6: Derivate Esercizi I Parte - Derivate E. 6.1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) log 5 3 + cos ) + 3 + 4 + 3 3) 5 tan 4) ( + 3e ) sin 5) arctan( + 1) 6) log 7) 10) + + 3 8) 3 3 1 + 16 11) 3 3 log + 3 9) sin 1) sin 13) log + e 14) sin cos 1 15) 3 + + 1 16) + 1 17) 3 7 18) 3 log 5 19) 3 3 5 0) log + sin 1) e + e ) 3 tan 3) log 3 ( + 1) 4) = e log 5) 4 3 6) 1 log 7) e log 8) e + + cos( log ) 9) log + log 30) + cos e + 1 31) ( 34) log + 1 1 3 cos 3) sin( + ) + ) 33) 1 + 3 + 3 35) (sin(tan )) 5 36) ( + 1) log E. 6. Dopo averne determinato l insieme di esistenza, calcolare, quando possibile, la derivata delle seguenti funzioni: 1
1) f() = e 1 3 ) f() = 5 3 3) f() = log 4) f() = e 7) f() = e + ( ) e + 3 10) f() = log e + 1 5) f() = 3 + 6) f() = e 1 8) f() = e 1 9) f() = + + 1 11) f() = e 1) f() = log ( + ) E. 6.3 Scrivere le equazioni delle rette tangenti alle seguenti curve nei punti a fianco indicati: 1) f() = e 0 = 0 ) f() = 5 0 = 0 3) f() = sin 0 = π 6 E. 6.4 Determinare le ascisse dei punti in cui la curva di equazione y = 1 alla retta y = 4. 1 ha tangente parallela E. 6.5 Si studi la derivabilità e la continuità delle seguenti funzioni: 1) { f() = cos per 0 0 per = 0 3) { + e per < 0 f() = 3 + + 1 per 0 { ) f() = 3 ( 1) per 0 3 ( + 1) per > 0 E. 6.6 Per quali valori del parametro reale α la funzione risulta derivabile in R? 1 se 1 f() = α ( 1) se > 1
E. 6.7 Determinare a, b tali che f() = { + a + 6 per 1 3 + b + 1 per > 1 sia continua e derivabile su tutto R. Quante soluzioni ci sono? Quante con la condizione f(1) =? In quest ultimo caso, se f 1 è l inversa di f in un intorno di = 1, calcolare la derivata di f 1 in y =. E. 6.8 Data la funzione f() = { sin 1 per 0 0 per = 0, calcolarne la derivata in = 0 mediante il limite del rapporto incrementale. Calcolare poi lim 0 f (). È uguale a f (0)? E. 6.9 Data la funzione f() = e + arctan +, calcolare la derivata dell inversa f 1 in y = 1. Se z = g(y) è derivabile in y = 1 con g (1) = 3, posto h() = g(f()), quanto vale h (0)? E. 6.10 Data una funzione f derivabile ed invertibile su R tale che f( ) = 5 e f ( ) = 1/3, calcolare la derivata dell inversa f 1 in y = 5. E. 6.11 Data f invertibile su R, sapendo che (f 1 ) (1) = 4 e f() = 1, cosa possiamo dire sulla derivata di f in? E. 6.1 La retta tangente al grafico della funzione f() = e (3 4) nel punto di ascissa = 1 ha equazione: A. y = e( ); B. y = e( 3); C. y = e( 1); D. y = e( 1). E. 6.13 La retta tangente al grafico della funzione f() = e ( 1) nel punto di ascissa = ha equazione: A. y = e (7 11); B. y = 7e ( ); C. y = e (7 + 3); D. y = 7e. 3
