Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Corso d Progttazon Assstta da Computr (PAdC) CLM Ing. Mccanca CdL Magstral n Inggnra Mccanca Part I Introduzon alla tora dl mtodo agl Elmnt Fnt pr l anals struttural Docnt: Prof. Cro Santus Dp. d Inggnra Cvl Industral (DICI), pano Tl.: 5-2287 mal: cro.santus@ng.unp.t Unvrstà d Psa
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Contnut dl corso CdL Magstral n Inggnra Mccanca Lzon Bas torch dl Mtodo agl Elmnt Fnt (MEF) - Elmnt Fnt (EF) Fnt Elmnt Mthod (FEM) - Fnt Elmnt (FE) Applcazon dl MEF a problm struttural n campo lastco lnar Anals crtca d rsultat d un modllo ad EF Crtr d modllazon d struttur con l MEF Esrctazon Uso dl programma ANSYS: ANSYS Paramtrc Dsgn Languag (APDL) - ANSYS Classc ANSYS Worbnch Esmp sgnfcatv d applcazon dl MEF a problm struttural Unvrstà d Psa 2
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Matral ddattco modaltà d sam CdL Magstral n Inggnra Mccanca Matral ddattco L slds prsntat n aula l tracc dll srctazon svolt sono dsponbl dal sto: http://popl.unp.t/statc/cro.santus/ddattca.html Lbro possblmnt da consultar: Madnc E., Guvn I. ʺTh Fnt Elmnt Mthod and Applcatons n Engnrng Usng ANSYSʺ, Sprngr 25. Tutoral dsponbl n rt: http://www.mc.ualbrta.ca/tutorals/anss/ https://conflunc.cornll.du/dspla/simulation/ansys+larnng+moduls Sto d ANSYS: http://www.anss.com Esam: scrtto + oral Asptt numrco/torc dl mtodo agl lmnt fnt (scrtto) Stratga d modllazon pr tpc lmnt mccanc (scrtto) Modllo ANSYS da sgur n una dll srctazon fnal (prova n tnr) In altrnatva, progttno ANSYS da svluppar autonomamnt (da dscutr all oral) Unvrstà d Psa 3
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Dov posso trovar ANSYS, oltr al cntro d calcolo??? http://www.anss.com/studnts Inzatva d ANSYS pr la dvulgazon vrso gl studnt unvrstar CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa 4
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Dov posso trovar ANSYS, oltr al cntro d calcolo??? CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa 5
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Dov posso trovar ANSYS, oltr al cntro d calcolo??? CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa 6
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Elastctà Elttromagntsmo Fludodnamca Trmodnamca CdL Magstral n Inggnra Mccanca Etc Eq.n d Navr (Navr-Cauch) Sstm d quazon dffrnzal all drvat parzal 2 2 2 v v v v v v z b 2 2 2 2 z G 2 2 2 v v v v v v b z 2 2 2 2 z G 2 2 2 vz vz v z v v v z b 2 2 2 z 2 z z G Unvrstà d Psa 7
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Soluzon analtch: solo n cas partcolar, ntroducndo rlvant smplfcazon (soluzon assalsmmtrch, trav, pastr, gusc ) CdL Magstral n Inggnra Mccanca M 2 bh 3 Unvrstà d Psa 8
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Soluzon analtch: solo n cas partcolar, ntroducndo rlvant smplfcazon (soluzon assalsmmtrch, trav, pastr, gusc ) CdL Magstral n Inggnra Mccanca Soluzon torca ovvamnt NON dsponbl! A causa dll lvata complsstà gomtrca Unvrstà d Psa 9
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Soluzon analtch: solo n cas partcolar, ntroducndo rlvant smplfcazon (soluzon assalsmmtrch, trav, pastr, gusc ) CdL Magstral n Inggnra Mccanca Svluppo d tcnch d soluzon approssmat Unvrstà d Psa
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Mtod d soluzon approssmata: Elmnt Fnt Dffrnz fnt Elmnt d contorno Mtod msh fr Il Mtodo dgl Elmnt Fnt (MEF) è ogg d gran lunga l pù dffuso, soprattutto a causa dlla sua strma vrsatltà Unvrstà d Psa
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Ida cntral dl MEF ( dll altr tcnch approssmat): Problma orgnal: dtrmnar l f.n ncognt v (,,z), v (,,z), v z (,,z) CdL Magstral n Inggnra Mccanca 2 2 2 v v v v v v z b 2 2 2 2 z G 2 2 2 v v v v v v b z 2 2 2 2 z G 2 2 2 vz vz v z v v v z b 2 2 2 z 2 z z G Unvrstà d Psa 2
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Ida cntral dl MEF ( dll altr tcnch approssmat): Problma orgnal: dtrmnar l f.n ncognt v (,,z), v (,,z), v z (,,z) CdL Magstral n Inggnra Mccanca 2 2 2 v v v v v v z b 2 2 2 2 z G 2 2 2 v v v v v v b z 2 2 2 2 z G 2 2 2 vz vz v z v v v z b 2 2 2 z 2 z z G Problma sosttutvo: dtrmnar dll funzon sosttutv ch approssmano v (,,z),v (,,z),v z (,,z), con un rror accttabl a fn pratc sano rlatvamnt facl da calcolar Unvrstà d Psa 3
