( ) ( Y Y) ( ) + ( Y Y) [ ( ) ( Y Y) ] ( ) Dp semplfcaze, l valre d b rsulta uguale al rapprt della cdevaza d e Y c la devaza d, che è pù facle rcrdare cme Cd b Dev Y La cdevaza è u ccett acra ctrat el crs d statstca, pché serve ell stud d due varabl: stma cme e Y vara cgutamete, rspett al lr valre med. E' defta cme la smmatra degl prdtt degl scart d rspett alla sua meda e d Y rspett alla sua meda: Cd Y ( ) ( Y Y ) 1 Cme la devaza, ache la cdevaza ha ua frmula emprca d abbrevata che permette u calcl pù rapd Y Cd Y ( Y ) e precs a partre da dat campar. Ifatt evta l us delle mede, che s quas sempre valr apprssmat e mpg d trascare e var calcl alcu decmal. I ccluse, l ceffcete aglare b è calclat dalle cppe de dat spermetal e Y cme b che e defsce l sgfcat, ppure dalla equvalete frmula rapda d emprca ( ) ( Y Y) ( ) 15

b ( Y ) ( Y ) Dp aver calclat b, s stma a : a Y b Nt valr dell'tercetta a e del ceffcete aglare b, è pssble prcedere alla rappresetaze grafca della retta. Ache a quest scp, è mprtate rcrdare che la retta passa sempre dal barcetr del dagramma d dsperse, dvduat dal put d'ctr delle due mede e Y. D csegueza, è suffcete calclare l valre d Yˆ crrspdete ad u sl qualsas valre d (vvamete dvers dalla meda), per traccare la retta che passa per quest put calclat e per l put d'ctr tra le due mede. e s stat cmmess errr d calcl, qualsas altr put Yˆ stmat ella rappresetaze grafca deve rsultare cllcat esattamete sulla retta traccata. E u prcp elemetare che può servre cme u prcedmet semplce ed emprc, all scp d verfcare la crrettezza d tutt calcl effettuat f a quel put EEMPIO. Per sette gva de, dcate c u umer prgressv, è stat msurat l pes Kg e l'altezza cm. 16

Idvdu 1 3 4 5 6 7 Pes (Y) Kg. 5 68 75 71 63 59 57 Altezza () cm. 160 178 183 180 166 175 16 Calclare la retta d regresse che evdez la relaze tra pes ed altezza. Rspsta. Cme prm prblema è ecessar dvduare quale è la varable dpedete, che deve essere dcata c, e quale la varable dpedete, dcata c Y. e esste tale relaze udrezale d causa - effett, da mtvare c csceze della dscpla che esula dalla statstca, è pù crrett utlzzare la crrelaze leare semplce. Tra le due sere d msure dell esemp, la varable dpedete è l'altezza e la varable dpedete è l pes. Ifatt ha sgfcat stmare quat dvrebbe pesare u dvdu rapprt alla sua altezza, ma vceversa. uccessvamete, dalle 7 cppe d dat s dev calclare le quattà ( Y ) 76945; 104; Y 445; 07598; 7 che s ecessare per - la stma del ceffcete aglare b b che rsulta uguale a 0,796 ( Y ) ( ) Y 104 445 76945 7 104 07598 7 0,796 - la stma dell tercetta a a Y b che rsulta uguale a -73,354. 63,571 0,796 17 73,354 è rcavata la retta d regresse 17

$Y -73,354 + 0,796 c la quale è pssble stmare put sulla retta, crrspdet a quell spermetalmete rlevat. Per traccare la retta è suffcete calclare u sl altr put, ltre quell t dvduat dall crc delle due mede, che detfca l barcetr della dstrbuze; d rma, ma ecessaramete, è scelt etr l camp d varaze delle emprche. uccessvamete, s deve prlugare l segmet che per estrem ha l put stmat ed l barcetr della dstrbuze, cme ella fgura d segut rprtata. 80 75 70 PEO 65 60 Y 55 50 155 165 175 185 ALTEZZA Qualsas altr valre d Y $, stmat a partre da u geerc, sarà cllcat su questa retta, se s stat cmmess errr d calcl ua fase qualsas del prcedmet. E qud utle, a dmstraze emprca della crrettezza d calcl effettuat a ma, verfcare effettvamete tale prpretà per u altr valre della varable. Nel sua terpretaze blgca, l valre calclat d b dca che meda gl dvdu che frma l campe aumeta d 0,796 Kg. al crescere d 1 cm. altezza. E qud vv che, se l altezza delle 7 gva fsse stata msurata metr (1,60; 1,78;...), l ceffcete aglare b sarebbe rsultat uguale a 79,6 (cet vlte l valre precedetemete stmat), dcad l cremet d 79,6 g. per l aumet d 1 metr altezza. 18

Nell stess md e smmetrcamete, se l pes fsse stat stmat ettgramm (50, 680,...) e l altezza sempre cetmetr, l ceffcete aglare b sarebbe rsultat uguale a 7,96 dcad u aumet med del pes d hg. 7,96 per u aumet d 1 cm altezza. ccett utl, quad s dev cfrtare due pù ceffcet aglar d rette d regresse e frre terpretaz a carattere blgc ambetale. Il valre d a mlt spess è mprtate. erve slamete per calclare valr sulla retta; ha u scp strumetale e essu sgfcat blgc. I quest esemp, ella realtà a esste, pché è fur dal camp d varaze della e sprattutt esste alcua persa c l altezza 0 (zer). L tercetta ha sgfcat sl pch cas; ad esemp quad s cfrta due metd per stmare la stessa quattà, che ptrebbe essere 0. e per 0, l valre d Y è dfferete s ha a 0 : sgfca che due strumet ha ua taratura dfferete, la cu quattà è dcata dal valre d a. ccett che sara rpres el paragraf dedcat alla sgfcatvtà e all tervall d cfdeza dell tercetta a. 15.5. VALORE PREDITTIVO DELLA REGREIONE La retta d regresse è svete usata a scp predttv, per stmare ua varable csced l valre dell altra. Ma è ecessar prcedere c cautela: questa peraze spess vee dmetcat che, - stt l aspett statstc, qualsas prevse stma d Y è valda slamete etr l camp d varaze spermetale della varable dpedete. Quest camp d varaze cmprede sl valr sservat della, usat per la stma della regresse. Per valr mr maggr, è asslutamete dmstrat che la relaze trvata tra le due varabl perssta e sa dell stess tp. L'ptes che la relaze stmata s matega cstate ache per valr ester al camp d sservaze è ttalmete arbtrara; estraplare dat all ester del reale camp d sservaze è u errre d tecca statstca, accettable slamete el ctest specfc della dscpla studata, a cdze che sa mtvat da ua maggre csceza del feme. I alcu cas, quest metd è utlzzat apput per dmstrare cme la legge leare trvata pssa essere valda per valr ferr superr, state l assurdtà della rspsta. 19

Nell'esemp del paragraf precedete, la relaze trvata tra Y e c la retta d regresse è valda slamete etr u'altezza cmpresa tra 160 e 183 cetmetr. E' da rteere statstcamete errat usare la retta stmata per predre valr d Y fuze d valr d che sa mr d 160 maggr d 183 cetmetr. Cme dmstraze semplce d tale prcp, e var test d statstca s rprtat esemp ache dvertet, ma è pssble usare la retta calclata. Ua bamba alla ascta d rma ha u'altezza (lughezza) d crca 50 cetmetr. Che pes dvrebbe avere, se la relaze precedete fsse applcable ache al su cas? La prsecuze della retta stmata per ua lughezza ( ) uguale a 50 cm. Yˆ -73,354 + 0,796-73,354 + 0,796 50-33,554 frsce u pes med (Y ) uguale a Kg. -33,554. E ua rspsta charamete assurda, evdezata ella fgura, pché la relaze leare calclata per gva da 160 a 183 cm. d altezza può essere estesa a dmes dverse. E tutv che gl effett sara tat pù dstrt, quat maggre è la dstaza da lmt spermetal utlzzat per l calcl della regresse. PEO 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0-5 -10-15 -0-5 -30-35 -40-45 -50-55 -60-65 -70-75 -80 0 0 40 60 80 100 10 140 160 180 00 ALTEZZA 0

Nella rcerca applcata l evluze temprale e la dffuse spazale d u feme s cas rcrret d us della regresse leare a f predttv. I dat, - se rdat secd l perd, s chamat sere tempral strche, - metre s chamate sere terrtral quad rdate sulla base della dstaze dal lug d rlevaze. aals partclarmete mprtat per verfcare l aumet ( della dmuze) de tass d quamet ad zare da u cert mmet ppure per aalzzare la dffuse gegrafca d u quate a partre da ua fte. Ua sere temprale può essere scmpsta 4 cmpet: - la cmpete d fd, detta tred, che e rappreseta l evluze pù mprtate, a lug terme; - le scllaz perdche, stagal, cclche che s rpet c reglartà ad tervall cstat; - le varaz casual, rcducbl a essua causa cstate; - gl evet eccezal, che s grad d mdfcare le tedeze d med d lug perd. Per esse e per le sere terrtral, tra metd specfc è utlzzata la regresse, partclare per predre la tedeza d fd. Per apprfdmet sull argmet delle sere strche terrtral, s rva a trattaz specfche. 15.6. IGNIFICATIVITÀ' DEI PARAMETRI β E α DELLA RETTA DI REGREIONE C le frmule presetate, è sempre pssble tteere la retta che megl s adatta a dat rlevat, c qualuque frma d dsperse de put. Tuttava, all statstc l semplce calcl della retta è suffcete. Essa ptrebbe dcare - ua relaze reale tra le due varabl, se la dsperse de put tr alla retta è rdtta, - ua relaze casuale sgfcatva, quad la dsperse de put tr alla retta è apprssmatvamete uguale a quella tr alla meda. Le tre fgure successve (A, B, C), rappresetad md schematc stuaz spermetal tevlmete dfferet, pss llustrare quest ccett c semplctà e charezza. 1

