Lon 7 - Statstch fsch Parton d molt partcll macrostat mcrostat S s confrontano gl spttr n msson d un gas rarfatto d un flamnto rscaldato, la dffrna pù rlvant è ch nl prmo caso s ossrvano ln strtt bn dfnt n poson (frquna o lungha d onda), nl scondo l msson avvn su un contnuo d nrga S può affrmar ch tal dffrna è da mputars al fatto ch nl gas rarfatto l ntraon fra sngol atom mtttor sono trascurabl, pr cu lo spttro rlvato è ssnalmnt qullo dll atomo sngolo (transon dscrt), mntr nl flamnto gl atom (ch, prs sngolarmnt, s comportano ancora scondo uno schma quantato) sono part d un sstma a moltssm corp ntragnt, n modo tal ch l lgg ch govrnano spgano lo spttro ossrvato ono tnr conto dlla popolostà dl sstma stsso D qusto tpo d problm s ntrssa la mccanca statstca ch, a sconda dlla natura dl sstma nvstgato, può ssr d tpo sa classco ch quantstco C ntrssamo ora ad asptt ntroduttv pr nquadrar opportunamnt lo studo statstco dlla mccanca d sstm a molt corp, a prscndr dalla natura classca o quantstca dl sstma n sam Vrrà po prsa n consdraon la part classca dlla statstca Antutto è mportant crcar d nquadrar formalmnt l problma dl contggo o cnsmnto dgl stat d un sstma fsca a molt corp Prtanto c ntrssamo al caso n cu un dato numro (tpcamnt lvatssmo, anch s qusto non è rlvant a fn dll mpostaon dl problma) d partcll, N, ch possono occupar var stat dscrt d nrga (lvll, anch s n qusta fas non s ntnd con cò rfrrs splctamnt ad una stuaon quantstca) Pr ssr prcs, consdramo una squna dscrta d lvll d nrga, E,,,, ch vngono occupat dall N partcll scondo la squna n, n,, n, ossa l lvllo -smo d nrga è occupato da n partcll Supponamo pr ora ch l partcll sano dntch ma dstngubl (pr comodtà d contggo soltanto, po rmuovrmo qusta condon puttosto nconsstnt) E ora possbl calcolar l numro d mod possbl d popolar qusto sstma fsco Partndo dal prmo stato nrgtco, possamo scglr una qualunqu dll N partcll, pr cu v sono N mod d popolar l sstma Sccom voglamo sstmar n partcll, s tal numro è maggor d ( mnor d N), possamo contnuar dsponndo una sconda partclla a partr dall rstant N- Il numro d mod nta qund N(N ) S procd così fno ad avr sstmato tutt l n partcll nl prmo lvllo, scondo l numro total d possbltà dstnt N(N )(N ) (N n ) Qusto numro s può anch scrvr com N!/(N n )! In raltà, oprando n qusto modo stamo sovrastmando l numro d possbltà d dsposon n quanto l partcll sono gual, dunqu non dobbamo consdrar cas abc d acb com dstnt Tnndo dunqu conto d qust n! possbltà rmangono N!/[n!(N n )!] cas, ossa l prmutaon d N oggtt n class d n Passando al scondo lvllo, la procdura s rpt a partr ora da N n partcll, pr cu l numro d possbltà pr qusto lvllo rsulta par a (N n )!/[n!(n n n )!] d l numro total pr l I d l II lvllo, dato dal prodotto d qust du, rsulta qund dato da N!/[n!n!(N n n )!] Procdndo ancora fno al -smo lvllo, l numro total d possbltà d occupaon pr l sstma s scrv, gra ad una ovva smplfcaon, com W N! n! n! Ln! Qusto smplc rsultato è molto mportant: sso fornsc la moltplctà (o probabltà dlla statstca fsca) d un macrostato dl sstma S ntnd con tal trmn ndcar un assm d mcrostat, ossa d confguraon accssbl al sstma, tutt gualmnt probabl pr quanto rguarda la loro occupaon da part dll partcll Un macrostato, con moltplctà W, è un nsm d W mcrostat gualmnt probabl Pr qusta cntralssma assunon, maggor è W Statstch fsch -
