Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 1 Complemeti di Algebra - 4. Numeri complessi 1 Dai umeri aturali ai umeri complessi 1.1 Itroduzioe Fu Girolamo Cardao (Ars Maga, 1545 il primo a trattare esplicitamete i umeri complessi, tetado di risolvere il seguete problema: dividere u segmeto di lughezza 10 i due parti tali che il rettagolo da esse formato abbia area 40 I realtà l area di u tale rettagolo è al massimo 5, ma l algebra ci dice qualcosa i più, se cosideriamo l equazioe corrispodete al problema: x 10x+ 40 = 0. Essa coduce alle due soluzioi sofistiche 5+ 15 e 5 15, che usao il umero immagiario 15 e il cui prodotto è e la cui somma è ( 5 + 15( 5 15 = 5 ( 15 = 40 ( 5 + 15 + ( 5 15 = 10. Nei secoli successivi, umerose altre equazioi algebriche portaroo a soluzioi immagiarie, come le defiì Cartesio el 1637. Ma fu grazie ad Eulero che lo studio di tale materia trovò pieo compimeto: egli itrodusse l uità immagiaria i, tale che i = 1, che permise di scrivere i umeri precedeti come 5+ i 15 e qualsiasi altro umero complesso ella forma a oi ota: z = a+ ib L iterpretazioe geometrica fu dovuta alle tesi di Gauss (1799 e Argad (1806 e alla loro itroduzioe del piao complesso, che oggi porta il loro ome. 1. Richiami sugli isiemi umerici L isieme = { 0,1,, 3, } dei umeri aturali, ovvero degli iteri maggiori o uguali a 0, è chiuso rispetto alla somma, ovvero: 1. ab, a+ b= c Rispetto a questa operazioe, 0 è l elemeto eutro, poiché. a+ 0= 0 + a= a, a No esiste però l iverso, ossia u umero b tale che 3. b: a+ b= b+ a= 0, a. Ciò equivale a o poter risolvere i l equazioe algebrica x+ a = 0 ovvero x + a = b, a > b. Ad es. x + 5=
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi Il umero cercato è come sappiamo l opposto a di a: ecco da dove deriva la ecessità di ampliare l isieme dei umeri iteri icludedo ache quelli egativi, costruedo così l isieme dei umeri relativi =, 3,, 1,0,1,,3, { } Questo isieme ora o solo è chiuso rispetto alla somma, ma possiede rispetto ad essa l elemeto eutro e l iverso. È, come si dice, u gruppo additivo. Possiamo procedere aalogamete cosiderado il prodotto tra due umeri relativi: 1. ab, ab = c, ossia è chiuso rispetto al prodotto. a 1= 1 a = a, a, ossia 1 è l elemeto eutro rispetto al prodotto Acora ua volta però o esiste però l iverso, ossia 3. b: a b= b a = 1, a. Ciò equivale a o poter risolvere i l equazioe algebrica ax+ b= 0, a 0 co b o divisibile esattamete per a, ad es. 7x 5= 0. Stavolta abbiamo bisogo del umero che chiamiamo reciproco 1 a di qualsiasi umero relativo o ullo, ossia per ciascu a 0 : ampliamo così il ostro isieme dei umeri, icludedo le frazioi ossia i rapporti tra umeri iteri, che si chiamao razioali a = a, b 0 b Fao parte di, oltre a ovviamete i umeri iteri relativi a che possoo scriversi ella forma 1 a, 4 tutti i umeri decimali limitati ma ache quelli illimitati ma periodici: ad es. 0.44444 =. Ua categoria 9 a parte è ivece costituita dai umeri decimali illimitati e o periodici che, o apparteedo a, si chiamao irrazioali. A questo puto etra i gioco u altro protagoista, Pitagora, co la scoperta, suo malgrado, che tali umeri o soo razioali, come ad es. quello che serve a duplicare il quadrato, ossia che risolve il seguete problema classico : dato u quadrato di lato 1, trovare il lato del quadrato di area doppia. Il problema equivale a risolvere i l equazioe algebrica x = 0 La soluzioe cercato è, solo che Pitagora o lo sapeva... o o voleva farlo sapere, poiché secodo lui omia ratio est, tutto è umero, o meglio, tutto è (umero razioale, metre ivece, come dimostra il seguete semplice TEOREMA. Dimostrazioe o è u umero razioale