E. 6.14 Siano f() = log( + 3) e g() = e e sia F () = (f g) () = f (g()). Allora l equazione della retta tangente al grafico di F nel punto di ascissa = 0 è: A. y = 1; B. y = 1 + log ; C. y = 1; D. y = 1 + log 3. 3 3 E. 6.15 La funzione f() = { 3 (e ) se < 0 + 3 se 0 è A. continua e derivabile in R B. nè continua nè derivabile in = 0 C. derivabile, ma non continua in = 0 D. continua su R, ma non derivabile in = 0 E. 6.16 La funzione f() = e è: A. continua e derivabile in R B. nè continua nè derivabile in = 0 C. derivabile, ma non continua in = 0 D. continua su R, ma non derivabile in = 0 E. 6.17 Sia f() = log(1 + ) e. Allora f (1) vale: A. log 1 e ; B. log + 1 ; C. log + 1 e D. log 1. ( ) 5 + 6 + 3 E. 6.18 Sia data la funzione f() = log. + 1 Allora l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa = 0 è: A. y = log 5 + 1 5 ; B. y = log 5 1 5 ; C. y = log 5 + 1 5 1 5 ; D. y = log 5 1 5 + 1 5. E. 6.19 Sia g una funzione derivabile e tale che g(0) = 4 e g (0) = 3 e sia f() = log (1 + ). Allora (f g) (0) vale A. 1 5 log 5; B. 6 5 log 5; C. 1 log 5; D. 6 log 5. 5 5 4
E. 6.0 Siano f() = e 1/, g() = e F () = (f g) (). Allora F () vale: A. 3 e 4 ; B. 3 4 e ; C. 3 e ; D. 3 e. E. 6.1 Determinare per quali valori del parametro reale k il grafico della funzione di equazione f() = k + k 1 è tangente alla retta y = 3 nel punto di coordinate (1, 1). A. k = 1, 3; B. k = 3; C. k = 1; D. Per nessun valore di k. E. 6. Siano f() = log(1 + ), g()=cos( + ) e F () = (f g)() = f (g()). Allora F (0) vale: A. sin ; B. sin ; C. sin sin ; D. 1 + cos 1 + cos. E. 6.3 Siano f() = { 1 se 1 log se > 1 e g() =. Se F () = (f g)(), allora F () vale: A. 4; B. ; C. ; D. 4. E. 6.4 Si considerino le funzioni f() = { e se < 0 6 + 1 se 0 e g() = { 1 se 1 3 5 se > 1. e sia F () la funzione composta (f g) () = F (). Allora F () vale: A. 14; B. 18; C. 14; D. 18. { e E. 6.5 Su tutto R la funzione f() = +1 1 se 1 log( + ) + 3 + se > 1 è A. non continua; B. continua, ma non derivabile; C. derivabile solo una volta; D. derivabile almeno due volte. 5
II Parte - Applicazioni E. 6.6 Si determinino gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e minimo relativi delle seguenti funzioni: 1) 3 ) 1 3) 4) ( ) 3 5) e 1 6) 3 + 7) 1 4 8) 7 + 1 3 + 9) 10) 1 11) e +1 e + 1 1) + 1 13) sin cos in [0, π] 14) log E. 6.7 Si verifichi che la funzione f() = log 1 3 derivata di f 1 in y = f(1). è invertibile dove definita e si calcoli la E. 6.8 Si verifichi che la funzione f() = e + + 1 è invertibile dove definita e si calcoli la derivata di f 1 in y = f(0). E. 6.9 Si determinino gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso relativi delle seguenti funzioni: 1) 3 ) 1 3) 4) ( ) 3 5) e 1 6) 3 + 6
E. 6.30 Si calcolino i seguenti limiti, usando, se necessario, i teoremi di De l Hôpital, nei casi in cui sia possibile: 1) lim 1 + 1 1 ) lim 0 1 tan(+ π ) 3) lim + + e arctan π 4) lim 1 ++ 3 + 1 log( ) 5) lim π π cos 6) lim ( ) arctan + π E. 6.31 Si calcolino i seguenti limiti, dopo aver calcolato i polinomi di Taylor necessari: 1) lim 0 1 + 1 cos + 3 ) lim 3) lim 0 3 4 0 tan 6) lim 1 log 3 1 5) lim 0 e 6) lim 3 π sin 1 cos 7