Y Y Y Y A) B) Y Y C) La fgura A rprta ua retta che, vsvamete, esprme la relaze tra le due varabl: put ha dstaze dalla retta d regresse sesblmete mr d quelle dalla meda (Y ). Csced, l valre stmat d Y può avvcars mlt a quell reale, rappresetat dal put. All ppst, la fgura C evdeza ua stuaze cu la retta calclata è u mglramet effettv della dstrbuze de put rspett alla meda. I quest cas, la retta calclata può essere terpretata cme ua varaze casuale della meda: c quest dat, la retta ha ua pedeza

pstva; ma c u altr campe estratt dalla stessa pplaze c l agguta d u sl dat della stessa pplaze s ptrebbe stmare u ceffcete aglare (b) egatv. Il cas B raffgura ua stuaze d maggre certezza sulla sgfcatvtà della retta calclata; la semplce rappresetaze grafca rsulta suffcete per decdere se all aumet d valr d Y teda realmete a crescere. E sempre ecessar rcrrere a metd che, a partre dagl stess dat, cduca tutt alle stesse cclus. test d fereza. Per rspdere alle dmade pste, ccrre valutare la sgfcatvtà della retta, cè se l ceffcete aglare b s dscsta da zer md sgfcatv. Il ceffcete aglare b è relatv al campe. La sua geeralzzaze ella pplaze è dcata c β (beta) e la sua sgfcatvtà è saggata medate la verfca dell'ptes ulla H 0 H: 0 β 0 Rfutad l'ptes ulla e seza altre dcaz, s accetta l'ptes alteratva a due cde H 1 H 1 : β 0 Affermare che β è uguale a zer, ella regresse leare sgfca che - al varare d, - Y resta cstate, uguale al valre dell'tercetta a. D csegueza, esste alcu legame d regresse predttv tra e Y, pché la prma camba metre la secda, che dvrebbe essere da essa determata, resta cstate. Rfutad l'ptes ulla, mplctamete s accetta l'ptes alteratva H 1 che β sa dvers da zer: al varare d s ha ua crrspdete varaze sstematca d Y. D csegueza, s afferma che la regresse esste, perché csced s ha frmaze ulla sul valre d Y. Per la verfca della sgfcatvtà della retta calclata, u metd semplce e ddattcamete utle alla cmprese del sgfcat statstc della regresse è l test F, fdat sulla scmpsze delle devaze e de relatv gdl. Nelle fgure sttstat A e B, dcad c - Y l put spermetale, - c $ Y la sua preze (parallela all asse delle rdate) sulla retta, - c Y la meda, 3

a partre dalla smma de quadrat delle dstaze tra tre put (Y, Y $ e Y ) s defsc tre devaze, cme ell aals della varaza ad u crter: - la devaza ttale, c gdl -1, - la devaza della regresse devaza dvuta alla regresse, c gdl 1, - la devaza d'errre devaza dalla regresse resdu, c gdl -. secd le frmule d segut rprtate c relatv gdl: - Devaza ttale (Y Y c gdl -1 (Fg. A) ) - Devaza della regresse ( Ŷ Y c gdl 1 (Fg. B, parte ferre) ) - Devaza d errre (Y Y ˆ ) c gdl - (Fg. B, parte superre) Queste frmule defsc l sgfcat delle 3 devaze. Ptrebber essere usate per stmare valr, ma rched calcl lugh e frsc rsultat apprssmat, pché fdat sulle mede e su valr della retta, che s quas ma valr esatt e mpg l us d decmal. Per effettuare md pù rapd e precs calcl, s utlzza le frmule abbrevate: - Devaza ttale ( Y Y ) c gdl -1 4

- Devaza della regresse Cd Y c gdl 1 Dev rcrdad che, sempre c le frmule abbrevate, e Cd Y ( Y ) ( Dev Y ) uccessvamete, per dffereza, s calcla la devaza d'errre: - Devaza d errre (Devaza ttale Devaza della regresse ) c gdl - Dal rapprt - della devaza della regresse c su gdl s stma la varaza della regresse; - della devaza d'errre c su gdl s ttee la varaza d'errre. e l ptes ulla è vera, la varaza d errre e la varaza della regresse stma le stesse gradezze e qud dvrebber essere sml. e vece esste regresse (H 0 falsa), la varaza della regresse è maggre d quella d errre. Il rapprt tra queste due varaze determa l valre del test F c gdl 1 e - F (1, -) Varaza della regresse Varaza d' errre Tercamete, quad l ptes ulla è falsa, s tteg valr sgfcatvamete maggr d 1. I pratca, se l valre d F calclat è ferre al valre tabulat, relatv alla prbabltà prefssata e a gdl crrspdet, s accetta l'ptes ulla: s ha ua regresse leare statstcamete sgfcatva. Al ctrar, se l valre calclat d F supera l valre tabulat, s rfuta l'ptes ulla e pertat s accetta l'ptes alteratva: la regresse leare tra le due varabl è sgfcatva. Gl stess ccett pss essere espress c term pù tecc. 5

- e β 0, la varaza dvuta alla regresse e quella d'errre s stme dpedet e vzate della varabltà de dat. - e β 0, la varaza d'errre è ua stma vzata della varabltà de dat, metre la varaza dvuta alla regresse è stma d ua gradezza maggre. - D csegueza, l rapprt tra le varaze (varaza d'errre/varaza della regresse) c d.f. rspettvamete 1 e - è da rteers utle alla verfca dell'ptes β 0. Il test applcat è dett ache test d leartà. Ifatt, rfutare l'ptes ulla sgfca affermare che tra e Y essta alcua relaze, ma slamete che esste ua relaze d tp leare tra le due varabl. Ptrebbe esstere ua relaze d tp dfferete, cme quella curvlea, d secd grad d grad superre. EEMPIO. C le msure d pes ed altezza rlevat su 7 gva de Idvdu 1 3 4 5 6 7 Pes (Y) Kg. 5 68 75 71 63 59 57 Altezza () cm. 160 178 183 180 166 175 16 è stata calclata la retta d regresse Y$ 73, 354 + 0, 796 Valutare la sua sgfcatvtà medate l test F. Rspsta. Valutare se esste regresse tra le due varabl c l test F equvale a verfcare l ptes H 0 : β 0 ctr l ptes alteratva H 1 : β 0 Dp calcl prelmar de valr rchest dalle frmule abbrevate ( Y ) 76945 104 07598 445 Y Y 8693 7 precedetemete rprtate, s tteg le tre devaze: 6