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo d funzon approssmant (problma monodmnsonal) u() CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa 4
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo d funzon approssmant (problma monodmnsonal) u() CdL Magstral n Inggnra Mccanca F.n sosttutva u () : sprsson matmatca smplc nota ovunqu una volta noto l valor d un n fnto d paramtr Unvrstà d Psa 5
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo d funzon approssmant (problma monodmnsonal) u() CdL Magstral n Inggnra Mccanca u () F.n sosttutva u () : sprsson matmatca smplc nota ovunqu una volta noto l valor d un n fnto d paramtr Unvrstà d Psa 6
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo d funzon approssmant (problma monodmnsonal) u() CdL Magstral n Inggnra Mccanca u () F.n sosttutva u () : sprsson matmatca smplc nota ovunqu una volta noto l valor d un n fnto d paramtr Unvrstà d Psa 7
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo d funzon approssmant (problma monodmnsonal) u() CdL Magstral n Inggnra Mccanca u () F.n sosttutva u () : sprsson matmatca smplc nota ovunqu una volta noto l valor d un n fnto d paramtr Unvrstà d Psa 8
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo d funzon approssmant (problma monodmnsonal) u() CdL Magstral n Inggnra Mccanca u () F.n sosttutva u () : sprsson matmatca smplc nota ovunqu una volta noto l valor d un n fnto d paramtr Ossrvazon: soluzon afftta da rror ncssaro asscurar la convrgnza Unvrstà d Psa 9
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca (a) Unvrstà d Psa Struttura 2
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Dscrtzzazon CdL Magstral n Inggnra Mccanca (a) (b) Unvrstà d Psa Struttura Modllo ( msh ) 2
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Dscrtzzazon CdL Magstral n Inggnra Mccanca (a) (b) nodo lmnto Unvrstà d Psa Struttura Modllo ( msh ) 22
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmp d lmnt pan con dvrs dsposzon d nod CdL Magstral n Inggnra Mccanca nodo (nod) lmnto (lmnt) Elmnto bas cornr nod mdsd nod Elmnto d grado supror Unvrstà d Psa 23
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I I nod gl lmnt sono dntfcat da un numro unvoco 2 3 4 5 6 7 CdL Magstral n Inggnra Mccanca 2 3 4 5 6 8 9 2 3 4 7 8 9 2 5 6 7 8 9 2 2 3 4 5 6 7 8 22 23 24 25 26 27 28 = n d nodo = n d lmnto Unvrstà d Psa 24
Grad d lbrtà (g.d.l.) Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I 7 CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa 25
Grad d lbrtà (g.d.l.) Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I 7 (g.d.l.) CdL Magstral n Inggnra Mccanca N g.d.l./nodo vara da 2 a 6 n funzon dl tpo d lmnto (natura problma) 7 Unvrstà d Psa 26
Grad d lbrtà (g.d.l.) Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I 7 (g.d.l.) CdL Magstral n Inggnra Mccanca N g.d.l./nodo vara da 2 a 6 n funzon dl tpo d lmnto (natura problma) 7 N total g.d.l. = N g.d.l./nodo N nod n molt cas un modllo è costtuto da part con tp d lmnto dvrs Unvrstà d Psa 27
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Studo dl comportamnto mccanco dl sngolo lmnto Elmnto pano pr problm 2D CdL Magstral n Inggnra Mccanca è l numro (nom) dll lmnto Unvrstà d Psa 28
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Studo dl comportamnto mccanco dl sngolo lmnto Elmnto pano pr problm 2D CdL Magstral n Inggnra Mccanca v v,, sono numr (nom) d nod connss ad v, v sono 2 g.d.l. dl nodo Unvrstà d Psa 29
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Studo dl comportamnto mccanco dl sngolo lmnto Elmnto pano pr problm 2D CdL Magstral n Inggnra Mccanca U (6) Unvrstà d Psa u v v u2 u v 3 u v 4 u v 5 u v 6 v v {U } è l vttor ch contn tutt 6 g.d.l. dll lmnto 3
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Studo dl comportamnto mccanco dl sngolo lmnto Elmnto pano pr problm 2D CdL Magstral n Inggnra Mccanca P p q q p2 p q 3 p q 4 p q 5 p q 6 q q v q, q sono carch (forza/ forza pr untà d spssor) ch agscono sul nodo dll lmnto {P } è l vttor ch contn tutt 6 carch nodal v Unvrstà d Psa 3
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Studo condotto n campo lnar: CdL Magstral n Inggnra Mccanca P K U 6 66 6 [K ] è la matrc d rgdzza dll lmnto mtt n rlazon (lnar) l vttor d carch nodal con l vttor dgl spostamnt nodal Unvrstà d Psa 32
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Sgnfcato fsco d trmn dlla matrc d rgdzza, nm Cdmnto vncolar: CdL Magstral n Inggnra Mccanca U Unvrstà d Psa 33
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Sgnfcato fsco d trmn dlla matrc d rgdzza, nm Cdmnto vncolar: p 2 3 4 5 6 p2 2 22 23 24 25 26 p 3 3 32 33 34 35 36 p4 4 42 43 44 45 46 p 5 5 52 53 54 55 56 p6 6 62 63 64 65 66 Spostamnto splorator untaro, analogo al carco splorator untaro U Unvrstà d Psa 34
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa Sgnfcato fsco d trmn dlla matrc d rgdzza, nm Cdmnto vncolar: p 2 3 4 5 6 3 p2 2 22 23 24 25 26 23 p 3 3 32 33 34 35 36 33 p4 4 42 43 44 45 46 43 p 5 5 52 53 54 55 56 53 p6 6 62 63 64 65 66 63 p... 2 3 6 3 p... 2 2 22 23 26 23 p p p p 3 33 4 43 5 53 6 63 U 35
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Il trmn mn d [K ] è par alla razon vncolar prsnt scondo l grado d lbrtà m (m =,,6), s s applca un sstma d spostamnt nodal n cu tutt l componnt sono null trann la n-sma ch assum valor untaro CdL Magstral n Inggnra Mccanca m mn n n p u Es.: 25 pso d u n nl contrbur a p m Unvrstà d Psa 36
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Elmnto = molla "multdmnsonal" F F CdL Magstral n Inggnra Mccanca q q v v P K U Unvrstà d Psa 37
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Torma d rcproctà (o torma d Btt) torma d Mawll CdL Magstral n Inggnra Mccanca p m A F B BA [K ] smmtrca A AB F F (t.mawll F F ) AB BA AB BA p u m mn n n un ( ) ( ) p u m m n n mn p u nm um F p n B Unvrstà d Psa 38
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Valutazon d [K ] CdL Magstral n Inggnra Mccanca In cas smplc è possbl calcolar l razon vncolar n prsnza d cdmnt vncolar d nod (Es. lmnt trav) s ottngono mmdatamnt l mn Tuttava, n gnral, qusta procdura non è pratcabl pr un lmnto d forma gnrca Unvrstà d Psa 39
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa Spostamnt n punt ntrn all lmnto Funzon d forma v (, ) N (, ) U v (, ) 2 26 6 F.n d forma ( shap functons ) 6 r(, ) rn, n n v N u v P(,) La dpndnza fra lo spostamnto d un p.to ntrn nod s assum lnar Ogn f.n d forma rapprsnta l pso (dpndnt dalla poszon d P all ntrno dll lmnto) ch cascuna componnt d spostamnto nodal ha nl dtrmnar lo spostamnto d P Problm da affrontar: - ch forma matmatca dar all N (,)? - com dtrmnar l N (,)? v 4
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Spostamnt n punt ntrn all lmnto Funzon d forma 6 r(, ) rn, n n v N u v P(,) u u2 v (, ) N(, ) N2(, ) N3(, ) N4(, ) N5(, ) N6(, ) u 3 v (, ) N2(, ) N22(, ) N23(, ) N24(, ) N25(, ) N26(, ) u4 u 5 u 6 v Unvrstà d Psa 4
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Punto P concdnt con un Nodo CdL Magstral n Inggnra Mccanca U Unvrstà d Psa u v v u2 u v 3 u v 4 u v 5 u v 6 sn3 N n(, ) sn3 v v P(,) 6 (, ) n(, ) n n v N u N (, ) u N (, ) u... u v 2 2 3 42
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I 6 r rn n r r2 2 n v (, ) N (, ) u N (, ) u N (, ) u... r, r,2 CdL Magstral n Inggnra Mccanca U u v u v 2 u v 3 u v 4 u v 5 u v 6 v P(,) P(,),,,,,, N N N N N N 2 3 4 5 6 v P(,),,,,,, N N N N N N 2 3 4 5 6,,,,,, N N N N N N 2 3 4 5 6 v v v v Unvrstà d Psa 43
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Rassumndo, pr la prma rga: Analogamnt pr la sconda rga: CdL Magstral n Inggnra Mccanca N(, ) N2(, ) N(, ) N2(, ) N(, ) N2(, ) N3(, ) N4(, ) N3(, ) N4(, ) N3(, ) N4(, ) N5(, ) N6(, ) N5(, ) N6(, ) N5(, ) N6(, ) N2(, ) N22(, ) N2(, ) N22(, ) N2(, ) N22(, ) N23(, ) N24(, ) N23(, ) N24(, ) N23(, ) N24(, ) N25(, ) N26(, ) N25(, ) N26(, ) N25(, ) N26(, ) Unvrstà d Psa
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Nlla vrson pù smplc s applca l pots d lnartà dlla funzon d forma: N (, ) A B C lm lm lm lm Concntrandos su una componnt (dll s f.n d forma) abbamo 3 ncognt altrttant q.n n corrspondnza d 3 nod N(, ) N(, ) N(, ) N S tratta qund d rsolvr un sstma lnar 3 3 Unvrstà d Psa 45
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Nlla vrson pù smplc s applca l pots d lnartà dlla funzon d forma: N (, ) A B C lm lm lm lm A A A B B B C C C Sstma d quazon lnar 3 3 da rsolvr nll ncognt A, B, C N Unvrstà d Psa 46
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa C B A C B A C B A A B C 47 dt dt dt dt A B C
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I N S applca la stssa forma lnar a tutt l componnt CdL Magstral n Inggnra Mccanca N 3 N 5 Unvrstà d Psa 48
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I N (, ) A B C lm lm lm lm CdL Magstral n Inggnra Mccanca L componnt d spostamnto nodal non danno contrbuto sullo spostamnto dl punto ( vcvrsa), qund: N N N 2 2 2 ( ( (,,, A A A ) ) ) 2 2 2 B B B 2 2 2 C C C 2 2 2 N 2 A B C 2 2 2 Unvrstà d Psa 49
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Inoltr l contrbuto su dgl spostamnt nodal è lo stsso dl contrbuto su dgl spostamnt nodal Qusto conctto può ssr ntrprtato com un sotropa spazal Essndo un pano ch dv passar da,,, ncssaramnt è lo stsso CdL Magstral n Inggnra Mccanca N N 22 N(, ) N22(, ) N3(, ) N24(, ) N5(, ) N26(, ) Unvrstà d Psa 5
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Matrc complssva dll funzon d forma: CdL Magstral n Inggnra Mccanca v (, ) v (, ) 2 2 26 6 (, ) (, ) v N U N (, ) N, N3, N5, N N N N N N 22 24 3 26 5 In dfntva l componnt dlla matrc dll funzon d forma dstnt non null sono soltanto 3 su 2 (una pr cascun nodo) Unvrstà d Psa 5
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Intrprtazon gomtrca: Il pso d cascuna funzon d forma, pr la lnartà, è proporzonal all ara dl trangolo opposta al nodo corrspondnt CdL Magstral n Inggnra Mccanca N N N 3 5 A P A A A P P P A P A A A P P P A P A A A P P P N 3 ~A P N 5 ~A P P N ~A P Unvrstà d Psa 52
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa Calcolo dll dformazon Dformazon Congrunza v v v v v L v v,,, 53 Spostamnt N.B.: L oprazon Matrc pr Vttor è da ntndrs com uno schma d collocazon d smbol d drvata nvc ch un prodotto
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Sosttuzon dll f.n d forma (, ) L v(, ) v (, ) N (, ) U CdL Magstral n Inggnra Mccanca 3 32 2 2 26 6 S applcano l drvat all funzon d forma: LNU BU 3 36 6 Unvrstà d Psa 54
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa Contnuto matrc [B] 26 24 22 5 3 N N N N N N N L B N N N N N N N N N N N N B 26 5 24 3 22 26 24 22 5 3 55
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Contnuto matrc [B] CdL Magstral n Inggnra Mccanca N A B C S ottn: N N B B3 B5 B B3 B5 B C C C C C C 22 24 26 3 5 C B22 C3 B24 C5 B 26 C B C3 B3 C5 B 5 N.B.: La matrc [B] n qusto caso (lmnto trangolar 2D) contn solo costant, dato ch l f.n d forma sono lnar. Tuttava, nl caso n cu l f.n d forma fossro d ordn supror al prmo la matrc [B] contrrbb dll funzon n (,) B C Unvrstà d Psa 56
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa Rlazon costtutv 2 z z z E E E E E Esmpo : stato pano d Tnson Plan Strss (matral lnar, lastco, omogno sotropo) D E 2 / 2 57
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Rlazon costtutv Esmpo 2: stato pano d Dformazon Plan Stran CdL Magstral n Inggnra Mccanca z z E E E z E E E 2 E z z E E E z D E 2 2 / 2 Unvrstà d Psa 58
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Valutazon d [K ] CdL Magstral n Inggnra Mccanca Prncpo d Lavor Vrtual Carch nodal vr spost. nodal vrtual L st L T L U P st δ nt Tnson vr dformazon vrtual {U } Spost. vrtual Carch ffttv Unvrstà d Psa 59
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I T Lnt δ dv δ B δu V T T δ δu B T CdL Magstral n Inggnra Mccanca T T T T Lnt δu B dv δu B dv V V D Unvrstà d Psa 6
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I T Lnt δ dv δ B δu V T T δ δu B T CdL Magstral n Inggnra Mccanca T T T T Lnt δu B dv δu B dv V T T L U B D dv nt δ V T T T Lnt δu B D B U dv δu B D B dv U V V T V D BU Unvrstà d Psa 6
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I T L U P st δ T T Lnt δu B D B dv U V CdL Magstral n Inggnra Mccanca T T T δu P δu B DBdV U V T d P B D B V U V P K U Affnché l ugualanza sa valda pr qualunqu spostamnto vrtual: Pr dfnzon: Unvrstà d Psa 62
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Applcazon T K B D B dv V B B3 B5 B C C C C B C B C B D E 2 3 5 3 3 5 5 /2 T T K B D B dv B D B V V In qusto caso (f.n d forma lnar) s può solar l volum scrvr la matrc d rgdzza Unvrstà d Psa 63
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Ossrvazon: untà d msura CdL Magstral n Inggnra Mccanca N m - T K B D BV m - N m -2 m - m 3 N m Elmnto "brc" N 2 m mm m 3 Unvrstà d Psa 64
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Ossrvazon: untà d msura CdL Magstral n Inggnra Mccanca N m - T K B D BV m - N m -2 m - m 3 N m N.B.: n raltà l "volum" dgl lmnt pan sarbb un ara, corntmnt l forz sono pr untà d lunghzza (profondtà) qund la rgdzza è una forza pr untà lunghzza al quadrato N m -2 T K B D BV m - N m -2 m - Elmnto "brc" m 2 N m 2 N 2 m mm m N m m Elmnto "plan" 2 3 m m 2 Unvrstà d Psa 65
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Calcolo dlla matrc [K ] nl caso n cu l f.n d forma sano non lnar CdL Magstral n Inggnra Mccanca K B DBdV Unvrstà d Psa V T Intgral calcolato numrcamnt (approcco polnomal): f() Esmpo D n = 2, rtta ) S sclgono a pror n punt, 2) S calcolano valor d f( ) 3) S approssma f() con l polnomo d grado n- passant pr punt sclt 4) S ntgra l polnomo n forma chusa 66
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Calcolo dlla matrc [K ] nl caso n cu l f.n d forma sano non lnar CdL Magstral n Inggnra Mccanca K B DBdV V T Intgral calcolato numrcamnt (approcco polnomal): f() Esmpo D n = 3, parabola ) S sclgono a pror n punt, 2) S calcolano valor d f( ) 3) S approssma f() con l polnomo d grado n- passant pr punt sclt 4) S ntgra l polnomo n forma chusa Unvrstà d Psa 67
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Calcolo dlla matrc [K ] nl caso n cu l f.n d forma sano non lnar CdL Magstral n Inggnra Mccanca K B DBdV V T Intgral calcolato numrcamnt (approcco polnomal): f() Esmpo D n = 4, cubca ) S sclgono a pror n punt, 2) S calcolano valor d f( ) 3) S approssma f() con l polnomo d grado n- passant pr punt sclt 4) S ntgra l polnomo n forma chusa Unvrstà d Psa 68
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Intgral da calcolar f() Intgrazon scondo Gauss, molto pù ffcnt Esmpo D n = f d W f n Pso ) S fssa n Valor dlla f.n nl punto 2) Esstono dll combnazon - W pr valutar n modo satto l ntgral d un polnomo d grado 2n- sull ntrvallo dato I punt sono dtt punt d Gauss Unvrstà d Psa 69
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Intgral da calcolar f() Intgrazon scondo Gauss, molto pù ffcnt Esmpo D n = 2 f d W f 3 3 n Pso ) S fssa n Valor dlla f.n nl punto 2) Esstono dll combnazon - W pr valutar n modo satto l ntgral d un polnomo d grado 2n- sull ntrvallo dato I punt sono dtt punt d Gauss Unvrstà d Psa 7
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Intgral da calcolar Intgrazon scondo Gauss, molto pù ffcnt Esmpo D N.ro punt d ntgrazon, n f d W f n Pso Grado dl polnomo, 2n- Poszon d punt d ntgrazon nll ntrvallo [-, ], 2 2 3 3 5 -/ 3 = -.57735 / 3 =.57735 - (3/5) = -.774596 (3/5) =.774596 Valor dlla f.n nl punto Ps da applcar nlla sommatora, W 5/9 =.555555 8/9 =.888888 5/9 =.555555 Unvrstà d Psa 7
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Vantagg dll ntgrazon scondo Gauss: CdL Magstral n Inggnra Mccanca fssato n, consnt l calcolo satto dll ntgral d una f.n d grado 2n- anzché n- dato l grado m (dspar) dlla f.n ch s vuol potr ntgrar sattamnt, rchd l calcolo dlla f.n stssa n (m+)/2 punt, anzché n m+ punt. Qund s rduc d un fattor 2 l costo computazonal a partà d accuratzza dl rsultato d ntgrazon La tcnca d punt d Gauss può ssr stsa a ntgral n 2 3 dmnson con domno gnrco, lmnto d qualunqu forma (purché non ccssvamnt dstorto) Unvrstà d Psa 72
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I ANALISI INTERA STRUTTURA puttosto ch sngolo lmnto CdL Magstral n Inggnra Mccanca Congrunza Costtutv Equlbro [B] [D] Garantto pr l sngolo lmnto (non ancora pr la struttura) Unvrstà d Psa 73
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa n N n GDL u u u u v v v v U 3 2 2 n N n GDL f f f f f f f f F 3 2 2 Vttor dgl spostamnt d carch strn pr l ntra struttura 74 Vttor d carch strn su tutt nod Vttor dgl spostamnt d tutt nod
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa Vttor dgl spostamnt d carch strn pr l ntra struttura f 8 Esmpo con lmnt quadrlatr puttosto ch trangolar 8() v 27 27() 39 () 3() 33(l) u U 54 27 f u u u F 35 8 f f f 2 f n GDL 2 v n GDL 75