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 3 a Suppoiamo per assurdo che ossia = co ab, 0. Seza perdere di geeralità possiamo b imporre che a sia ua frazioe ridotta ai miimi termii, ossia tale che b MDC a, b = 1. Ifatti, ad es., 3 6 9 3 = = =. 4 8 1 4 a Elevado al quadrato abbiamo allora che = b, ossia a = b. Ne cosegue che a è pari e quidi che ache a sarà pari (cfr Osservazioe successiva, ossia a = k. Sostituedo ella relazioe precedete abbiamo: 4k = b, ovvero b = k. Ma allora ache b sarà pari, ossia b h MDC a, b =. =, il che è ua cotraddizioe, poiché avremmo Osservazioe Il quadrato di u umero pari è acora pari. Ifatti: k = 4k = k = A Il quadrato di u umero dispari è acora dispari. Ifatti: k+ 1 = 4k + 4k+ 1= k + k + 1= B+ 1 I umeri irrazioali come si dicoo algebrici, poiché soluzioi di equazioi algebriche itere (el ostro caso x = 0. Altri umeri irrazioali come π, e,log,si7 etc. o hao ivece questa proprietà e si dicoo trascedeti. L uioe dei umeri razioali co quelli irrazioali costituisce l isieme dei umeri reali, che si possoo rappresetare graficamete co ua retta orietata essedo ifiiti come i puti della retta e i relazioe d ordie fra loro. sembrerebbe u isieme i cui possiamo fare di tutto... Ma se da ovelli Pitagora dovessimo imbatterci i u equazioe assolutamete aaloga alla precedete x + = 0 passeremmo i ostri guai... Ifatti le soluzioi algebriche di tale equazioe o esistoo i : abbiamo perciò bisogo di umeri che reali o soo, ecco perché li chiameremo immagiari. Abbiamo così costruito l isieme di umeri complessi:, ; = z= a+ ib a b i = 1 { } che completao la ostra sequeza degli isiemi umerici, ella quale il successivo è u estesioe di quello precedete: 1.3 Numeri immagiari Defiizioe Si chiama uità immagiaria il umero i tale che i = 1.
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 4 Poteze di i 0 1 3 i = 1 i = i i = 1 i = i 4 5 6 i = 1 i = i i = 1 4 4 1 4 4 3 i k = 1 i k+ = i i k+ = 1 i k+ = i Defiizioe Si chiamao immagiari i umeri della forma ib co b e i = 1. Coi umeri immagiari, per la gioia di Cardao, è fialmete possibile dare u sigificato ache alle radici quadrate di umeri egativi: 4 = i 4 = i e quidi le soluzioi dell atipatica equazioe x + = 0 divetao i umeri immagiari ± i. Aalogamete, coi umeri immagiari è ora possibile risolvere equazioi del tipo x + a = 0 che equivalgoo ifatti, posto a > 0, a x = a x = 1 a x = i a x= ia Esercizi Eseguire le segueti operazioi co i umeri immagiari: 7 1. i. ( i 8 7 4 3 i = i i = 1 i = i 8 8 8 8 i = i = 1 = 54 = = 4 3. ( i 4 4 4 4 i i 1.4 Numeri complessi Defiizioe Chiamiamo complesso ogi umero ella forma cartesiaa (o algebrica a+ ib, co ab, e i = 1. L isieme dei umeri complessi si idica co, ; = z = a+ ib a b i = 1 { } Esempio Soo umeri complessi i segueti: 1+ 5 i, i, e+ iπ, 0 ilog etc. 1.5 Forma cartesiaa dei umeri complessi Defiizioe a = Re( z si chiama parte reale del umero complesso z b= Im( z e è ivece la parte immagiaria
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 5 Operazioi co i umeri complessi (forma cartesiaa.1 Premessa Defiizioe Dato il umero complesso z = a+ ib e defiiamo il coiugato: z = a ib l opposto: z = a ib Osservazioe I umeri complessi co parte immagiaria ulla soo umeri reali, da cui segue il fatto che è effettivamete u estesioe di : b= 0 z = a I umeri complessi co parte reale ulla soo umeri immagiari: a = 0 z = ib, b Il umero complesso co parte reale e immagiaria etrambe ulle corrispode o a 0 ma a 0 ( 0,0 : a = b= 0 z 0 Itroduciamo ora le operazioi algebriche tra umeri complessi. Si può facilmete verificare che esse mategoo le proprietà valide i : associativa, commutativa e distributiva.. Somma La somma algebrica di due umeri complessi è il umero complesso otteuto sommado tra loro le parti reali e immagiarie: Dati z = a+ ib e w= c+ id : z+ w= ( a+ ib + ( c+ id = ( a+ c + i( b+ d Osservazioe Le operazioi tra umeri complessi scritti i forma cartesiaa risultao semplici se si trattao tali umeri come se fossero biomi, ossia come se i fosse ua variabile. Osservazioe Proprietà del coiugato: z+ z = a Proprietà dell opposto: z+ ( z 0 Proprietà dell opposto del coiugato: z ( z ib + =.3 Prodotto Il prodotto tra due umeri complessi è il umero complesso otteuto usado la proprietà distributiva (prodotto termie a termie, come per i biomi e sfruttado la relazioe i = 1: z w = ( a + i b ( c + i d = ac + i ad + i bc + i bd = ( ac bd + i ( bc + ad