445 - Q ttale 8693 8693 889, 85 403, 715 7 104 445 (76945 ) 7 - Q della regresse 07598 104 7 ( 76945 76540) 07598 07088 16405 31, 618 510 - Q d errre 403, 715 31, 618 8, 097 Per presetare md char rsultat, è sempre utle rprtare sa le tre devaze e df relatv, sa le varaze rspettve, ua tabella rassutva, Devaza DF Varaza F P Ttale 403,715 6 ---- --- Regresse 31,618 1 31,6 19,59 <0.01 Errre 8,097 5 16,4 --- che frsce tutt gl elemet utl al calcl e all terpretaze d F. C dat dell'esemp, l valre d F 31, 6 F (,) 15 19, 59 16, 4 rsulta uguale a 19,59 c df 1 e 5. I valr crtc rprtat elle tavle sttche d F per df 1 e 5 s - 6,61 alla prbabltà α 0.05-16,6 alla prbabltà α 0.01. Il valre calclat è superre a quell tabulat alla prbabltà α 0.01. Pertat, c prbabltà P ferre a 0.01 (d cmmettere u errre d I tp, cè d rfutare l ptes ulla quad realtà è vera), s rfuta l'ptes ulla e s accetta l'ptes alteratva: ella pplaze dalla quale è stat estratt l campe d 7 gva de, esste u relaze leare tra le varaz altezza e quelle pes. 7

La verfca della sgfcatvtà della retta verfca dell'essteza d ua relaze leare tra le due varabl può essere attuata ache medate l test t d tudet, c rsultat perfettamete equvalet al test F. Cme gà dmstrat per l cfrt tra le mede d due camp dpedet d dpedet, ache el test d leartà l valre d t c df - è uguale alla radce quadrata d F c df 1 e - t ( -) F(1, -) ppure t( ) F(1, ) Il test t è fdat su calcl che s ddattcamete me char d quell del test F, per la cmprese de parametr rprtat elle frmule; ma per l fereza ffre due vatagg - può essere pù faclmete applcat ache a test ulateral, H 1 : β < 0 ppure H 1 : β > 0 - permettere l cfrt c qualsas valre (β 0 ), ( sl 0 cme c l test F) qud verfcare l ptes ulla H 0 : β β 0 vvamete sempre c ptes alteratve H 1 blateral ppure ulateral. I test ulateral - sl s pù ptet d quell blateral, - ma spess s ache lgcamete pù adeguat e crrett a f della rcerca. Ad esemp, sulla relaze leare tra altezza e pes f ad ra utlzzat, - è pù lgc u test ulaterale (all aumetare dell altezza l pes aumeta) - che u test blaterale (all aumetare dell altezza l pes vara), pted a prr escludere cme accettable l rsultat che all aumetare dell altezza l pes med pssa dmure. 8

Il test t è fdat sul rapprt tra l valre del ceffcete aglare b ed l su errre stadard La frmula geerale può essere scrtta cme dve - β 0 è l valre attes, t ( -) b β0 - b è determat dalla radce quadrata del rapprt tra la dsperse de dat spermetal (Y) tr alla retta d regresse ( $ Y ) e la devaza ttale d. b b. b Varaza d' errre della retta Devaza ttale della e ( ) Nella verfca della sgfcatvtà della regresse β è uguale a 0; ma essa può assumere qualsas valre d cfrt ptzzat (β 0 ); d csegueza, la frmula può essere utlzzata per verfcare la sgfcatvtà dell scstamet da qualuque valre attes. U cas relatvamete frequete ella rcerca applcata csste el verfcare se l ceffcete aglare campar b può essere dsaccrd c la tera che Y aumet d ua utà all aumetare d ua d, cè se β 1. rcrre a quest cfrt, ad esemp, quad s raffrta rsultat d due metd d valutaze che dvrebber dare gl stess valr. E' mprtate sservare che - l'errre stadard d b ( b ) dmusce, qud l valre d t dveta pù sgfcatv, - all'aumetare della devaza d. L sservaze ha applcaz mprtat ella prgrammaze degl espermet, per la scelta de valr campar d. suppga d dver valutare la regresse tra pes ed altezza. pe u prblema d sceglere gl dvdu, a f d trvare ua regresse sgfcatva. Mlt s cert se sa preferble - sceglere dvdu d altezza meda, c la mtvaze che rappreseta l cas tpc, - sceglere dvdu che cpra tutt l camp d varaze dell altezza. Per tteere pù faclmete la sgfcatvtà della pedeza della retta, è sempre vataggs utlzzare per la varable u camp d varaze mlt amp, c pù msure cllcate a valr estrem. 9

