Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 13-Il t-test per campioni indipendenti vers. 1.1 (12 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca 2014-2015 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 1 / 21
Confronti indipendenti, non correlati In questa versione del t-test abbiamo una variabile misurata su un campione di casi statistici (variabile dipendente) È stata anche misurata una variabile che permette di suddividere il campione in due gruppi (variabile indipendente) I due gruppi che ne risultano sono fra loro indipendenti e non c è ragione di pensare che le misurazioni del primo gruppo correlino con quelle del secondo gruppo (che implicherebbe che il primo valore del primo gruppo viene confrontato con il primo valore del secondo gruppo) Inoltre la numerosità dei due gruppi potrebbe anche essere diversa G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 2 / 21
Assunzioni e ipotesi Assunzione di base è che la variabile indipendente influenzi in modo diverso la variabile dipendente per questo motivo ci si aspetta che le medie dei due gruppi siano fra loro diverse L ipotesi nulla però sarà: non vi è alcuna influenza (relazione) fra l indipendente e la dipendente possiamo esprimerla come i casi statistici del primo gruppo sono stati estratti casualmente dalla stessa popolazione da cui sono stati estratti casualmente quelli del secondo gruppo per cui le medie dei due gruppi dovrebbero essere uguali, ma potranno differire per effetto del caso G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 3 / 21
Differenza di due medie Con lo stesso ragionamento della distribuzione campionaria, si può fare la distribuzione campionaria della differenza di due medie. Se 2 campioni vengono estratti dalla stessa popolazione, la loro media dovrebbe tendere alla media della popolazione, qualunque essa sia. Se facciamo la differenza fra le due medie (ed entrambe tendono alla media della popolazione), la loro differenza dovrebbe tendere ad essere uguale a 0 (µ 1 µ 2 = 0). Dovrebbe, ma non sempre è così. Tuttavia se estraiamo molte coppie di medie, la distribuzione della differenza di queste medie graviterà attorno allo 0. La stessa cosa dovrebbe capitare se i due campioni vengono da due popolazioni diverse che hanno, però, la stessa media (µ 1 = µ 2 ) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 4 / 21
Differenza di due medie 100 differenze di medie campionarie 1.0 0.0 1.0 0 20 40 60 80 100 Media= 0.03 Distribuzione delle differenze delle medie 0.0 1.0 2.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 5 / 21
Differenza di due medie Anche in questo caso abbiamo che la distribuzione campionaria della differenza delle medie seguirà la curva di t per N 30 tenderà a distribuirsi normalmente e anche in questo caso potremo calcolare un errore standard della differenza delle medie e anche in questo caso, un valore piccolo dell errore standard indica una piccola oscillazione delle differenze campionarie attorno allo 0 e un valore grande indica una grossa oscillazione attorno allo 0 Anche in questo caso, se potessimo estrarre un numero infinito di coppie di campioni, potremmo calcolare l errore standard esatto Non potendo farlo, lo stimiamo a partire dalle deviazioni standard dei due campioni G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 6 / 21
Differenza di due medie l errore standard di un campione è (X X) 2 ŝ x = N 1 N l errore standard della differenza delle medie è la somma delle varianze dei campioni pesata per le relative numerosità (con gradi di libertà) è poi ulteriormente divisa per la somma degli N (X1 X 1 ) 2 (X2 X 2 ) 2 + N 1 N 2 N 1 + N 2 2 ( 1 N 1 + 1 N 2 ) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 7 / 21
Differenza di due medie: test Il test sulla differenza delle medie si baserà sulla formula di z, ma produrrà una statistica t t = (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) s X1 X 2 Anche se è teoricamente possibile ipotizzare che la differenza di due medie corrisponda ad un certo valore (ad es. 5), la maggior parte delle volte si ipotizzerà che la differenza delle medie sia nulla; in questo caso µ 1 µ 2 = 0 e la formula si riduce alla sola differenze delle medie dei campioni t esprime il numero di errori standard da cui la differenza delle medie dei nostri campioni dista dalla differenza delle medie nella popolazione G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 8 / 21
Test della differenza delle medie Conosciamo: M 1, M 2, s 1 e s 2 allora: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 (oppure > oppure <) scegliamo α e troviamo il t critico applichiamo la formula (questa è alternativa) t M1 M 2 = (N 1 1)s 2 1 +(N 2 1)s 2 2 N 1 +N 2 2 M 1 M 2 ( ) 1 + 1 N1 N2 con gdl = N 1 + N 2 2 se t M1 M 2 < t c (in valore assoluto) accetto H 0 se maggiore (in valore assoluto), rifiuto H 0 (e accetto quindi H 1 ) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 9 / 21
Tavole significatività per t (indipendenti) Una volta calcolato il t, usiamo le tavole di t La tabella a p.141 riporta per ogni grado di libertà i valori che identificano il 2.5% estremo delle code Per gl=5, i valori ±2.57 indicano i valori estremi Ovvero, valori di t compresi fra -2.57 e +2.57 sono non significativi (accettiamo H 0) e indicano che è abbastanza probabile ottenere un campione in cui le due variabili misurate sono uguali fra loro Valori di r 2.57 oppure r +2.57 sono significativi (H 1) e indicano che ci sono poche probabilità che le variabili misurate siano uguali tra loro G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 10 / 21
