Funzioni di trasferimento

1 Funzioni di trasferimento

Introduzione 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: introduzione uso dei decibel e delle scale logaritmiche diagrammi di Bode 4

Funzione di trasferimento Si consideri una rete con ingresso s(t) ed un uscita y(t) Si lavori nel dominio delle frequenze Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata di Fourier dell'uscita e quella dell'ingresso: Y( ω) H( jω) = S( ω) 5 Esempio Si consideri la rete nel dominio di Fourier ingresso: e(t) uscita: v(t) funzione di trasferimento V ( ω) 1 H( jω) = = E( ω) 1 + jω RC 6

Introduzione 7 Filtro passa basso 1/3 Importanza funzioni trasferimento È molto difficile prevedere nel tempo quale potrebbe essere l'andamento dell'uscita v(t) facendo variare l'ingresso e(t) Lavorando però nel dominio delle frequenze si hanno relazioni algebriche e tutto diventa semplice 8

Filtro passa basso /3 Per elevati valori della frequenza la funzione di trasferimento tende ad annullarsi. La rete filtra, cioè lascia passare solo le frequenze più basse contenute nel segnale e(t) La banda del segnale di uscita si riduce rispetto a quella dell'ingresso nel senso che sono praticamente eliminate tutte le frequenze superiori ad un certo valore 9 Filtro passa basso 3/3 Il circuito si comporta quindi come un filtro passa basso 1 H( jω) = 1 + jω RC 10

Filtri passa alto e passa banda 1/ Tutte le reti dinamiche hanno proprietà filtranti Il circuito indicato a sinistra rappresenta un filtro passa alto; il circuito a destra un filtro passa banda 11 Filtro passa alto e passa banda / Il comportamento di un filtro dipende da come si comporta al variare della frequenza il modulo della funzione di trasferimento; ossia dalla sua banda La banda della funzione di trasferimento è costituita dagli intervalli di frequenza dove il suo modulo è convenzionalmente significativo 1

Introduzione 13 Significato 1/ La funzione di trasferimento rappresenta l uscita della rete quando l ingresso è il segnale impulsivo: la funzione di trasferimento è una trasformata di Fourier nel dominio del tempo la funzione di trasferimento è un segnale conseguenza: H j H j * ( ω) = ( ω) 14

Significato / il modulo della funzione di trasferimento è funzione pari della frequenza la fase della funzione di trasferimento è funzione disparidella frequenza 15 Notazione più semplice Per rendere più evidenti le proprietà delle funzioni di trasferimento conviene introdurre la pulsazione complessa s= La funzione di trasferimento viene quindi scritta: Esempio per il filtro passa basso: jω H( jω ) = H( s) 1 H() s = 1 + src 16

Dominio dei fasori 1/ Per le reti in regime sinusoidale con pulsazione, indicando con Y il fasore associato all uscita e con S il fasore all ingresso vale la seguente proprieta: ω o Y S = H( jω ) o 17 Dominio dei fasori / Se l ingresso è somma di due o più sinusoidi non isofrequenziali: st () = S cos( ωt+ ϕ ) + S cos( ω t+ ϕ ) +... 1m 1 1 m A regime l uscita vale: yt H j S e e H j S e e j 1 j 1t j j t () = Re[ ( ω ) ϕ ω ] + Re[ ( ω ) ϕ ω ] +... 1 1m m 18

Esempio 1 1/3 Nel filtro passa basso con R= 1 k ohm, C=1 nf, l ingresso vale: et t t 6 () = 0.5+ 0.5cos(1000 ) + 10cos(10 ) determinare l uscita v(t) a regime 19 Esempio 1 /3 Risulta: RC=10-6 ω = 0, S = 0.5, ϕ = 0, 1 1m 1 1 H( jω1 ) = H(0) = = 1 6 1+ j10 0 ω = 1000, S = 0.5, ϕ = 0, m 1 1000000 1000 H( jω ) = H(1000) j = = j 6 1+ j10 1000 1000001 1000001 0

Esempio 1 3/3 et t t 6 () = 0.5+ 0.5cos(1000 ) + 10cos(10 ) ω = 10, S = 10, ϕ = 0, 6 3 3m 3 6 1 1 1 H( jω3) = H(10 j ) = = j 6 6 1+ j10 10 jϕ1 jω1t jϕ jωt yt () = Re[ H( jω ) S e e ] + Re[ H( jω ) S e e ] +... = 6 6 5cos(10 t) 5sin(10 t) 1 1m m = 0.5+ 0.5cos(1000 t) + 0.0005sin(1000 t) + + + 1 Esempio 1/ In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento: H() s = s + 3s+ 1 + 6 + 11 + 6 3 s s s

L ingresso della rete sia dato da: Esempio / st () = 3sin(4 t) determinare l uscita y(t) a regime: regime sinusoidale con ω o = 4 il fasore associato all ingresso è: S = j3 il fasore associato all uscita risulta: s + 3s+ 1 Y = H( jωo ) S = H( j4)( j3) = ( j3) = 0.487 j0.39 3 s + 6s + 11s+ 6 s= j4 uscita: yt () = 0.487cos(4 t) + 0.39sin(4 t) 3 Esempio 3 In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento: Hs () = s + 3s+ 1 + 6 + 11 + 6 3 s s s L ingresso della rete sia dato da: st () = 30+ 10cos( t) Determinare l uscita y(t) a regime utilizzando la formula generale jt 69 33 yt () = 30 H(0) + Re[ H( j)10 e ] = 5+ cos( t) + sin( t) 6 6 4

Dominio di Laplace 1/ Per le reti inizialmente scariche, indicando con Y(s) la trasformata di Laplace dell ingresso e con S(s) la trasformata di Laplace dell uscita, vale la seguente proprietà: Ys () () Ss () = H s Poiché la funzione di trasferimento rimane sempre la stessa nel dominio dei fasori, nel dominio di Fourier e nel dominio di Laplace; si parla di H(s) definita nel dominio delle frequenze senza ulteriori specificazioni 5 Dominio di Laplace / La funzione di trasferimento rappresenta l uscita della rete quando l ingresso è il segnale impulsivo: la funzione di trasferimento H(s) è una trasformata di Laplace H(s) è una funzione analitica che possiede un semipiano destro di regolarità dove essa ha crescita lenta per reti stabili l ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa in generale i poli di H(s) coincidono con i poli della rete 6

Proprietà 1/ Nelle reti a parametri concentrati: la funzione di trasferimento H(s) è una funzione razionale fratta in s i coefficienti dei polinomi che definiscono il numeratore ed il denominatore di H(s) sono reali se esiste uno zero (polo)di H(s) complesso, esiste anche lo zero (il polo) complesso coniugato gli zeri del denominatore costituiscono i poli della funzione di trasferimento 7 Proprietà / gli zeri del numeratore costituiscono gli zeri della funzione di trasferimento per reti stabili l ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa in una rete stabile, i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale non positiva gli zeri di una funzione di trasferimento possono avere parti reali positive (reti a fase non minima) in generale i poli della funzione di trasferimento non dipendono né dall ingresso, né dall uscita considerate 8

Esempio La funzione: 1 3ω jωω 3 ( 9) non è una funzione di trasferimento Infatti posto s = jω ω = js si ha: 1 3ω 1 3js = jωω 3 3 ( 9) ss ( + 9) Pur essendo razionale fratta, i coefficienti non sono reali 9 Introduzione 30

Esempio 1 1/4 Nel circuito in figura a) calcolare la funzione di trasferimento H(s)=I/E b) posto L=0.1 H, C=F, R=1 ohm, alfa=6, calcolare i poli e gli zeri di H(s) 31 Esempio 1 /4 Rete neldominio delle frequenze Sovrapposizione degli effetti I x 1 sl + E = + sc α Ix = 1 1 1 R+ sl+ R+ sl+ R+ sl+ sc sc sc sce+ ( slc+ 1) α Ix 3

Esempio 1 3/4 Risolvendo rispetto a I x : I x = sc + + α (1 α) slc src 1 E ne consegue: risposta a: (1 α) sc I = (1 α) Ix = E (1 α) slc+ src + 1 α I (1 α) sc H() s = = E (1 α) slc + src + 1 α 33 Esempio 1 4/4 Con i datiindicati H() s = s 10s s+ 5 risposta b: zero in z o =0 poli in p 1, = 1± j Rete instabile 34

Esempio 1/3 Il circuito in figura è neldominio delle frequenze calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E 35 Esempio /3 Circuito equivalente applicando Millman: E V + 1 1 (1+ 1/ s) (1 + se ) + (1+ ) sv V1 = = 1 1 + s + s + 4s+ 1 1 (1+ 1/ s) V1 V + 1 1/ s V + sv 1 V = = = V = V = 0 + 1 1 + s + 1 1 1/ s 36

L equazione Porge V1 V Sostituendo in V + sv s + 1 1 = = 0 = sv 1+ s 1 si ottiene: V = E = E 3 s + 4s + 4s+ 1 s + 3s+ 1 Funzione di trasferimento: (1 + se ) + (1+ ) sv V1 = s + 4s+ Esempio 3/3 H() s = s 1 + 3s+ 1 37 Esempio 3 1/3 Il circuito in figura è neldominio delle frequenze calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E 38

Esempio 3 /3 Circuito equivalente Applicando Millman: E V + 1 (1/ s) (1+ 1/ s) V1 = 1 1 1 + + 1 1 (1/ s) (1+ 1/ s) V V + V = = = V = V = 1 1 + s + 1 1 1/ s 1 1 1/ s V + sv1 0 + 39 Esempio 3 3/3 L equazione V V + sv s + 1 1 = = 0 1 porge V1 = V s E V + 1 (1/ s) (1+ 1/ s) Sostituendo in V1 = 1 1 1 + + 1 1 (1/ s) (1+ 1/ s) si ottiene V = s s E + s+ Funzione di trasferimento H() s = s s + s+ 40

Introduzione 41 Risuonatori I circuiti risuonatorisono particolari circuiti che hanno una funzione di trasferimento che presenta una banda molto stretta nell'intorno di una pulsazione che prende il nome di pulsazione di risonanza Risuonatori serie Risuonatori parallelo 4