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Forz su nod: Forz ntrn / Forz strn CdL Magstral n Inggnra Mccanca * 3* p * p 3* p 2* 2* p 4* f Carco strno f 4*, p Carco applcato nl nodo all lmnto p sono l forz ch l nodo srcta sull lmnto (analogamnt all anals con l sngolo lmnto). Pr l prncpo d Az./Raz. s contggano nll q. dl nodo cambat d sgno f n * * p * Unvrstà d Psa S consdrano tutt sol gl lmnt ch convrgono al nodo consdrato 76
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca q Es.: lmnt quadrlatr P K U 8() 33(l)............................................................................................................ 3()..................... u54( u2 ) * p35( p3 ) *...... 35,54 ( )............... 3,2........................................................................................................................................................................... n ( dcu8 ) n n (d cu 64 ) n * * P K U Unvrstà d Psa......,,2,3,4...,8......... 2, 2,2 2,3 2,4... u 2,8 2 q p 3 3, 3,3 3,4...... 3,2......................................................... v........................... 27() 8 8 88 8 Matrc d rgdzza ESPANSA pr l sngolo lmnto Matrc d rgdzza dl sngolo lmnto gdl gdl gdl gdl 77
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Forz su nod: Forz ntrn / Forz strn CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa * 3* p * p 3* f p 2* 2* p 4* 4* S consdrano tutt sol gl lmnt ch convrgono al nodo consdrato f n * * p * n N F P * L quazon d qulbro su tutt nod s ottngono smplcmnt sommando vttor nodal d forza (ntrna) spans Vttor forz nodal ESPANSO 78
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I P * K * U Matrc d rgdzza ESPANSA pr l sngolo lmnto CdL Magstral n Inggnra Mccanca n N F P * K * U n N S dfnsc matrc d rgdzza dlla struttura la somma dll matrc spans d cascun lmnto Equazon d qulbro: F KU n N K K * Unvrstà d Psa n GDL n GDL n GDL n GDL 79
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I SOLUZIONE F KU CdL Magstral n Inggnra Mccanca U K F c.n.s.:dtk Pr una struttura non vncolata prò: dt. = Unvrstà d Psa 8
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I dtk Struttura labl (ndpndntmnt dal carco) CdL Magstral n Inggnra Mccanca Anch s l carco non agsc scondo la labltà s ottn rror d matrc sngolar Unvrstà d Psa 8
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa VINCOLI Vncolar = assgnar a pror l valor d una dll componnt d spostamnto (g.d.l.) GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL n m n n m n n n mn m m m m n m n m n m u u u u f f f f 2 2, 2 2 2 22 2 2 2 n GDL n GDL n GDL n GDL Es.: u m = vntualmnt anch un valor non nullo 82
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa n GDL n GDL (n GDL -) (n GDL -) GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL n m m n n m n m n n n mn m m m m m m n m m n m m m n m m m m m n m u u u u u u f f f f 2 2,, 2 2 2 2 22 2 2, 2 * 2 u m =u * m f m 83 f m è la razon vncolar, non è assgnabl, dvnta un ncognta
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Introduzon vncolo rduzon d dl numro d ncognt d quazon (ordn) CdL Magstral n Inggnra Mccanca f 2 m m ngdl m u f 2 2m 2 22 2m 2m 2nGDL u 2 * fm u m m, mm, m, m, m m, m m, ngdl um f m m, m m, m,2 m, m m, m u m, n m GDL f n GDL ngdlm u ngdl ngdl n GDL 2 n GDLm n GDLm ngdln GDL (n GDL - ) (n GDL -) (n GDL -) (n GDL -) Unvrstà d Psa 84
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Introducndo un opportuno nsm d vncol la matrc (rdotta) dl sstma dvnta nvrtbl CdL Magstral n Inggnra Mccanca 2 m m n 2 22 2m 2m 2n [ K] m, m, m, m m, m m, n m, m,2 m, m m, m m, n n n 2 n m n m n n GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL dtk Unvrstà d Psa 85
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Adsso s può rsolvr l ncognta dgl spostamnt rdott (sclus vncol gà not) CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa U K F Succssvamnt sono dsponbl tutt l componnt d soluzon (anch dformazon tnson) n tutt punt dlla struttura, applcando l funzon d forma: v (, ) N (, ) U v (, ) BU D 86
