DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 MARCO MANETTI: 21 DICEMBRE 2010 1. Sviluppi di Laplace Proposizioe 1.1. Sia A M, (K), allora per ogi idice i = 1,..., fissato vale lo sviluppo di Laplace rispetto alla riga i: A = ( 1) i+j a ij A ij. Dimostrazioe. Per i = 1 la formula è vera per defiizioe. Defiiamo per ogi i l applicazioe d i : M, (K) K, d i (A) = ( 1) j+1 a ij A ij ; e dimostriamo per iduzioe su i che d i (A) = ( 1) i 1 A per ogi matrice A. Sia τ i la trasposizioe semplice che scambia gli idici i, i + 1 e sia B la matrice otteuta da A scambiado tra loro le righe i e i + 1. Valgoo allora le formule d i+1 (A) = d i (B), B = I τi A. Per il teorema di Biet e per l ipotesi iduttiva si ha: d i+1 (A) = d i (B) = ( 1) i 1 B = ( 1) i 1 I τi A = ( 1) i A. Esempio 1.2. Calcoliamo il determiate della matrice 1 3 5 6 7 0 2 0 0 Dallo sviluppo di Laplace rispetto all ultima riga segue 1 3 5 6 7 0 2 0 0 = 2 3 5 7 0 = 70. Lemma 1.3 (determiate della trasposta). Per ogi matrice A M, (K) vale A T = A. Dimostrazioe. Siccome I T = 1 basta dimostrare che l applicazioe d: M, (K) K, d(a) = A T, è multilieare alterate sulle coloe. Idicati co a ij e coefficieti di A, fissato u idice i, per lo sviluppo di Laplace rispetto alla riga i si ha: d(a) = A T = a ji ( 1) i+j (A T ) ij e da tale formula segue immediatamete che d(a) è lieare rispetto alla coloa i. Ifie se A ha le coloe i, i + 1 uguali allora ogi vettore coloa di A T è coteuto el sottospazio vettoriele di equazioe x i x i+1 = 0; duque le coloe di A T soo liearmete dipedeti e quidi A T = 0. 1

2 MARCO MANETTI: 21 DICEMBRE 2010 Corollario 1.4. Sia A = (a ij ) M, (K), allora per ogi idice i = 1,..., fissato vale lo Sviluppo di Laplace rispetto alla coloa i: A = ( 1) i+j a ij A ij. i=1 Dimostrazioe. Prededo lo sviluppo di Laplace rispetto alla riga i della matrice trasposta si ha A T = a ji ( 1) i+j A T ij. Siccome (A T ) ij = (A ji ) T ed il determiate di ua matrice è uguale al determiate della propria trasposta si ha A = A T = a ji ( 1) i+j (A T ) ij = a ji ( 1) i+j A ji. Dal fatto che il detremiate di ua matrice è uguale al determiate della trasposta, segue che il determiate è multilieare alterate sulle righe. I particolare: (1) Scambiado due righe il determiate cambia di sego. (2) Moltiplicado ua riga per uo scalare λ, ache il determiate viee moltiplicato per λ. (3) Aggiugedo ad ua riga ua combiazioe lieare delle altre, il determiate o cambia. (4) Se le righe soo liearmete dipedeti il determiate si aulla. Esempio 1.5. Le precedeti regole permettodo di calcolare il determiate co u misto di elimiazioe di Gauss e sviluppo di Laplace. Suppoiamo ad esempio di voler calcolare il determiate 10 20 32 λ = 4 2 25 3 0 9 Togliamo alla terza coloa il doppio della prima; il determiate o cambia: 10 20 12 λ = 4 2 17 3 0 0 = 3 20 12 2 17 = 3(340 24) = 632. Esempio 1.6. Calcoliamo il determiate della matrice di Vadermode; più precisamete proviamo che = i x j ) 0 1 i>j(x x 0 x 1 x Ragioiamo per iduzioe su, cosiderado il poliomio 1 1 p(t) = (t x j ) = t + a i t i. j=0 i=0