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 6 Proprietà del coiugato: z z a b + = +.4 Reciproco Dato w= c+ id 0, si defiisce 1 1 c id c d = = = i w c+ id c + d c + d c + d c id c + d E ifatti: ( c+ id = = 1 c + d c + d.5 Rapporto Il rapporto tra due umeri complessi, di cui il secodo o ullo, è il umero complesso otteuto moltiplicado il primo per il reciproco del secodo, ossia razioalizzado (moltiplicado umeratore e deomiatore per il coiugato del secodo umero: z z w ( a+ ib( c id ac+ bd bc ad = = = + i w w w ( c+ id( c id c + d c + d Osservazioe ( z± w = z ± w ( z w = z w z z = w w.6 Poteza Utilizzado le ote proprietà delle poteze di u biomio, possiamo calcolare le poteze successive di z: 3 3 3 3 ( 3 ( 3 z = a+ ib = a + a ib+ ib = a b + i ab z = a+ ib = a + a ib+ a ib + ib = a ab + i a b b 3 3 3 3 I geerale, ricordado che la poteza -ma di u biomio è u poliomio completo e omogeeo di grado, el ostro caso elle due variabili a e ib, possiamo usare il triagolo di Tartaglia per ricavare i coefficieti di tale poliomio: 0 a+ ib 1 ( a+ ib ( a+ ib ( a+ ib ( a+ ib ( a+ ib ( a+ ib 1 3 4 5 6 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 Calcolare ( a+ ib diveta così u operazioe o difficile ma sicuramete luga. Esercizi Eseguire le segueti operazioi coi umeri complessi: 1 i 1 i 1. ( + ( [ = 1 i+ i+ = 3 i ]
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 7. ( 1+ i ( 1 i [ = 1+ i 1+ i= 3i] 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i+ i 1 3 3. 1 i = = = + i 1 i1+ i 1+ 4 5 5 3 Rappresetazioe geometrica dei umeri complessi La forma cartesiaa z = a+ ib dei umeri complessi è molto utile per poterli agevolmete rappresetare graficamete. È evidete ifatti come z sia uivocamete determiato dalla coppia di umeri ( ab, che idividua u puto sul piao cartesiao, o meglio, su ua sua versioe modificata. 3.1 Piao di Argad-Gauss Nel piao cartesiao, chiamiamo asse reale quello delle ascisse x e asse immagiario quello delle ordiate iy; sul primo riportiamo la parte reale a del umero complesso che vogliamo rappresetare, sul secodo la sua parte immagiaria b. Tali valori idividuao uivocamete u puto P( a, b del piao, che chiameremo ora piao complesso. Cosideriamo il vettore z = OP, di compoeti a e b rispettivamete, ossia stabiliamo ua corrispodeza biuivoca tra umeri complessi e vettori del piao. Esempio Viee aturale defiire il modulo di z come z = a + b.
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 8 Esercizio 1 Servedoti della figura, calcola z+ w. s = z+ w è la diagoale del parallelogramma OPSQ : possiamo calcolare il modulo, cioè la lughezza, applicado il teorema del coseo al triagolo OPS. cos OPS ˆ = cos π POQ ˆ = cos POQ ˆ e che OQ = PS = w e poiamo Notiamo che ϕ = POQ ˆ = arg( w arg( z. ( ˆ OS = OP + OQ OP OQ cos OPS s = z + w + z w cosϕ 3. Forma trigoometrica dei umeri complessi U vettore z = OP el piao complesso è uivocamete determiato da due valori: fiora abbiamo usato le sue compoeti ( Re ( z, Im( z, ovvero le coordiate cartesiae del suo estremo libero P = ( a, b. Ma esiste u altro sistema che permette di idividuarlo cosiderado il modulo di OP (cioè la distaza di P dall origie e l argometo ϑ, ovvero l agolo che OP forma co il semiasse reale positivo. Tale sistema è detto delle coordiate polari di P, ovvero delle compoeti trigoometriche di z, che soo facilmete ricavabili da quelle cartesiae grazie a u po di semplice trigoometria, che porta alle segueti relazioi: a cosϑ = a + b = b s b = ϑ = arcta ( + π se a < 0 a a = Re( z : parte reale b= Im( z : parte immagiaria = z : modulo ϑ = arg( z : argometo Esercizi Calcolare modulo e argometo dei segueti umeri complessi: 1 π 1. 1+ i = 1+ 1 = ; ϑ = arcta = 1 4. 1 i = 5; ϑ = arcta ( 63.4 3. 3+ i = 13; ϑ = arcta ( 3 + 180 146.3 Forma trigoometrica Co le relazioi precedeti è semplice ricavare ua uova rappresetazioe per z:
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 9 Defiizioe ( cos si z = a+ ib= ϑ+ i ϑ coiugato z = a ib= ( cos( ϑ + isi ( ϑ opposto z = a ib= cos( ϑ+ π + isi ( ϑ+ π Esempio Trasformiamo z = 1+ i 3 i coordiate polari: 3 π π abbiamo = 1+ 3 = e ϑ = arcta = + π = (ci troviamo el II quadrate 1 3 3 π π 3 3 da cui: z = 1+ i 3 = ( cos + isi π π Trasformiamo z ( cos isi abbiamo = + i coordiate cartesiae: a = b= = da cui: ( π π 4 4 4 4 z = cos + isi = + i Osservazioe I o è possibile defiire ua relazioe d'ordie ossia, fissati due umeri complessi z 1 e z, stabilire chi sia maggiore dell altro. È però possibile cofrotare i umeri complessi i base al loro modulo, che è per defiizioe u umero reale (positivo e usado la relazioe d ordie defiita i. Come soo rappresetati graficamete umeri complessi che hao lo stesso modulo? Esercizio 1 Idividua el piao complesso i puti per cui z =. Si tratta dei puti della circofereza di cetro l origie e raggio.
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 10 Idividua el piao complesso i puti per cui 1< z <. Si tratta dei puti della coroa circolare di cetro l origie e raggi 1 e rispettivamete. 4 Operazioi co i umeri complessi (forma trigoometrica 4.1 Prodotto Il prodotto tra due umeri complessi scritti i forma trigoometrica ha ua comoda proprietà: 1( cosϑ1+ is1 ( cosϑ+ is = = 1 ( cosϑ1 cosϑ s1 s + i ( s1 cosϑ + cosϑ1 s = = 1( cos( ϑ1+ ϑ + i si ( ϑ1+ ϑ Ossia, il prodotto è u umero complesso il cui modulo è il prodotto dei moduli e l argometo è la somma degli argometi. 4. Reciproco 1 1 1 1 = = = + z ϑ ϑ ( cos + isi ( cosϑ is cos( ϑ isi ( ϑ La direzioe di 1 z è quidi simmetrica a quella di z rispetto l asse reale. 4.3 Rapporto Aalogamete a quato visto col prodotto, il rapporto tra due umeri complessi scritti i forma trigoometrica è u umero complesso il cui modulo è il rapporto dei moduli e l argometo è la differeza degli argometi: 1( cosϑ1+ i s1 1 = ( cos( ϑ1 ϑ + i si ( ϑ1 ϑ ( cosϑ + i s 4.4 Poteza Usiamo il prodotto tra umeri complessi scritti i forma trigoometrica: ( cos si ( cos si si cos ( cos si z = + i = + i = + i ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ( cos si 3 ( cos 3 si 3 3 z = ϑ+ i ϑ = = ϑ+ i ϑ Procededo per iduzioe, si può dimostrare i geerale la validità della Regola di De Moivre ( cos si ( cos si z = ϑ+ i ϑ = ϑ+ i ϑ Come vedremo, i realtà la formula vale. Verifichiamola ad es. per i umeri iteri egativi:
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 11 c.v.d. z 1 1 cosϑ is = ( cosϑ+ is = = = ( cosϑ i s ( cos ϑ+ isi ϑ cos ϑ isi ϑ + 1 1 = ( cos ϑ isi ϑ = ( cos( ϑ + isi ( ϑ Esercizi Calcolare le segueti poteze itere dei umeri complessi idicati, usado l abbreviazioe cis x = cos x+ isi x: 1. z = 1 + i, 4 z π z = cis( 4 4 4 π z = cis( 4 4 = 4cisπ = 4. z = 1 i, 4 z = 5; ϑ = arcta ( 4 z = 5 cis( 4 arcta ( 3. z = 3 i, 3 = 13; ϑ = arcta + π z 3 z = 13 cis( arcta + π Osservazioe Applicado la regola di De Moivre, ribadiamo come i sia possibile calcolare ache le poteze co base reale egativa: 1 1 cos 1 si 1 π π = π + i π = cos + isi = 0+ i = i Osservazioe Se il umero complesso u ha modulo uitario, cioè se si trova, el piao di Gauss, sulla circofereza goiometrica (cetrata sull origie e di raggio uitario, si ottiee: u = cosα + isiα u = ( cos α + isi α u = 1 Esercizio 1 Servedoti ache della figura successiva, calcola z+ w. Poiamo z = ( cosα + isiα e w= σ ( cos β + isi β. s = z+ w è la diagoale del parallelogramma OPSQ. Notiamo che ϕ = POQ ˆ = β α, da cui cos( OPS ˆ = cos( π POQ ˆ = cosϕ ; ioltre OQ = PS = σ. Applicado il teorema del coseo al triagolo OPS otteiamo: OS = OP + OQ OP OQ cos OPS ˆ s = z + w + z w cosϕ e quidi z+ w = + σ + σ cos β α
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 1 5 Radici -esime di u umero complesso 5.1 Defiizioe e calcolo Ua volta defiita la poteza -ma di u umero complesso z ( cosϑ is forma assuma la sua radice -ma, ossia il umero complesso w r( cosϕ isiϕ w = z ( z 0 = +, è aturale chiedersi che = + tale che: Applicado De Moivre, dev essere: r ( cos ϕ + isi ϕ = ( cosϑ+ is. Tale uguagliaza è soddisfatta se e solo se valgoo le segueti uguagliaze tra umeri reali: r r = = ϑ π ϕ = ϑ+ kπ ( k ϕ = + k ( k Notiamo che per k = 0,, 4 otteiamo gli stessi valori dell agolo ϕ o, i altre parole, se e hao valori differeti per k = 0,1,, 1. Tali valori, che dipedoo da k, soo le radici -me di z i : * ϑ+ kπ ϑ+ kπ z = wk = cos + isi k= 0,, 1 Usiamo il simbolo * per distiguerlo da quello della radice -ma i. Esercizi Calcolare le segueti radici di umeri complessi:
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 13 1. w= 4 1+ i. w= 5 1 3i 4 z = 1+ i = wk k = 0,,3 π 4 8 π cis 4 = r cis4ϕ r = ; 4ϕ = 4 + kπ π π π 9π 17π 5π ϕ0 16, ϕ1 16 16, ϕ 16, ϕ = = + = = 3 = 16 5 z = 1 3i = wk k = 0,,4 π 5 5 π cis 3 = r cis5ϕ r = ; 5ϕ = 3 + kπ π π π 8π 14π 0π 6π ϕ0 = 15, ϕ1 = 15 + 5 = 15, ϕ = 15, ϕ3 = 15, ϕ4 = 15 5. Rappresetazioe geometrica delle radici di u umero complesso Le radici complesse w0, w1,, w 1 del umero z si collocao ai vertici di u poligoo regolare di lati iscritto i ua circofereza di raggio. Tal vertici distao agolarmete tra loro π. Tale circofereza è cioè divisa i distite fette, di cui la prima iizia ad u agolo ϑ0 = ϑ ϑ. Quidi, se ad es. z è reale, ache la prima radice w 0 sarà reale poiché ϑ0 = ϑ = 0. 5.3 Radici dell uità Il discorso appea fatto vale per qualsiasi z, quidi ache per z = 1, che i forma trigoometrica diveta: z = 1 ( cos0+ isi0 = 1 ( cosπ + isiπ. Le sue radici -me formao u poligoo regolare di lati iscritto ella circofereza goiometrica, il cui primo vertice w 0 coicide co z = 1 (sull asse reale. Ad es. le radici ottave di z = 1 soo: w = 1 = z w = + i w = i w = + i 0 1 3 w = 1 = w w = i = w = w w = i = w w = i = w = w 4 0 5 1 3 6 7 3 1
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 14 Osservazioe Si può verificare facilmete che l isieme U delle radici -me dell uità forma u gruppo rispetto al prodotto fra umeri complessi. Ifatti: 1. U è chiuso, ovvero il prodotto tra due qualsiasi suoi elemeti appartiee acora a U. w 0 = 1 è l elemeto eutro, poiché il suo prodotto co u qualsiasi elemeto w dà come risultato w 1 3. ogi elemeto w ha u iverso, tale che moltiplicato per w dà 1 (ad es. w = w per = 8 1 7 Il fatto che i ogi umero abbia esattamete radici -me porta ad ua cosegueza importatissima, ota come Teorema fodametale dell Algebra, che euceremo el par. 9. Dobbiamo a Gauss l aver compreso l equivaleza fra i segueti problemi, risolubili el piao complesso: la ricerca delle radici -me dell uità la divisioe della circofereza i parti uguali la costruzioe di u -goo regolare la risoluzioe dell equazioe x 1= 0 6 Forma espoeziale dei umeri complessi 6.1 Formule di Eulero Grazie agli sviluppi di fuzioi i serie, Eulero (1743 riuscì a dimostrare che: e = cosϑ + is Possiamo quidi rapresetare u umero complesso ache i forma espoeziale: i z = a+ ib= cosϑ+ is = e ϑ Algebrica Trigoometrica Espoeziale
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 15 Osservazioe I particolare, per ϑ = π otteiamo la formula di Eulero per atoomasia, che mette i relazioe i cique umeri più importati della Matematica: i e π + 1= 0 Esempio Verifichiamo la formula di duplicazioe per il seo: i i i i i i i e e ( e e ϑ ϑ ϑ ( e e ϑ ϑ ϑ ϑ + e e e + e si ϑ = = = = scosϑ i i i 6. Giustificazioe della formula di Eulero La formula di Eulero è ua delle più belle formule della matematica, frutto della mete di uo dei più geiali matematici di tutti i tempi. È ua formula icredibilmete fecoda di cosegueze, ma la sua dimostrazioe richiede di cooscere argometi che verrao trattati molto più i là el ostro percorso, specificamete el capitolo di Aalisi dedicato alle Serie di fuzioi (*****, al quale rimadiamo per completezza. Chi ama la matematica o potrà o stupirsi della geialità e della profodità di pesiero che tale dimostrazioe sottitede. Qui si ritiee però utile forire almeo ua giustificazioe della formula, seza etrare ei dettagli tecici. Il matematico scozzese Coli Maclauri el 170, cotiuado il lavoro che l iglese Brook Taylor aveva sviluppato qualche ao prima (1715, dimostrò tra gli altri i segueti sviluppi i serie (somme di ifiiti termii di fuzioi elemetari: 3 4 e x = 1+ x+ x + x + x +! 