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Infn s può rtrovar, pr calcolo d rgdzza drtto, l razon vncolar ncognt CdL Magstral n Inggnra Mccanca u u 2 f......,,2, GDL um m m m m m n un GDL Incognt dtrmnat Vncolo() mposto() Ovvamnt l numro d vncol, qund d razon vncolar da trovar, non può ssr soltanto ma sarà maggor o ugual al numro d grad d lbrtà dl soldo (s.: nllo spazo = 6) Unvrstà d Psa 87
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I ELABORAZIONI DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA (RIDOTTA) CdL Magstral n Inggnra Mccanca K S I M M. La matrc [K ] è smmtrca ha una struttura a banda attorno alla dagonal prncpal Unvrstà d Psa 88
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa Esstono alcun mtod d soluzon dl sstma / nv. dlla matrc, uno d pù comun d ffcnt è l mtodo d lmnazon drtta d Gauss, ovvro d trangolarzzazon FINALE 89 INIZIALE
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa Larghzza d banda ( bandwdth ) 2 N oprazon (largh.banda) n GDL 9
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Larghzza d banda dpnd dal Modo d costrur [K] CdL Magstral n Inggnra Mccanca Esstono du mod prncpal pr costrur la matrc [K] sgundo l ordn progrssvo d nod, sgundo l ordn progrssvo dgl lmnt. Unvrstà d Psa 9
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa 2 9 8 7 6 5 4 3 2 Ma. dff. n d ordn nod attaccat allo stsso lmnto N g.d.l. pr nodo 4 3 2 5 8 7 6 9 2 Largh. Banda = 2 7 4 2 8 5 3 2 9 6 Largh. Banda = ORDINE NODI 92 Largh. banda = (n ne +) n GDL,n
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa 2 9 8 4 7 3 6 5 2 4 5 6 2 3 Largh. banda ~ (n En ) n nod, n GDL,n 2 4 6 3 5 93 ORDINE ELEMENTI 4 3 2 5 8 7 6 9 2 Largh. Banda = 6 7 4 2 8 5 3 2 9 6 Largh. Banda = 2 Ma. dff. n d ordn lmnt attaccat allo stsso nodo N nod pr lmnto/2
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Condzon d convrgnza sull funz.n d forma Condzon : la f.n d spostamnto dv dar luogo ad una dformazon nulla n tutt punt dll lmnto quando l campo d spostamnt nodal corrspond ad un moto rgdo. CdL Magstral n Inggnra Mccanca v v v v v v Unvrstà d Psa 94
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Vrfca pr lmnto trangolar U v v v v v v Bv Bv Bv 3 5 BU B B3 B5 B C C C C B C B C B 3 5 3 3 5 5 B v v v 5 (stssospostamnto v v v,cancllazon 2a 2) B B 3 Unvrstà d Psa 95
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Condzon 2: la f.n d spostamnto dv dar luogo ad una dformazon costant n tutt punt dll lmnto quando l campo d spostamnt nodal è compatbl con tal condzon. CdL Magstral n Inggnra Mccanca Esmpo/vrfca: v v v v v v v v (valor comunqu costant pr l'lmnto trangolar lnar) v Unvrstà d Psa 96
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Essndo: dt s ottn: v v v v Valutando l nodo, subsc uno spostamnto v su una lunghzza par a: qund: ( ) v / ( ) Unvrstà d Psa 97
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Condzon 3: la f.n d spostamnto dv dar luogo a dformazon lmtat all ntrfacca tra lmnt dvrs. CdL Magstral n Inggnra Mccanca v v v Unvrstà d Psa Dscontnutà: d 98
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Condzon 3: la f.n d spostamnto dv dar luogo a dformazon lmtat all ntrfacca tra lmnt dvrs. CdL Magstral n Inggnra Mccanca v v Unvrstà d Psa Nodscontnutà: valor fnto 99
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Condzon 3: la f.n d spostamnto dv dar luogo a dformazon lmtat all ntrfacca tra lmnt dvrs. CdL Magstral n Inggnra Mccanca In gnral: S l mplcano la drvata n-sma dlla f.n d spostamnto, qust ultma dv ssr contnua all ntrfacca con Class d contnutà C n- v Unvrstà d Psa
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Oss.n: la funzon d spostamnto sclta garantsc tal contnutà n quanto lo spostamnto d un punto appartnnt ad un lato non dpnd dagl spostamnt dl nodo opposto N Unvrstà d Psa N 5 Il contrbuto dl nodo sul lato - è nullo N 3 Stuazon analoga pr l altr du combnazon d nod
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Approssmazon ffttva dl campo d spostamnt sull ntro modllo (no dscontnutà, drvat dscontnu: C ) CdL Magstral n Inggnra Mccanca u Unvrstà d Psa 2
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Andamnto ffttvo dll tnson u Tnson dscontnu n nod CdL Magstral n Inggnra Mccanca Spostamnt contnu n nod Esatto EF Esatto EF Unvrstà d Psa 3