Risuonatore parallelo 1/4 Funzione di trasferimento H( jω) = 1 1 1 jω C+ + j ω L R V() s 1 1 H() s = = R ( sl) As () sc = 1 1 sc + + sl R 43 Risuonatore parallelo /4 Funzione di trasferimento: 1 R H( jω) = = 1 1 jωc+ + ω ωo 1+ jq jω L R ωo ω Parametri del risuonatore parallelo: pulsazione di risonanza: fattore di qualità: ω = o o Q = ω RC 1 LC 44

Risuonatore parallelo 3/4 Spettro di ampiezza della funzione di trasferimento la banda è centrata nella pulsazione di risonanza al crescere di Q diminuisce la banda 45 Risuonatore parallelo 4/4 Larghezza di banda (a 3 db) della funzione di trasferimento la banda viene definita dall intervallo di pulsazione, dove lo spettro risulta nel margine di 3 db dal valore massimo per valori elevati di Q risulta: ωo B Q 46

Espressione generale di Q In un risuonatore arbitrario che funziona in regime sinusoidale alla pulsazione di risonanza: la somma W della energia sul condensatore e dell energia sull induttore, non varia nel tempo in un periodo viene dissipata un energia che è pari alla potenza attiva moltiplicata per il periodo il fattore di qualità Q è espresso anche dalla formula: W Q = π energia dissipata in un periodo 47 Esempio Valutare il fattore di qualità di un risuonatore che lavorando alla frequenza di f o = 1 MHz abbia una banda di B f = 1 khz risulta: 6 ωo fo 10 Q = = = = 1000 B B 3 10 f 48

Filtri attivi Per realizzare filtri si può evitare l utilizzazione di induttori con schemi circuitali utilizzanti amplificatori operazionali (filtri attivi) 49 Realizzazione di un risuonatore 1/ Un risuonatore o più in generale un filtro passa banda, può realizzarsi con lo schema in figura 50

Realizzazione di un risuonatore / Funzione di trasferimento: V R u f src e e H() s = = V R (1 + src )(1 + sr C ) i e e e f f Pulsazione di risonanza: ω = o 1 RCRC e e f f Fattore di qualità: RCRC e e f f Q = RC + RC e e f f 51 Introduzione 5

Rappresentazione grafica di H(s) È molto importante tracciare i diagrammi che riportano gli spettri di ampiezza (in db) e di fase delle funzioni di trasferimento Tali diagrammi si chiamano diagrammi di Bode 53 Scala logaritmica delle pulsazioni 1/3 Il campo di variabilità delle pulsazioni, può essere molto ampio Anziché riportare le pulsazioni, sull ascissa si riporta un segmento proporzionale a u = log ( ω) 10 riportare u anziché omega semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode con la scala logaritmica non è possibile rappresentare la pulsazione nulla 54

Scala logaritmica delle pulsazioni /3 sulla scala logaritmica si riportano segmenti proporzionali a u = log ( ω) 10 i numeri sulle tacche sono relative alla pulsazione u ω e non ad ottava decade ( u = log w ) 55 Scala logaritmica delle pulsazioni 3/3 La decade è l intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione che risulta 10 volte più grande L ottava è l intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione doppia ottava decade ( u = log w ) Risulta: 1 ottava = 0.3 decadi 1 decade = 3.3 ottave 56

Scala logaritmica delle ordinate Nei diagrammi di Bode lo spettro di ampiezza viene riportato in unità logaritmiche (db) riportare i db anziché le unità lineari semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode molte parti degli spettri di ampiezza sono approssimabili con porzioni di rette con pendenze multiple di ± 0 db/decade 57 Retta con pendenza di 0 db/decade Calcolare l ordinata in ω = 16 e ω= 5 = (log 16 log 10) 0 db/ decade 4dB 10 10 = (log 5 log 10) 0 db/ decade 6dB 1 10 10 58

Funzioni di trasferimento 59 Diagrammi di Bode 60

Generalità 1/4 Nelle reti a parametri concentrate, le funzioni di trasferimento sono funzioni razionali fratte la fattorizzazione dei polinomi numeratore e denominatore porta a: ( s z )( s z )..( s z ) ( )( )..( ) 1 m H() s = K s p 1 s p s p n K non dipende dalla pulsazione z 1, z,., z m sono gli zeri di H(s) p 1, p,., p n sono i poli di H(s) 61 Generalità /4 gli zeri e i poli possono essere reali o complessi (in coppie coniugate) gli zeri e i poli possono essere semplici o multipli nelle reti stabili i poli hanno parti reali non positive Lo spettro di ampiezza è definito da: H( jω) = 0log H( jω), 0 ω< db 10 6

Generalità 3/4 Proprietà importante dei logaritmi: H( jω) = K + jω z + jω z +... + jω z + db db 1 db db m db jω p jω p... jω p 1 db db n db jω z i db decibel relativi allo zero z i jω p i db decibel relativi allo zero p i 63 Generalità 4/4 H( jω) = K + jω z + jω z +... + jω z + db db 1 db db m db jω p jω p... jω p 1 db db n db A meno della costante K db, lo spettro di ampiezza di una funzione di trasferimento è dato dalla somma dei decibel degli zeri diminuiti della somma dei decibel dei poli 64

