1 Uiversità di Veezia Esame di tatistica A-Di Prof. M. Romaazzi 27 Geaio 2015 ogome e Nome..................................... N. Matricola.......... Valutazioe l puteggio massimo teorico di questa prova è 30/30 e lode (4/30 per ciascuo degli 8 esercizi). La prova è sufficiete se il puteggio è maggiore di, o uguale a, 18/30. L esame è idividuale. No è cosetito cosultare libri o apputi di qualsiasi geere è usare telefoi cellulari. E ammesso l uso della calcolatrice tascabile e del persoal computer. Prova orale. La prova orale è obbligatoria se il voto è 18, 29 o 30. Negli altri casi è a richiesta dello studete. Data provvisoria della prova orale: 30/1/2015.
2 1. ua lotteria ad ogi putata si lacia u dado regolare e, a secoda del risultato, si estrae ua pallia da ua particolare ura. e esce il 6 si pesca a caso ua pallia dall ura U coteete 40 pallie biache e 10 pallie dorate; altrimeti si pesca a caso ua pallia dall ura V coteete 49 biache e 1 sola pallia dorata. La putata è vittoriosa se esce la pallia dorata. Domada 1 Qual è la probabilità di vittoria i ua putata? Domada 2 uppoi di putare 10 volte. Qual è la probabilità di vicere almeo ua volta? 2. U rappresetate di stampati visiterà domai due clieti, A e B. l umero di stampati ordiate da A, idicato co N A, è pari a 0 e 1 co uguali probabilità. l umero di stampati ordiate da B, idicato co N B, è pari a 0, 1 e 2 co probabilità rispettivamete uguali a 0.6, 0.3 e 0.1. Le variabili aleatorie N A ed N B soo stocasticamete idipedeti. Domada 1 Qual è la probabilità che domai il ostro rappresetate veda esattamete 2 stampati? Domada 2 Qual è la previsioe del umero totale di stampati che verrao vedute? ome valuti l errore rispetto alla previsioe? Giustifica brevemete. Previsioe: Errore: Giustificazioe: 3. l sigor Rossi stima che il tempo (miuti) ecessario per raggiugere co la sua automobile il posto di lavoro sia ua variabile aleatoria X ormale co valore atteso µ X = 13 e deviazioe stadard σ X = 3. Egli parte da casa alle 7:30 i puto e deve essere al lavoro etro le 7:50. Domada 1 Qual è la probabilità p 1 che Rossi arrivi i ritardo? Qual è la probabilità p 2 che sia i aticipo di 2 miuti o più? p 1 = p 2 = Domada 2 A causa di lavori lugo il percorso, il tempo ecessario per raggiugere il posto di lavoro aumeta di 5 miuti. dica co Y la uova distribuzioe del tempo. Quali soo le caratteristiche di Y : è acora ormale? quali soo i valori di µ Y e σ Y? A che ora Rossi deve partire da casa affichè la probabilità di arrivare i ritardo sia iferiore a 0.005? aratteristiche di Y : Orario di parteza:
3 4. ua classe di 80 studeti ci soo 10 straieri. osidera u campioe casuale, co reiserimeto, di studeti. Domada 1 Fissa = 30. Qual è la probabilità che el campioe ci siao 2 o 3 studeti straieri? Probabilità: Domada 2 u campioe di = 50 studeti abbiamo cotato 15 straieri. Questo risultato appare i liea co le aspettative? Giustifica dettagliatamete. ì, appare i liea co le aspettative, perchè No, o appare i liea co le aspettative, perchè 5. l voto di maturità degli studeti di Ecoomia è ua variabile aleatoria co valore atteso µ = 78 e deviazioe stadard σ = 11. osidera u campioe casuale di studeti e idica co X il voto medio campioario del voto di maturità. Domada 1 Per u geerico valore di calcola il valore atteso E(X ) e la deviazioe stadard D(X ). E(X ) = D(X ) = Domada 2 Fissa = 50. dica co A 50 l eveto 77 < X 50 < 79. E più probabile A 50 o il suo complemetare A 50? Qual è la relazioe tra i due eveti quado? Giustifica brevemete. P (A 50 ) < P (A 50) P (A 50 ) = P (A 50) P (A 50 ) > P (A 50) P (A 50 ) = P (A 50) = lim P (A ) = lim P (A ) = Giustificazioe: 6. l ramo-foglia mostra la differeza (X, ai) tra la speraza di vita alla ascita maschile rilevata el 2013 e quella rilevata el 2002. Le uità di rilevazioe soo u campioe casuale di = 60 comui italiai (fote: TAT). Domada 1 Ricava dal ramo-foglia dato miimo, dato massimo e mediaa. quati comui del campioe risulta 1.5 X < 2.5? Dato miimo: Dato massimo: Mediaa: Numero comui: Domada 2 Quale tipologia distributiva viee suggerita dal ramo-foglia? osidera le tipologie uiforme, ormale, asimmetrica positivamete o egativamete, uimodale, bimodale. Nel periodo i esame la speraza di vita maschile è aumetata, dimiuita o rimasta ivariata?
4 1 12 = 60 1 55677999 2 4 si legge 2.4 ai 2 0000001223333344444 i=1 x i = 148.30 2 555555666778888889 i=1 x2 i = 386.61 3 0001112234 3 578 Tabella 1: peraza di vita maschile. Differeze tra valori rilevati el 2013 e valori rilevati el 2002 i u campioe di 60 comui. i=1 x i i=1 y i i=1 x2 i i=1 y2 i i=1 x iy i 50 673.90 1113.80 9157.11 25164.72 14867.99 x y s X s Y s X,Y r X,Y Tabella 2: tatistiche riassutive. Tipologia distributiva: Variazioe della speraza di vita: 7. Ripredi i dati dell esercizio precedete e idica co µ il valor medio di X ella popolazioe di tutti i comui italiai. Domada 1 Propoi ua stima putuale di µ e calcola il suo errore stadard. tima putuale di µ: Errore stadard: Domada 2 osidera il sistema d ipotesi H 0 : µ = 2, H 1 : µ 2. alcola il valore osservato della statistica test e il corrispodete valore p. Qual è la decisioe fiale? Valore osservato statistica test: Valore p: Decisioe fiale 8. E oto che l talia, tra i Paesi avazati, ha ua delle più basse percetuali di giovai e ua delle più alte percetuali di aziai. Per approfodire il problema, cosideriamo le variabili X : % popolazioe co 15 ai o meo, Y : % popolazioe co 65 ai o più. Le uità di rilevazioe soo u campioe di = 50 comui (fote: TAT, dati riferiti al 2014). La Tabella 2 riporta le statistiche riassutive dei dati. La Figura 1 mostra il diagramma di dispersioe dei dati stadardizzati. Domada 1 ompleta la Tabella 2 co medie, deviazioi stadard, covariaza e correlazioe delle variabili. dati di Bologa, ua delle uità campioarie, soo x BO = 13.1, y BO = 24.2; sega il corrispodete puto el diagramma di dispersioe ed illustrae la posizioe rispetto al cetroide. llustrazioe:
5 truttura Demografica Popolazioe taliaa Età >= 65 Ai (Uità tadard) 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 Età <= 15 Ai (Uità tadard) Ao 2014 Figura 1: Diagramma di dispersioe. Domada 2 alcola le stime campioarie dei parametri α, β e σ ɛ del modello lieare Y x = α + βx + ɛ. Del comue di Padova (o icluso el campioe) sappiamo che x P D = 14; qual è la corrispodete previsioe di Y? tima di α: tima di β: tima di σ ɛ : Previsioe: