Stabilità dei sistemi

Stabilità dei sistemi + G(s) G(s) - H(s) Retroazionati Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1 Sommario In questa lezione si tratteranno: La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati (di controllo) La funzione di trasferimento ad anello aperto Concetto di stabilità Condizioni di stabilità Criterio di stabilità di Bode I margini di fase e di ampiezza Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 2 1

Premessa La funzione di trasferimento di un sistema retroazionato (o anche a catena chiusa) è, com è noto: W ( s ) 1 G ( s G ( s ) ) H ( s ) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 3 Premessa Il prodotto che compare al denominatore della W(s) G ( s ) H ( s ) è la cosiddetta funzione di trasferimento ad anello aperto Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 4 2

Cos è la stabilità? La stabilità è un concetto basilare della fisica Tale concetto, pienamente applicabile nel caso dei sistemi di controllo in esame, si riferisce alla tendenza di un sistema a ritornare verso lo stato di equilibrio dal quale il sistema è stato allontanato con una perturbazione Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 5 perturbazione Cos è la stabilità? stabilità sistema Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 6 3

Cos è la stabilità? Naturalmente, le grandezze in gioco nella stabilità sono quelle che definiscono i il sistema e cioè le variabili di stato oppure le uscite u(s) Inoltre, come risalta nell esempio che segue, la stabilità dipende anche dall entità delle perturbazioni (o sollecitazioni) Una perturbazione troppo grande può portare il sistema a stati instabili Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 7 Cos è la stabilità? perturbazione eccessiva instabilità Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 8 4

Cos è la stabilità? Si può allora così specificare la stabilità nello studio dei sistemi it ilineari iinvarianti i ti( (p. es. i sistemi di controllo): un sistema è stabile se, in conseguenza di una sollecitazione limitata, la sua risposta (variazione dell uscita) è limitata (Bounded Input Bounded Output) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 9 Come si verifica la stabilità? La stabilità di un sistema può essere verificata studiando la sua funzione di trasferimento W(s) () Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 10 5

Come si verifica la stabilità? Lo studio della funzione di trasferimento W(s) di un sistema retroazionato èperò pesante perché richiede lunghi calcoli matematici si operano somme, prodotti e divisioni con polinomi complessi di ordine qualsiasi! Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 11 Come si verifica la stabilità? Esiste un modo più semplice per studiare la stabilità di un sistema retroazionato? Fortunatamente sì! Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 12 6

Come si verifica la stabilità? Si studia la sola funzione di trasferimento ad anello aperto H(s) G(s) È sicuramente più semplice; non c è da fare minimi comuni multipli fra polinomi complessi Trovata la chiave! Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 13 Riepilogo Un sistema si dice stabile se a variazioni limitate dell ingresso corrispondono variazioni limitate dell uscita In altre parole se il sistema è in uno stato stabile e lo si perturba (senza esagerare!), l uscita varierà in modo limitato La stabilità di un sistema retroazionato (di controllo) può essere verificata studiando la funzione di trasferimento ad anello aperto H(s) G(s) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 14 7

Condizioni di stabilità Una condizione necessaria, ma non sufficiente, perché un sistema sia stabile èche i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) H(s) siano a parte reale non positiva Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 15 Condizioni di stabilità Se dunque siamo in presenza di un sistema a sfasamento minimo, si può considerare quale condizione di stabilità il criterio di stabilità ristretto di Nyquist o, più semplicemente, il cosiddetto criterio di stabilità di Bode che è una conseguenza diretta del suddetto criterio di Nyquist Il criterio di stabilità di Bode può essere enunciato come segue: Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 16 8

Criterio di stabilità di Bode Un sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) H(s), alla pulsazione di taglio t, ha una fase con valore assoluto minore di 180 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 17 Cos è t? t è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 db e quindi t è la pulsazione che si individua nell intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l asse delle pulsazioni Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 18 9

Cos è la pulsazione di crossover (o di taglio) t? G(s) H(s) Questo è il valore di t E questa è la fase della G(s) H(s) alla pulsazione t Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 19 Condizioni di stabilità In realtà, il criterio di Bode individua condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni i i di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 20 10

Cos è il margine di fase? Il margine di fase può essere definito: m = 180 + ( t ) Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180 più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover L individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell esempio che segue Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 21 che, in questo esempio, vale -135 Cos è il margine di fase? G(s) H(s) In corrispondenza di t si trova ( t ) Il margine di fase m dell esempio considerato, vale dunque 180-135 =+45 135-90 -135-180 ( t ) m Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 22 11

Condizioni di stabilità Si può dire in definitiva iti che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30 (m > 30 ) Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (m < 0 ) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 23 Cos è il margine di ampiezza? Il margine di ampiezza può essere definito: m gdb =0- G(s) H(s) db(=-180 ) Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in db del modulo della G(s) H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180 L individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell esempio che segue Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 24 12

Cos è il margine di ampiezza? G(s) H(s) 2. si rileva il modulo del m gdb = 0- G(s) H(s) db(=-180 ) guadagno g in db Il margine di ampiezza m gdb dell esempio considerato, è dunque positivo -180 3. che, in questo esempio, è negativo 1. In corrispondenza di = -180 Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 25 Condizioni di stabilità Concludendo, si può dire che un sistema di controllo (retroazionato) asfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase m e di ampiezza m gdb sono entrambi positivi Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che m sia maggiore di 30 e che m gdb sia maggiore di 1020 db Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 26 13