Calcolo delle Probabilità 2

Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale k. (Nei punti successivi lasciare indicato k) 2. Calcolare la funzione di distribuzione cumulata F X : quanto vale P{X < 0}? 3. Calcolare la densitá di X 2. 4. Calcolare la funzione caratteristica di X. Dato (X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta f (X,Y ) (x, y) = { kxy (x, y) T, con T = {(x, y) : x 0, y 0, y + x 1 0}. 1. Determinare k in modo che f (X,Y ) sia una densità. 2. Determinare la densità di (Z, T ) = ( 2X + Y, 3Y 4). 3. Calcolare E{X Y = 1/2}. Sia (X, Y ) un vettore gaussiano multivariato con vettore delle medie (0, 1) e matrice delle covarianze ( ) 2 1 C =. 1 2 1. Scrivere la funzione di densità e la funzione caratteristica di (X, Y ). 2. Calcolare la densitá di 3X 4. 3. Determinare i valori di a e b tali che ax + by siano indipendenti da X. Domanda 1 Descrivere la legge esponenziale. funzione caratteristica. Dimostrare che soddisfa l assenza di memoria e calcolarne la Domanda 2 Definire la funzione di distribuzione cumulata per variabili aleatorie reali e sue proprietá. 1

Domanda 3 Definire il concetto di speranza matematica condizionale e enunciare almeno una sua proprietà. Maggio 2006 Data la funzione di distribuzione cumulata F X associata a una v.a. assolutamente continua X, tale che { 1 F X (x) = 2 ex x < 0 1 1 2 e x x 0, 1. calcolare P{ 1 < X < 1}; 2. determinare E[3X]; 3. calcolare la densità di Y = X. X e Y sono indipendenti? Sia dato (X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta f (X,Y ) (x, y) = λe y2 2xy+2x 2 2, 1. Determinare λ in modo che f (X,Y ) sia una densità. 2. Calcolare le densità marginali di X e Y. 3. X e Y sono indipendenti? 4. Determinare la funzione caratteristica di X. 5. Determinare la legge di (Z, T ) = (3X 2Y, 2X 5Y + 1). 6. Calcolare la speranza condizionata E[Y X = 0]. Due dispositivi elettrici A e B sono composti ciascuno da due elementi (A in serie, B in parallelo). La durata (tempo che intercorre tra l attivazione e la rottura di ogni singolo elemento) sono variabili esponenziali di parametro λ indipendenti. indichiamo con T A e T B il tempo di rottura di A e B rispettivamente. 1. Calcolare la probabilitá che il dispositivo A si guasti prima di B. 2. Mediamente durerà di A o B? 3. Determinare la densità congiunta di (T A + T B, 2T A ). Qualé la densità marginale di T A + T B? Domanda 1 Utilizzando la definizione di funzione caratteristica provare che se X e Y sono Poisson indipendenti, allora anche X + Y è una Poisson. Domanda 2 Descrivere un metodo di simulazione di numeri casuali. 2

Domanda 3 Definire il concetto di convergenza quasi certa, in probabilità e in legge per successione di variabili aleatorie. Quale relazione esiste fra di loro? Luglio 2006 Sia (X, Y ) una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente { k(x f(x, y) = 2 + xy) (x, y) (0, 1) 2. 1. Determinare il valore del parametro reale k. 2. Determinare le densitá marginali di X e Y : X e Y sono indipendenti? 3. Calcolare la speranza di XY. 4. Calcolare la probabilità che X > 2Y. Date X E(1) e Y E(2) variabili aleatorie indipendenti. 1. Determinare la densità di (Z, T ) = ( 2X + Y, 3Y 4). 2. Calcolare la matrice delle covarianze di Z e T. 3. Calcolare E{X 2 Y = 1}. Sia (X, Y ) un vettore gaussiano multivariato con vettore delle medie (0, 1) e matrice delle covarianze C = ( 4 1 1 2 1. Scrivere la funzione di densità e la funzione caratteristica di (X, Y ). 2. 3X + 2Y 4 ha legge nota?. 3. Determinare i valori di a e b tali che ax + by siano indipendenti da X. ). Domanda 1 Dopo aver enunciato la definizione di funzione caratteristica, calcolare la funzione caratteristica di una variabile aleatoria con densità binomiale B(n.p). Domanda 2 Esiste qualche relazione tra la definizione di funzione caratteristica e il concetto di convergenza? Domanda 3 Descrivere un metodo per ottenere la densità di un vettore aleatorio trasformato secondo una legge Φ. 3

Febbraio 2007 Sia f : R R f(x) = b a x 0 x a b a < x 2 0 altrove 1. Determinate a, b in modo tale che f sia la densità di una variabile aleatoria continua X con speranza E[X] = 11 9. 2. Calcolate la probabilità P(X > 1). 3. Determinare la densitá di Y = X 2. 4. Sia Y una variabile casule Y N ( 11 9, 1). Supponendo che X ed Y siano indipendenti, calcolate E[(X + Y ) 2 ]. Sia (X, Y ) un vettore aleatoria con densitá { k x + y x (0, 1), y (0, 2) f(x, y) = 1. Determinare k in modo che f sia una densità; 2. Calcolare la probabilitá che X < Y ; 3. X e Y sono indipendenti? 4. Calcolare la media condizionata E[X Y = 1] Sia (X, Y ) un vettore gaussiano multivariato con vettore delle medie ( 1, 1) e matrice delle covarianze 1. Determinare la legge di X + 3Y. C = ( 4 1 1 2 ). 2. Determinare legge congiunta di Z = X Y e U = X + Y. 3. Determinare, se é possibile, i valori dei parametri a, b e c, tale che T = ax + by + c abbia la stessa legge di X, ma sia indipendente da Y. Domanda 1 Enunciare il Teorema del limite centrale. Domanda 2 Descrivere un metodo di simulazione di numeri casuali. Domanda 3 4

Utilizzare la definizione di funzione caratteristica per provare che la somma di due variabili aleatorie indipendenti con densitá di Poisson é ancora una variabile aleatoria con densitá di Poisson. 6 Giugno 2007 Data la funzione k(x + y) 0 < x < 1, 0 < y < 1 f(x, y) = kx 0 < x < 1, 0 < y < 2 x 1. Determinare k in modo che f sia la densità associata a un vettore aleatorio (X, Y ). 2. Determinare le densità marginali. 3. Calcolare la densità marginale di V = Y 3. 4. Calcolare la densità di (2X + Y, X 2 ) Sia dato (X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta f (X,Y ) (x, y) = λe y2 +2xy+4x 2 6, 1. Determinare λ in modo che f (X,Y ) sia una densità. 2. Calcolare le densità marginali di X e Y. 3. X e Y sono indipendenti? 4. Determinare la funzione caratteristica di X. 5. Determinare la legge di (Z, T ) = (X Y 1, X 2Y + 1). Un apparecchiatura ha un tempo di vita Y che segue una legge esponenziale di parametro X, che dipende dalla quantità di uno dei materiali impiegati. Nel processo di produzione non è però possibile controllare la qualità X del materiale, che quindi si deve considerare aleatoria di legge Γ(α, λ) 1. Qual è la legge di Y? 2. Per quali valori di α e λ esiste finita E[Y ]? 3. Qual è la densità condizionata di X dato Y = y? 4. Calcolare la E[X Y ]. 3 Luglio 2007 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità uniforme sulla regione R = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} {(x, y) : 1 < x < 2, 1 < y < 2}. 5

