I TEST DI LOGICA Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica P. A. Università di Padova Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 20 Gennaio 2011 1
Un test problematico Sapendo che in questo test una sola risposta è giusta, dire di quale si tratta. a) La risposta d) è giusta. b) La risposta b) è sbagliata. c) La risposta c) è giusta. d) La risposta a) è giusta. Attenzione alla risposta b! 2
Affermazioni problematiche Mario dice: sto mentendo. Dice il vero o il falso? Se dice il vero..., se dice il falso... Paradosso (o antinomia) Attenzione alla versione divulgativa: Epidemide, cretese, dice: tutti i cretesi sono bugiardi E semplicemente falsa 3
Antinomia del mentitore Mario dice: sto mentendo. Altre versioni Coccodrillo Ponte Barbiere 4
Antinomia di Russell R è l insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi R appartiene a R? Se R appartiene a R allora R appartiene a sé stesso, e quindi... Se R non appartiene a R allora R non appartiene a sé stesso, e quindi... X R se e solo se X X 5
Versione aritmetica Con delle frasi possiamo definire dei numeri naturali. Con meno di 100 lettere possiamo definire una quantità finita di numeri naturali. Ci sono numeri naturali che non possono essere definiti con meno di 100 lettere. Possiamo considerare il più piccolo numero naturale che non è definibile con meno di 100 lettere 6
COMPITI PER CASA Trovare altri esempi dell antinomia del mentitore Trovare degli esempi di conflitti tra ragionamento comune e ragionamento logico. 7
UN PO DI LOGICA A e B A oppure B E vera quando A e B sono entrambe vere E vera quando almeno una tra A e B è vera Come neghiamo A e B? Negando A oppure negando B Come neghiamo A oppure B? Negando A e negando B non (A e B) = non(a) oppure non(b) non (A oppure B) = non(a) e non(b) 8
VERSIONE INSIEMISTICA X Y X Y Intersezione di X e Y Unione di X e Y X Complementare di X (X Y) = X Y (X Y) = X Y Leggi di de Morgan 9
UN PO DI LOGICA Se A allora B Quando è falsa? Quando A è vera e B è falsa In tutti gli altri tre casi l implicazione è vera Confrontiamo se A allora B con non(a) oppure B se A allora B equivale a non(a) oppure B 10
UN PO DI LOGICA Cosa possiamo dedurre da se A allora B Abbiamo visto che non possiamo dedurre se B allora A Ma se sappiamo che non(b) è vera? Allora possiamo dedurre non(a) se A allora B è equivalente a se non(b) allora non(a) 11
ESEMPIO Si supponga che: chi vince la lotteria smette di lavorare e chi smette di lavorare ingrassa. Quale delle seguenti ulteriori affermazioni ci permette di concludere che Mario non ha smesso di lavorare? A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria. Mario non è ingrassato. Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato. 12
UN PO DI LOGICA se V allora S se S allora I vogliamo concludere non(s) A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria. Mario non è ingrassato. Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato. 13
ESEMPIO Sapendo che tutti gli uomini sono bipedi e mortali e Socrate è mortale, possiamo concludere che a) Socrate è un uomo. b) Socrate è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora è un uomo. d) Se Socrate è un uomo, allora è bipede. 14
ESEMPIO Quale delle seguenti affermazioni implica che Socrate non è un bipede mortale? a) Se Socrate è un uomo, allora non è mortale. b) Se Socrate è un uomo, allora non è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale. d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Osservazione: le risposte a e b sono folcloristiche. Perché? 15
ESEMPIO c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale. d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Quale implica che Socrate non è un bipede mortale Osservazione. Socrate non è un bipede mortale è la negazione di un e : non ( S è bipede e S è mortale) che equivale a S non è bipede oppure S non è mortale se quindi S è bipede allora... 16
UN PO DI LOGICA Affinché sia possibile confutare l affermazione quando passa un tornado per Roma, tutti gli abitanti si chiudono in casa è necessario: a) che qualche abitante di Roma ami il rischio b) che per Roma non passino tornado c) che qualche casa di Roma sia poco robusta d) che per Roma passi un tornado 17
DEDUZIONI VUOTE Il sabato sera Mario va al cinema oppure in discoteca; sabato scorso Mario aveva una gamba rotta; sabato scorso davano film che Mario aveva già visto. Possiamo concludere che sabato scorso Mario è rimasto a casa Mario è andato in discoteca, ma non ha ballato Mario è andato al cinema, ma si è annoiato Mario è andato al cinema o in discoteca 18
DEDUZIONI VUOTE FORMALIZZAZIONE A A è una formula sempre vera Se A è vera... Se A è falsa... 19
UN PO DI LOGICA esiste ( ), per ogni ( ) esiste x con una certa proprietà non esclude che tutti gli x tale abbiano quella proprietà non x tale che... equivale a x non... non x... equivale a x tale che non... x... equivale a non x non... x... equivale a non x non... 20
