CORSO I LAUREA IN INGEGNERIA EILE - UNIVERSIÀ LA SAPIENZA, ROMA CORSO I ANALISI MAEMAICA 2 (LEERE M - Z) - a. a. 2007/ 08 FORMULARIO SINEICO I ANALISI MAEMAICA 2 Coordinate polari x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ), ρ [0, + ), θ [0, 2π) Coordinate polari centrate in P 0 (x 0, y 0 ) x = x0 + ρ cos(θ) y = y 0 + ρ sin(θ), ρ [0, + ), θ [0, 2π) Coordinate ellittiche x = aρ cos(θ) y = bρ sin(θ), ρ [0, + ), θ [0, 2π), a, b > 0 Coordinate ellittiche centrate in P 0 (x 0, y 0 ) x = x0 + aρ cos(θ) y = y 0 + bρ sin(θ), ρ [0, + ), θ [0, 2π), a, b > 0 ifferenziale totale e differenziabilità Sia f derivabile nel punto interno P 0 (x 0, y 0 ). df(p 0 ) := f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 ) = f x (P 0 )dx + f y (P 0 )dy = f(p 0 ) dp f è differenziabile in P 0 (x 0, y 0 ) se dove ρ = P = (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2. Formule di riduzione per gli integrali doppi f df(p 0 ) lim = 0 ρ 0 ρ Se è un dominio normale rispetto all asse x (o y-semplice): = (x, y) IR 2 a x b ; α(x) y β(x)}, α, β C 0 ([a, b]) f(x, y) dxdy = b dx β(x) a α(x) f(x, y)dy. Se è un dominio normale rispetto all asse y (o x-semplice): = (x, y) IR 2 c y d ; γ(y) x δ(y)}, γ, δ C 0 ([c, d]) 1
f(x, y) dxdy = d dy δ(y) c γ(y) f(x, y)dx. Area di un dominio normale Se è un dominio normale rispetto all asse x (o y-semplice): = (x, y) IR 2 a x b ; α(x) y β(x)}, α, β C 0 ([a, b]) Area( ) = b a [β(x) α(x)]dx. Se è un dominio normale rispetto all asse y (o x-semplice): = (x, y) IR 2 c y d ; γ(y) x δ(y)}, γ, δ C 0 ([c, d]) Area( ) = d c [δ(y) γ(y)]dy. Formule di trasformazione di coordinate nel piano ata la trasformazione invertibile di coordinate x = x(u, v) Φ :, Φ C 1 (A), A IR 2, J(u, v) = y = y(u, v) x u y u x v y v 0 in A, A = Φ( ), = Φ 1 (A), cioè tale che Coordinate polari: Φ 1 : u = u(x, y) v = v(x, y) x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) f(x, y) dxdy = (x,y), J(x, y) = u x A v x u y v y 0, J(x, y) = 1 J(u, v), f(x(u, v), y(u, v)) J(u, v) dudv., ρ (0, + ), θ [0, 2π), J(ρ, θ) = ρ : f(x, y) dxdy = A(ρ,θ) f(x(ρ, θ), y(ρ, θ))ρ dρdθ. N.B.: in base a noti teoremi, la validità della formula di trasformazione in coordinate polari può essere estesa a (ρ, θ) [0, + ) [0, 2π]. Volume di un dominio normale rispetto al piano (x, y) ato il dominio = (x, y, z) IR 3 (x, y) A IR 2, α(x, y) z β(x, y), α, β C 0 (A)} 2
V ol( ) = [β(x, y) α(x, y)] dxdy. A Volume di un solido di rotazione ato il solido ottenuto ruotando attorno all asse z il rettangoloide R = (x, z) IR 2 z [c, d], 0 x f(z)}, detta x B l ascissa del baricentro di R, V ol( ) = 2π d dz f(z) x dx = π d c 0 c [f(z)] 2 dz = 2π x B Area(R) Formule di irichlet ata f C 0 (), IR 2, Caso I. Funzione pari nella variabile x (f(x, y) = f( x, y)) e dominio simmetrico rispetto all asse y: detto 1 = (x, y) IR 2 x 0} f(x, y) dxdy = 2 f(x, y) dxdy. 1 Caso II. Funzione dispari nella variabile x (f(x, y) = f( x, y)) e dominio simmetrico rispetto all asse y: f(x, y) dxdy = 0. Caso III. Funzione pari nella variabile y (f(x, y) = f(x, y)) e dominio simmetrico rispetto all asse x: detto 2 = (x, y) IR 2 y 0} f(x, y) dxdy = 2 f(x, y) dxdy. 2 Caso IV. Funzione dispari nella variabile y (f(x, y) = f(x, y)) e dominio simmetrico rispetto all asse x: f(x, y) dxdy = 0. Forme differenziali lineari ω(x, y) = X(x, y)dx + Y (x, y)dy forma differenziale F = (X(x, y), Y (x, y)) campo vettoriale associato alla forma Integrale curvilineo di forma differenziale Se X, Y C 0 (A), A IR 2 connesso, data la curva regolare del piano γ : x = x(t) y = y(t), t [t 1, t 2 ], P (t 1 ) = P 1, P (t 2 ) = P 2 3
allora ω := γ(p 1,P 2 ) t2 t 1 [X(x(t), y(t)) x (t) + Y (x(t), y(t)) y (t)] dt. Metodi per il calcolo delle primitive V (x, y) di una forma differenziale esatta Primo metodo: dato P 0 (x 0, y 0 ) e il generico punto P (x, y), P 0, P A, V (x, y) = x y X(t, y 0 )dt + Y (x, t)dt + C x 0 y 0 oppure V (x, y) = y x Y (x 0, t)dt + X(t, y)dt + C. y 0 x 0 Secondo metodo: oppure X(x, y)dx = V (x, y) + φ(y) dφ dy = V y + Y (x, y) Y (x, y)dy = V (x, y) + ψ(x) dψ dx = V x + X(x, y) Equazione della retta tangente a una curva regolare del piano nel punto di coordinate (x(t), y(t)) y y(t) y (t) = x x(t) x (t) Componenti del versore tangente a una curva regolare del piano nel punto di coordinate (x(t), y(t)) ( ) vers( x (t) τ ) = (x (t)) 2 + (y (t)), y (t). 2 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 Componenti del versore della normale interna a una curva regolare del piano nel punto di coordinate (x(t), y(t)) ( ) vers( y (t) n i ) = (x (t)) 2 + (y (t)), x (t). 2 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 Lunghezza di una curva regolare ata la curva regolare del piano γ : x = x(t) y = y(t), t [t 1, t 2 ], P (t 1 ) = P 1, P (t 2 ) = P 2 4
allora l(γ) = t2 t 1 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt. Se la curva γ è grafico della funzione y = f(x), f C 1 ([a, b]), allora l(γ) = b a 1 + (f (x)) 2 dx. Equazione del piano tangente Π P0 a una superficie regolare nel punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ata la superficie S grafico della funzione z = f(x, y), f C 1 (A), A IR 2, il piano tangente Π P0 equazione z z 0 = f x (P 0) (x x 0 ) + f y (P 0) (y y 0 ) ha Componenti del versore della normale interna alla superficie regolare nel punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ( ) vers( f x (P 0 ) n i ) = (fx (P 0 )) 2 + (f y (P 0 )) 2 + 1, f y (P 0 ) (fx (P 0 )) 2 + (f y (P 0 )) 2 + 1, 1 (fx (P 0 )) 2 + (f y (P 0 )) 2 + 1 Area della superficie Area(S) = A (f x (x, y)) 2 + (f y (x, y)) 2 + 1 dxdy Baricentri e momenti di inerzia utte le formule vanno intese per corpi aventi densità di massa uniforme e di massa unitaria. Coordinate del baricentro di un corpo γ filiforme nel piano, di equazione γ : x = x(t) y = y(t), t [t 1, t 2 ], P (t 1 ) = P 1, P (t 2 ) = P 2 x B = 1 t2 x(t) (x l(γ) (t)) 2 + (y (t)) 2 dt ; y B = 1 t2 y(t) (x t 1 l(γ) (t)) 2 + (y (t)) 2 dt. t 1 Coordinate del baricentro di un corpo bidimensionale: x B = 1 Area() x dxdy ; y B = 1 Area() y dxdy. Coordinate del baricentro di un dominio tridimensionale: x B = 1 V ol( ) x dxdydz ; y B = 1 V ol( ) y dxdydz ; z B = 1 V ol( ) z dxdydz. Momento d inerzia di un dominio tridimensionale rispetto a un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ): 5
I P0 = [dist(p 0, P )] 2 dxdydz = [(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 ] dxdydz. Momento d inerzia di un dominio tridimensionale rispetto all asse delle z (analogamente per i momenti d inerzia rispetto agli altri due assi): I = (x 2 + y 2 ) dxdydz. Momento d inerzia di un dominio tridimensionale rispetto al piano (x, y) (analogamente per i momenti d inerzia rispetto agli altri due piani coordinati): I = z 2 dxdydz. ivergenza e rotore ato il campo vettoriale F = (X(x, y), Y (x, y)) C 1 (), IR 2, div( F ) = F := X x + Y y ; rot( F ) = F := ( Y x X ) k. y ato il campo vettoriale F = (X(x, y, z), Y (x, y, z), Z(x, y, z)) C 1 ( ), IR 3, div( F ) = F := X x + Y y + Z z ; i j k rot( F ) = F = x y z = X(x, y, z) Y (x, y, z) Z(x, y, z) = ( Z y Y ) ( i X + z z Z ) ( j Y + x x X ) k y Formule di Gauss-Green in due dimensioni: ato un dominio regolare e limitato IR 2, considerate f, g C 1 (), f x dxdy = g f dy ; y dxdy = + + g dx ; Applicazioni Area() = x dy = y dx = 1 + + 2 + (x dy y dx) eorema della ivergenza in due dimensioni: div( ( X F )dxdy = x + Y ) dxdy = (X dy Y dx) = F ne ds y + + 6
eorema del Rotore (o di Stokes) in due dimensioni: ( Y x X ) dxdy = (X dx + Y dy) y + eorema del Rotore (o di Stokes) in tre dimensioni: ata una superficie S, grafico della funzione regolare z = f(x, y), definita su un dominio regolare, fissato arbitrariamente l orientamento positivo del bordo +BS e orientati coerentemente S e il versore normale positivo n, considerato il campo vettoriale F = (X(x, y, z), Y (x, y, z), Z(x, y, z)) C 1 (A), S A IR 3, Φ S ( rot( F )) := rot( F ) n ds = X dx + Y dy + Z dz =: F τ ds S +BS +BS Equazioni differenziali a variabili separabili dy dx = f(x) g(y) ; f C0 (I x ), g C 0 (I y ). Metodo della separazione delle variabili: ponendo g(y) 0, si risolve dy g(y) = f(x)dx Eventuali soluzioni singolari: si ottengono risolvendo g(y) = 0. (integrale generale) Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti continui y (x) = a(x) y(x) + b(x) ; a, b C 0 (I) Metodo del fattore integrante: e a(x)dx e a(x)dx [y (x) a(x) y(x)] = e a(x)dx b(x) d ] [e a(x)dx y(x) = e a(x)dx b(x) dx da cui [ a(x)dx y(x) = e e ] a(x)dx b(x)dx + C ovvero, usando la funzione integrale, x [ x a(t)dt x y(x) = e 0 e t ] a(τ)dτ x 0 b(t)dt + y0 x 0, x 0 I, dove, assegnato un Problema di Cauchy, y 0 = y(x 0 ). Equazioni differenziali di Bernoulli y (x) = a(x) y(x) + b(x) y α (x) ; a, b C 0 (I) ; α IR, α 0, 1}. Solo se α > 0, occorre tener conto anche della soluzione singolare y 0. 7