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 3 Sommado all ultima riga della matrice di Vadermode la combiazioe lieare a coefficieti a i delle rimaeti righe si ottiee = 0 1 x 0 x 1 x 0 1 p(x 0 ) p(x 1 )... p(x ) Dato che p(x i ) = 0 per ogi i < e p(x ) = >j (x x j ) si ha = = 0 1 x 0 x 1 x 0 1 x 1 0 0 p(x ) = p(x ) x 0 x 1...... 0 1 1 = (x x j ) (x i x j ). >j >i>j Abbiamo quidi ridimostrato che la matrice di Vadermode (1.1)...... 0 1 x 0 x 1 x è ivertibile se e soltato se x i x j per ogi i j. Esercizi. 1.1. Provare che il determiate di ua matrice triagolare è uguale al prodotto degli elemeti della diagoale. 1.2. Dati due iteri positivi, p si cosideri la matrice A = (a ij ), dove a ij = (i + j)p + 1, i, j = 1,...,. Per quali valori di, p il determiate di A è uguale a 1250? 1.3. Dimostrare che il determiate di ua matrice atisimmetrica di ordie 351 si aulla. 1.4. Dimostrare, usado l elimiazioe di Gauss, che il determiate della matrice 4 2 2 2 8 6 6 1 1 1 3 0 2 4 2 1 1 3 5 7 1 2 1 6 0 3 8 3 2 1 1 0 2 7 3 2 1 1 0 0 7 3 2 1 1 0 2 7 3 è uguale a 0.

4 MARCO MANETTI: 21 DICEMBRE 2010 1.5. Siao A M, (K), B M m,m (K) e C M,m (K). Utilizzare lo sviluppo di Laplace e le proprietà del determiate per dimostrare che A C 0 B = A B, 0 B A C = ( 1)m A B. 1.6. Sia A ua matrice 10 10 Calcolare, i fuzioe di A, il determiate della seguete matrice 20 20 ( 6A ) 5A A 2A 1.7. Idichiamo co d k, k 1, il determiate della matrice k k 6 1 0 0 0... 0 1 6 1 0 0... 0 0 1 6 1 0... 0 0 0 1 6 1...... 0 0 0 0 0... 6 (d 1 = 6, d 2 = 35 eccetera). Dimostrare che per ogi k 3 vale d k = 6d k 1 d k 2. Siao x, y le radici del poliomio t 2 6t + 1. Dimostrare che per ogi k 3 vale Determiare due umeri reali a, b tali che per ogi k 1. x k = 6x k 1 x k 2, y k = 6y k 1 y k 2. d k = ax k + by k 2. La matrice dei cofattori Defiizioe 2.1. Data ua matrice quadrata A M, (K) la matrice dei cofattori 1 defiita mediate la formula: à = (ã ij ), ã ij = ( 1) i+j A ji. ( ) 1 2 Esempio 2.2. La matrice dei cofattori di è uguale a 3 4 Teorema 2.3. Per ogi matrice quadrata A vale Aà = ÃA = A I. ( 4 2 3 1 ). à è Dimostrazioe. Se A = (a ij ), teedo presete la defiizioe di à e del prodotto di matrici, la formula Aà = A I equivale alle relazioi { (2.1) ( 1) k+j A se i = j a ik A jk = 0 se i j k=1 Per i = j la formula (2.1) coicide co lo sviluppo di Laplace rispetto alla riga i. Se ivece i j idichiamo co B la matrice otteuta da A i cui la riga j è sostituita co la riga i; la matrice B ha duque due righe uguali e vale a ik = b ik = b jk, A jk = B jk per ogi k. Ne segue che 0 = B = ( 1) k+j b jk B jk = ( 1) k+j a ik A jk. k=1 La formula ÃA = A I si dimostra allo stesso modo utilizzado gli sviluppi di Laplace rispetto alle coloe. k=1 1 I alcui testi la matrice dei cofattori viee chiamata matrice aggiuta.

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 5 Corollario 2.4. Ua matrice quadrata A è ivertibile se e solo se A 0; i tal caso l iversa è uguale a A 1 = à A ed il suo determiate è uguale a A 1 = A 1. Dimostrazioe. Se A è ivertibile allora AA 1 = I e per il teorema di Biet A A 1 = I = 1 da cui segue A 0. Viceversa se A 0 segue dal Teorema 2.3 che A è ivertibile co iversa à A. Corollario 2.5. Il rago di ua matrice A è uguale al più grade itero r per cui A cotiee ua sottomatrice quadrata di ordie r co determiate diverso da 0. Dimostrazioe. Abbiamo già dimostrato che il rago di ua matrice A è uguale al più grade itero r per cui A cotiee ua sottomatrice quadrata e ivertibile di ordie r. Esercizi. 2.1. Calcolare le iverse delle segueti matrici 1 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 3 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1. 0 1 0 0 2.2. Vero o falso? Ogi matrice 2 4 ella quale i determiati dei miori 2 2 formati da due coloe adiaceti si aullao ha rago miore di 2. 2.3. Sia A M, (K). Provare che il rago della matrice dei cofattori à è uguale a: se A è ivertibile, 1 se il rago di A è uguale a 1, 0 se il rago di A è miore di 1. 2.4. Provare che à = A 1 e (Ã)T = (A T ). 3. Matrici coiugate Defiizioe 3.1. Il gruppo lieare GL (K) è l isieme delle matrici A M, (K) che soo ivertibili. Abbiamo visto che se A, B GL (K) allora ache A 1, A T, AB GL (K). Si oti che GL (K) o è u sottospaio vettoriale. Defiizioe 3.2. Date due matrici A, B M, (K) diremo che A è coiugata a B, e scriveremo A B, se esiste C GL (K) tale che A = CBC 1. La relazioe di coiugio gode delle segueti proprietà: : Proprietà riflessiva A A per ogi A M, (K). : Proprietà simmetrica Se A B allora B A. : Proprietà trasitiva Se A B e B H, allora A H. La verifica di tali proprietà è immediata: ifatti A = IAI 1 ; se A = CBC 1 allora B = C 1 A(C 1 ) 1 ; se A = CBC 1 e B = DHD 1 allora A = (CD)H(CD) 1. Teorema 3.3. Due matrici coiugate hao la stessa traccia e lo stesso determiate. Dimostrazioe. Esercizio. Se A B, allora A h B h per ogi h > 0. Ifatti se A = CBC 1 si ha e per iduzioe su h A 2 = (CBC 1 )(CBC 1 ) = CB 2 C 1 A h+1 = AA h = (CBC 1 )(CB h C 1 ) = CB h+1 C 1. Ne segue che se A B allora la traccia di A h è uguale alla traccia di B h per ogi h > 0.