1. Determinare le densità marginali: X e Y sono indipendenti? 2. Calcolare la probabilità che X + Y > 2. 3. Calcolare la densità di V = log(x + 1). 4. Calcolare la densità di (Y = 2X, X Y ) Sia dato (X, Y ) un vettore gaussiano N 1. Determinare la probabilità che X > Y. 2. Calcolare le densità marginali di X e Y. (( 1 1 3. Determinare la funzione caratteristica di X. ) ( 4 2, 2 2 )). 4. Determinare la legge di (Z, T ) = (X Y + 1, X 2Y + 1). 5. Se V N (0, 2), tale che Cov[V, X] = 1 e Cov[V, Y ] = 1, (X, Y, V ) è ancora un vettore gaussiano? Sia Y X=x U(0, x) con X U(0, 2). 1. Qual è la legge di Y? 2. Qual è la densità condizionata di X dato Y = y? 3. Calcolare la E[Y X] e E[E[Y X]]. 4. Calcolare P{Y > 1 X > 1}. 24 Settembre 2007 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità f(x, y) = ke x y. 1. Determinare k in modo che f sia una densità. 2. Determinare le densità marginali: X e Y sono indipendenti? 3. Calcolare la probabilità che XY > 0. 4. Calcolare la densità di V = X 2. 5. Calcolare la densità di (X 2, X Y ) Sia dato (X, Y ) un vettore gaussiano con vettore delle medie (2, 2) e Var[X] =Var[Y ] = 4 1. Sapendo che Var[X 2Y ] = 16, scrivere la densità di (X, Y ). 6

2. Determinare la probabilità che log(x Y ) > 0. 3. Calcolare le densità marginali di X e Y. 4. Determinare la funzione caratteristica di 3X 1. 5. Determinare la legge di (S, T ) = (X + 1, X Y + 5). 6. Determinare il valore del parametro α tale che X = Y + αz con Z N (0, 1). Sapendo che X U(1, 2) f Y X (y x) = { 2y, x 2 0 < y < x 1. Qual è la legge di Y? 2. Calcolare la E[Y X] e E[E[Y X]]. 3. X e Y sono indipendenti? 9 Giugno 2008 Sia Z N (0, 1) e X = e Z. 1. Determinare f X (x). 2. Calcolare la speranza e la varianza di X. 3. X e Z sono indipendenti? 4. Sia Y B(1/2) indipendente da Z, calcolare la probabilità che X + Y > 0. Sia dato T = (X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta { c x f (X,Y ) (x, y) = y, y 1 < x < 1, 1 < y < 2 0, altrimenti 1. Determinare c in modo che f (X,Y ) sia una densità. 2. Calcolare le densità marginali di X e Y. 3. Calcolare la probabilità che U = X + Y > 2. 4. Calcolare la speranza di X 2Y. Siano Y N (1, 4) e X Y =y N ( 1 4 (y 1), 3 4 ). 1. Determinare la E(X Y = 1) e E(X 2 Y ). 2. Calcolare la probabilità che X Y > 1. 7

3. Calcolare la funzione caratteristica di 2Y 1. Esercizio 4(solo MATEMATICA) Si consideri una successione (X n ) n di v.a. indipendenti, tali che, per ogni n, X n abbia legge esponenziale di parametro c n (con c > 0). Poniamo Y n = min(x 1,..., X n ). 23 Giugno 2008 Sia data una funzione definita da f(x) = αx 2, 1 < x < 1 β(x 1), 1 < x < 3 0, altrimenti 1. Determinare α e β in modo che f sia la densità di una variabile aleatoria X di media 1. 2. Calcolare la probabilità che X > 1 2, sapendo che X < 2. 3. Determinare la speranza di Y = X 2. 4. X e Y sono indipendenti? 5. Calcolare la densità di Y e calcolare la probabilità che Y < 4. È assegnato il vettore aleatorio (X, Y ) con densità uniforme sulla regione 1. Calcolare la probabilità che X > 1 2. A = {(x, y) : x < 1, y < 1, x + y > 1}. 2. Calcolare le densità marginali di X e Y : sono indipendenti? 3. Calcolare la E(X + 2Y 1 Y = 1/2). Siano X Γ(2, 1) e Y Γ(2, 2) indipendenti. 1. Calcolare la E(X 2 + Y 2 Y ). 2. Calcolare la densità di X + 2Y 3. Calcolare la E(X X + 2Y = y). 4. Calcolare la funzione caratteristica di 2X 3Y + 2. 5. Esiste γ tale che γy abbia la stessa densità di X? 8

Esercizio 4 (solo MATEMATICA) Data una successione (U n ) n 1 di variabili aleatorie indipendenti e tali che U i G( successione X n = min(u n, U n+1 ) converge in legge? i 2(i+1) ). La 14 Luglio 2008 Sia dato un vettore gaussiano (X, Y, Z) tale che E(X) = 1, E(Y ) = 1, E(Z) = 0, V (X) = V (Y ) = 4, V (Z) = 1 Cov(X, Y ) = 1, Z X, Z Y 1. Scrivere la densitá dei vettori aleatori (X, Y, Z) e (X, Y ). 2. Calcolare la probabilitá che X Y 2Z > 1. 3. Determinare per quali valori di α, e αx ha media finita. 4. Determinare, se possibile, α e β tali che X + αy e βx Z siano indipendenti e abbiano la stessa legge. Sia { k(2 + x + y), x < 1, y < 1, x > y f(x, y) = 0, altrimenti 1. Calcolare la probabilitá che XY > 0, sapendo che X > 0. 2. Calcolare la speranza di X 2+X+Y. 3. Determinare la densità del vettore (X + Y, X Y 2 ). 4. Se B B(p) indipendente da X, calcolare la speranza di X B. Una moneta viene lanciata ripetutamente. Sappiamo che la probabilità p che esca testa è modellabile con una variabile aleatoria P, con densitá { 6p(1 p), 0 < p < 1, f P (p) = 0, altrimenti. 1. Sapendo che P = 1 2, calcolare la probabilità che in 5 lanci si ottengano 2 successi. 2. Indicando con T il tempo del primo successo (esce testa), calcolare la densitá di T. 3. Sapendo che P = 1/4, determinare il numero minimo di lanci affinché la probabilitá di ottenere testa almeno un terzo delle volte sia maggiore di80%. 9

Esercizio 4 (solo MATEMATICA) Sono assegnate (X n ) n 1 e (Y n ) n 1 due successioni di variabili aleatorie indipendenti, tali che X i E(c i ) e Y i U(i, i + 1), per ogni i 1 e c > 0. 1. Calcolare la funzione caratteristica di X n + Y n. 2. La successione T n = X n + Y n converge in legge? 16 Settembre 2008 Sia data una funzione definita da F (x) = ( 1 1 ) I a + x [0,+ ) (x). 1. Determinare a in modo che F sia la funzione di distribuzione cumulata associata a una variabile aleatoria assolutamente continua. 2. Fissato il valore di a dal punto (1.), calcolare la probabilità che X > 1 2, sapendo che X < 2. 3. Determinare la densità di Y = X 3. 4. Determinare la densità di T = max{x, 4}. È assegnato il vettore aleatorio (X, Y ) con densità { α ye y, x (0, + ), y (0, + ) f(x) = (x+y) 2 0, altrimenti 1. Determinare α in modo che f sia una densità. 2. Calcolare la speranza di (X+Y )2 (X+1) 2. 3. Per quali valori di k Z, E(Y k ) è finita? 4. Calcolare la densità marginale di Y e la speranza di Y. 5. Calcolare le densità condizionata di X dato Y = y. Siano X Y =y N (y, 4) e Y U(0, 1). 1. Sapendo che Y = 1/2, calcolare la probabilità che X 2 2X 3 > 0. 2. Calcolare la densità del vettore (X, Y ) 3. Calcolare la E(2X 3Y + 1 Y = y). 4. Calcolare la funzione caratteristica di 3Y 1. 5. Scrivere la densità di X in termini della funzione di distribuzione cumulata di una normale. 10