Supposto y 0, si pone z(x) = y 1 α (x), da cui z (x) = (1 α)a(x)z(x) + (1 α)b(x). Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti y (x) + ay (x) + by(x) = f(x) y (x) + ay (x) + by(x) = 0 equazione non omogenea o completa equazione omogenea Integrale generale y 0 (x) dell equazione omogenea: chiamiamo λ 1 e λ 2 le soluzioni dell equazione caratteristica (o secolare) λ 2 + aλ + b = 0. I caso ( > 0, λ 1, λ 2 IR, λ 1 λ 2 ) (radici reali e distinte): y 0 (x) = C 1 e λ1 x + C 2 e λ2 x, C 1, C 2 IR. II caso ( = 0, λ 1 = λ 2 = λ IR) (radici reali e coincidenti): y 0 (x) = C 1 e λ x + C 2 x e λ x, C 1, C 2 IR. III caso ( < 0, λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ = λ 1 IC) (radici complesse coniugate): y 0 (x) = e α x [C 1 cos(βx) + C 2 sin(βx)], C 1, C 2 IR. Integrale generale y(x) dell equazione non omogenea: detti y 0 (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) l integrale generale dell equazione omogenea associata e y(x) un integrale particolare dell equazione non omogenea, y(x) = y 0 (x) + y(x) Metodo di Lagrange della variazione delle costanti y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x), dove ovvero dove W (x) = y 1(x) y 1(x) C 1(x)y 1 (x) + C 2(x)y 2 (x) = 0 C 1(x)y 1(x) + C 2(x)y 2(x) = f(x) f(x)y2 (x) C 1 (x) = dx ; C 2 (x) = W (x) y 2 (x) y 2(x) è il Wronskiano di y 1 e y 2. f(x)y1 (x) W (x) dx Metodo di somiglianza Si vedano anche le due pagine in fondo al formulario. 8
1) f(x) = P m (x), con P m (x) polinomio di grado m in x: y(x) = p m (x) x h, dove h è la molteplicità (eventualmente nulla) della soluzione λ = 0 dell equazione caratteristica e p m (x) è un generico polinomio di grado m in x. 2) f(x) = e ηx P m (x), dove η IR, P m (x) polinomio di grado m in x: y(x) = e ηx q m (x) x h, dove h è la molteplicità (eventualmente nulla) della soluzione λ = η dell equazione caratteristica e q m (x) è un generico polinomio di grado m in x. 3) f(x) = e ηx [P m (x) cos(µx) + Q k (x) sin(µx)], dove η, µ IR, P m (x), Q k (x) polinomi rispettivamente di grado m e k in x: y(x) = e ηx [p n (x) cos(µx) + q n (x) sin(µx)] x h, dove h è la molteplicità (eventualmente nulla) della soluzione λ = η + iµ dell equazione caratteristica e p n (x), q m (x) sono generici polinomi di grado n = maxk, m} in x. Principio di sovrapposizione ata la generica equazione differenziale di ordine n lineare L(y) = f, con f = f 1 + f 2, se esistono y 1 e y 2 tali che L(y 1 ) = f 1 e L(y 2 ) = f 2, allora la funzione y = y 1 + y 2 soddisfa l equazione L(y) = f. 9
Punti critici liberi (da M. Bramanti, C.. Pagani, S. Salsa, Matematica, Zanichelli, 2004)
Metodo di somiglianza (da Krasnov, Kiselyov, Makarenko A book of problems in ordinary differential equations)