3! 4! 4 6 x x x cos x = 1 + +! 4! 6! 3 5 7 x x x si x= x + + 3! 5! 7! Sostituedo el primo sviluppo ix al posto di x, calcolado le poteza successive di i e separado i termii reali da quelli immagiari, otteiamo: Esempio π i e = i 3 4 3 4 ix ix ix ix x x x e = 1+ ( ix + + + + = 1+ ix + i + + =! 3! 4!! 3! 4! 4 6 3 5 7 x x x x x x = 1 + + + i x + + = cosx+ isix! 4! 6! 3! 5! 7! 6.3 Operazioi co i umeri complessi (forma espoeziale Le operazioi fra umeri complessi scritti i forma espoeziale soo facilmete ricavabili da quelle i forma trigoometrica. Abbiamo così la regola per il prodotto: i 1 i i( 1 e ϑ e ϑ e ϑ + = ϑ 1 1
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 16 per il reciproco: per il rapporto: per la poteza: e per le radici -me: e 1 1 = e e e 1 1 1 = e ϑ ( e ( ϑ ϑ i = e 1 i i ϑ ϑ+ kπ i * e e k = = 0,, 1 Osservazioe La regola per la poteza vale, i forma espoeziale,. Poiché essa è equivalete alla regola di De Moivre (i forma trigoometrica, possiamo cocludere che: z a a cos a isi a a e ia ϑ = ϑ+ ϑ = a 6.4 Tabella riassutiva delle operazioi form a Somma Prodotto Alg ( a+ ib + ( c+ id = ( a+ c + i( b+ d ( a + i b ( c + i d = ( ac bd + i ( bc + ad Tri 1( cosϑ1+ is1 ( cosϑ+ is = = cos( ϑ + ϑ + i si ( ϑ + ϑ Esp Reciproco 1 c id c d = = i c+ id c + d c + d c + d Alg Tri Esp 1 ( cos + i si ( cos i si 1 ϑ ϑ = + 1 1 e ϑ ϑ 1 1 1 ( + i 1 i i 1 1e ϑ e ϑ = 1 e ϑ ϑ Rapporto a+ ib ac+ bd bc ad = + i c+ id c + d c + d 1( cosϑ1+ i s1 1 = cos ϑ1 ϑ + i si ϑ1 ϑ cosϑ + i s e e 1 = 1 1 i( ϑ1 ϑ = e e Poteza a+ ib =poteza di biomio (Tartaglia Alg Tri ( cos si + i = ( cos + isi ϑ ϑ ϑ ϑ De Moivre ϑ Esp ( e = e i i ϑ ( Radici * ϑ+ kπ ϑ+ kπ z = cos + isi k= 0,, 1 ϑ+ kπ i * z = e k= 0,, 1
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 17 7 Equazioi e disequazioi el campo complesso 7.1 Teorema fodametale dell Algebra Abbiamo già icotrato (cfr *** il Teorema fodametale dell Aritimetica, che sta alla base della scomposizioe i fattori primi: ciascu umero aturale è fattorizzabile i modo uivoco come prodotto di poteze di umeri primi L esisteza di radici -me di z coduce al Teorema fodametale dell Algebra, che possiamo euciare i diversi modi fra loro equivaleti: i ogi poliomio P ( z di grado ha esattamete zeri (radici, distite o o i ogi poliomio P z di grado si scompoe uivocamete i fattori lieari, distiti o o i ogi equazioe algebrica P ( z = 0 di grado ha esattamete soluzioi, distite o o Ioltre: P( α = 0 P( α = 0 ossia, se α è soluzioe dell equazioe, allora lo è ache la sua coiugata α : le soluzioi complesse vao cioè sempre a coppia, metre le soluzioi reali possoo essere ache distite (osserviamo che α α = α. Questo porta ad u semplice ragioameto: P z = esiste u uica soluzioe reale 1 0 P ( z = 0 le due soluzioi soo o etrambe reali o complesse e coiugate P3 ( z = 0 esiste ua soluzioe reale, le altre due soo o etrambe reali o complesse e coiugate P ( z = possiamo avere le segueti tipologie di soluzioi: 4 reali, reali + c.c. o + c.c. 4 0 e così via. La coclusioe è otevole: data l equazioe P ( z = 0, se è dispari, o esiste almeo ua soluzioe reale se è pari: o se α1 è soluzioe, esiste ecessariamete u altra soluzioe α o se α è soluzioe, ache α è soluzioe Osservazioe È be oto come la somma di quadrati o sia scompoibile i. i ivece è u prodotto otevole: a + b = ( a ib( a+ ib ossia è il prodotto (somma per differeza tra due umeri complessi coiugati. Per iciso, corrispode al quadrato del loro modulo.
