UNIVERSITA DEGLI STUDI ROMA TRE CdS in Ingegneria Informatica corso di FONDAMENTI DI TELECOMUNICAZIONI Prova di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). COMPITO A nota: l esame ha validità solo se incluso nel piano degli studi per l anno accademico corrente. cognome e nome (in stampatello): firma: numero matricola: oppure numero documento: data di nascita (giorno/mese/anno): / / Nell'a.a. 2009/2010 iscritto/a al anno del corso di (BARRARE UN CERCHIO): O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 270. O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 509. O altro (specificare) : Esercizi: 1) Calcolare l anti-trasformata di Fourier del segnale y(t), avente spettro Y(f) definito dalla seguente operazione di convoluzione: f ( ) = ( ) sin 2 1 Y f X f c 3, essendo: X ( f ) = 2 sin ( ) 4 2π f 2π 8 Successivamente, calcolare: a) l autocorrelazione C xx (τ), b) la potenza del segnale x(t). 2) Date le seguenti sequenze, dove U -1 (n) rappresenta la sequenza gradino e si consideri n esteso a tutti i valori non nulli di x(n) e y(n): x(n) = j e j π n [U -1 ( n ) - U -1 (- n - 6)] y(n) = j sinc [n - 3 ] [U -1 ( n - 1) - U -1 (n - 7)] Si calcoli: a) il valore della cross-correlazione C xy (n) b) si verifichi la validità della disuguaglianza di Schwartz. 3) Si considerino le variabili aleatorie x e y ottenute dalle seguenti trasformazioni: x = u b - w (1-b) + w y = x ove u e w sono due variabili aleatorie, indipendenti tra loro, ed uniformemente distribuite nell intervallo [-6, 0] mentre b è una variabile aleatoria binomiale, indipendente da u e w, con valori possibili {-2, +2} di probabilità P(b = -2) = 0.7 e P(b = +2) = 0.3. Determinare: a) il grafico p x (x) della densità di probabilità di x; b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria x; c) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria y. d) la funzione di distribuzione cumulativa di y;
SOLUZIONI COMPITO A. ESERCIZIO 1 Il segnale y(t) può essere ottenuto come prodotto nel tempo delle anti trasformate dei due spettri che sono convoluti in frequenza. In particolare, indicando con: Z(f) = sinc 2 (f/4-3) ne possiamo calcolare immediatamente l anti-trasformata di Fourier, ottenendo: j2π 12t z(t) = 4 tri ¼ (t) e Questa funzione andrà moltiplicata per il segnale x(t), che risulta pari all anti-trasformata dello spettro X(f), ovvero: x(t) = -j [e jπ/4 δ(t + 1/8) - e jπ/4 δ(t - 1/8)] = (0.5) ½ [(j - 1) δ(t + 1/8) + (j + 1) δ(t - 1/8)] La tri calcolata in +1/8 e -1/8 è pari ad ½ del suo valore massimo, quindi si avrà: y(t) = 2 (0.5) ½ (j - 1) e -jπ 24/8 δ(t + 1/8)+ 2 (0.5) ½ (j + 1) e jπ 24/8 δ(t - 1/8)= = 2.83(j - 1)[cos(3 π) j sin (3 π)] δ(t + 1/8)+ 2.83 (j + 1) [cos(3 π) + j sin (3 π)] δ(t - 1/8)= = - 2.83(j 1) δ(t + 1/8) -2.83(j + 1) δ(t - 1/8) Y(f=0) = -5.66 j a) Autocorrelazione di x(t): C xx (f) = X(f) 2 ovvero C xx (τ) = x * (-t) * x(t) = j δ(t + 1/4) j δ(t - 1/4) +2 δ(t) b) Potenza di x(t): P x = 2 ESERCIZIO 2 La prima sequenza x(n) si estende nell intervallo [-5, 0] ed in particolare vale +j per tutti gli n pari e j per tutti gli n dispari. La seconda sequenza y(n) è diversa da zero solo per n = 3 e vale +j, ovvero può essere considerata come un impulso centrato in n = 3 e dato da: +j δ(n - 3). La cross-correlazione sarà a questo punto la semplice convoluzione tra la prima sequenza complessa e coniugata e ribaltata e l impulso, ovvero si avrà una sequenza che si estende nell intervallo [3, 8] e vale: C xy (n) = [+1, -1, +1, -1, +1, -1]. Verifichiamo ora la disuguaglianza: C xx (0) = 6, C yy (0) = 1, disuguaglianza verificata (1 < 2.45)!