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I u Andamnto ffttvo dll tnson (smoothng) Tnson dscontnu n nod CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa Spostamnt contnu n nod Esatto EF Esatto EF - Calcolo d valor mdat n nod (mda artmtca o altr tcnch) - Intrpolazon d valor mdat nodal nll zon ntrn (Es. tramt l funz. N) 4
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Dmnson ottmal dgl lmnt CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa Dmnson lmnt non ottmal Esatto EF Esatto EF Dmnson lmnt ottmal: Maggor nfttmnto nll zon d lvato gradnt 5
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa Modllo Tnson non mdat Tnson mdat 6
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I In cas n cu l tnson sono ntrnscamnt dscontnu, l oprazon d mda n nod può, tuttava, dmnur la prcson Esmpo : Lastra n du matral dvrs, soggtta ad allungamnto unform CdL Magstral n Inggnra Mccanca E = 5 MPa E = 2.5 5 MPa Unvrstà d Psa 7
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Mdat CdL Magstral n Inggnra Mccanca Non mdat E = 5 MPa E = 2.5 5 MPa Unvrstà d Psa 8
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo 2: lastra ncastrata agl strm carcata al cntro CdL Magstral n Inggnra Mccanca Mdata Non mdata Unvrstà d Psa 9
CdL Magstral n Inggnra Mccanca Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Unvrstà d Psa Elmnt d ordn supror N N l m n (, ) lm lm lm lm N A B C ), ( ), ( ), ( N N N 2 2 (, ) lm lm lm lm lm lm lm N A B C D E F ), ( ), ( ), ( N N N ), ( ), ( ), ( n n m m l l N N N
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Elmnto con F.n d Forma quadratca u Tnson dscontnu n nod CdL Magstral n Inggnra Mccanca Tndnzalmnt la soluzon è pù accurata (a partà d dmnson dll lmnto), rmangono tuttava d cas partcolar Unvrstà d Psa Spostamnt contnu n nod Esatto EF Esatto EF
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Elmnto con F.n d Forma quadratca u Tnson dscontnu n nod CdL Magstral n Inggnra Mccanca Spostamnt contnu n nod Esatto EF Esatto EF Succssva rgolarzzazon, md nodal ntrpolazon Unvrstà d Psa 2
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Carch dstrbut CdL Magstral n Inggnra Mccanca Con lmnt 3D carch dstrbut sono d Lna, d Suprfc d Volum P.L.V.: T L U P L L st t t δ w t t Forz d lna Forz d volum w w Lavoro forz d lna w Lavoro forz d volum Unvrstà d Psa 3
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Carch dstrbut t t Forz d volum CdL Magstral n Inggnra Mccanca T dl δv w dv w T T T T T L δv w dv δu N w dv δu N w dv w V V V T T T L δv t dl δu N t dl t T L U P L L st δ w t L L t Forz d lna w w w Unvrstà d Psa 4
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca S possono sosttur dll forz su nod statcamnt quvalnt all forz dstrbut d volum d lna (ch srctano lo stsso lavoro vrtual) st T T T T T L δu P δu N w dv δu N t dl T δ Lnt U K U T P w N w dv t V V P N t dl P P w P t K U L T L Unvrstà d Psa 5
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Esmpo: carco unformmnt dstrbuto sul lato d un lmnto trangolar CdL Magstral n Inggnra Mccanca T t P N t dl L 6 62 2 N 3 5 N N N t N 3 t N t N Forz d lna 5 t t t Unvrstà d Psa 6
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca P t p N t, p t, N pt, N3 pt, N L 3 p t, N5 pt, N5 t dl t L tl pt, N( ) tdlt dl L 2 L L tl p N ( ) t dlt dl L 2 t, 3 L L t Forz d lna p N ( ) t dlt dl t, 5 L L Unvrstà d Psa 7
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I CdL Magstral n Inggnra Mccanca L p N ( ) t dlt dl L t, L L p N ( ) t dlt dl L t, 3 L L p N ( ) t dlt dl t, 5 L L N (a) (b) N 3 tl 2 tl 2 (a) (b) (c) N 5 (c) Unvrstà d Psa 8
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I Carch nodal quvalnt t L/2 CdL Magstral n Inggnra Mccanca t L/2 t L/2 t L/2 L forz dstrbut d volum d lna, anch s nsrt com tal dall utnt dl softwar, vngono d fatto sosttut da forz nodal quvalnt, dato ch nod sono l unch nttà dl modllo EF su cu possono ssr applcat carch. Unvrstà d Psa 9
Corso d Progttazon Assstta da Computr Part I L forz dstrbut d volum d lna, nodal quvalnt, sono forz strn pr la struttura, qund nll quazon d qulbro d nod s rtrovano a prmo mmbro: CdL Magstral n Inggnra Mccanca Unvrstà d Psa p.l.v.: q.nod: P K U P w Pt n N * F P n n N N * * F P w P t K U S ottn qund l quazon fnal, comprnsva dll forz dstrbut: In cu: n FF F KU N N * * F w Pw Ft Pt w n t 2