1) Applicare la nozione classica di probabilità a semplici esperimenti

Transcript

1 1) Applicare la nozione classica di probabilità a semplici esperimenti aleatori. 1.A - Trova la probabilità che almeno due fra 11 persone abbiano lo stessa data di compleanno. R.] B - In uno scaffale ci sono 15 libri, 4 di matematica e 11 di fisica; trova la probabilità che i 4 libri di matematica si trovino insieme. R.] C - Un carattere è una lettera o una cifra. Una password è formata da 11 caratteri col vincolo che almeno un carattere sia una cifra. a) Quante password possono esserci? b) Se vengono generati a caso 11 caratteri, e ogni carattere ha la stessa probabilità di essere una delle 26 lettere o una delle 10 cifre, trova la probabilità che sia generata una password valida. a] b] D- Un compilatore assegna ad ognuna delle variabili che intervengono in un programma una cella di memoria a caso, con indipendenza da una variabile all altra. In caso di conflitto (cioè se due variabili sono assegnate alla stessa cella), l operazione di assegnazione deve essere ripetuta. Se vi sono 80 celle di memoria e 7 variabili, qual è la probabilità che si verifichi almeno un conflitto? R.] E - a) Un programma deve usare 8 processori fra A 1,...,A 10. Trova la probabilitá che venga usato il processore A 1. b) Il programma deve usare 8 processori fra A 1,...,A 30. Trova la probabilità che vengano usati esattamente due processori tra i processori A 1,A 2,A 3,A 4. a] 0.8 b] ) Applicare i teoremi sulla probabilità di una unione, di probabilità composta, delle probabilità totali, di Bayes. 2.A - Un sistema antincendio ha due congegni di attivazione. Il primo ha affidabilità 0.8, cioè quando c è il fuoco si attiva con probabilità 0.8. Il secondo, che lavora indipendentemente, ha un affidabilità 0.7. Se almeno uno 1

2 dei congegni si attiva, il sistema funziona. Se si sviluppa il fuoco, trova la probabilità: a) che il sistema funzioni; b) che il sistema non funzioni; c) che ambedue i congegni si attivino; d) che solo il primo congegno si attivi. a] 0.94 b] 0.06 c] 0.56 d] B - Un lotto di 20 componenti ne contiene 5 che sono difettose. Vengono estratte senza rimessa due componenti. Sia D 1 l evento per cui la prima è difettosa. Sia D 2 l evento per cui la seconda è difettosa. Trovare: a) P(D 2 D 1 ) ; b) P(D 1 D 2 ); c) P(D C 1 D 2 ) ; d) P(D 2 ); e) P(D1 D 2 ) a] 4/19 b] 1/19 c] 15/76 d] 19/76; e) C - Uno studente studia con probabilitá 1/3. Gli viene presentato un quiz con 6 risposte possibili. Se ha studiato dà certamente la risposta esatta; se non ha studiato sceglie a caso una delle 6 risposte. Supponiamo che abbia dato risposta esatta: con che probabilitá ha studiato davvero? R.] D-Ungeneècompostodiduealleli, ciascunopuòessereditipoaoppurea. Nella popolazione vi sono 3 tipi di individui: di tipo AA, Aa, e aa. Ciascun genitore trasmette al figlio uno dei due alleli scelto a caso. Sapendo che inizialmente le proporzioni dei tre tipi sono AA : 2 13 Aa : quali saranno le proporzioni del tipo AA I, del tipo Aa I, del tipo aa I alla generazione successiva? 6 13 aa : [ AA I : Aa I : aa I : ] 2.E - In una regione una malattia colpisce il 5 per mille della popolazione. Un test è affidabile con probabilità 0.99 tanto sui sani quanto sui malati [cioè: per un malato il test è postivo con probabilità 99%; per un sano il test è negativo con probabilità 0.99]. a) Se il risultato di una persona è positivo, trova la probabilità che la persona sia realmente malata. b) Se il risultato è negativo, trova la probabilità che la persona sia in realtà malata. [a) 0.332; b) ] 2.F - In una regione una malattia colpisce il 4 per mille della popolazione. Un test è affidabile con probabilità 0.94 sui sani e 0.88 sui malati [cioè: per un

3 malato il test è postivo con probabilità 88%; per un sano il test è negativo con probabilità 0.94]. Assumiamo che i test ripetuti siano indipendenti. Se due test su una persona sono risultati positivi, trova la probabilità che la persona sia malata. [0.46] 2.F - Il gruppo sanguigno A può donare ai gruppi A, AB. Il gruppo B può donare ai gruppi B, AB. Il gruppo AB può donare solo al gruppo AB. Il gruppo O può donare a tutti. Supponiamo che in una regione le proporzioni siano: per il gruppo A il 21%; per il gruppo B il 43%; per il gruppo AB il 10%; per il gruppo O il 26%. Trova: a) la probabilità che un donatore a caso possa donare il sangue a una persona a caso; b) la probabilità che, se un donatore puo donare a un altro, allora quel donatore sia del gruppo B. [0.563; 0.405] 2.G-L urnaicontiene5pallinebianchee9pallinerosse. L urnaiicontiene7 palline bianche e 4 rosse. Una pallina è estratta dall urna I e, senza osservare il colore, viene messa nell urna II. Poi viene estratta una pallina dall urna II. Trova la probabilità che la prima estratta sia rossa, sapendo che la seconda estratta sia bianca. [ 0.612] 3) Uso delle principali variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. 3.A - Il numero X di difetti di un certo prodotto è 0,1,2,3 con rispettive probabilità: P(X = 0) = 0.38, P(X = 1) = 0.29, P(X = 2) = 0.20, P(X = 3) = 0.13 a) Trova la varianza di X; b) trova i valori della standardizzata di X. [a) σ 2 = 1.09, σ = 1.04; b) ( 1.03; 0.076; 0.88; 1.84) ] 3.B - Una ditta chimica vende un certo solvente in fusti da 10 Kg. Il numero X di fusti acquistati da un cliente a caso è una v.a. discreta con la seguente funzione di ripartizione: perx = 1,2,3,4,5, F(x) = 4/10,6/10,8/10,9/10,1. Inoltre chiamiamo Y il numero di Kg acquistati. Trova: a) il numero medio di fusti acquistati; b) la varianza del numero di Kg acquistati. 3

4 [a) µ X = 2.3; b) σ 2 Y = 181 ] 3.C - Una v.a. X ha funzione densità di probabilità h, 1 < x < 3 f(x) = 2h, 3 < x < 6 h, 6 < x < 8 Trova: a) il valore h che rende f una densità di probabilità; b) la funzione di ripartizione di X; c) il quantile 0.88 di X; d) il quantile 0.50 ( mediana ). [a) 1/10; c) 6.8 d) 4.5 ] b) F(x) = 0, x 1 (x 1)/10, 1 < x < 3 (x 3), 3 < x < (x 6), 6 < x < , x 8 3.D - Per le nevicate in una certa regione, il numero X di cm di neve è una v.a. con densità di probabilità del tipo: c x, 0 x 5 f(x) = c (x 10), 5 < x 10 0, altrove Trova: a) il fattore c di normalizzazione; b) la funzione di ripartizione di X; c) il 40-mo percentile di X. [a) 1/25; 0, x < 0 x 2 c) ] b) F(x) = x x2, 0 x < , 5 < x , x > 10 3.E - Sia X una v.a. assolutamente continua con funzione di ripartizione { 0, x < 0 F(x) = 1 e x2, x > 0 Trova: a) P(X > 0.8); b) la funzione densità di probabilità di X; c) il quantile 0.70 di X. 4

5 [ a) 0.52; c) 1.09 ] b) f(x) = { 0, x 0 2xe x2, x > 0 3.F - Una compagnia concede uno sconto sugli ordini che vengono pagati entro 30 giorni. Su tutti gli ordini, il 10% riceve uno sconto. Si estraggono a caso 12 ordini. Trova: a) la probabilità che ricevano uno sconto meno di 4 sui 12; b) più di 1 sui 12. [ 0.974; ] 3.G - Un urna contiene 6 palline bianche e 10 rosse. Si estraggono 5 palline. Trova la probabilitá che 2 o 3 siano rosse: a) se l estrazione é con rimessa; b) se l estrazione é senza rimessa. [ 0.549; ] 3.H - Un messaggio di 10 bit arriva o dalla sorgente A (con probabilitá 1/3) o dalla sorgente B (con probabilitá 2/3); non puo venire in parte da A in parte da B. A manda i messaggi in modo che 1 ha probabilitá 1/2 e 0 ha probabilitá 1/2. Invece B manda i messaggi in modo che 1 ha probabilitá 4/7 e 0 ha probabilitá 3/7. Trova: a) la probabilitá che in un messaggio ci siano 6 bit uguali ad 1; b) la probabilitá che il messaggio venga da A, se il messaggio ricevuto contiene 6 bit uguali ad 1. [0.2328; ] 3.I-Ilnumeromediodiaccessiaunsitowebalminutoé5.Trovalaprobablitá che nei prossimi tre minuti ci siano esattamente 17 accessi. [ ] 3.L - Diluendo latte in acqua distillata con fattore 10 1, 10 2, 10 3, 10 4 troviamo, dopo incubazione, sviluppo dei batteri; mentre troviamo sterile la diluizione con fattore Prendiamo 20 tubi con volume 1 cm 3, e vi mettiamo la sospensione diluita con fattore Poniamo di trovare sterili 12 tubi su 20. Se il numero di batteri per cm 3 é di Poisson, trovare: a) numero medio di batteri in un cm 3 di sospensione diluita; b) il numero medio di batteri per cm 3 di latte non diluito. [ a) 0.51; b) 5100 ] 5

6 3.M - La probabilitá che una lampadina bruci in un giorno é 0.1. Calcola la probabilitá che essa bruci per la prima volta il 20-mo giorno del suo uso. [ ] 3.N - I punteggi di un test di ammissione sono normalmente distribuiti, con media 480 e varianza a) Se il peggior 25% dei candidati sará escluso, trova il minimo punteggio per essere ammessi. b) Se il miglior 12% dei candidati avrá una borsa di studio, trova il minimo punteggio per avere la borsa di studio. [ a) 420 ; b) 586 ] 3.O - La concentrazione di zucchero per coltivare il penicillium deve essere circa 4.9 mg/ml e, se eccede 6.0 mg/ml, il fungo muore e il processo deve essere fermato quel giorno. Trova la probabilità che il processo sia fermato: a) se la concentrazione di zucchero e normale con media 4.9 e varianza 0.36; b) se la concentrazione di zucchero e normale con media 5.2 e deviazione standard 0.4. [ ; ] 3.P - La durata di un circuito integrato ha una distribuzione esponenziale con media pari a due anni. a) Trova la probabilita che il circuito almeno ( ) 3 anni; b) se il circuito e gia durato 4 anni, trova la probabilita che duri almeno ( ) altri 3 anni. [ 0.223; ] 4) Vettori aleatori, covarianza, indipendenza 4.A - Siano X,Y v.a. discrete con funzione di probabilità f(1,1) = 3/12 f(1,2) = 1/12 f(1,3) = 0 f(2,1) = 3/12 f(2,2) = 0 f(2,3) = 2/12 f(3,1) = 1/12 f(3,2) = 1/2 f(3,3) = 1/12 Trova: a) le medie di X, Y; b) la covarianza di X,Y; c) la varianza di (X +Y) [ a) E(X) = 23 12, E(Y) = 5 3 ; b) Cov(X,Y) = 2 9 ; c) ] 6

7 4.B - Un vettore aleatorio (X,Y) ha la densità congiunta: f(x,y) = c e (x+y) I (0,+ ) (x)i (x,+ ) (y) dove c è la solita costante opportuna. a) Trova c; b) trova le densità marginali di X,Y. Sono v.a. indipendenti? ; c) trova P(X > Y 1) c = 2; f X (x) = 2e 2x I (0,+ ) (x); f Y (y) = 2e 2y (e y 1)I (0,+ ) (y); P(X > Y 1) = e 1 e ] 4.C - Una lampada é composta da 2 lampadine. La durata X di una lampadina, misurata in ore, é normale di media 800 e varianza La durata Y dell altra lampadina é normale di media 900 e varianza Le durate sono indipendenti. Trova: a) la probabilitá che la seconda duri 200 ore piú della prima. b) Si decide di usare la prima lampadina e, quando questa brucia, di usare la seconda: trova la probabilitá che la durata totale sia maggiore di 2000 ore. [ a) b) ] 4.D - Due giovani decidono di incontrarsi tra le 17 e le 18 con l accordo che nessuno deve aspettare l altro per più di 10 minuti. Supponiamo che gli orari X ed Y in cui arrivano siano indipendenti e uniformi. Trovare la probabilità che si incontrino. [11/36 ] 4.E - Due v.a. discrete, X,Y, hanno funzione di probabilità congiunta: 4 Ỳ `X ` ` ` Trova: a) la media di X +Y; b) E(XY); c) la covarianza di X,Y. a) µ X +µ Y = 145.7; b) c) Cov(X,Y) = E(XY) µ x µ Y = 0. 4.F - Due atleti arrivano al traguardo di una corsa in istanti X, Y indipendenti. L uno arriva in un istante casuale X fra le 16 e le 17. L altro arriva in un istante casuale Y fra le e le 17. Trova: a) la probabilità che sia Y X; b) la probabilità che sia Y X 15. [ a) P(Y X) = b) P( Y X 15) = / /2 = ]