ESERCIZIO 3 Possiamo riscrivere la variabile aleatoria x nel modo seguente: x = b (u+w) Ottenendo quindi un triangolo (di base 12) da moltiplicare con una binomiale con determinazioni di ampiezze differenti. Il risultato finale sarà quello di avere un triangolo di base 24, esteso da -24 a 0 e centrato in -12 (con l altezza 1/12 modulata dall impulso alto 0.3) ed un secondo triangolo di base 24, esteso da 0 a +24 e centrato in 12 (con l altezza 1/12 modulata dall impulso alto 0.7). P x (x) 0.025 0.058-24 -12 0 12 24 x L area sottesa ad entrambi i triangoli deve essere unitaria. E[x] = 4.8; E[x 2 ] = 168 VAR[x] = 144.96 Il grafico della variabile aleatoria y è semplicemente un triangolo di base 24, esteso da 0 a +24, centrato in 12 ed alto 1/12. P y (y) 1/12 0 12 24 y
E[y] = 12; E[y 2 ] = 168 VAR[y] = 24 Di seguito la funzione di distribuzione cumulativa 1 D y (y) 1/2 0 12 24 y
UNIVERSITA DEGLI STUDI ROMA TRE CdS in Ingegneria Informatica corso di FONDAMENTI DI TELECOMUNICAZIONI Prova di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). COMPITO B nota: l esame ha validità solo se incluso nel piano degli studi per l anno accademico corrente. cognome e nome (in stampatello): firma: numero matricola: oppure numero documento: data di nascita (giorno/mese/anno): / / Nell'a.a. 2009/2010 iscritto/a al anno del corso di (BARRARE UN CERCHIO): O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 270. O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 509. O altro (specificare) : Esercizi: 1) Calcolare l anti-trasformata di Fourier del segnale y(t), avente spettro Y(f) definito dalla seguente operazione di convoluzione: f ( ) = ( ) sin 2 1 Y f X f c 2, essendo: X ( f ) = 2 cos ( ) 3 2π f 3π 6 Successivamente, calcolare: c) l autocorrelazione C xx (τ), d) la potenza del segnale x(t). 2) Date le seguenti sequenze, dove U -1 (n) rappresenta la sequenza gradino e si consideri n esteso a tutti i valori non nulli di x(n) e y(n): x(n) = j e -j (π/2) n [U -1 ( n ) - U -1 (n - 6)] y(n) = j sinc [n - 5 ] [U -1 ( - n + 1) - U -1 (-n + 7)] Si calcoli: c) il valore della cross-correlazione C xy (n) d) si verifichi la validità della disuguaglianza di Schwartz. 3) Si considerino le variabili aleatorie x e y ottenute dalle seguenti trasformazioni: x = u b - w (1-b) + w y = x ove u e w sono due variabili aleatorie, indipendenti tra loro, ed uniformemente distribuite nell intervallo [-8, -2] mentre b è una variabile aleatoria binomiale, indipendente da u e w, con valori possibili {-1, +1} di probabilità P(b = -1) = 0.4 e P(b = +1) = 0.6. Determinare: a) il grafico p x (x) della densità di probabilità di x; b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria x; c) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria y; d) la funzione di distribuzione cumulativa di y.