Ifatt - se la devaza d è grade, l valre d b è pccl; - d csegueza l valre d t è grade e pù faclmete sgfcatv. La varaza d'errre della retta è data da e c df - è chamata ache errre stadard della stma; e ( Y ˆ Y ) E fdata su valr attes e qud l su calcl rchede var passagg. Può essere stmata c le frmule presetate el test F, dve la devaza d'errre è tteuta md rapd per dffereza tra la devaza ttale e quella dvuta alla regresse. Quad è ta la retta, è pssble calclare la devaza dvuta alla regresse drettamete da valr spermetal d e Y medate Devaza della regresse Y a Y - b ( Y ) EEMPIO 1. C le stesse 7 msure d pes ed altezza degl esercz precedet, stmare la sgfcatvtà della regresse medate l test t d tudet. Rspsta. E vataggs e pù lgc rcrrere ad u test ulaterale, qud verfcare se l pes aumeta md sgfcatv al crescere dell'altezza. Tuttava, quest cas e sl c l scp d cfrtare l rsultat del test t c quell del precedete test F, è stat prefert u test blaterale. Rcrdad da calcl precedet che, s e 16,4 7 ( ) b 0 796 l valre d t 5 t 1 0,796 0,1794 5 510 16, 4 b 510 4,437 b 0,1794 rsulta uguale a 4,437. Cme gà mess evdeza vare altre ccas, l test F ed l test t da l medesm rsultat. Ifatt, F 15, 19, 59 crrspde a t 5 19, 59 4, 46 30

(La pccla dffereza tra 4,437 e 4,46 dpede da var arrtdamet usat elle due dfferet sere d calcl.) EEMPIO. C ua rcerca bblgrafca, è stat trvat che l ceffcete aglare β 0 della retta d regresse tra altezza () e pes (Y) ua pplaze è rsultat uguale a 0,950. Il valre d 0,796 calclat sulle 7 gva se e dscsta md sgfcatv? Rspsta. E u test blaterale, quat chede semplcemete se l valre calclat b s dscsta md sgfcatv da u valre attes, dve H 0 : β 0,950 e H 1 : β 0,950 Applcad la frmula t ( -) b β s trva 0, 796 0, 950 0, 154 t (5) - 0,858 0, 1794 0, 1794 b u valre d t uguale a -0.858 c 5 df. E u rapprt ferre all utà, qud seza dubb sgfcatv. D csegueza, s deve ccludere che è dmstrata l essteza d ua dffereza tra l ceffcete aglare rprtat sulla pubblcaze e quell spermetalmete calclat c 7 dat. Quad è pssble rfutare l'ptes ulla mert al ceffcete aglare b (pertat la retta campara può essere assuta cme sgfcatva d ua relaze leare tra le due varabl), la rspsta a dvers valr d è frta dalla meda d Y, della quale può essere utle la csceza della varaza e della devaze stadard. C la smblga rma csueta, la varaza ( ) e la devaze stadard ( ) della meda Y, Y Y s rspettvamete e e Y Y e Nella rcerca ambetale, ltre alla sgfcatvtà del ceffcete aglare b spess è mprtate verfcare ache - la sgfcatvtà dell'tercetta a (rspett a zer) 31

- la sgfcatvtà della sua dffereza da u valre attes prefssat. Il ccett è detc al cfrt tra ua meda campara e la meda reale µ della pplaze. Il cfrt è verfcat rcrred acra alla dstrbuze t, c ua frmula aalga a quella per la meda e per l ceffcete aglare b. U cas frequete è quad l rge della retta dvrebbe ccdere c l rge degl ass; qud c 0 s dvrebbe Y 0, cè ua rspsta meda d a che s dscsta sgfcatvamete da 0. Il test può cmuque essere applcat al cfrt c qualsas valre attes dell tercetta e l ptes alteratva H 1 può essere sa ulaterale che blaterale. Per la sgfcatvtà dell tercetta a, s verfca l ptes ulla H 0 : α 0 metre per l cfrt dell tercetta a c u geerc valre attes α 0 s verfca l ptes ulla H 0 : α α 0 dve - α è l valre della pplaze dalla quale è stat estratt l campe che ha permess l calcl d a. Il test è effettuat c l calcl d u valre d t, c gdl - quat fdat sulla varaza d errre della retta; è dat da dve - a è l'errre stadard dell'tercetta ed è stmat cme t ( ) a α a a e 1 + ( ) ( ) c e che dca la varaza d errre della retta (gà utlzzata per stmare la sgfcatvtà del ceffcete aglare b ). EEMPIO. Utlzzad gl stess 7 dat della relaze pes - altezza, cu a 73,357 e 16,101 7 ( ) 1 510 17 3