Punti critici 1/ Zeri e/o poli reali Per ogni zero o polo reale a, sull ascissa delle pulsazioni viene introdotto un punto critico definito da ω = a Determinare i punti critici della funzione di trasferimento I punti critici sono: s 3 s 3 H( s) = = s + 3s+ ( s+ 1)( s+ ) ω = 1, ω =, ω 1 3 punti critici di polo = 3, punto critico d izero 65 Punti critici / Zeri o poli complessi Gli zeri o i poli complessi coniugati semplici, implicano la presenza nella funzione di trasferimento del trinomio: s + ξωos+ ω0 dove il fattore di smorzamento ξ è: ξ < 1 s 1, = σ ± jω σ = ξω ω = 1 ξ ωo o Il punto critico per la coppia di zeri o poli complessi è dato dalla pulsazione ω o 66

Assunzioni Anche se è possibile tracciare i diagrammi di Bode per zeri o poli con parti reali positive, per semplicità saranno considerate solo reti strettamente stabili a fase non minima zeri e poli hanno parti reali negative 67 Maschera degli spettri di ampiezza Usare i db per le ordinate e la scala logaritmica per le ascisse, consentirà di approssimare gli spettri di ampiezza con delle spezzate La maschera di un diagramma di Bode è costitituita dalla spezzata che l approssima La maschera si traccia molto velocemente e si possono stimare i valori massimi degli errori che si commettono nell approssimazione In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni che bisogna conoscere su una funzione di trasferimento 68

Maschera di i db Decibel di uno zero reale semplice 1/5 s z = jω z i db Punto critico a=-z i Caso a=0. Zero nell origine. Risulta: jω db = 0log ω = 0u 10 La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza 0 db/decade 69 Decibel di uno zero reale semplice /5 Maschera di s z = jω z i db i db Punto critico a=-z i Caso a non nullo. Risulta: jω + a db = 0 log jω+ a = 10log( ω + a ) Per valori della pulsazione piccoli jω + a = 0 log( a) = a db db Per valori della pulsazione grandi jω + a = 0log( ω) = 0u db 70

Decibel di uno zero reale semplice 3/5 Maschera di s z = jω z i db i db Punto critico a=-z i 71 Decibel di uno zero reale semplice 4/5 Diagramma esatto di s z = jω z i db i db Punto critico a=-z i 7

Decibel di uno zero reale semplice 5/5 Maschera e diagramma esatto di s z = jω z i db i db Punto critico a=-z i Errore massimo nel punto critico ω = a jω + a a = 0log ja+ a a = 10log = 3dB db db 10 db 10 73 Decibel di un polo reale semplice 1/5 Maschera di 1/( s p) = 1/( jω p) i db i db Punto critico a=-p i Caso a=0. Polo nell origine. Risulta: 1/ jω = 0log ω = 0u db 10 La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza -0 db/decade 74

Decibel di un polo reale semplice /5 Maschera di 1/( s p) = 1/( jω p) i db i db Punto critico a=-p i Caso a non nullo. Risulta: 1/( jω + a) db = 0 log jω+ a = 10log( ω + a ) Per valori della pulsazione piccoli 1/( jω + a) = 0log( a) = a db db Per valori della pulsazione grandi 1/( jω+ a) = 0log( ω) = 0u db 75 Decibel di un polo reale semplice 3/5 Maschera di 1/( s p) = 1/( jω p ) i db i db Punto critico a=-p i 76

Decibel di un polo reale semplice 4/5 Diagramma esatto di 1/( s p) = 1/( jω p ) i db i db Punto critico a=-p i 77 Decibel di un polo reale semplice 5/5 Maschera e diagramma esatto di 1/( s p) = 1/( jω p) i db i db Punto critico a=-p i Errore massimo nel punto critico: ω = a a/( jω + a) = 10log = 3dB db 10 78

Diagrammi di Bode 79 Funzione di trasferimento da considerare Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: s+ jω + H() s = 7 = 7 s+ 9 jω + 9 Punti critici: ω = 1 ω = 9 punto critico di zero punto critico di polo 80

Punti critici 1/ s+ jω + H() s = 7 = 7 s+ 9 jω + 9 Punti critici: ω = ω 1 = 9 punto critico di zero punto critico di polo 81 Punti critici / La maschera si ottiene combinando la maschera relativa al punto critico (punto critico di zero) e quella relativa al punto critico 9 (punto critico di polo) Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al primo punto critico e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione 8

Maschera a sinistra del secondo punto critico Risulta: 83 Maschera a destra del secondo punto critico A sinistra del secondo punto critico 9 la pendenza della maschera è +0dB/dec a destra di 9, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto è orizzontale risulta: 84

Quotatura della maschera 1/4 Per quotare la maschera si considera il valore che si ha su di essa per valori di pulsazione omega molto piccoli s + Hm () s = 7 = 6 3 16dB s + 9 s 0 ( valore esatto 15.56dB) 85 Quotatura della maschera /4 Questo valore quota la retta orizzontale per omega minore di. Per quotare la retta orizzontale per omega maggiore di 9, bisogna calcolare la quantità 86

Quotatura della maschera 3/4 Tenendo conto che la retta tra il punto critico e il punto critico 9 ha pendenza di + 0 db per decade si ha: = 0( u u ) = 0(log 9 log ) = 9 = 9 10 10 = 3 + 3 = 10+ 10 6= 14dB db db db db db 87 Quotatura della maschera 4/4 La retta orizzontale per valori di omega maggiori del secondo punto critico 9, ha la quota di +16+14=+30 db 88

Spettro di ampiezza L andamento esatto dello spettro di ampiezza è indicato con tratto in nero 89 Stima errore massimo maschera 1/ Il punto critico è relativo ad uno zero. L errore si stima in 3dB: H( j) H ( j) + 3dB= 16+ 3= 19dB m (valore esat to 18.364 db) 90

Stima errore massimo maschera / Il punto critico 9 è relativo ad uno polo. L errore si stima in -3dB: H( j9) H ( j9) 3dB = 30 3= 7 db ( valore esatot 5.86 db) m 91 Diagrammi di Bode 9

Funzione di trasferimento da considerare Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: ss ( + 500) H() s = ( s+ 1)( s+ 100)( s+ 00) Punti critici: punti critici di zero: punti critici di polo: 0, ω = 500 4 ω = 1, ω = 100, ω = 00 1 3 93 Punti critici ss ( + 500) H() s = ( s+ 1)( s+ 100)( s+ 00) Punti critici: punti critici di zero: punti critici di polo: 0, ω = 500 4 ω = 1, ω = 100, ω = 00 1 3 Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione 94

Maschera a sinistra del punto critico 1 La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1), si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero ss ( + 500) s(500) s H() s = = = = H () s 0 a s ( s+ 1)( s+ 100)( s+ 00) (1)(100)(00) 40 s 0 95 Maschera a destra del punto critico 1 A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +0dB/dec a destra di 1, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto essa è nulla risulta: 96

Maschera a destra del punto critico 100 A sinistra del secondo punto critico non nullo 100 la pendenza della maschera è 0 db/dec a destra di 100, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto risulta 0 db/dec 97 Maschera a destra del punto critico 00 A sinistra del terzo punto critico 00 la pendenza della maschera è -0 db/dec a destra di 00, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto risulta 40 db/dec 98

Maschera a destra del punto critico 500 A sinistra del punto critico 500 la pendenza della maschera è -40 db/dec a destra di 500, per la presenza di un punto critico di zero, la pendenza della maschera deve aumentare di 0 db/dec e pertanto risulta 0 db/dec 99 Quotatura della maschera 1/5 Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli s Hm () s = H() s = s 0 40 100

Quotatura della maschera /5 Nel punto critico 1 il valore in db sulla maschera vale: j1 Hm(1) j = (1/40) db = 6 6 0= 3dB 40 101 Quotatura sulla maschera 3/5 Dal punto critico 1 al punto critico 100 la maschera ha la quota di -3 DB 10

Quotatura sulla maschera 4/5 Nel punto critico 00 tenendo conto della pendenza di -0 db/dec si ha una diminuzione di: = 0( u u ) = 0(log 00 log 100) = 6dB 1 00 100 10 10 H ( j00) = 3+ = 38dB m 1 103 Quotatura sulla maschera 5/5 Nel punto critico 500 tenendo conto della pendenza di -40 db/dec si ha ulteriore diminuzione di: 500 = 40log10 = ( 14 + 6) = 16dB 00 H ( j500) = 38+ = 54dB m 104

Spettro di ampiezza Il diagramma di Bode esatto dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento, è riportato in nero nella figura 105 Stima errore massimo maschera 1/4 Il punto critico 1 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB H( j) H ( j) 3dB = 3 3= 35dB m ( valore esatto -35. 08 db) 106

Stima errore massimo maschera /4 Il punto critico 100 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB H(100) j H (100) j 3dB= 3 3= 35 db ( valore esatto -35.85 db) m 107 Stima errore massimo maschera 3/4 Il punto critico 00 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB H( j00) H ( j00) 3dB= 38 3= 41dB m ( valore esatto -41.40 db) 108

Stima errore massimo maschera 4/4 Il punto critico 500 è relativo ad uno zero. L errore si stima in +3dB H( j500) H ( j500) + 3dB = 54+ 3= 51 db ( valore esatto -51.79 db) m 109 Diagrammi di Bode 110

Decibel di zeri o poli reali multipli Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli reali multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli reali semplici previa moltiplicazione per m L errore massimo si ha nei punti critici e vale + 3 m db o 3 m db a seconda se si tratta di zero o polo 111 Punti critici Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: () = 0 ( 10 4 )( 10 10 s+ s+ ) Hs s Punti critici: punti critici di zero: punti critici di polo: 0 ( doppio) ω = 10, ω = 10 4 10 1 Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione 11

Maschera a sinistra del punto critico 10 4 La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 10 4 ), si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero s s s Ha() s = Hs () = 0 = 0 = s 0 ( s+ 10 )( s+ 10 x ) 10 x10 x 10 4 10 4 10 13 s 0 113 Maschera a destra del punto critico 10 4 A sinistra del primo punto critico non nullo 10 4 la pendenza della maschera è +40dB/dec a destra di 10 4, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto è +0 db/dec 114