APPLICAZIONE INSIEMISTICA Perché l insieme vuoto è contenuto in ogni insieme? X Y (X è contenuto in Y) a (a X a Y) X Y non ( a (a X a Y)) a non(a X a Y) a (a X e a Y) X Y se esiste un elemento di X che non è elemento di Y Se non fosse contenuto nell insieme Y (arbitrario) allora... a (a e a Y) FALSO! 21
ALTRI ESEMPI Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno. Questo significa che A) Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanze D) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno 22
ALTRI ESEMPI Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno. Non è vero: A s (s non ha il bagno) A s non è vero (s non ha il bagno) A s (s ha il bagno) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno 23
ALTRI ESEMPI Qual è la negazione dell affermazione ogni uomo è calvo oppure non ha i baffi? a) Ogni uomo non è calvo oppure ha i baffi. b) Ogni uomo non è calvo e ha i baffi. c) Esistono uomini che hanno i baffi e non sono calvi. d) Esistono uomini calvi e senza baffi. 24
ALTRI ESEMPI L affermazione ogni uomo sposato non è allegro è equivalente a: a) Ogni uomo non allegro è sposato. b) Non esistono uomini allegri e sposati. c) Esiste almeno un uomo non sposato e allegro. d) Tutti gli uomini non sposati sono allegri. 25
ALTRO ESEMPIO In Italia c'è una persona x tale che se tale persona vota per il partito P allora tutti votano per il partito P. Cosa si può dire di tale affermazione? x [ x vota P y ( y vota P)] x [ x NON vota P oppure y ( y vota P)] AFFERMAZIONE VERA 26
DOV E L ERRORE? Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vero che Se comperi una bicicletta, questa può non avere gli ammortizzatori alcune bici hanno amm. alcune bici non hanno amm. alcune bici non hanno amm. alcune bici hanno amm. alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm. nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm. 27
DOV E L ERRORE? alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm. nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm. Si passa dalla prima alla seconda affermazione facendo la negazione E vero che la negazione di alcune bici hanno... è nessuna bici ha...? Sembrerebbe di sì, ma dobbiamo tener conto le ipotesi di partenza! 28
DOV E L ERRORE? Ipotesi iniziale: alcune bici hanno amm. va inteso come alcune bici hanno amm. e alcune bici non hanno amm. Qual è la negazione di questa affermazione? nessuna bici ha amm. oppure nessuna bici non ha amm. 29
ALTRI ESEMPI In un test a risposte multiple ci sono quattro scelte possibili: (a), (b), (c) e (d), ed esattamente una delle quattro è corretta. Sappiamo che (b) vale se e solo se non vale (d) e se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) Quale è la risposta esatta? (d) o (b) è esatta Se (d) fosse esatta, allora lo sarebbe anche (a) o (c) La risposta esatta è la (b) 30
FORMALIZZAZIONE (b) vale se e solo se non vale (d) se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) (b) non(d) non(b) (d) non(b) (a) oppure (c) (d) (a) oppure (c) 31
CAVALIERI E FURFANTI Ambiente tipico dei test: ci sono cavalieri e furfanti, i primi dicono sempre il vero, i secondi sempre il falso. Dalle loro risposte dobbiamo trarre informazioni. 32
CAVALIERI E FURFANTI Versione classica: Ad un bivio ci sono due persone: A e B. So che una è un cavaliere e l altra un furfante, ma non so quale. Dispongo di una sola domanda per sapere quale strada porta al castello. Cosa chiedo? Chiedo ad A: se chiedessi a B la strada per andare al castello, cosa mi risponderebbe? 33
CAVALIERI E FURFANTI Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o cavalieri. A dice: siamo due furfanti. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. 34
CAVALIERI E FURFANTI Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o cavalieri. A dice: almeno uno di noi è cavaliere. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere. Possibile Possibile Possibile 35
CAVALIERI E FURFANTI Come prima: A dice: almeno uno di noi è cavaliere. Quale delle seguenti implicazioni è sicuramente vera? Se A è cavaliere allora B è cavaliere. Se A è cavaliere allora B è furfante. Se A è furfante allora B è cavaliere. Se A è furfante allora B è furfante. 36
ALTRI ESEMPI Ad un tavolo circolare si siedono dei cavalieri e dei furfanti e ciascuno di essi afferma che la persona alla sua destra è un furfante. Cosa si può dedurne? A) Sono tutti furfanti B) Sono tutti cavalieri C) C'è un numero pari di persone D) C'è un numero dispari di persone 37
ALTRI ESEMPI In parlamento si riuniscono 100 uomini politici e ogni politico è onesto oppure è corrotto. Almeno uno dei politici è onesto. Sappiamo che presi due politici qualsiasi almeno uno è corrotto Quanti sono gli onesti e quanti i corrotti. A) 50 onesti e 50 corrotti B) 51 onesti e 49 corrotti C) 1 onesto e 99 corrotti D) 99 onesti e 1 corrotto 38