stmare se l'tercetta a s dscsta md sgfcatv da zer. Rspsta. Per verfcare l ptes ulla c ptes alteratva pché l errre stadard d a a è uguale a 30,599 s ttee u valre del t d tudet uguale a -,397 c 5 df. H 0 : α 0 H 1 : α 0 1 17 16,101 + 7 510 t 73,357 30,599 5,397 30,599 Per u test blaterale, l valre crtc d t c 5 df alla prbabltà α 0.05 è uguale a,571. D csegueza, l'tercetta calclata rsulta sgfcatvamete dversa da zer. I realtà l valre è csì vc alla sgfcatvtà che, c u umer maggre d dat, l test sarebbe rsultat sgfcatv. Per ua terpretaze pù atteta e me affrettata del rsultat, s pe l prblema d stmare la pteza del test effettuat, prma d affermare c suffcete scurezza che l ceffcete aglare b ppure, cme quest cas, l cetta a s sgfcatvamete dfferet da zer ppure da u qualuque valre attes. 15.7. CONFRONTO TRA LA IGNIFICATIVITA E LA POTENZA DEL TET DELLA REGREIONE CON QUELLE DELLA CORRELAZIONE Cme rsulterà evdete alla fe della espsze degl argmet che rguarda la crrelaze, la regresse leare semplce e la crrelaze leare semplce ha - faltà dfferet, - cdz d valdtà dfferet, - e test d sgfcatvtà rspd a dmade dfferet. Nella verfca della sgfcatvtà, - c la retta d regresse, l ptes ulla verte sul valre del ceffcete aglare b : H 0 : β 0 33

- ella crrelaze, l ptes ulla verte sul valre del ceffcete r: H 0 : ρ 0 Cme sarà llustrat e paragraf successv, quad s effettua l cfrt c u qualsas valre terc, - c l ceffcete aglare b, s verfca l ptes ulla H 0 : β β 0 - c l ceffcete d crrelaze r s verfca l ptes ulla H 0 : ρ ρ 0 Tuttava, la regresse e la crrelaze pss essere calclate sulle stesse cppe d dat. Per ambedue, - la sgfcatvtà può essere stmata sa c l test F sa c l test t, - test ha gl stess grad d lbertà, - le ptes alteratve pss essere ugualmete blateral ppure ulateral., - rsultat della sgfcatvtà s detc: l test t e l test F per la sgfcatvtà d b frsc l stess valre d quell applcat su r. ulla base d queste afftà s ugual ache - la pteza a prr, cè l umer d dat () che serv affché l ceffcete aglare b l ceffcete d crrelaze r rsult sgfcatvamete dfferet da zer da u valre prefssat, - la pteza a psterr, cè la prbabltà (1-β) d rfutare crrettamete l ptes ulla, u test sulla sgfcatvtà d u ceffcete aglare b ppure u ceffcete d crrelaze r. D csegueza, per l calcl della pteza della regresse s può utlzzare la prcedura per la crrelaze, dp aver rcavat r da dat della regresse da su dc. Quest valre r può essere rcavat a partre - dal ceffcete d determaze R (spegat u paragraf successv) c r R - dal ceffcete aglare b e dalle due devaze c 34

( ) ( Y Y ) r b Ne paragraf successv d quest captl, sara presetat ache metd per cfrtare due ceffcet aglar b 1 e b, all scp d verfcare se apparteg alla stessa pplaze c ceffcete aglare β. Ache per la crrelaze, el captl successv sara presetat metd per cfrtare due ceffcet d crrelaze r 1 e r, per verfcare se apparteg alla stessa pplaze c ceffcete d crrelaze ρ. I md aalg al cas precedete, ache per quest test d cfrt tra ceffcet d due camp dpedet è pssble stmare - la pteza a prr, cè l umer d dat () che serv affché ceffcet aglar b 1 e b ppure ceffcet d crrelaze r 1 e r rsult sgfcatvamete dfferet tra lr, - la pteza a psterr (1-β) d u test d cfrt tra due ceffcet aglar ppure tra due ceffcet d crrelaze. Ache per l calcl della pteza d u test sul cfrt tra due ceffcet d regresse, s utlzza la prcedura della crrelaze (spegata el captl sulla crrelaze). Per quat rguarda gl aspett ccettual dell us del ceffcete d crrelaze r, all scp d valutare la sgfcatvtà del ceffcete aglare b, s rva al paragraf specfc el captl sulla crrelaze. 15.8. INTERVALLI DI CONFIDENZA DEI PARAMETRI β E α L us della retta d regresse a f predttv rchede che pssa essere stmat l errre d prevse - del ceffcete aglare β - dell tercetta α. I lmt d cfdeza s utl ache per evetual cfrt c u parametr prefssat, qud a f dell fereza, cme gà fatt per la meda campara. Ifatt u qualsas valre campar b 0 ppure u valre β 0 d ua pplaze, se è cmpres etr lmt d lmt d cfdeza d u altr ceffcete aglare b, è sgfcatvamete dfferete da ess. Questa aals ccde c rsultat d u test t blaterale, alla stessa prbabltà P. 35

Cme per la meda, - csced β e la sua devaze stadard σ β - è pssble determare l tervall d cfdeza de valr campar b alla prbabltà P, attravers la dstrbuze rmale rdtta Z. b β ± Zα / σ β I realtà, ella rcerca quas sempre l prcedmet lgc ha la dreze ppsta: s cerca d stmare l parametr della pplaze (β ppure α) che d slt è gt, a partre dalle statstche ( b ppure a ) calclate su dat campar. Calclat u valre b, l ceffcete aglare della pplaze (β) c prbabltà P s trva etr lmt dell tervall d cfdeza L 1 e L L 1 b t (, α ) b spess scrtt pù rapdamete cme dve - b è l errre stadard d b L β b b + t(, α ) ± t(, α ) b b b e ( ) Per l'tercetta campara ( a ), l valre reale della pplaze (α) s trva etr l tervall dve - a è l'errre stadard d a α a ± t (, α ) a c a e 1 + ( ) ( ) - e che etramb cas dca la varaza d errre, stmata c l test F 36