Maschera a destra del punto critico x10 10 A sinistra del secondo punto critico x10 10 la pendenza della maschera è 0 db/dec a destra di x10 10, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto risulta orizzontale 115 Quotatura della maschera 1/3 Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 10 4 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli s Hm () s = H() s = s 0 10 13 116

Quotatura della maschera /3 Nel punto critico 10 4 il valore in db sulla maschera vale: 4 4 (10 j ) 5 Hm(10 j ) = = 10 100dB 13 10 117 Quotatura della maschera 3/3 Dal punto critico 10 4 al punto critico x10 10 la maschera è una retta con pendenza di 0dB/dec Nel punto critico x10 10 tenendo conto della pendenza di 0 db/dec si ha: 10 10 x = 0( u 10 u 4) = 0log 10 10 10 = 6+ 10= 16dB x 4 10 118

Spettro d ampiezza Il diagramma di Bode esatto dello spettro d ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura 119 Stima errore massimo maschera 1/ Il punto critico 10 4 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB H j H j db 3dB 4 4 (10 ) (10 ) 3 = 100 3= 10 m ( valore esatto -103.01 db) 10

Stima errore massimo maschera / Il punto critico x10 10 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB H j H j db 3 db ( e esatto 3.01 db) 10 10 ( 10 ) m( 10 ) 3 = 6 3= valor 6dB 100dB 11 Diagrammi di Bode 1

Decibel di coppia di zeri complessi coniugati Una coppia di zeri complessi coniugati, implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio s + ξω s + ω o o ξ smorzamento ω o pulsazione 0< ξ 1 Una coppia di zeri complessi couniugati, introduce un punto critico definito dalla pulsazione ωo 13 Maschera coppia zeri complessi coniugati Per valori di s piccoli: s s + ξ + 1 1 ωo ωo Per valori di s grandi: s s s ξ 1 ω + + ω ω o o o s ω o s + ξ ω o + 1 db 14

Spettro ampiezza coppia zeri complessi coniugati Lo spettro d ampiezza dipende dallo smorzamento ξ 15 Errore massimo L errore massimo si ha nel punto critico ω o 1 e vale: ξ db 16

Esempio Per smorzamenti piccoli, l errore massimo rispetto alla maschera può assumere valori elevati se lo smorzamento vale 0.1 si ha: 1 1 = = 5 db 14dB ξ 0.1 db db 17 Decibel di coppia di poli complessi coniugati Una coppia di poli complessi coniugati implica la presenza al denominatore della funzione di trasferimento del trinomio: s + ξω s + ω o o ξ smorzamento ω o pulsazione 0< ξ 1 Una coppia di poli complessi couniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione ωo 18

Maschera coppia poli complessi coniugati Per valori di s piccoli: Per valori di s grandi: s s + ξ + 1 1 ωo ωo s s s + ξ + 1 ωo ωo ωo s ω o s + ξ ωo + 1 db 19 Spettro ampiezza coppia poli complessi coniugati Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ 130

L errore massimo si ha nel punto critico ω o Errore massimo e vale: 1 ξ db 131 Esempio Per smorzamenti piccoli, l errore massimo rispetto la maschera può assumere valori elevati 1 1 se lo smorzamento vale 0.1 si ha: = = 5 db 14dB ξ 0.1 db db 13

Decibel di zeri o poli c.c multipli Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli complessi coniugati multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli semplici previa moltiplicazione per m L errore massimo si ha nei punti critici ed a seconda se si tratta di zero o polo vale: 1 m ξ db 133 Diagrammi di Bode 134

Spettro di ampiezza di risuonatore parallelo 1/ Si voglia tracciare lo spettro di ampiezza del risuonatore parallelo C,L,R con funzione di trasferimento: 1 s s Hs () = = = sc+ + Cs ( + s+ ) o o sl R RC LC 1 1 1 1 Cs ( + ξω s+ ω ) dove: ω = o 1 LC 1 1 ξ = = ωorc Q 135 Spettro di ampiezza di risuonatore parallelo / Per semplicità sarà tracciata la funzione di trasferimento normalizzata definita da: H() s hs () = = ( s / ω ) o ξ R ( s/ ωo) + ξ( s/ ωo) + 1 136

Punti critici Punticritici: hs ( ) = ( s / ω ) o ( s/ ωo) + ξ( s/ ωo) + 1 punto critico di zero: 0 ( semplice) punto critico di poli c.c.: ω o ( semplice) Per costruire la maschera totale, si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione 137 Maschera a sinistra del punto critico La maschera a sinistra del punto critico si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero o ( s/ ω ) + ξ( s/ ω ) + 1 o o s 0 ω o ( s / ω ) hs () = = h () s = s/ ω a o 138

Maschera a destra del punto critico A sinistra del punto critico la pendenza della maschera è +0dB/dec a destra di ω o, per la presenza di un punto critico di coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 db/dec e pertanto diventa di -0 db/dec ω o 139 Quotatura della maschera 1/ Per pulsazioni a sinistra del punto critico la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli h () s = h () s = s/ ω m a o 140

Quotatura della maschera / Nel punto critico, il valore in db sulla maschera vale 0 db j o h ( jω ) = ω = 1 0dB m o ω o 141 Spettro di ampiezza Il diagramma di Bode esatto, dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento, è riportato in nero (per diversi valori dello smorzamento) 14