8 4.G- Un componente elettronico è formato da due elementi uguali in parallelo (cioè non funziona se ambedue han cessato di funzionare); ciascuno dei due a sua volta è formato da due elementi in serie (cioè non funziona se almeno uno dei due non funziona). Questi due elementi in serie hanno tempo di vita esponenziale di parametri rispettivamente λ 1 = 2/10, λ 2 = 1/10 e si assume l indipendenza. Sia U il tempo di vita globale. Trova: a) la funzione di ripartizione di U; b) la densità di U; c) la media di U. [ a) F U (t) = (1 e 3t/10 ) 2 I [0, ) (t) b) f U (t) = ( 6 10 e 3t/ e 6t/10 ) I [0, ) (t) c) E(U) = = 5 ] 4.H - Un componente elettronico è formato da due elementi in serie (cioè non funziona se almeno uno dei due non funziona), il primo dei quali ha un tempo di vita distribuito esponenzialmente con parametro 1/12. Il secondo elemento è a sua volta formato da due elementi in parallelo (cioè non funziona se ambedue non funzionano), aventi tempo di vita esponenziale rispettivamente con parametro 3/12 e 3/12. Si suppone l indipendenza. Sia U il tempo di vita globale. Trova: a) la funzione di ripartizione di U; b) la densità di U; c) la media di U. [ a) F U (t) = (1 2 e 4t/12 +e 7t/12 ) I [0, ) (t) b) f U (t) = ( 8 12 e 4t/ e 7t/12 ) I [0, ) (t) c) E(U) = = ] 5) Approssimare correttamente la binomiale alla Poissoniana, la binomiale alla normale, la somma di variabili i.i.d. alla normale. 5.A - Viene lanciata 100 volte una coppia di dadi equi contando quante volte esce la somma sette. Trova: a) la probabilita che esca piu di 20 volte; b) la probabilita che esca da 14 a 20 volte (estremi compresi). [0.152; ] 5.B - Il 20% di componenti prodotti e difettoso. Ogni spedizione comprende 400 pezzi. Se una spedizione contiene piu di 90 pezzi difettosi, puo essere restituita. Trova: a) la probabilita che una data spedizione venga restituita; b) se in un particolare giorno vengono fatte 500 spedizioni, la probabilita che 60 o piu di queste spedizioni vengano restituite. [ ; ] 8

9 5.C-LacompagniaaereaVOLAREBASSOsacheil5%deipasseggeriprenotati non si presenta all imbarco. Allora arrischia l overbooking e per un volo di 300 posti accetta 310 prenotazioni. Con che probabilità resteranno delle persone a terra? [ ] 5.D - Sia X una v.a. esponenziale di parametro λ = 2. a) Trova media e varianza di X. b) Siano X 1,...,X v.a. indipendenti e identicamente distribuite, X i exp(2). Poni S = X X 150. Calcola approssimativamente P(S < 130). [ µ = 1/2, σ 2 =!/4; P(S < 130) ] 5.E - Il tempo di sopravvivenza di una lampada è v.a. esponenziale di media µ = 10 giorni. Appena si brucia, essa è sostituita. a) Trova la probabilità che 40 lampade siano sufficienti per un anno. b) Trova quante lampade occorrono per tenere accesa la luce per un anno con probabilità [ 0.71; 46 ] 5.F - Un calcolatore addiziona un milione di numeri e in ognuna di queste addizioni si effettua un errore di arrotondamento; supponiamo che i singoli errori siano indipendenti e abbiano distribuzione uniforme su [ , ] (cioè supponiamo che la decima cifra decimale sia significativa). a) Qual e la deviazione standard del singolo errore? b) Qual è la probabilità che l errore finale sia inferiore in valore assoluto a ? (cioè qual è la probabilità che la settima cifra decimale sia significativa?) [ ; 0.92] 5.G - Un corpo ha 5000 atomi di una sostanza radioattiva. Ogni atomo decade in un minuto con probabilitá Sia X il numero di atomi che decadono in un minuto. a) Trova la probabilitá che decadano almeno 3 atomi. b) Se il corpo atomi della sostanza radioattiva, trova la probabilità che decadano da 1980 a 2020 atomi. [ ] 5.H - Una certa lotteria istantanea ha probabilità di vincita 0.01 per singolo biglietto. Si domanda: a) la probabilità che fra 300 biglietti tale vincita si 9

10 verifichi 2 o 3 volte; (b) la probabilità che fra biglietti quella vincita si verifichi da 295 a 310 volte (estremi inclusi) [0.44; 0.35] 5.I - Supponiamo che un ubriaco disti duecento passi da casa, ma riesca solo a fare, ogni unità di tempo, un passo di avvicinamento con probabilità 1/2 o un passo di allontanamento con probabilità 1/2. Quanti passi deve fare per avere probabilità 20% di arrivare a casa? [56690] 6) Calcolo della legge di una funzione di una o piu variabili aleatorie. 6.A - Sia X una v.a. normale con media 0 e varianza 5. Sia Y = X. Trova: a) la densitá di probabilitá di Y; b) la media di Y. [a)f Y (y) = 2 5 2π e y2 /10 I [0, ) (y) ; b) R x f X(x)dx =... = 10/π. ] 6.B - Sia X una v.a. esponenziale con parametro 1/5. Sia Y = X. Trova la densitá di probabilitá di Y [ f Y (y) = 2 5 ye y2 /5 I [0, ) (y). ] 6.C - Sia X una v.a. normale di media 0 e varianza 3. Trova la densitá di probabilitá di Y = X 10. [ f Y (y) = e y1/5 /6 5 6π y 9/10 I [0, ) (y). ] 6.D - Sia X una v.a. con densitá di probabilitá f X (x) = x2 e 5x I [0, ) (x). Sia Y = 1/X. Trova la densitá di probabilitá di Y. [ f Y (y) = y 4 e 5/y I [0, ) (y). ] 6.E - Sia X una v.a. normale con media 2 e varianza 20, e sia Y = max(0,x) = { X, X > 0 0, X 0. Calcola: a) P(Y 0), P(Y < 0); b) la funzione di ripartizione di Y. [ a) P(Y 0) = 0.330, P(Y < 0) = 0 10

11 0, t < 0 b) F Y (t) = P(Y t) = 0.330, t = 0 F X (t), t > 0. ] 6.F - Sia X una v.a. uniforme sull intervallo ( π/6, π/6). Sia Y = tan(x). Trova: a) la densitá di probabilitá di Y usando il teorema fondamentale; b) la funzione di ripartizione e la densitá di probabilitá di Y usando un metodo diretto. [a) f Y (y) = f X(x) g (x) I V(y) =... = 3 π(1+y 2 ) I [ 1, 1 ](y) ]. 3 3 b) F Y (y) = P(X arctan(y)) =... 0, y < 1/ = π (arctan(y)+ π), < y < 1 3 1, y > 0. f Y (y) = d { 3 dy F π(1+y Y(y) =, 2 1 ) 3 < y < 1 3, 0, altrove. 6.G - Sia X uniforme in [0,1]. Trova la funzione di ripartizione della v.a. Y = max(x,1 X). [ F Y (t) = 0, t < t 1, < t < 1, 2 1, t > 1. ] 7) Calcolo di densità condizionata, media condizionata. 7.A - Il vettore (X,Y) ha una densità congiunta = f X,Y (x,y) = 6 5 (x2 +y)i [0,1] [0,1] = { 6 5 (x2 +y), (x,y) [0,1] [0,1] 0, altrove Trova: a) la densità condizionata di X data Y; b) la media condizionata di X sapendo Y = y. 11

12 [f X Y (x Y = y) = 3(x2 +y) (1+3y) ; E(X Y = y) = 3 4(1+3y) + 3y 2(1+3y), 0 < y < 1. 7.B - Siano X, Y v.a. assolutamente continue con densità congiunta f X,Y (x,y) = (x+y) I (0,1) (0,1) (x,y). Trova: a) la funzione densità marginale di X; b) la funzione densità condizionata di Y data X; c) la media condizionata di Y sapendo che X = 3 4. a) f X (x) = (x+ 1 2 ) I (0,1)(x) ; b) f Y X (y x) = (x+y) I (0,1) 2(x,y) (x+ 1 2 ) ; c) E[Y X = 3 4 ] = 1 0 y f Y X (y 3 )dy =... = C-Un apparecchiaturahauntempodivitay chesegueunaleggeesponenziale di parametro x che dipende dalla qualità di uno dei materiali impiegati. Ma nel processo di produzione x non è sotto controllo, e si assume distribuito come una v.a. esponenziale di parametro 2. Trova: a) la densità marginale di Y; b) la densità condizionata di X data Y. f X,Y = f Y X f X =... = 2x e x(y+2) I R + R +(x,y) a) f Y = f X,Y dx =... = 2 (2+y) 2 I R +(y) b) f X Y = f X,Y f Y =... = x(y +2) 2 e x(y+2) I R +(x). 7.D - La densità congiunta di (X,Y) è f(x,y) = { 3x e x(3+y), x,y > 0 0 altrove. Trova: a) la densità marginale di Y; b) la densità condizionata di X data Y. 12

13 a) f Y (y) = f X,Y dx =... = 3 3+y) 2 I R +(y) b) f X Y (x y) = f X,Y (x,y) f Y (y) = x(3+y) 2 e x(3+y) I R +(x). ] 7.E - Ogni anno un tipo di macchina deve essere sottoposto ad alcuni arresti per manutenzione. Questo numero di arresti X è v.a. di Poisson con parametro y. Ma anche y è aleatorio (ad es. può dipendere dalla macchina) e assumiamo che esso segua una legge f Y (y) = 3e 3y, y > 0; f Y (y) = 0, y < 0 Trova: a) la probabilità che una singola macchina sia sottoposta a 3 arresti in un anno b) la miglior stima di y sapendo che ci sono stati k arresti. a) P(X = k) f X (k)(k) = 0 f X,Y (k,y)dy =..., da cui f X (3) = b) f Y X=k = f X,Y f X (k) =..., da cui E(Y X = k) = (k +1)/4. 7.F - La densità di probabilità congiunta delle v.a. X ed Y è f X,Y (x,y) = { 8xy, 0 x 1, 0 y x 0, altrove. Determina la media condizionata di Y sapendo che X = 1 2. [ 0.33 ] 8) Vettori aleatori gaussiani. 8.A - Il vettore gaussiano (X,Y,Z) ha le tre medie nulle e ha matrice di covarianza 1 0 1/ /2 1/2 1/2 1 Sia U la v.a. ottenuta proiettando (X,Y,Z) nella direzione d = (0, 1 2, 1 2 ). Trova la probabilità che sia U 2. [ ] 8.B - Siano X 1,X 2 variabili N(0;1) indipendenti. Trova la matrice di covarianza di { Y1 = X 1 X 2 Y 2 = X 1 +X 2 13

14 R. : Σ Y = ( ) 8.C - Siano X 1 N(0;1), X 2 N(0;4) e indipendenti. Trova la matrice di varianza e covarianza di { Y1 = 3X 1 X 2 Y 2 = X 1 +5X 2 R. : Σ Y = ( ) 8.D - Si sa che un segnale X segue una legge normale N(0,1), ma non è osservato direttamente. Ciò che si osserva è una misurazione Y = X + W, dove W è un errore che segue una legge N(0,σ 2 ) con σ 2 = 0.1, ed inoltre è indipendente da X. Calcola la matrice di varianza e covarianza di (X,Y). ( ) 1 1 ] E - Una vettore aleatorio gaussiano (X 1,X 2 ) ha vettore delle medie µ = (5,8) e matrice di covarianza C = ( Sia (Y 1,Y 2 ) il vettore aleatorio ottenuto da (X 1,X 2 ) con la trasformazione in componenti principali. a) Trova le varianze di Y 1,Y 2 ; b) trova i versori del riferimento proprio di Y 1,Y 2. ) [ a) σ 2 Y 1 = 29.6, σ 2 Y 2 = 7.40 ] [ b) e 1 = (0.455,0.890), e 2 = (0.890, 0.455) ] 14