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 18 Osservazioe Alcue radici possoo comparire più di ua volta, ossia avere ua molteplicità >1. Ioltre, le radici complesse coiugate i geere compaioo come fattore quadratico (somma di quadrati. La somma dei gradi dei fattori i cui si scompoe il poliomio è comuque sempre. P7 x = 108 + 108x+ 144x + 11x + 63x + 31x + 9x + x si scompoe i Ad es. 3 4 5 6 7 3 = ( + ( + P7 x x 3 x e ha come radici x = 3 co molteplicità 3 (ossia cotata 3 volte e x =± i ciascua co molteplicità. 7. Equazioi algebriche i Per la risoluzioe i di equazioi algebriche (ossia poliomiali distiguiamo due casi: 1. equazioi a coefficieti reali ma co soluzioi complesse. equazioi a coefficieti complesse 1. Equazioi a coefficieti reali Esempio U caso già oto è quello di equazioi di grado co discrimiate egativo, come l equazioe di Cardao vista ad iizio del capitolo: Δ x 10x+ 40 = 0 co = 5 40 = 15 < 0 4 che ha soluzioi complesse e coiugate x= 5± 15 = 5± i 15. Equazioi a coefficieti complessi Esempio ( i x ( 3 i x 5i= 0 Δ= 45 + 8i = ( 7 + i 5 5 x = i, x= + i Esempio 4 4 Risolvere i l equazioe z = z + z+ 1 Posto z = a+ ib co ab,, per defiizioe di modulo il secodo membro dev essere reale e >0. Sviluppado abbiamo: a + b = ( a b + a+ 1 + ib( 1 a b( 1 a = 0 Quidi abbiamo due casi: b= 0 a = a + a+ 1 a= 1 z = 1 1 a = 1 1 1 + b = b + 1 1 b = 1 1 z = ± i 4 4 4
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 19 8 Fuzioi el campo complesso (cei 8.1 Fuzioi espoeziale e logaritmo i Possiamo estedere agli argometi z = a+ ib la fuzioe espoeziale ridefiedola come segue: e z : = e a e ib = e a ( cosb+ isib z w z w I tal modo viee mateuta la proprietà e e = e +. Eulero (1751 riuscì a dirimere elegatemete ache la disputa ata tra Leibiz e il sempre polemico Joha Beroulli relativamete alla atura del logaritmo di umeri egativi. Ifatti, co la sua solita formula, cocluse che il logaritmo di u umero complesso è i realtà ua corrispodeza uo-a-molti. Ifatti, se scriviamo z i forma espoeziale i( ϑ+ kπ z = e k possiamo defiire, i modo da preservare le proprietà ote i, log z: = log + i ϑ+ kπ k Poiché la parte immagiaria di log z è ϑ = arg z, è chiaro che lo stesso valore si ripete periodicamete ogi π. 8. Fuzioi trigoometriche i Fuzioi circolari Dalle formule di Eulero possiamo ricavare ua uova rappresetazioe (espoeziale delle fuzioi circolari: e = cosϑ + is e = cosϑ is Sommado e sottraedo membro a membro tali espressioi, la secoda delle quali è stata otteuta dalla prima sostituedo ϑ co ϑ, otteiamo: e e e + e e e s = e cosϑ =, da cui taϑ = i i( e + e e le semplici formule di -plicazioe: e e e + e si ϑ = e cos ϑ =. i Esempio Verifichiamo uovamete la formula di duplicazioe per il seo: i i i i i i i e e ( e e ϑ ϑ ϑ ( e e ϑ ϑ ϑ ϑ + e e e + e si ϑ = = = = scosϑ i i i Fuzioi iperboliche Ricordado le defiizioi delle fuzioi iperboliche
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 0 ricaviamo le relazioi sih e e, cosh e + ϑ= ϑ= e ϑ ϑ ϑ ϑ ( i ( i sih ϑ = si ϑ, cosh ϑ = cosϑ. Fuzioi iverse Dalle defiizioi espoeziali delle fuzioi trigoometriche è possibile ricavare quelle per le loro iverse. e e Poiamo x = s ϑ = arcsi x, da cui x = i e poedo u = e ϑ si ha: i da cui risolvedo per u: u u 1 = = 1= 0 i iu 1 u x u ixu i u = ix± 1 x = e θ prededo la soluzioe positiva e usado il logaritmo complesso: ϑ = log ix+ 1 x arcsi x= = ilog ix+ 1 x Aalogamete si trovao le altre relazioi, che qui riassumiamo: arcsi x = ilog ix+ 1 x arcos x = ilog x+ i 1 x arcta i log i + x = x i x
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi 1 9 Applicazioi dei umeri complessi 9.1 Applicazioi teciche L utilità dei umeri complessi è illimitata, sia el campo della matematica pura che el campo della matematica applicata, della fisica e della tecica. Occupiamoci i particolare delle applicazioi dei umeri complessi i elettrotecica ed elettroica (teoria dei segali. I segali elettroici più importati soo quelli siusoidali, detti ache alterati. Questo o solo perché la tesioe di rete, co cui si alimetao tutti gli elettrodomestici elle ostre case, è ua tesioe alterata (di valore efficace 0 Volt, ma soprattutto perché si dimostra che (teorema di Fourier: qualsiasi segale periodico può otteersi come sovrapposizioe di ifiiti segali siusoidali co frequeza multipla rispetto alla frequeza del segale di parteza. Tali segali soo detti armoiche del segale. Etriamo ei particolari. Ua segale siusoidale ha u grafico temporale del tipo idicato i figura: Come si vede si tratta di ua fuzioe periodica, che cioè assume gli stessi valori ad itervalli di tempo regolari detti periodi. I figura è mostrato il periodo T = t t1. L iverso del periodo si chiama frequeza e si misura i Hertz. I Europa, ad es., la tesioe di rete è siusoidale co frequeza 50 Hz. I valori della fuzioe soo compresi fra u valore massimo positivo, idicato co V m, ed u valore miimo egativo, idicato co Vm. Il valore medio della fuzioe è ullo. Il valore massimo è i relazioe al valore efficace, che forisce la media dei quadrati dei valori della fuzioe i u periodo, preso sotto radice. Il valore efficace è a sua volta i relazioe co gli effetti termici
Matematica C 3 Complemeti di Algebra 4. Numeri complessi che si ottegoo quado ua tesioe alterata è applicata ai capi di u coduttore, co coseguete passaggio di correte alterata el medesimo. Possiamo pesare che la siusoide forisca, istate per istate, l ordiata di u puto Q che si muova di moto uiforme, i seso atiorario, su ua circofereza di raggio V m e cetro C posto sull asse x che suppoiamo avete la stessa direzioe e verso dell asse t, come i figura: A sua volta al puto Q si può associare il vettore CQ, che ruota i seso atiorario co velocità agolare ω = π T. All istate t = 0 il puto Q si trova ella posizioe idicata i figura e forma co l asse x u agolo ϕ, detto fase del segale. A questo puto il vettore CQ si può rappresetare co u umero complesso: ciò cosete di rappresetare tutte le gradezze preseti i u circuito i regime siusoidale (tesioi, correti ed impedeze dei compoeti co umeri complessi. Dal mometo che l algebra dei umeri complessi è abbastaza semplice, lo studio del circuito risulta quasi immediato. Copyright Il presete documeto è rilasciato sotto Copyright 009 degli autori di seguito elecati. È possibile distribuire e/o modificare il documeto ei termii della GNU Geeral Public Licese, versioe o successiva (http://www.gu.org/liceses/gpl.html, o della Creative Commos Attributio Licese, versioe.0 o successiva (http://creativecommos.org/liceses/by/.5/deed.it. Autori Nicola Chiriao: teoria ed esercizi Giuseppe Pipio: itegrazioi, esercizi Atoio Berardo: editig Collaborazioe, commeti e suggerimeti Se vuoi cotribuire ache tu alla stesura e aggiorameto del mauale Matematica C3, o se vuoi iviare dei commeti e/o suggerimeti scrivi a atoioberardo@matematicamete.it Versioe del documeto Versioe 1.0 del 18.1.009