ω o Stima errore massimo maschera Il punto critico è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati (semplici). 1 L errore si stima in = QdB ξ db se lo smorzamento vale 0.1 si ha: Q= 5 14dB valore esatto h( jω ) = 13.98dB o 143 Diagrammi di Bode 144

Punti critici Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: Hs () = s + s 6 ( s+ 10)( s + 00s+ 10 ) Punti critici: punti critici di zero: punti critici di poli reali: 0, ω = 1 ( semplici) 6 10 1000, ξ 0.1 1 = 10 ( semplice) punto critico e smorzamento di poli complessi coniugati: ω o ω 00 = = = = ω o 145 Maschera a sinistra del punto critico 1 La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero ss ( + 1) sx1 s Ha() s = H() s s 0 = = = 6 6 7 ( s+ 10)( s + 00s+ 10 ) 10x10 10 s 0 146

Maschera a destra del punto critico 1 A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +0dB/dec a destra di 1, per la presenza di un punto critico di zero, la pendenza della maschera deve aumentare di 0 db/dec e pertanto diventa di 40 db/dec risulta: 147 Maschera a destra del punto critico 10 A sinistra del secondo punto critico non nullo 10 la pendenza della maschera è 40 db/dec a destra di 10, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto risulta 0 db/dec 148

Maschera a destra del punto critico dei poli c.c. A sinistra del terzo punto critico 1000 la pendenza della maschera è +0 db/dec a destra di 00, per la presenza di un punto critico dovuto ad una coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 db/dec e pertanto risulta 0 db/dec 149 Quotatura della maschera 1/3 Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli s Hm () s = H() s = s 0 7 10 Nel punto critico 1 il valore in db sulla maschera vale: 1 0log H [ j] = = 140dB 10 m 7 10 db 150

Quotatura della maschera /3 Dal punto critico 1 al punto critico 10 la maschera ha un incremento di: 10 1 = 40log = 40dB 1 Dal punto critico 10 al punto critico 1000 tenendo conto della pendenza di 0 db/dec un incremento di: 1000 = 0log = 40dB 10 151 Quotatura della maschera 3/3 Nei punti critici 1, 10 e 1000 la maschera ha rispettivamente la quota di -140 db, -100 db, -60 db 15

Spettro di ampiezza Il diagramma di Bode esatto, dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento, è riportato in nero nella figura 153 Stima errore massimo maschera 1/3 Il punto critico 1 è relativo ad uno zero. L errore si stima in +3dB: H( j) H ( j) + 3dB= 140+ 3= 137dB m (valore esatto -137.033 db) Il punto critico 10 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB: H(10) j H (10) j 3dB = 100 3= 103dB m ( valore esatto -10.966 db) 154

Stima errore massimo maschera /3 Il punto critico 1000 è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati. L errore si stima in: 1 1 = = 5dB = 14dB ξ 0.1 db db 155 Stima errore massimo maschera 3/3 Ne consegue: H(1000) j H (1000) j + 14dB = 60+ 14= 46dB ( valore esatto -46.01 db) m 156

Diagrammi di Bode 157 Procedimento La maschera di uno spettro di ampiezza può essere alcune volte determinata attraverso misure Con questo dato è possibile risalire alla funzione di trasferimento 158

Esempio 1/4 Determinare la funzione di trasferimento di un circuito sapendo che lo spettro di ampiezza ha la maschera indicata 159 Esempio /4 I punti critici al finito sono 3 e 15 Poiché a destra di 3 e 15 si ha diminuzione di pendenza, detti punti critici sono relativi a poli Poichè la discontinuità di pendenza non assume mai il valore di 40dB/dec, i punti critici 3 e 15 sono relativi a poli reali 160

Esempio 3/4 Poiché al sinistra del primo punto critico finito 3 la pendenza è di 40dB/dec, la funzione di trasferimento presenta s al numeratore: Forma della funzione di trasferimento: s H() s = K ( s + 3)( s + 15) 161 Esempio 4/4 Per valori elevatidi s si ha: s lim[ Hs ()] = lim[ K ] = K 19.1dB ( s+ 3)( s+ 15) s s Ne consegue: K = 9 s Hs () = 9 ( s+ 3)( s+ 15) 16

Diagrammi di Bode 163 Espressione della fase 1/3 Nel seguito discuteremo solo la presenza di zeri o poli semplici in quanto la presenza di zeri o poli multipli significa semplicemente (come avviene per lo spettro di ampiezza) la moltiplicazione per l ordine di molteplicità 164

Espressione della fase /3 Dalla funzione di trasferimento: ( s z )( s z )..( s z ) ( )( )..( ) 1 m H() s = K s p 1 s p s p n Risulta: < H() s =< K+< ( s z ) +... +< ( s z ) + < ( s p )... < ( s p ) 1 1 n m 165 Espressione della fase 3/3 La fase della funzione di trasferimento è, a meno di un valore costante, la somma delle fasi degli zeri meno la somma delle fasi dei poli 166

Punti critici Anche per gli spettri di fase è importante determinare i punti critici Essi rimangono gli stessi di quelli considerati nel caso di spettri di ampiezza 167 Assunzioni Anche se è possibile tracciare i diagrammi di fase per zeri o poli con parti reali positive, per semplicità saranno considerati solo reti strettamente stabili a fase non minima zeri e poli hanno parti reali negative 168

