Il significato visivo degli operatori gradiente, divergenza, rotore 8 luglio 4 Luca Goldoni PhD Università di Trento-Dipartimento di Informatica Università di Modena -Dipartimento di Ingegneria Premessa Le seguenti note hanno il solo scopo di aiutarvi a capire meglio i concetti di gradiente, divergenza e rotore. Naturalmente nessuno vi interrogherà su queste cose che non sono state esplicitamente fatte a lezione. Tuttavia, per una migliore comprensione della materia mi è sembrato opportuno fornirvi questo materiale. Il gradiente. Il caso di un campo bidimensionale Consideriamo una funzione f : D R con D dominio connesso di R che sia almeno C D Una possibile visualizzazione di f consiste nel rappresentare in un riferimento cartesiano tridimensionale i punti del tipo x, y, fx, y ottenendo quello che abbiamo chiamato il supporto di una superficie cartesiana. Un altro modo per visualizzare la funzione consiste nel tracciare le cosiddette linee di livello. Se consideriamo un valore c R fissato, possiamo considerare poi l insieme L c = {x,y D : f x,y = c}.
Figura : La rappresentazione cartesiana di una funzione è il supporto di una superficie. Esso può essere vuoto o non vuoto. Nel secondo caso, generalmente parlando, esso è costituito da una curva che si dice appunto curva di livello relativa al livello c. Esempio. Consideriamo f : R R x,y x +3y Gli insiemi L c sono vuoti per c <. Per c = si ha che L si riduce ad un solo punto: l origine, mentre per c > abbiamo che rappresenta un ellisse. x +3y = c Consideriamo ora il gradiente di f. Per definizione si ha che gradf : D R f f x,y x,y, x,y Possiamo visualizzare il gradiente nel seguente modo:. Dato un punto x,y D calcoliamo il gradiente in tale punto. Esso sarà costituito da un coppia ordinata di numeri reali e cioè un vettore uscente dall origine.
Figura : Le linee di livello della funzione considerata. corrispondono ai valori di c. I numeri. Invece di considerare questo vettore, immaginiamo di trasportarlo e di applicarlo nel punto in cui esso è stato calcolato. Per ogni punto abbiamo dunque un vettore ed è per questo che si parla del gradiente e più in generale delle funzioni f : R n R m come di campi vettoriali quando m e di campi scalari quando m =. Si tratta di una terminologia che viene dalla Fisica e che ha i suoi vantaggi. Si può dimostrare che i vettori del campo gradiente sono ortogonali alle linee di livello. Questo può essere detto in modo più amichevole come segue: se mi trovo su di una linea di livello e voglio raggiungerne un altra, il percorso più ripido è quello che avviene nella direzione del gradiente. La cosa si vede bene dalla figura qui sotto: se parto da un punto situato sulla linea corrispondente a c = 6.4 e voglio raggiungere la linea di livello c = 9.6, muovendomi nella direzione del gradiente compio il percorso di lunghezza minore e dunque quello più ripido freccia gialla. Se invece scelgo un altro percorso, esso sarà più lungofreccia azzurra e la pendenza sarà minore.. Il caso di un campo tridimensionale Consideriamo una funzione f : E R con E dominio connesso di R 3 che sia almeno C E In questo caso non è più possibile la visualizzazione di f attraverso il suo grafico dal momento che dovremmo rappresentare punti del tipo x,y,z,fx,y,z necessitando quindi di poter vedere in R 4. Possiamo 3
Figura 3: Il gradiente di f può essere visualizzato come un insieme di vettori applicati. Figura 4: Il gradiente indica il percorso di maggiore ripidità. 4
però ugualmente servirci di quelle che ora sono le superfici di livello. Come prima, per ogni valore c R fissato, possiamo considerare poi l insieme L c = {x,y,z E : f x,y,z = c}. Esso può essere vuoto o non vuoto. Nel secondo caso, generalmente parlando, esso ècostituito da una superficie di R 3 che si dice appunto superficie di livello relativa al livello c. Esempio. Consideriamo f : R 3 R x,y x +y +z Gli insiemi L c sono vuoti per c <. Per c = si ha che L si riduce ad un solo punto: l origine, mentre per c > abbiamo che x +y +z = c rappresenta una sfera di centro l origine e raggio c. Naturalmente, per consentire la visualizzazione delle diverse superfici, ho dovuto prendere un loro spaccato. E ancora possibile visualizzare anche il campo vettoriale dato dal gradiente di f e per esso valgono le stesse considerazioni del caso bidimensionale. In conclusione, possiamo dire che per quanto riguarda i campi scalari, ovvero le funzioni f : A R dove A è un dominio contenuto in R n, il gradiente rappresenta un adeguato strumento per descrivere come varia il campo seguendo, punto per punto la direzione del massimo cambiamento. 5
Figura 5: Le superfici di livello della funzione considerata per i valori di c =,4,9. 6
Figura 6: I vettori del campo gradiente sono ortogonali alle superfici di livello. 7
3 La divergenza Consideriamo una funzione f : E R con E dominio connesso di R 3 che sia almeno C E cioè quello che si chiama anche un campo vettoriale F x,y,z = F x,y,z,f x,y,z,f 3 x,y,z Per comprendere il significato visivo della divergenza, immaginiamo di considerare una sfera centrata in O =,, avente la solita parametrizzatione φ : [,π] [,π] R φψ,θ = rsinψcosθ,rsinψsinθ,rcosθ dove r > e piccolo. Il vettore normale uscente è ν = ν ψ,θ = r sin ψcosθ,r sin ψsinθ,r sinψcosψ Se sviluppiamo in serie di Taylor le componenti del campo in un intorno dell origine abbiamo F F x,y,z = F + x,y,z+... F x,y,z = F + F 3 x,y,z = F 3 + F F3 + F + F + F 3 + F + F + F 3 x,y,z+... x,y,z+... dove abbiamo indicato con =,, l origine e dove i puntini stanno al posto dei termini di ordine superiore al primo. Sceglieremo r abbastanza piccolo in modo che il contributo di tali termini sia anch esso piccolo rispetto al contributo dato dai termini del primo ordine e dai termini costanti. D ora in poi, trattandosi di considerazioni volutamente non del tutto rigorose, non indicherò più la presenza di questi termini. Non sarebbe molto difficile comunque tenerne conto attraverso l uso degli O-grandi di Landau. Ora calcoliamo il flusso del campo per la superficie della sfera considerata. Innanzitutto ci serve Sarà chiaro dopo cosa si intende F ν = F ν +F ν +F 3 ν 3 8
dove ν = ν,ν,ν 3 è sempre il vettore normale esterno e dove si intende che le componenti F i vanno calcolate nei punti della superficie. Sostituendo a x,y,z le loro espressioni date dalla parametrizzazione abbiamo F ψ,θ = F + F ψ,θ = F + F 3 ψ,θ = F 3 + Siccome F F F3 avremo che F ν = F r sin ψcosθ+ +r 3 F mentre sin 3 ψcos θ+ F F ν = F r sin ψsinθ+ +r 3 F ed infine sin 3 ψsinθcosθ + F F 3 ν 3 = F 3 r sinψcosψ+ +r 3 F3 rsinψcosθ+ F rsinψcosθ+ F rsinψcosθ+ F 3 ν = r sin ψcosθ ν = r sin ψsinθ ν 3 = r sinψcosψ sin ψcosψcosθ+ F 3 rsinψsinθ+ F rsinψsinθ+ F rsinψsinθ+ F 3 rcosψ rcosψ rcosψ sin 3 ψsinθcosθ + F sin ψcosψcosθ sin 3 ψsin θ+ F sin ψcosψcosθ sin ψcosψsinθ+ F 3 sinψcos ψ 9
Allora F ν = F ν +F ν +F 3 ν 3 = Σψ,θ = [ ] = r F sin ψcosθ+f sin ψsinθ+f 3 sinψcosψ + [ +r 3 F sin 3 ψcos θ+ F sin 3 ψsin θ+ F ] 3 sinψcos ψ + [ +r 3 F sin 3 ψsinθcosθ+ F sin ψcosψcosθ + F + sin 3 ψsinθcosθ + F sin ψcosψcosθ F + sin 3 ψcos θ + F ] sin 3 ψsin θ Ne segue che Φ = π π F ν dφ = Σψ,θdψdθ = I +I +I 3 S dove I = r mentre I = r 3 π π π π ed infine I 3 = r 3 +r 3 +r 3 ] [F sin ψcosθ+f sin ψsinθ+f 3 sinψcosψ dψdθ [ F π π π π π π F F F sin 3 ψcos θ+ F sin 3 ψsin θ+ F ] 3 sinψcos ψ dψdθ sin 3 ψsinθcosθ+ F sin ψcosψcosθ + sin 3 ψsinθcosθ + F sin ψcosψcosθ + sin 3 ψcos θ+ F sin 3 ψsin θ
Nonostante le apparenze, è facile rendersi conto che I = I 3 =. Infatti, questi integrali si scrivono a loro volta come somme di altri integrali che sono tutti nulli perchè o sono integrali doppi che si fattorizzano e uno dei loro fattori è del tipo π cos θdθ o π sin θdθ che sono nulli oppure sono del tipo π sinψcosψdψ che è ancora nullo. Per quanto riguarda I si ha invece che ciascuno degli integrali che lo costituiscono vale 4 π In definitiva quindi 3 Φ = S F ν dφ = 4 3 πr3 [ F + F F3 ] e dunque Φ = Φr = 4 3 πr3 div F Abbiamo allora che Φr = div F πr3 4 3 Questo è come dire che se la sfera ha raggio sufficientemente piccolo in modo che si possano trascurare i termini di ordine superiore, la divergenza è uguale al rapporto tra il flusso attraverso la sfera e il suo volume. Il discorso esatto è ovviamente che lim r Φr = div F πr3 4 3 Ma la sfera di raggio nullo è un punto e quindi si può dire che la divergenza rappresenta la densità di flusso nel punto per unità di volume.
Figura 7: Si è considerata un piccola sfera di raggio l origine e il campo F = x,,. L origine è una sorgente di flusso uscente dalla sfera lungo l asse x. La divergenza di tale campo è e quindi questa è la densità di flusso nell origine.
4 Il rotore Per cercare di capire meglio il rotore, consideriamo il solito campo. F x,y,z = F x,y,z,f x,y,z,f 3 x,y,z Consideriamo una circonferenza di raggio r piccolo con centro nell origine e situata nel piano xy. La sua parametrizzazione sarà come al solito γt = rcost,rsint, t [,π] Calcoliamo la circuitazione del campo usando la stessa tecnica di prima e cioè approssimando le componenti del campo mediante lo sviluppo di Taylor troncato al primo ordine. Come prima avremo che F x,y,z = F + F x,y,z = F + F 3 x,y,z = F 3 + Avremo allora che F F F3 F dγ = π + F + F + F 3 + F + F + F 3 F γtγ tdt x,y,z+... x,y,z+... x,y,z+... Se teniamo conto del fatto che γ γ t = rsint,rcost, e se calcoliamo il campo nei punti della curva, abbiamo ] F γtγ t = r [F cost F sint + [ +r F cos t F sin F t + F Avremo allora che γ +r F dγ = π π F ] r [F cost F sint dt+ cos t F sin t dt+r 3 π F ] sintcost +... F sintcostdt
Come prima è facile vedere che il primo e il terzo integrale sono nulli e quindi γ F dγ = r π F cos t F sin t dt = πr F F e quindi e quindi, se r è molto piccolo, F dγ γ F dγ = πr F γ πr = F F F Il secondo membro è la componente lungo l asse z del rotore. In realtà dovremmo scrivere F dγ γ F lim = r πr F Calcoli analoghi forniscono le altre componenti. Quindi si può dire che il rotore rappresenta la densità di circuitazione per unità di area. La divergenza e il rotore sono davvero importanti: si può dimostrare che quando di un campo vettoriale si conoscono entrambi il campo è completamente determinato. 4
Figura 8: Si è considerata un piccola circonferenza di raggio l origine e il campo F = y, x,z. L origine è un punto intorno al quale il campo si arrotola ed infatti l suo rotore in quel punto ha la componente lungo l asse z che vale. 5