SISTEMI LINEARI A COEFFICIENTE COSTANTE Per studiare la velocità, la precisione e la stabilità di un sistema bisogna individuare il modello matematico del sistema Abbiamo visto che un sistema di controllo è formato da alcuni blocchi, ognuno del quale è un sistema Per fare in modo che il sistema di controllo sia lineare bisogna che tutti i blocchi lo siano (lineari) SISTEMA LINEARE: un sistema lineare è un sistema per cui vale il principio della sovrapposizione degli effetti; il modello matematico di un sistema lineare continuo è un equazione differenziale lineare Ad esempio se abbiamo un sistema lineare a cui sono applicati due ingressi i 1, i, per calcolare l uscita applichiamo prima l ingresso i 1 ponendo i =0 e troviamo l uscita u 1 Poi applichiamo l ingresso i ponendo i 1 =0 e troviamo l uscita u Sommando u 1 e u otteniamo l uscita u del sistema quando gli ingressi sono applicati contemporaneamente i 1 i u u= u 1 + u Tra uscita e ingresso c è un rapporto lineare I sistemi sono lineari, a parte perché vale il principio della sovrapposizione, anche perché l uscita di tali sistemi è un polinomio in cui l incognita compare elevata solo al primo grado u(= i( lineare u(=3 i ( non lineare I sistemi lineari, inoltre, sono a coefficiente costante: il rapporto tra uscita e ingresso è costante (fdt)
1 esempio: SISTEMA ELETTRICO di 1 Ordine R i( C v i ( v c ( v i ( v c ( v i (= v R (+ v c ( v R (=R i( dvc ( i( C accumulo delle cariche sulle armature del condensatore Sostituiamo v R ( e i( nell equazione di v i ( dvc ( dvc ( vi ( R C vc ( R C vc ( vi ( Legame matematico del sistema: legame che esiste tra ingresso e uscita In questo modello matematico sia il termine noto che l incognita compaiono con grado 0 Oltre all incognita c è anche la derivata dell incognita e un equazione di questo tipo è detta equazione differenziale Le equazioni differenziali si diversificano in base al grado della derivata In questo caso è un equazione del 1 ordine Infatti: un sistema che è descritto da un equazione differenziale del 1 ordine è un sistema di 1 ordine un sistema che è descritto da un equazione differenziale del ordine è un sistema di ordine ecc Il sistema è continuo perché compaiono funzioni continue
Tutti i sistemi che sono riconducibili ad un modello di questo tipo: sono sistemi del 1 ordine dvc ( R C v c ( v ( i Per sapere se i sistemi di 1 ordine sono veloci, precisi e stabili basta studiare un solo sistema e, in questo modo, sapremo le caratteristiche di tutti i sistemi del 1 ordine Infatti, un generico sistema del primo ordine sarà rappresentato da una equazione del tipo: u ( + a u( = b i( Questa equazione, che è di tipo generico, potrà poi essere facilmente adeguata allo studio di un particolare sistema sostituendo, al posto dei generici parametri a e b, i parametri caratteristici del sistema in questione esempio: SISTEMA MECCANICO di Ordine Modelizzazione di un sistema di ammortizzatore di un auto Fm m Fg Fa Fm= forza molla Fg= Forza gravità Fa=Forza d attrito La molla accumula energia e poi la restituisce La forza della molla è proporzionale al coefficiente di elasticità della molla (Km) e allo spostamento x(, cioè la dilatazione: Fm=Km x(
Fg= m g (g 9,8 m/s ) m=massa a= accelerazione di gravità Fa= Kv v( Kv= coefficiente d attrito, varia in funzione del gas v(= velocità con cui si muove il corpo Quindi, il nostro sistema, rappresentato con uno schema a blocchi è: Fm Fg Fa x( L uscita che ci interessa conoscere è la posizione del corpo Su tale sistema, quindi agiscono 3 forze Pertanto la forza totale applicata a quel corpo è la seguente: F TOT = Fm+Fg+Fa somma algebrica F TOT =Km x( + m g + Kv v( La seconda legge di Newton dice che la forza applicata ad un corpo in caduta libera è pari al prodotto tra la massa e l accelerazione del corpo: F TOT = m a( * Ma l accelerazione è la variazione della velocità nell unità di tempo : a( dv( d x( A sua volta la velocità è la variazione dello spazio nell unità di tempo: v( dx(
- Sostituiamo i valori nella relazione scritta in rosso e contrassegnata dall asterisco: d x( dx( m Km x( mg Kv Portiamo a sinistra i termini che contengono l uscita x(: d x( dx( m Kv Km x( mg Dividiamo tutto per m: d x( Kv dx( Km x( g m m Questa è un equazione differenziale del ordine; infatti compare l incognita, la derivata dell incognita, e la derivata seconda dell incognita g x( m Km Kv parametri Quindi, controllando il modello matematico e la derivata di grado maggiore, possiamo conoscere l ordine del sistema