SOLUZIONI COMPITO B. ESERCIZIO 1 Il segnale y(t) può essere ottenuto come prodotto nel tempo delle anti trasformate dei due spettri che sono convoluti in frequenza. In particolare, indicando con: Z(f) = sinc 2 (f/3-2) ne possiamo calcolare immediatamente l antitrasformata di Fourier, ottenendo: j2π 6t z(t) = 3 tri 1/3 (t) e Questa funzione andrà moltiplicata per il segnale x(t), che risulta pari all anti-trasformata dello spettro X(f), ovvero: x(t) = j δ(t + 1/6) - j δ(t - 1/6)] La tri calcolata in +1/6 e -1/6 è pari ad ½ del suo valore massimo, quindi si avrà: y(t) = 3 (j) e -jπ 6/3 δ(t + 1/6)+ 3 (-j) e jπ 6/3 δ(t - 1/6)= = 3 j [cos(2 π) j sin (2 π)] δ(t + 1/6) - 3 j [cos(2 π) + j sin (2 π)] δ(t - 1/6)= = 3 j δ(t + 1/6) - 3 j δ(t 1/6) Y(f = 0) = 0 c) Autocorrelazione di x(t): C xx (f) = X(f) 2 ovvero C xx (τ) = x*(-t) * x(t) = -δ(t + 1/3) - δ(t - 1/3) + 2 δ(t) d) Potenza di x(t): P x = 2 ESERCIZIO 2 La prima sequenza x(n) si estende nell intervallo [0, 5], ed è formata da parte reale e parte immaginaria. In particolare, possiamo considerare solo la parte immaginaria visto che è immaginaria pura anche la seconda sequenza. Otteniamo quindi x(n) che vale: x(n) = [+j, 0, -j, 0, +j, 0], per n = 0, 1,, 5. La seconda sequenza y(n) è diversa da zero solo per n = 5 e vale +j, ovvero può essere considerata come un impulso centrato -j δ(n - 5). La cross-correlazione sarà a questo punto la semplice convoluzione tra la prima sequenza complessa e coniugata e ribaltata e l impulso, ovvero si avrà una sequenza che si estende nell intervallo [0, 5] e vale: C xy (n) = [0, -1, 0, +1, 0, -1]. Verifichiamo ora la disuguaglianza: C xx (0) = 6 (considero anche la parte reale!), C yy (0) = 1, disuguaglianza verificata (1 < 1.73)!
ESERCIZIO 3 Possiamo riscrivere la variabile aleatoria x nel modo seguente: x = b (u+w) Ottenendo quindi un triangolo (di base 12) da moltiplicare con una binomiale con determinazioni di ampiezze differenti. Il risultato finale sarà quello di avere un triangolo di base 12, esteso da -16 a -4 e centrato in -10 (con l altezza 1/6 modulata dall impulso alto 0.6) ed un secondo triangolo di base 12, esteso da 4 a 16 e centrato in 10 (con l altezza 1/6 modulata dall impulso alto 0.4). P x (x) 0.1 0.067-16 -10-4 0 4 10 16 x L area sottesa ad entrambi i triangoli deve essere unitaria. E[x] = -2; E[x 2 ] = 106 VAR[x] = 102 Il grafico della variabile aleatoria y è semplicemente un triangolo di base 12, esteso da 4 a +16, centrato in 10 ed alto 1/6. P y (y) 1/6 4 10 16 y E[y] = 10;
E[y 2 ] = 106 VAR[y] = 6 Di seguito la funzione di distribuzione cumulativa 1 D y (y) 1/2 4 10 16 y
UNIVERSITA DEGLI STUDI ROMA TRE CdS in Ingegneria Informatica corso di FONDAMENTI DI TELECOMUNICAZIONI Prova di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). COMPITO C nota: l esame ha validità solo se incluso nel piano degli studi per l anno accademico corrente. cognome e nome (in stampatello): firma: numero matricola: oppure numero documento: data di nascita (giorno/mese/anno): / / Nell'a.a. 2009/2010 iscritto/a al anno del corso di (BARRARE UN CERCHIO): O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 270. O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 509. O altro (specificare) : Esercizi: 2) Calcolare l anti-trasformata di Fourier del segnale Y(f), ottenuto come filtraggio di un segnale sinusoidale x(t) di potenza unitaria e frequenza portante f c = 2/π, con un filtro ideale passa-basso di banda B = 3π. Successivamente, calcolare: a) il valore di y(t) per t = 0; b) l autocorrelazione C xx (τ). 2) Date le seguenti sequenze, dove U -1 (n) rappresenta la sequenza gradino e si consideri n esteso a tutti i valori non nulli di x(n) e y(n): x(n) = j e -j π n [U -1 ( n ) - U -1 (- n - 3)] y(n) = j sinc [-n + 3.5 ] [U -1 ( n - 1) - U -1 (n - 7)] Si calcoli: a) il valore della cross-correlazione C xy (n) b) si verifichi la validità della disuguaglianza di Schwartz. 3) Si considerino le variabili aleatorie x e y ottenute dalle seguenti trasformazioni: x = u b - w (1-b) + w y = u 0.5 ove u e w sono due variabili aleatorie, indipendenti tra loro, ed uniformemente distribuite nell intervallo [-6, 0] e [-3, 1], rispettivamente, mentre b è una variabile aleatoria binomiale, indipendente da u e w, con valori possibili {-7, +7} di probabilità P(b = -7) = 0.1 e P(b = +7) = 0.9. Determinare: a) il grafico p x (x) della densità di probabilità di x; b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria x; c) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria y.