Maschera degli spettri di fase 1/ La scala logaritmica per le ascisse consentirà di approssimare anche gli spettri di fase con delle spezzate La maschera di uno spettro di fase è costituita dalla spezzata che l approssima Si definiscono due tipi di maschere: una più accurata e l altra più grossolana 169 Maschera degli spettri di fase / La maschera grossolana si traccia molto velocemente Anche se non si possono stimare gli errori la maschera consente di tracciare in modo accurato l andamento esatto dello spettro di fase In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni sullo spettro di fase 170

Spettro di fase di uno zero reale semplice Maschera di ( s z i ) punto critico a=-z i Caso a=0. Zero nell origine. Risulta: ( jω) = 90 o La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta orizzontale con il valore dell ordinata di 90 171 Maschera grossolana di uno zero reale semplice Maschera di ( s z i ) punto critico a=-z i Per valori piccoli di s la fase è nulla Per valori grandi di s la fase vale 90 17

Maschera accurata di uno zero reale semplice La maschera è costituita da una spezzata che è: nulla per pulsazioni più piccole di 0.1 a (una decade sotto) 90 per pulsazioni più grandi di 10 a (una decade sopra) il segmento che unisce il punto (0.1 a, 0) con il punto (10 a, 90 ) per pulsazioni comprese tra 0.1 e 10 a 173 Confronto tra valore esatto e maschera Maschera di ( s z i ) 174

Spettro di fase di coppia di zeri complessi coniugati Una coppia di zeri complessi coniugati implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio: s + ξω s + ω o o ξ smorzamento ω o pulsazione 0< ξ 1 Una coppia di zeri complessi coniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione ω o 175 Maschera grossolana di una coppia di zeri c.c Maschera di + + ( s ξωos ωo) Per valori piccoli di s la fase è nulla ( s + ξ ω + ω o s o ) Per valori grandi di s la fase vale 180 176

Spettro di fase di una coppia di zeri c.c Il valore esatto + + ( s ξωos ωo) dipende dallo smorzamento ( s + ξ ω + ω o s o ) 177 Spettri di fase relativi a poli Gli spettri di fase relativi ai poli si ottengono con un semplice cambiamento di segno rispetto a quelli relativi agli zeri 178

Diagrammi di Bode 179 Funzione di trasferimento che si considera Tracciare il diagramma di Bode (spettro di ampiezza e di fase) della funzione di trasferimento: H() s = 00 s + 14 + 44 + 40 3 s s s La determinazione dei poli richiede la soluzione dell equazione: 3 s s s + 14 + 44 + 40= 0 180

Poli Hs () = 00 s + 14 + 44 + 40 3 s s s Soluzione di: 3 s s s + 14 + 44 + 40= 0 Per ispezione una soluzione è s=- Le altre soluzioni si hanno da: 3 s s s + 14 + 44 + 40 s + = s + s+ s= s= 1 0, 10 181 Punti critici Punti critici: punti critici di zero: 0 ( doppio) punti critici di polo: ω = ( doppio), ω = 10 1 18

Maschera ampiezza a sinistra del punto critico La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto ) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero s Ha() s = Hs () s 0 = 00 = 5s ( s+ ) ( s+ 10) s 0 183 Maschera ampiezza a sinistra del punto critico 10 A sinistra del primo punto critico non nullo la pendenza della maschera è +40dB/dec a destra di, per la presenza di un punto critico di polo doppio, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 db/dec e pertanto è 0 db/dec 184

Maschera di ampiezza A sinistra del secondo punto critico 10 la pendenza della maschera è nulla a destra di 10, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 0 db/dec e pertanto risulta -0dB/dec 185 Quote sulla maschera di ampiezza 1/ Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli H ( s ) = H () s = 5 s m s 0 186

Quote sulla maschera di ampiezza / Nel punto critico il valore in db sulla maschera vale: H j j db m( ) = 5( ) = 0 6 187 Maschera di ampiezza definitiva 188

Spettro di ampiezza Lo spettro di ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura 189 Stima errore ampiezza 1/ Il punto critico è relativo ad un polo doppio. L errore si stima in - 6 db: H( j) H ( j) 6dB= 6 6= 0dB m ( valore esatto 19.83 db) 190

Stima errore ampiezza / Il punto critico 10 è relativo ad un polo. L errore si stima in - 3 db: H(10) j H (10) j 3dB= 6 3= 3 db (valore esatto.67 db) m 191 Maschera fase a sinistra del punto critico La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto ) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero s Ha() s = H() s s 0 = 00 = 5s ( s+ ) ( s+ 10) = = ( 5 s ) (5 ω ) 0 s 0 19

Maschera fase a sinistra del punto critico 10 A sinistra del punto critico la fase è zero a destra di, per la presenza di un punto critico di polo doppio, la fase deve diminuire di 180 o e pertanto vale -180 o 193 Maschera di fase A sinistra del secondo punto critico 10 la fase vale -180 o. a destra di 10, per la presenza di un punto critico di polo, la fase deve diminuire di 90 o e pertanto risulta 70 o 194

Spettro di fase 195