Comunicazioni Elettriche Esercizi Alberto Perotti 9 giugno 008 Esercizio 1 Un processo casuale Gaussiano caratterizzato dai parametri (µ = 0, σ = 0.5) ha spettro nullo al di fuori dellintervallo f [1.5kHz, 15kHz]. Tale segnale viene campionato alla frequenza f C = 5 khz. 1. Si tratta di una frequenza di campionamento che permette lesatta ricorstruzione? Perché? Se non lo è, proporre una frequenza di campionamento opportuna.. Disegnare lo spettro del segnale campionato. 3. Determinare la banda passante del filtro ideale per la corretta ricostruzione del segnale. 4. Il processo è quantizzato utilizzando 8 bit. Determinare il rapporto segnalerumore di quantizzazione e la degradazione assumendo che il SNR in ingresso sia di 30 db. 5. Determinare la velocità di trasmissione necessaria per inviare il segnale. Soluzione del I punto La condizione da rispettare affiché non vi sia sovrapposizione spettrale è la seguente: k f C f 1 f (k + 1) f C dove f 1 = 1.5 khz e f = 15 khz. Questa condizione è rispettata, ma i multipli interi della metà della frequenza di campionamento coincidono con gli estremi di banda. Infatti si ha k f C = f 1 e f = (k + 1) f C per k = 5. In questo caso, la ricostruzione sarebbe possibile solo impiegando dei filtri passa-banda ideali. In pratica, è opportuno scegliere una frequenza di campionamento maggiore, in modo da inserire una banda di guardia tra le repliche 1
dello spettro che costituiscono il segnale campionato. Una buona soluzione è ridurre il valore di k da 5 a 4 e quindi calcolare l intervallo di frequenze valide 4 f C f 1 f 5 f C da cui si ottiene f C < 6.5 khz e f C > 6 khz. Scegliendo quindi f C = 6.15 khz (punto medio dell intervallo) si soddisfano i requisiti. Soluzione del II punto [Grafico] Soluzione del III punto La corretta ricostruzione del segnale può essere effettuata filtrando il segnale campionato con un filtro passa-banda con banda passante [1.5, 15] khz. Soluzione del IV punto Assumendo di quantizzare il segnale con un quantizzatore uniforme a B = 8 bit (56 livelli), si ottiene un rapporto segnale-rumore di quantizzazione SNR q = 3S B dove S = σ = 1/16. Si ha SNR q = 188, equivalente a 40.89 db. La degradazione può essere calcolata nel seguente modo db = SNR I,dB SNR UQ,dB dove SNR UQ,dB è il rapporto segnale-rumore all uscita del quantizzatore, definito nel seguente modo Applicando la seguente S SNR UQ = N I + N Q si ricava il risultato richiesto. Soluzione del V punto 1 = 1 + SNR UQ SNR I La velocità necessaria per trasmettere il segnale è 1 SNR Q R b = f C B = 49 kbits/s
Esercizio Simbolo Intervallo a 0 (, 0.75] a 1 ( 0.75, 0.5] a ( 0.5 0.5] a 3 ( 0.5, 0] a 4 (0, 0.5] a 5 (0.5, 0.5] a 6 (0.5, 0.75] a 7 (0.75, ) Tabella 1: Corrispondenza tra simboli e intervalli. Si assuma che il processo casuale definito nellesercizio precedente sia campionato ad una frequenza f C opportuna e quantizzato su 3 bit (8 livelli). 1. Calcolare l informazione associata a ciascuno degli 8 simboli e l entropia della sorgente. Proporre uno schema di codifica di sorgente che permetta di ridurre la velocità di trasmissione 3. Calcolare la lunghezza media delle parole di codice e la nuova velocità di trasmissione media necessaria 4. Quanto si potrebbe guadagnare in termini di velocità di trasmissione effettuando una codifica di sorgente su coppie di simboli? Soluzione del I punto Il campionamento del processo casuale produce una sequenza di VC Gaussiane a