Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3. Determinare il dominio di f) = log 3 ). 4. Determinare dominio ed immagine di f) = sin. + 3 > 0} { R : 5. Sia f) = + + ; determinare il dominio, discutere eventuali simmetrie e l iniettività della funzione f. 6. Sia f) = ; determinare la controimmagine f [, + )). 7. Verificare che la funzione f : R R definita da f) = 4 + 9 non è invertibile. Individuare opportune restrizioni di f che siano invertibili e scrivere l espressione delle loro inverse. 8. Individuare opportune restrizioni di f) = che siano invertibili. Specificare dominio ed immagine delle inverse, per le restrizioni trovate. 9. Provare che le funzioni f) = +, e g) = + 3 4, 3 4 sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f per risolvere l equazione f) = g). 0. Siano f) = + e g) =. + Disegnare i grafici di f e di g e determinare dominio e immagine di g f e di f g.. Data la funzione h) = c 006 Politecnico di Torino
a) esprimere h come prodotto di composizione in cui uno dei fattori è la funzione f) = ; b) determinare dominio ed immagine di h.. Calcolare i seguenti iti: 4 3 + 3 a) b) + + 3 c) 0 3 + 4 5 e) ± g) 0 + 3 4 d) + 4 3 + 3 ) 3 + f) 3 5 4 + 4 4 3 + 5 4 + 4 h) ) + + 3. Calcolare i seguenti iti: sin 4 cos a) 0 sin b) 0 sin 3 c) π sin π e) d) π cos π + 4 + 7 f) 0 arccos π + cos + M) g) h) + + + i) ±[3 + ] l) ±[4 3 + ] [3 + ] m) + + n) + 5 + cos + [] e M) denotano rispettivamente la parte intera e la mantissa di. 4. Dire se esistono ed eventualmente calcolare) i seguenti iti: ) a) + cos b) cos + + c) 0 + sin d) + M) c 006 Politecnico di Torino
5. Determinare λ R in modo che + λ + ) = 6. Calcolare i seguenti iti: a) π e b) ) 0 sin ) + c) d) 0 ± ) ± ) ) e) + 0 + f) + e e + ) 7. Calcolare i seguenti iti: a) + ) n n n + n b) 3n n n 3/ + n 3 n n + n c) d) + 3 n 3 n + n 3 n log n e) n + )n + ) + log n f) n log n 8. Sia d n una successione convergente a l R, e sia a n = ) n d n. Studiare l esistenza del a n al variare di l in R. 9. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione f) = [cos] ed il loro tipo. [] denota la parte intera di. 0. Determinare per quale valore del parametro α la funzione { + se 0 f) = [] + α se < 0 è continua sull intervallo [, + ). [] denota la parte intera di. c 006 Politecnico di Torino 3
Svolgimento. L unica intersezione della retta r di equazione y = + con il ramo di parabola di equazione y = 3 + è il punto = 3+ 5. L intersezione della retta r di equazione y = con il ramo di parabola y = 3 + è il punto = 5. Disegnando i grafici, si vede che la disequazione è soddisfatta per i valori di 3+ compresi tra e, cioè per 5 5, ). Dunque gli estremi dell intervallo sono = 3+ 5 e = 5.. Consideriamo separatamente i due insiemi A = { R : + 3 > 0} e B = { R : + > }. La disequazione + 3 > 0 è soddisfatta per < 3 oppure per >. Pertanto A =, 3 ), + ). La disequazione + > è equivalente al sistema di disequazioni + > 0 0 + ) > che è soddisfatto da tutti i valori di. Dunque B = [, + ). In definitiva A B =, + ). 3. Il dominio della funzione f è l insieme { dom f = R : } > 0 e 0. Dunque dobbiamo risolvere il sistema di disequazioni > 0 4 > 0 Tale sistema è soddisfatto per ogni valore di. Pertanto domf = [, + ). c 006 Politecnico di Torino 4