Tavole significatività per t L appendice C (la stessa vista in precedenza) riporta una tavola più completa e più precisa Per ogni per ogni grado di libertà, sono riportati i valori (chiamati critici ) per il 10%, 5%, il 2% e l 1% (riga Due code ) Vediamo che per gl=5 il valore critico al 5% è 2.571 (approssimabile a 2.57) Questo valore è senza segno, ma va interpretato come se fosse 2.571 e +2.571 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 11 / 21
Test della differenza delle medie: Esempio Abbiamo misurato l ortodossia in un campione di Testimoni di Geova e ci chiediamo se vi è differenza fra maschi (N=23) e femmine (N=12): M m = 14.17, M f = 15.5, s m = 2.27 e s f = 2.32 allora: facciamo le ipotesi nulla e alternativa H 1 : µ m µ f con α =.05 bidirezionale il t critico con gdl = 23 + 12 2 = 33 è t c = 2.04 applichiamo la formula t M1 M 2 = 14.17 15.5 ( ) 2.27 2 (23 1)+2.32 2 (12 1) ( 1 23+12 2 1 23 12 ) =.006 siccome t M1 M 2 < t c accetto H 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 12 / 21
Test della differenza delle medie t =.006 (rosso) per alfa al 5% (bidir.) t c = 2.04 (nero) Accetto H 0 perché t < t c t cade nell area di accettazione di H 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 13 / 21
Assunti del t-test 1 Le misure della variabile dipendente di ciascun gruppo a) sono indipendenti tra di loro b) sono indipendenti dall altro gruppo 2 La variabile dipendente si distribuisce normalmente 3 Le varianze dei due gruppi sono uguali La condizione 2 può essere ignorata, perché il test t non è molto sensibile alle violazioni di normalità (ma se entrambi i gruppi sono asimmetrici nel medesimo modo) La condizione 3 può essere ignorata se i due campioni hanno uguale numerosità; il test t, in questo caso, non distorce troppo e si può usare la distribuzione di t senza problemi G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 14 / 21
Assunti del t-test Se i due campioni non hanno uguale numerosità, si pongono diverse condizioni: 1 la soluzione migliore è quella di ridurre il campione più numeroso ed equiparare le numerosità (basta fare una selezione casuale del campione) 2 provare a sottoporre le variabile a trasformazioni che mantengono la linearità, ma cambiano la distribuzione (le vedremo nel Trattamento dei dati) 3 si può usare la stima di varianza separata, ovvero il test t diventa t = X 1 X 2 s 2 1 N 1 + s2 2 N 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 15 / 21
Inferenza con programmi statistici Nell uso normale, sono i computer a fare i conti per il confronto di medie: t di Student (o T-Test) stessa variabile su due campioni indipendenti. Le formule usate sono quelle indicate qui e prevedono una formula che ipotizza che i campioni abbiano varianza uguale (varianza combinata) un altra formula che ipotizza che abbiano varianza diversa (Varianze separate) Viene applicato un test per l omogeneità delle varianze (test di Levene) e in base ai risultati si sceglie il test appropriato Il test di Levene è basato sul rapporto delle due varianze: se sono simili tenderà a 1; al test è associato un valore di probabilità G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 16 / 21
SPSS: 2 campioni indipendenti Analizza Confronta medie Test T: campioni indipendenti Trascinare una o più variabile dipendente (quantitativa) in Variabili oggetto del test Trascinare una variabile qualitativa (con 2 o più valori possibili) in Variabile di raggruppamento Premere Definisci gruppi e inserire i due valori della qualitativa da usare. Quindi Infine OK Continua G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 17 / 21
Esempio in SPSS Pagina 1 - Medie e deviazioni standard suddivise per genere Religiosità Genere N Mean SD SE Mean Intrinseca Maschio 160 23,24 5,82 0,46 Femmina 179 23,60 5,52 0,41 Estrinseca sociale Maschio 160 5,79 3,09 0,24 Femmina 179 6,07 2,94 0,22 Estrinseca personale Maschio 160 9,46 3,52 0,28 Femmina 179 10,89 2,98 0,22 Dalle medie possiamo vedere ( a naso ) che non ci sono grosse differenze fra i sessi nelle prime due variabili. Forse, nell ultima c è una differenza. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 18 / 21
Esempio in SPSS Levene s Test t-test F Sig. t df Sig. (2-tailed) Orientamento Eq 0,816 0,367-0,594 337 0,553 Intrinseco Not -0,592 328,157 0,554 Estrinseco Eq 1,146 0,285-0,852 337 0,395 sociale Not -0,850 328,503 0,396 Estrinseco Eqa 8,847 0,003-4,050 337 0,000 personale Not -4,013 313,273 0,000 Eq=assumere varianza uguale Not=non assumere varianza uguale Il test di Levene ci dice se i due gruppi hanno la stessa varianza (F vicina a 1, con Sig superiore ad α) oppure no (F molto grande, con Sig inferiore ad α). A questo punto possiamo leggere e interpretare l esatto t e confrontare la probabilità associata (Sig) a quel t, con quei gradi di libertà (df) direttamente con l α scelto. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 19 / 21
Riportare i risultati Esempio Per quanto riguarda l orientamento religioso, per la religiosità intrinseca e l estrinseca sociale non sembrano esserci effetti del genere, in quanto è abbastanza probabile che le medie siano uguali fra loro. Al contrario, per quanto riguarda la religiosità estrinseca personale, il gruppo femminile mostra una media (10.89) più alta del gruppo maschile (9.46). La differenza è statisticamente significativa t(313,27)=-4.013, p <.001. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 20 / 21
Applicabilità Per confrontare la media di una variabile fra due gruppi Cosa si usa 1 variabile qualitativa (indipendente) che viene usata per suddividere il campione in 2 gruppi 1 variabile quantitativa (dipendente) su cui vengono calcolate le media (una per ciascun gruppo) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 21 / 21