media nulla e deviazione standard 0.5. Il convertitore A/D può essere considerato come una sorgente discreta che emette una sequenza di simboli appartenenti ad un alfabeto di 8 elementi. Ciascun simbolo corrisponde ad un intervallo di quantizzazione. Consideriamo la corrispondenza tra simboli e intervalli di Tab. 1. Ricorrendo alle proprietà della ddp Gaussiana, la probabilità di ciascun simbolo può essere valutata nel seguente modo P (a 7 ) = P (a 0 ) = 1 0.75 σ = 0.341 P (a 6 ) = P (a 1 ) = 1 0.5 σ 1 0.75 σ = 0.136 P (a 5 ) = P (a ) = 1 0.5 σ 1 0.5 σ = 0.01 3
Codewords 0 0.341 10 0.341 0.659 1.0 100 0.136 0.318 1000 0.136 0.18 10000 0.01 0.046 100000 0.01 0.05 1000000 10000000 0.00 0.00 0.004 Figura 1: Costruzione del codice di Huffman. P (a 4 ) = P (a 5 ) = 1 0 σ 1 0.5 σ = 0.00 Soluzione del II punto Si applica l algoritmo di Huffman. Il rislutato è mostrato in Fig. 1. Soluzione del III punto La lunghezza media delle parole di codice si calcola nel seguente modo: n = 7 P (a i )n(a i ) i=0 dove n(a i ) indica la lunghezza in bit della parola di codice corrispondente al simbolo a i. Si ottiene n =.36 bits/simbolo Dall esercizio precedente, si ha che f C = 6.15 khz. La velocità di trasmissisone media è pari a R b = f C n = 13695.5 bit/s Nel caso non codificato, i campioni sono codificati usando 3 bit, quindi la velocità di trasmissione vale R b1 = 3f C = 18375 bit/s 4
Soluzione del IV punto Ricordando la disequazione H(X) n H(X) + 1 m e calcolandola per m = e H(X) =.111, valore che si ottiene applicando la definizione di entropia, si ha n H(X) + 1 e quindi m = non implica una minore lunghezza media. Esercizio 3 La trasmissione del segnale codificato definito all esercizio precedente è effettuata mediante una modulazione di ampiezza a livelli (-PAM) (in banda base) con filtro rettangolare in frequenza. La potenza a disposizione è di 1 Watt. La potenza del rumore Gaussiano bianco vale N 0 = 5 µw. 1. Determinare la banda occupata dal segnale modulato sia per la trasmissione non codificata che per quella codificata.. Determinare la banda occupata nel caso di modulazione 4-PAM e 8-PAM. 3. Determinare il rapporto segnale-rumore per la modulazione -PAM. 4. Determinare la probabilità di errore sul bit per la modulazione -PAM sul bit sia per la trasmissione non codificata che per quella codificata. 5. Determinare la probabilità di errore sul bit. 6. Determinare la capacità del canale discreto binario equivalente. Soluzione dei punti I e II Per la trasmissione non codificata, all ingresso del modulatore si ha una velocità R b1 = 18375 bit/s. La banda occupata da un segnale modulato con filtro rettangolare in frequenza è B s = 1 T s dove T s è l intervallo di simbolo e vale T s = m R b1 La variabile m è il numero di bit per simbolo di modulazione e vale 1 per la modulazione -PAM, per la 4-PAM e 3 per la 8-PAM. Per la trasmissione codificata, si segue un analogo procedimento partendo dal rate R b = 13695.5 bit/s 5
Soluzione del III punto Per il rapporto segnale-rumore E s /N 0, è necessario calcolare e quindi E s = P T s = P R b1 = 54.4 µw E s N 0 = 10.88 ( 10.37dB) Nel caso non codificato il procedimento è analogo. Soluzione del IV punto La probabilità di errore sulla parola di codice vale Soluzione del V punto P (e) = 1 Es N 0 =... La capacità del canale binario simmetrico equivalente si calcola come C = 1 H(p) = 1 + p log(p) + (1 p) log(1 p) dove p = P (e) del punto precedente. 6