4. Il dominio della funzione f è l insieme domf = { R : sin 0}. La disequazione sin è soddisfatta soltanto dai valori di per cui sin =, dunque dom f = { = π } + kπ, k Z. In corrispondenza a tali valori di, si ha f) = 0, pertanto imf = {0}. 5. Il dominio della funzione f è l insieme dom f = { R : 0 e + 0} = [, ]. Poiché f ) = + + + = f), la funzione è pari e pertanto non è iniettiva. 6. Per rispondere alla domanda dobbiamo risolvere la disequazione, che è equivalente alla 3 5 0. Tale disequazione è soddisfatta per 5 3 <. Pertanto f [, + )) = [ 5 3, ). In alternativa, si può osservare che la funzione f) = = è un iperbole riferita alle rette = e y = ; si può ottenere il risultato riferendosi al grafico della funzione e tenendo conto del fatto che f 5 3 ) =. 7. La funzione non è invertibile su R in quanto è una parabola con asse di simmetria la retta = e dunque non è iniettiva. Il vertice della parabola è il punto V=, 5). Due possibili restrizioni invertibili di f sono: f = f,] :, ] [5, + ) e f = f [,+ ) : [, + ) [5, + ). Per ottenere le espressioni delle funzioni inverse, è necessario ricavare in funzione di y dall equazione y = 4 + 9. L equazione 4 + 9 y = 0 ha soluzioni = ± y 5. Pertanto f y) = y 5 e f y) = + y 5. In definitiva, tornando alla variabile, si ottengono le espressioni delle due funzioni inverse f ) = 5 e f ) = + 5. c 006 Politecnico di Torino 5
8. Si ha { + se < 0, f) = se 0. Abbiamo quattro restrizioni invertibili massimali di f: f = f, ] :, ] [, + ), f = f [,0] : [, 0] [, 0] f 3 = f [0,] : [0, ] [, 0], f 4 = f [,+ ) : [, + ) [, + ). Scambiando tra loro il ruolo del dominio e dell immagine, si ottiene f : [, + ), ], f : [, 0] [, 0] f 3 : [, 0] [0, ], f 4 : [, + ) [, + ). 9. Anzitutto si ha domf = [, + ) = im g, e dom g = [3, + ) = im f. 4 Per provare che le funzioni f e g sono l una l inversa dell altra, dobbiamo verificare che f g)) =, 3, e che g f)) =,. Ma 4 ) f g)) = f + 3 = 4 + 4) 3 ) + 3 + = 4 e g f)) = g + ) = + + 3 4 = + ) =. Disegnando il grafico di f e di g si vede che la bisettrice y = è tangente ai grafici di f e g nel punto di ascissa, e che f) = g) se e solo se =. 0. Il grafico di f è un iperbole equilatera riferita alle rette = e y =. Le intersezioni con gli assi cartesiani sono i punti A=, 0) e B= 0, ). Il grafico di g è un ramo della parabola avente l asse delle come asse di simmetria e il vertice nel punto V=, 0), rivolta verso la parte negativa dell asse delle ascisse; l intersezione con l asse delle y è il punto C=0, ). Risulta pertanto dom f =, ), + ), im f =, ), + ), dom g =, ], im g = [0, + ). c 006 Politecnico di Torino 6
Poiché im f domg =, ], è definita g f e si ha { dom g f) = R : + } + =, ] e In definitiva g f :, ] [0, + ). im g f) = g, ]) = [0, + ). Inoltre, poiché im g dom f = [0, + ), è definita f g e si ha e dom f g) = { R : + 0 } =, ] im f g) = f[0, + )) = Pertanto si avrà f g :, ] [, ).. a) Si ha h) = g f)), dove g) =. [ ),. b) Si ha domf = domg = R, im f = 0, + ), img = [ 9 4, + ). Pertanto domh = R e im h = g0, + ) = [ 9 4, + ) ; riassumendo, h : R [ 9 4, + ).. Si ha a) + b) 4 3 + + = 3 + ) 3 3 4 c) 0 3 + 4 5 3 + 4 3 = = = 0 + 4) 4 ) 4 3 + d) = + 3 0 = e) ± = ± 3 + 4 3 4)3 + ) = 9 = 4 = ± f) Decomponendo in fattori numeratore e denominatore con la regola di Ruffini otteniamo 3 5 4 + 4 4 3 + 5 4 + 4 = ) + 3) ) + ) = + 3 + = 7 5. c 006 Politecnico di Torino 7
g) Moltiplicando e dividendo per la somma delle radici si ottiene 0 + / + / + = 0 + + ) = =. 0 + + h) Procedendo come nell esercizio precedente otteniamo ) + = = + + + + + = + +. 3. Si ha sin t a) Utilizzando il ite fondamentale =, il suo reciproco, e il teorema t 0 t del cambiamento di variabile nei iti, otteniamo 0 sin 4 sin = sin 4 0 4 sin b) Ricordando il ite fondamentale t 0 cos t cos 0 sin 3 t ) = =. = otteniamo ) = cos 3 4 0 ) sin 3 9 = 4 9 = 9. c) Con il cambio di variabili π = t otteniamo π sin π = sinπ + t) t 0 t d) Ponendo π = t otteniamo sin t = t 0 t =. π cos π = t 0 cos π + t) t sin t = t 0 t =. e) Ponendo 4 + 7 = t abbiamo = t 4 7 e quando tende a, t tende a : + t 4 6 4 = + 7 t t = t + t )t + 4) = 3. f) Poniamo = cost da cui t = arccos. Quando tende a zero, t tende a π, e ci riconduciamo così al reciproco del ite d): arccos π 0 = t π t π cost =. c 006 Politecnico di Torino 8