6 MARCO MANETTI: 21 DICEMBRE 2010 Esempio 3.4. Le due matrici diagoali A = a 0 0 b 0 0 0 b 0, B = 0 a 0, 0 0 c 0 0 c soo coiugate: ifatti A = CBC 1 dove 0 1 0 C = A = 1 0 0. 0 0 1 Più i geerale due matrici diagoali otteute l ua dall altra mediate ua permutazioe degli elemeti sulla diagoale soo coiugate. Esercizi. 3.1. Mostrare che le matrici 1 0 0 1 0 1 A = 0 1 0, B = 0 1 0, 0 0 1 0 0 1 o soo coiugate pur avedo lo stesso determiate e pur avedo A h e B h la stessa traccia per ogi h > 0. 3.2. Calcolare ( ) ( ) ( ) t 0 a b t 1 0 0 1 c d 0 1 e dedurre che per ogi a K, a 0, le matrici ( ) 1 1, 0 1 soo coiugate. ( ) 1 a 0 1 3.3. Mostrare che per ogi a K, a 0, le matrici 1 1 1 1 a a 2 0 1 1, 0 1 a 0 0 1 0 0 1 soo coiugate. 4. Idipedeza del couigio dal campo base Come al solito idichiamo co K u sottocampo di C. Lemma 4.1. Siao A, B M, (K) e C M, (C) tre matrici. Si assuma che esista u umero complesso α C tale che la matrice A + αb + C è ivertibile. Allora esiste β K tale che la matrice è acora ivertibile. A + βb + C Dimostrazioe. Sia t ua idetermiata e si codideri il poliomio p(t) = A + tb + C C[t]. Il poliomio p(t) ha grado e o è ullo poiché p(α) 0. Duque p possiede u umero fiito di radici e basta predere β K ua o radice di p.

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 7 Lemma 4.2. Siao α 1,..., α r C liearmete idipedeti su K e siao A 1,..., A r M, (K) tali che α 1 A 1 + + α r A r = 0. Allora A 1 = = A r = 0. Dimostrazioe. Basta osservare che ogi coefficiete della matrice α 1 A 1 + + α r A r è ua combiazioe lieare su K dei umeri α 1,..., α r. Teorema 4.3. Siao A, B M, (K). Se esiste ua matrice C M, (C) ivertibile tale che AC = CB, allora esiste ua matrice D M, (K) ivertibile tale che AD = DB. Dimostrazioe. Cosideriamo C come spazio vettoriale su K e sia V C il sottospazio vettoriale geerato dai coefficieti di C; chiaramete V ha dimesioe fiita e miore od uguale a 2. Sia α 1,..., α r ua base di V, allora possiamo scrivere co C i M, (K) per ogi i. Duque C = α 1 C 1 + + α r C r 0 = AC CB = α 1 (AC 1 C 1 B) + + α r (AC r C r B) e quidi AC i = C i B per ogi i. Se C i è ivertibile per qualche i abbiamo fiito. Altrimeti possiamo usare ripetutamete il Lemma 4.1 per dimostrare iduttivamete che esistoo β 1,..., β r K tali che per ogi i la matrice è ivertibile. Alla fie possiamo predere β 1 C 1 + + β i C i + α i+1 C i+1 + + α r C r D = β 1 C 1 + + β r C r. Corollario 4.4. Due matrici A, B M, (K) soo coiugate i M, (K) se e solo se soo coiugate i M, (C). Dimostrazioe. Ovvia cosegueza del teorema precedete.