SOLUZIONI COMPITO C. ESERCIZIO 1 Il segnale x(t) è dato da: x(t) = A cos (4 t) dove A deve valere 2 ½ per avere potenza unitaria. Infatti, l autocorrelazione C xx (τ) è pari a: C xx (τ) = A 2 /2 cos (4 t) = cos(4t) Lo spettro di x(t) vale: X(f) = 2 ½ ½ [δ(f+ 2/π) + δ(f- 2/π)] Mentre il filtro passa basso di banda B = 3π ha funzione di trasferimento pari a: H(f) = K rect 2B (f), dove K è un fattore di altezza arbitrario (per semplicità, nel seguito, K=1) Lo spettro cercato sarà pari a: Y(f) = X(f) H(f) = 2 ½ ½ [rect 2B (f) + rect 2B (f)], calcolata in f = ±2/π. e quindi y(0) =2 ½. N.B. se per x(t) avessimo scelto un seno, piuttosto che un coseno, l autocorrelazione sarebbe rimasta la stessa, sarebbe solo cambiato lo spettro X(f). ESERCIZIO 2 La sequenza x(n) si estende nell intervallo [-2, 0] e vale: x(n) = [j, -j, j], per n = -2,-1,0. La sequenza y(n) si estende nell intervallo [1, 6] e vale: y(n) = [0.1273 j, - 0.2122 j, 0.6366j, 0.6366j, - 0.2122j, 0.1273j], per n = 1, 2,, 6. La cross-correlazione C xy (k) si estende nell intervallo [1, 8] e vale: C xy (k) = [0.1273, -0.3395, 0.9762, -0.2122, -0.2122, 0.9762, -0.3395, 0.1273], per n=1,2,, 8 C xx (0) = 3 C yy (0) = 0.933 C xy (3) = 0.9762 < 1.673, ok!
ESERCIZIO 3 Possiamo riscrivere la variabile aleatoria x nel modo seguente: x = b (u+w) Ottenendo quindi un trapezio (di base maggiore 10 e base minore 2), esteso da -9 a +1 e centrato in -4, da moltiplicare con una binomiale con determinazioni di ampiezze differenti (-7, +7). Il risultato finale sarà quello di avere un trapezio, esteso da -63 a 7 e centrato in -28 (con l altezza 1/6 modulata dall impulso alto 0.9) ed un secondo trapezio, esteso da -7 a +63 e centrato in +28 (con l altezza 1/6 modulata dall impulso alto 0.1). Si otterrà alla fine una densità di probabilità come rappresentata in figura seguente (in figura si è rappresentato l istogramma della d.d.p e la sua approssimazione con una gaussiana).
Seguono i valori dei momenti cercati: E[x] = -22.4; E[x 2 ] = 1118.8 VAR[x] = 617.04 P Y (y) = 1/3 y, con y compresa tra [0, 2.4495]. Ancora una volta per semplicità di esposizione si riporta il grafico dell istogramma della ddp di y e la sua approssimazione tramite gaussiana. E[y] = 1.63; E[y 2 ] = 3 VAR[y] = 0.3431
UNIVERSITA DEGLI STUDI ROMA TRE CdS in Ingegneria Informatica corso di FONDAMENTI DI TELECOMUNICAZIONI Prova di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). COMPITO D nota: l esame ha validità solo se incluso nel piano degli studi per l anno accademico corrente. cognome e nome (in stampatello): firma: numero matricola: oppure numero documento: data di nascita (giorno/mese/anno): / / Nell'a.a. 2009/2010 iscritto/a al anno del corso di (BARRARE UN CERCHIO): O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 270. O Laurea Triennale in Ingegneria Informatica D.M. 509. O altro (specificare) : Esercizi: 3) Calcolare l anti-trasformata di Fourier del segnale Y(f), ottenuto come filtraggio di un segnale sinusoidale x(t) di potenza unitaria e frequenza portante f c = 7/π, con un filtro ideale passa-banda con frequenza minima e massima rispettivamente f l = π ed f u = 3π. Successivamente, calcolare: a) il valore di y(t) per t = 0; b) l autocorrelazione C xx (τ). 2) Date le seguenti sequenze, dove U -1 (n) rappresenta la sequenza gradino e si consideri n esteso a tutti i valori non nulli di x(n) e y(n): x(n) = j e j π n [U -1 ( n ) - U -1 (- n - 3)] y(n) = j sinc [n - 3.5 ] [U -1 ( n - 1) - U -1 (n - 7)] Si calcoli: a) il valore della cross-correlazione C xy (n) b) si verifichi la validità della disuguaglianza di Schwartz. 3) Si considerino le variabili aleatorie x e y ottenute dalle seguenti trasformazioni: x = u b - w (1-b) + w y = u 2 ove u e w sono due variabili aleatorie, indipendenti tra loro, ed uniformemente distribuite nell intervallo [-6, 0] e [-3, 1], rispettivamente, mentre b è una variabile aleatoria binomiale, indipendente da u e w, con valori possibili {-7, +7} di probabilità P(b = -7) = 0.1 e P(b = +7) = 0.9. Determinare: a) il grafico p x (x) della densità di probabilità di x; b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria x; c) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria y.
SOLUZIONI COMPITO D. ESERCIZIO 1 Il segnale x(t) è dato da: x(t) = A cos (14 t) dove A deve valere 2 ½ per avere potenza unitaria. Infatti, l autocorrelazione C xx (τ) è pari a: C xx (τ) = A 2 /2 cos (14 t) = cos(14t) Lo spettro di x(t) vale: X(f) = 2 ½ ½ [δ(f+ 7/π) + δ(f- 7/π)] Mentre il filtro passa-banda con frequenza minima e massima rispettivamente f l = π ed f u = 3π ha funzione di trasferimento pari a: H(f) = K [rect 2π (f - 2π) + rect 2π (f + 2π)], dove K è un fattore di altezza arbitrario (per semplicità, nel seguito, K=1) Lo spettro cercato sarà pari a: Y(f) = X(f) H(f) = 2 ½ ½ [rect 2π (f - 2π) + rect 2π (f + 2π)], calcolata in f = ±7/π. e quindi y(0) =0. N.B. se per x(t) avessimo scelto un seno, piuttosto che un coseno, l autocorrelazione sarebbe rimasta la stessa, sarebbe solo cambiato lo spettro X(f). ESERCIZIO 2 La sequenza x(n) si estende nell intervallo [-2, 0] e vale: x(n) = [j, -j, j], per n = -2,-1,0. La sequenza y(n) si estende nell intervallo [1, 6] e vale: y(n) = [0.1273 j, - 0.2122 j, 0.6366j, 0.6366j, - 0.2122j, 0.1273j], per n = 1,2,, 6. La cross-correlazione C xy (k) si estende nell intervallo [1, 8] e vale: C xy (k) = [0.1273, -0.3395, 0.9762, -0.2122, -0.2122, 0.9762, -0.3395, 0.1273], per n=1, 2,, 8 C xx (0) = 3 C yy (0) = 0.933 C xy (3) = 0.9762 < 1.673, ok!
ESERCIZIO 3 Possiamo riscrivere la variabile aleatoria x nel modo seguente: x = b (u+w) Ottenendo quindi un trapezio (di base maggiore 10 e base minore 2), esteso da -9 a +1 e centrato in -4, da moltiplicare con una binomiale con determinazioni di ampiezze differenti (-7, +7). Il risultato finale sarà quello di avere un trapezio, esteso da -63 a 7 e centrato in -28 (con l altezza 1/6 modulata dall impulso alto 0.9) ed un secondo trapezio, esteso da -7 a +63 e centrato in +28 (con l altezza 1/6 modulata dall impulso alto 0.1). Si otterrà alla fine una densità di probabilità come rappresentata in figura seguente (in figura si è rappresentato l istogramma della d.d.p e la sua approssimazione con una gaussiana).
Seguono i valori dei momenti cercati: E[x] = -22.4; E[x 2 ] = 1118.8 VAR[x] = 617.04 P Y (y) = 1/12 y -1/2, con y compresa tra [0, 36]. Ancora una volta per semplicità di esposizione si riporta il grafico dell istogramma della ddp di y e la sua approssimazione tramite gaussiana. E[y] = 12; E[y 2 ] = 259.2 VAR[y] = 67041