+ cos g) = + + ) + cos ) = + = +. Abbiamo usato il fatto che cos è itata e è infinitesima per +, e dunque cos + = 0. h) La funzione mantissa è itata, essendo 0 M) < per ogni R. Da questo segue ) + M) / + M) + + = ) =. + / + i) Disegnando il grafico di t = 3 +, oppure studiandone il segno, vediamo che quando tende a ± la variabile t tende rispettivamente a 0 ±. Cambiando variabile e ricordando il grafico della parte intera otteniamo + ] = ±[3 t 0 ±[t] = { 0 se t 0 + se t 0. l) Studiando il segno di t = 4 3 + = ) 3 ) vediamo che quando tende a ± la t tende rispettivamente a 0, e dunque { se t 0 3 + ] = ±[4 t 0 [t] = 0 se t 0 +. m) Ricordando che t < [t] t per ogni t R, abbiamo 3 + < [3 + ] + 3 + + per ogni R. confronto si ottiene Passando al ite e utilizzando il teorema del doppio [3 + ] + + = 3. n) Essendo 5 + cos itata e + infinitesima per +, si ha + 5 + cos + = 0. c 006 Politecnico di Torino 9
4. Si ha ) a) + cos = + cos ) = = + + + + b) Il ite non esiste. Infatti posto f) = cos e considerate, ad esempio, le due successioni n = nπ e y n = π + nπ si ha n = y n = +, ma f n ) = +, mentre fy n ) = 0. c) Essendo sin itata e infinitesima per 0 +, si ha sin 0 + = 0. d) Il ite non esiste. Posto f) = M) e n = n, y n = n +, si ha f n ) = 0 e fy n ) = per ogni n N, e dunque f n) = 0, mentre fy n) =. 5. Calcoliamo il ite in funzione del parametro λ. Poiché tende a possiamo supporre < 0 e quindi =. Moltiplicando e dividendo per + λ otteniamo + λ + ) = = λ + λ λ + λ + ) = λ. Otteniamo così λ = 4. 6. Si ha a) π [ = ) π ) ] ) = e π = e π e t b) Posto = t e ricordando il ite fondamentale =, abbiamo t 0 t e e t = 0 t 0 t =. c) Posto = t è facile vedere che t 0 ± quando 0 ±, dunque ) sin ) sin t sin t = = 0 ± ) t 0 ± t t 0 ± t t = ±. + d) + ) = + 3 ) + ) = c 006 Politecnico di Torino 0
+ ) = + = + e) Ricordiamo che f) g) e g)log f), quindi ) ) + = e log + e log = e 0 + e + = + = +. 0 + 0 + f) + e e + ) = + ) = e /e. + e 7. Si ha a) + ) [ n = + ) ] 3n /3 = e /3 3n 3n Possiamo anche procedere utilizzando il ite fondamentale + a ) n = n e a : [ + ) n ] = e /3 ) = e /3. 3n n n + n b) n n 3/ + n = /n n ) = /n n +. n n 3 n c) + 3 = /3 n + 3 )n ) n /3 n + ) 3 n =. n + n d) 3 n + n = n + n ) n 3 3 n + n3 ) = 3 n e) n log n n + )n + ) = + log n log n + log n f) = n log n n log n n 3/ ) ) n = 0. 3 /nlog n n / + n ) + n ) = n log n = = 0. n log n n = 0. 8. È facile verificare dalla definizione di ite che una successione a n tende a l R se e solo se le due successioni dei termini di indice pari e di indice dispari, b n = a n = {a 0, a, a 4,...} e c n = a n+ = {a, a 3, a 5,...}, tendono entrambe a l. Nel nostro caso a n l mentre a n+ l. Quindi se l = l cioè l = 0 allora a n = 0; se invece l 0 il ite di a n non esiste. 9. Per la periodicità, è sufficiente considerare i casi: k = 0,,, 3. Disegnando il grafico di f) = [cos ] si vede che: f) = 0 f0) = ; 0 f) = = fπ); π c 006 Politecnico di Torino
f) = 0 = fπ π ) π + f) = ; 3 π f) = 3 π+ f) = 0 = f 3 π). I punti = 0, ±π, ±4π,... sono punti di discontinuità einabile. I punti = ± π, ±3 π,... sono punti di discontinuità di prima specie tipo salto). 0. La funzione è continua in tutti i punti di [, + ) escluso al più lo zero. Essendo f) = 0 + 0 + + ) = = f0), la funzione è continua in zero da destra. Essendo infine 0 f) = α + [] = α, la funzione sarà continua anche nello zero se e solo se α =, cioè α =. 0 c 006 Politecnico di Torino