Esercizio 4 (solo MATEMATICA) Sia (X n ) n 1 una successione di variabili aleatorie i.i.d. con comune funzione di distribuzione cumulata F (x) = (1 e λx )I [0,+ ) (x), con λ > 0, e siano M n = max{x 1,..., X n }, Z n = (λm n log n). 1. Determinare esplicitamente la funzione di ripartizione di Z n, indicata con F n. 2. Determinare, per ogni x R G è una funzione di ripartizione? lim F n + n(x) =: G(x). 3. Cosa si può concludere sulla convergenza di Z n. 20 Gennaio 2009 Sia data una funzione definita da f(x) = αx 2, 1 < x < 1 β(x 2 1), 1 < x < 3 0, altrimenti 1. Determinare α e β in modo che f sia la densità di una variabile aleatoria X e P(X > 2) = 1/2 2. Calcolare la probabilità che X > 0, sapendo che X < 2. 3. Determinare la speranza di Y = X 2 2X + 5. 4. X e Y sono indipendenti? 5. Calcolare la densità di Y e calcolare la probabilità che Y < 4. È assegnato il vettore aleatorio normale (X, Y ) con vettore delle medie (0, 0) e matrice M delle varianze ( 1 ) ρ ρ 1 1. Che condizioni deve soddisfare ρ perchè M sia effettivamente una matrice delle varianze? 2. Calcolare la densità condizionata di X dato Y = y e la speranza condizionata di X dato Y. 3. Calcolare la densità di T = e X. 4. Per quali valori di ρ, 2X Y e X + Y 3 sono indipendenti? Sia X B(1/3). Si costruisce una variabile Y X=k Γ(k + 1, 2). 11

1. Determinare la densità congiunta di (X, Y ). 2. Calcolare E(X Y = 1). 3. Calcolare la densità di Y. Esercizio 4 (solo MATEMATICA) Siano (X n ) n 2 variabili aleatorie indipendenti tali che P(X n = n) = P(X n = n) = 1 2n log n, P(X n = 0) = 1 1 n log n. Mostrare che X n converge in probabilità a 0. Cosa si può dire della convergenza in legge? 27 Febbraio 2009. Sia (X, Y ) una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente k 0 < x < 1, 0 < y < 1 k f (X,Y ) (x, y) = 2 1 < x < 0, 1 < y < 0 1. Determinare il valore del parametro reale k 2. Determinare le densità marginale di X e Y : sono indipendenti? 3. Per quale valore a R, esiste E[X a Y a 1 ]. 4. Calcolare la media condizionata E[X Y = 1/2].. Sia (X, Y ) un vettore gaussiano multivariato tale che E(X) = E(Y ) = 1, V (X + Y ) V (X Y ) = 1, V (X) = 2V (Y ) = 8. 1. Scrivere la funzione di densità e la funzione caratteristica di (X, Y ). 2. Qual è la densità congiunta del vettore (X, 2X)? 3. Determinare legge congiunta di S = X Y e T = X 3Y + 2. 4. Calcolare Cov(S, T ).. Si consideri una variabile X tale che la densità di X condizionata Y = y è f (X Y ) (x y) = { 1 2y 0 < x < 2y e Y U(1, 2). 1. Determinare la densità di X. 2. Calcolare la speranza E[Y X]. 12

3. Calcolare la P(X > 1). 4. Utilizzando le proprietà della speranza condizionata, dire se esiste finita la speranza di X. Esercizio 4. (SOLO MATEMATICA) Sia (X n ) n 1 una successione di variabili aleatorie tali che X n B(n, p n ). 1. Se p n = λ 1+n, provare che X n converge in legge a una Poisson di parametro λ. 2. Studiare la convergenza nel caso in cui p n = λ n 2. Giugno 2009 Data la funzione k(x + y) 0 < x < 1, 0 < y < 1 f(x, y) = kx 0 < x < 1, 0 < y < 2 x 1. Determinare k in modo che f sia la densità associata a un vettore aleatorio (X, Y ). 2. Determinare le densità marginali. 3. Calcolare la densità marginale di V = Y 3. 4. Calcolare la densità di (2X + Y, X 2 ) Sia dato (X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta f (X,Y ) (x, y) = λe y2 +2xy+4x 2 6, 1. Determinare λ in modo che f (X,Y ) sia una densità. 2. Calcolare le densità marginali di X e Y. 3. X e Y sono indipendenti? 4. Determinare la funzione caratteristica di X. 5. Determinare la legge di (Z, T ) = (X Y 1, X 2Y + 1). Un apparecchiatura ha un tempo di vita Y che segue una legge esponenziale di parametro X, che dipende dalla quantità di uno dei materiali impiegati. Nel processo di produzione non è però possibile controllare la qualità X del materiale, che quindi si deve considerare aleatoria di legge Γ(α, λ) 1. Qual è la legge di Y? 2. Per quali valori di α e λ esiste finita E[Y ]? 3. Qual è la densità condizionata di X dato Y = y? 4. Calcolare la E[X Y ]. 13

Luglio 2009 Sia X una variabile aleatoria con densità f X (x) = xe x 1 x 0 (x) e Y una variabile aleatoria con legge (condizionata X) uniforme su [0, X]. 1. Determinare f Y X (y x), f X,Y (x, y) e f Y (y). 2. Calcolare la probabilità che X + Y 2. 3. Calcolare la E(Y ). Sia dato ( ) X Y un vettore aleatorio gaussiano con X N(0, 1) e Y N(0, 2) e matrice delle covarianze ( ) 2 1 C = 1 2 1. Dimostrare che ( (( ) ( )) ) X 0 1 2 X+Y N,. 0 2 5 2. Calcolare la varianza di X + Y 3. Determinare la probabilità che X + Y 2 > 0. 4. Calcolare la speranza di XY X 2. Si consideri la successione di variabili aleatorie indipendenti (X n ) n 1 di legge uniforme su [2, 4). Siano Z n = min(x 1,..., X n ) e T n = max(x 1,..., X n ). 1. T n e Z n convergono in legge? E in probabilità? 2. nz n e Tn n convergono in legge? E in probabilità? Esercizio 4 Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti di legge esponenziale di parametro λ e sia Z = X Y. 1. Calcolare la funzione caratteristica di Z. 2. Calcolare la densità di Z. Settembre 2009 Sia ( ) X Y un vettore aleatorio bidimensionale e { kx 0 < x < 1, 0 < y < x f(x, y) = 1. Determinare il valore di k che rende f una densità associata a ( X Y ). 14

2. X e Y sono indipendenti? 3. Qual è la legge di X Y? 4. Calcolare P(X + Y < 1/2 X Y 1/2) 5. Le variabili W = X + Y e Z = X Y sono indipendenti? Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti di bernoulli di parametro p. Sia Z = 1 {X+Y =0} 1. Calcolare E(Z X = 0). 2. Calcolare E(X Z). Le variabili aleatorie X 1 e X 2 hanno legge congiunta gaussiana con vettore delle medie ( 0 0) e matrice delle covarianze ( ) 7 1 1 4 1. Quali delle seguenti coppie di variabili aleatorie sono indipendenti: X 1 + X 2 e X 1 X 2 oppure X 1 + X 2 e X 1 2X 2? 2. Il vettore aleatorio W = (X 1, X 2, X 1 + X 2 ) ha densità congiunta? Esistono α e β tale che (αx 1, βx 2, X 1 + X 2 ) abbia densità? Esercizio 4 Sia (X n ) n una successione di variabili aleatorie i.i.d. con P(X n = 1 2 ) = P(X n = 1 2 ) = 1 2 e poniamo Y n = 1 n (X 1 + + X n ) 2 1. Calcolare la funzione di distribuzione cumulata di Y n. 2. Mostrare che (Y n ) n converge in legge e determinare la densità della legge limite. Appello straordinario 2009 Sia ( X Y ) un vettore aleatorio bidimensionale e f(x, y) = { c 1 y x 0 < x < y < 1 1. Determinare il valore di c che rende f una densità associata a ( X Y ). 2. X e Y sono indipendenti? quanto valgono le densità marginali di X e Y? 3. Qual è la legge di X Y? 4. Calcolare P(Y < 2X Y 3X) 15