EEMPIO. Rcrred agl stess dat su altezza e pes, c qual s stat calclat la retta e la sua sgfcatvtà, s è tteut b 0,796 b 0,1794 t (5,0.05),571 t (5, 0.005) 4,03 a -73,357 a 30,599 tmare alla prbabltà α 0.05 e a quella α 0.01 a) l tervall d cfdeza del ceffcete aglare β b) l tervall d cfdeza dell tercetta α. Rspsta. A) L'tervall d cfdeza del ceffcete aglare β alla prbabltà del 95% è 0, 796, 571 0, 1794 β 0, 796 +, 571 0, 1794 cè 0, 335 β 1, 57 - L 1 è uguale a 0,335 - L e uguale a 1,57. può ache scrvere che l valre della pplaze c prbabltà del 95% è cmpres tra l lmte d cfdeza ferre L 1 0,335 e l lmte d cfdeza superre L 1,57. Alla prbabltà del 99% è 0, 796 4, 03 0, 1794 β 0, 796 + 4, 03 0, 1794 cè 0,073 β 1,519 l valre reale β è cmpres tra L 1 0,073 e L 1,519. B) L'tervall d cfdeza per l'tercetta α alla prbabltà del 95% è 73, 357, 571 30, 599 α 73, 357 +, 571 30, 599 15, 07 α 5, 313 cmpres tra L 1 15,07 e L 5,313. Alla prbabltà del 99% è 73, 357 4, 03 30, 599 α 73, 357 + 4, 03 30, 599 196, 73 α 50, 018 cmpres tra L 1 196,73 e L 50,018. 37

Ache queste applcaz, cme gà evdezat per la meda della pplaze (µ) rspett alla meda campara ( ), l tervall d cfdeza cstrut attr al valre campar cresce, quad s aumeta la prbabltà che ess cmpreda l valre reale. Per semplctà ddattca e cme aut alla esecuze d tutt calcl rchest dalle frmule, è stat utlzzat u umer d dat mlt lmtat, ettamete ferre a quell che s usa ella rcerca. D csegueza, parametr della retta ha tervall mlt amp; tale rsultat è partclarmete evdete per l tercetta a. 15.9. INTERVALLI DI CONFIDENZA DELLA RETTA O INTERVALLI DI PREVIIONE PER I VALORI MEDI DI Yˆ TIMATI Nella rcerca applcata all aals e alla geste dell ambete, s rleva utl tre dvers cas d stma dell tervall d cfdeza: - del ceffcete aglare, cme el paragraf precedete; - del valre med d Y stmat ( Yˆ ), crrspdete ad u dat valre d ; è l cas cu s smmstra ua sstaza tssca ad u grupp d cave e s vule prevedere quale sarà l effett med sulla lr crescta, suppst che essta la relaze leare gà stmata tra dse e accrescmet; è chamat ache tervall d cfdeza della retta, essed fatt la stma d g put sulla retta; - d u sgl valre d Y stmat, sempre crrspdete ad u dat valre d ; è l cas cu s vgla predre la rspsta d u sgl sggett, cme succede al medc che per u pazete vgla stmare la rspsta dvduale pssble alla smmstraze d ua dse d u farmac. Il valre med d Yˆ, cllcat sulla retta e crrspdete ad u dat valre attravers la fuze Yˆ a + b può essere stmat Ma spess l cetta a è fur dal camp d rappresetaze del grafc, cetrat sul barcetr ctr de valr med e Y. E qud pssble utlzzare la frmula equvalete Yˆ Y + b ( ) EEMPIO. Calclare l valre med Yˆ prevst per 180, c dat sull altezza delle 7 ragazze. 38

Rspsta. C per 180 c la prma frmula s rcava e c la secda a -73,35 b 0,796 Y 63,57 17,0 ˆ 73,35 + b 180 73,35 + 143,8 69,93 Y ( 180 17,0) 63,57 + 6,36 69, 93 ˆ 63,57 + 0,796 Y L tervall d cfdeza d quest valre med d Yˆ valre attes d Yˆ crrspdete ad u sgl valre d de alte 180 cm., è stmat medate la frmula cme può essere l tervall d cfdeza del pes med d gva dve Yˆ ± t (, α ) e 1 + ( ) ( ) 1 - Yˆ è l valre prevst med d Y per u dat valre della varable, - e è la varaza d errre della regresse (16,6), - è la dmese del campe, - è l valre d del quale s prevede la rspsta meda Yˆ, - ( ) 1 è la devaza d. Questa frmula eleca fattr che s utlzzat ella stma e spega cme ess che flusc sull'ampezza dell'tervall d cfdeza della retta 39

80 70 PEO 60 50 40 160 170 180 190 ALTEZZA Itervall d cfdeza per valr med d Yˆ al 5% (lee a put) e all'1% (lee tratteggate) Per ua data prbabltà P, - aumeta al crescere della varaza d'errre, - dmusce all'aumetare del umer d sservaz, per l'effett cgut del valre d t, α e del rapprt 1/, - dmusce al crescere della devaza d, - vara fuze de valr d, c valr mm quad è vc alla sua meda e valr massm quad ha dstaza massma dalla meda. E mprtate evdezare questa ultma caratterstca. Il valre ( ( ) 1 ) è dett valre d leva (leverage) dell sservaze sul valre della retta. 40

A dffereza d quat succede per l tervall del ceffcete aglare, l'tervall d cfdeza della retta valre med attes Yˆ è cstate, ma vara c ua fuze perblca rapprt alla vcaza d alla sua meda. I valr d Yˆ crrspdet a valr d pù dstat dalla meda lr meda ha ua flueza maggre ella determaze de parametr della retta. Csderad 7 dat dell'esemp rcrrete sulla relaze tra pes e altezza, è stat calclat l tervall d cfdeza degl Y stmat per g valre rlevat; è pssble ache l cfrt c l valre Y campar. Valr attes d Y c l lr tervall d cfdeza Altezza Pes α 005. α 001. Y L 1 Yˆ L L 1 Yˆ L 160 5 47, 91 54, 018 60, 495 43, 468 54, 018 64, 568 178 68 63, 58 68, 348 73, 114 60, 873 68, 348 75, 83 183 75 65, 968 7, 38 78, 688 6, 353 7, 38 8, 303 180 71 64, 596 69, 940 75, 84 61, 560 69, 940 78, 31 166 63 54, 09 58, 795 63, 561 51, 30 58, 795 66, 70 175 59 61, 87 65, 960 70, 093 59, 478 65, 960 7, 44 16 57 49, 605 55, 611 61, 617 46, 19 55, 611 65, 030 Nella tabella s rprtat - valr med d Yˆ (al cetr) - relatv tervall d cfdeza (L 1, valre med, L ) alla prbabltà α 0.05 e α 0.01, per alcu valr d elecat rde casuale: I valr d L 1 e L, seme c la fgura, evdeza - la mre dsperse del valre med d Y stmat ( Yˆ ) quad l valre d è prssm alla meda delle, - la maggre dsperse delle stme alla prbabltà α 0.01 rspett a quelle della prbabltà α 0.05. La stma dell errre stadard d g valre med permette ache l cfrt tra u valre med calclat per ua specfca quattà perché trvat su ua pubblcaze) ed u valre med ptzzat attes, (ad esemp, 41

- attravers l test t c df - ed ptes H 1 sa blateral che ulateral t ( ) e Yˆ calclat 1 + Y ( ) ( ) 1 ptzzat Nel calcl d sgl valr med, l errre stadard d a ( ) è uguale a quell d b. E fatt semplce sservare che per 0 s ttee Yˆ a. a a 1 e + ( ) ( ) I 1 scrtt spess cme a + 1 e ( ) 1 quat 0 Tuttava l tervall d cfdeza d α è quas sempre mlt grade: la sua dstaza dal valre med è massma, qud ( ) ppure s valr mlt grad. Ped l atteze sul valre med d Y stmat ( Yˆ ) per ua specfca quattà, vare ccas l rcercatre può essere teressat a cscere la mede d m sservaz. L errre stadard per quel valre d Y stmat ( Yˆ ) cè Y dveta dve Y 1 + + m 1 e ( ) 1 4

- m è l umer d sservaz d cu s cerca la rspsta meda Yˆ per l specfc valre K 15.10. INTERVALLI DI CONFIDENZA O INTERVALLI DI PREVIIONE PER INGOLI VALORI DI Yˆ TIMATI U'altra esgeza frequete ella rcerca è la prevse dell'tervall d prevse (dett ache tervall d cfdeza, seppure md me crrett) per ua sgla rspsta d Y ; altr term, quale è la dsperse de sgl valr d Y, per u dat valre. Ache quest cas, l valre med cllcat sulla retta può essere stmat c ppure c la frmula equvalete cme llustrat el paragraf precedete Yˆ Yˆ a + b Y + b ( ) L'tervall d prevse d u sgl valre Y per u valre può essere stmat a partre dal valre sulla retta Yˆ medate Y Yˆ ± t (, α ) e 1 1+ + c la csueta smblga, usata ache per valr med d Y el paragraf precedete. ( ) ( ) 1 La fgura successva è cstruta c dat della tabella, per gl stess valr gà utlzzat per l calcl dell tervall d cfdeza de valr med Yˆ rprtat el paragraf precedete. 43

90 80 70 PEO 60 50 40 30 160 165 170 175 180 185 ALTEZZA Itervall d cfdeza per sgl valr d Yˆ al 5% (lee a put) e all'1% (lee tratteggate) Valr attes d Y c l lr tervall d cfdeza Altezza Pes α 005. α 001. Y L 1 Yˆ L L 1 Yˆ L 160 5 41, 70 54, 018 66, 334 34, 703 54, 018 73, 33 178 68 56, 984 68, 348 79, 71 50, 56 68, 348 86, 170 183 75 60, 08 7, 38 84, 447 53, 31 7, 38 91, 335 180 71 58, 3 69, 940 81, 558 51, 719 69, 940 88, 161 166 63 47, 431 58, 795 70, 159 40, 973 58, 795 73, 617 175 59 54, 846 65, 960 77, 074 48, 531 65, 960 83, 389 16 57 43, 674 55, 611 67, 548 36, 890 55, 611 74, 33 Ache quest cas è presete l valre ( ( ) 1 ) 44