5. Che valori assume il vettore aleatorio (V, W ) = (X Y, 2X + Y )? Siano X e Y due variabili aleatorie tali che la loro distribuzione congiunta data da P(X = n, Y t) = per ogni n N, t R + e con a > 0 fissato. ( ) 1. Calcolare E Y X+1. 2. Calcolare E(X Y ). 3. Calcolare E[1 X=3 Y = 4]. t Le variabili aleatorie X 1 e X 2 hanno legge congiunta 1. Determinare c 2. X 1 e X 2 sono indipendenti? 3. Calcolare la probabilità che Y > 1. 0 (ay) n e (1+a)y dy, n! f(x, y) = ce (2x2 +2x(y 1)+(y 1) 2 ) Esercizio 4 Sia (X n ) n una successione di variabili aleatorie i.i.d. di legge N (0, 1) e poniamo S n = 1 n (X 3 1 + + X 3 n) 1. Mostrare che (S n ) n converge in legge e determinare la densità della legge limite. 2. Quanto vale P(S n 3) per n grande? Gennaio 2010 Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti ed esponenziali di parametro λ, λ > 0 1. Calcolare la probabilità che X 2 Y 2 > 0. 2. Calcolare P( X Y > 1/λ). 3. Qual è la densità della variabile aleatoria X Y? e di X Y? 4. Le variabili aleatorie X + Y e X Y sono indipendenti? La variabile aleatoria Y ha densità esponenziale di parametro λ, mentre la variabile aleatoria X ha una densità condizionale dato Y = y data da f X Y (x y) = αyx α 1 e yxα, x > 0, α > 0 16

1. Qual è la densità di X? 2. Calcolare E(2Y X X = x). 3. Calcolare E[1 X>3 Y = 1]. Le variabili aleatorie X e Y hanno legge congiunta 1. Determinare c 2. X e Y sono indipendenti? 3. Calcolare E(X 2Y 1). f(x, y) = ce (4x2 +2xy+y 2 +2x+2y+1) Esercizio 4 Sia (X n ) n>1 una successione di variabili aleatorie indipendenti di legge P(X n = n 2 ) = 1 ( ) n 2, P X n = n2 n 2 = 1 1 1 n 2. Studiare la convergenza di (X n ) n. Febbraio 2010 Siano X e Y variabili aleatorie con densità congiunta 1. Determinare la densitá di Y. 2. Calcolare E(X Y = y), con y > 0. f X,Y (x, y) = 1 2 (x + y)e x y 1 (0, ) (x)1 (0, ) (y). 3. Determinare il coefficiente di correlazione fra X e Y. Sia X una variabile aleatoria con densità gaussiana standard. La densità di Y condizionata a X = x sia invece una gaussiana di media nulla e varianza x 2. 1. Determinare la densità marginale di Y e la densità di X condizionate a Y = y. 2. Determinare il coefficiente di correlazione tra X e Y e verificare quindi se le due variabili sono indipendenti. Le variabili aleatorie X e Y hanno legge congiunta f(x, y) = c x y 1 (0,1) (x + y)1 (0,1) (x)1 (0,1) (y) e si consideri la trasformazione (U, V ) = ( X 2 + Y 2, X + Y ). 17

1. Determinare c 2. Determinare la densità congiunta di (U, V ) 3. X e Y sono indipendenti? 4. Calcolare la probabilità che U < 1 e V < 1. Esercizio 4 Sia (X n ) n una successione di variabili aleatorie indipendenti uniformi su [0, 1] 1. Calcolare media e varianza delle variabili aleatorie Y n = cos(2πx n ). 2. Posto Y n = 1 n n k=1 cos(2πx k). Mostrare che la successione (Y n ) n converge in probabilit e determinarne il limite. 3. Calcolare il limite lim n P( Y n > 1 10 n ). 18