pr un dato macrostato, maggor è la probabltà ch, spontanamnt, l sstma lo occup Pr charr qusto punto, utlamo numr pccol vdamo splctamnt cosa accad n trmn d occupaon Prndamo a tal scopo N4 partcll ch occupano un sstma a lvll (con nrg E, E, E ) A sconda d quant partcll s dspongono n qust stat (vncolat alla consrvaon sa dll nrga, n E +n E +n E E TOT, ch dl numro d partcll total, n +n +n N), ottrrmo dffrnt macrostat con dffrnt moltplctà, ossa numro d mcrostat I possbl macrostat s ottngono smplcmnt com parton ntr d N vncolat alla consrvaon dll nrga total S, ad smpo, l nrga total è par a untà approprat, cascuna partclla può assumr valor ntr dll nrga, macrostat ammss sono qull ch soddsfano alla n +n, n quanto l nrga dl prmo lvllo (con popolaon n ) è nulla Dovndo rsultar n +n +n 4, macrostat prmss sono [n n n ][0] [0], ossa, rspttvamnt, partcll nl I lvllo d nl tro ovvro sa nl I ch nl II lvllo S sottolna ch, n qusto modo, v sono n tutto 4 partcll con nrga total gual a untà approprat Qust du macrostat hanno moltplctà rs, ossa sono dat n trmn d un numro corrspondntmnt rso d mcrostat Il calcolo fa uso dlla rlaon sopra ottnuta Pr l I macrostato, [0], s ottn W [0] 4!/(!0!!)4, pr l II macrostato, [0], s ottn W [0] 4!/(!!0!)6 In altr trmn, sstono 4 mcrostat assocat al macrostato [0] 6 al macrostato [0] Qust sono faclmnt nduabl n trmn d dsposon ammss d partcll, ad smpo, con possbltà nl I lvllo d nl III S dnotamo con abcd l partcll (rcordamo ch sono gual ma dstngubl), l 4 confguraon sono dat da abc+d, abd+c, bcd+a acd+b Non dobbamo contar com rs mcrostat abc+d, ad smpo, acb+d Da un punto d vsta pù fsco, la costruon svolta fno a qusto punto spga, almno n suo tratt ssnal, l voluon spontana d sstm ralstc ch possono scglr fra var macrostat a loro dsposon: automatcamnt l sstma dsporrà l partcll nlla confguraon ch massma l numro d mcrostat, cò a causa dlla natura casual dll voluon d sstm a moltssm partcll S la dscron appna ctata ad smpo s rfrss all confguraon d un gas a 4 partcll, ssndo tutt 0 mcrostat con nrga gual a gualmnt probabl, coè accssbl all partcll, sarà l macrostato pù popoloso d mcrostat (dunqu l [0] rsptto l [0]) ad ssr sclto, smpr statstcamnt parlando In altr parol ancora, s l sstma vn prparato nalmnt nllo stato [0] non s assstrà a un rassstamnto spontano vrso lo stato [0], ch pur ha la stssa nrga, prché cò rchdrbb una concntraon d nformaon ch l sstma non può prmttrs d ottnr sna apport strn (vntualmnt nrgtc) Al contraro, a partr dallo stato [0] l sstma volvrà spontanamnt vrso lo stato [0] prché cò massma l numro d mcrostat occupat S non foss ancora charo, stamo rproponndo n vst probablstca l II prncpo dlla trmodnamca S not noltr ch lo stato pù probabl è anch qullo con pù partcll nl lvllo a bassa nrga (tr con nrga nulla d una con nrga doppa) Il lvllo mno probabl ha du partcll con nrga untara du con nrga nulla D fatto, s potrà ossrvar ch sst una prcsa rlaon ch lga la statstca d occupaon d lvll nrgtc con la statstca d popolaon appna dscussa Pr puntualar ultrormnt (a costo d smbrar ccssv), la connsson fra macrostat, mcrostat statstca può trovar un valdo paragon nl goco dll cart, ad smpo l por In qusto goco s possono contar 598960 man dstnt, ossa combnaon d 5 cart ch possono captar Sono tutt quprobabl, ossa sono crca du mlon mo d mcrostat accssbl pr qusto sstma Tra qusto numro grandssmo d mcrostat, sstono d macrostat tanto pù ambt da gocator quanto mno popolos, ossa mprobabl La scala ral (squna dal 0 all asso d un dato sm) è fatta da solo quattro mcrostat fra tutt qull possbl (l combnaon d scala pr quattro sm) Ovvamnt qusto spga l valor d qusta mano Ma una qualunqu altra mano, ad smpo 4C-5Q-JP-F-F, è altrttanto probabl quanto la scala ral o un por E l fatto d non attrbur puntggo alla mano qualunqu scrtta sopra ch n annulla l valor Ma la sua probabltà è la stssa dlla scala ral (an, è quattro volt pù pccola prché d scal ral n sstono quattro!) Statstch fsch -
Parton pù probabl: dstrbuon d Mawll-Boltmann Ora è mportant stablr, n bas a smplc rsultat ottnut, qual sa la confguraon pù probabl da un punto d vsta quanttatvo: s è gà capto ch, qualtatvamnt, qusta vrrà raggunta n corrspondna dll occupaon dl macrostato con massmo numro d mcrostat dsponbl compatblmnt con la consrvaon dll nrga dl sstma Pr sgur l calcolo modfchamo l rsultato prma ottnuto da du punt d vsta Antutto, rconoscamo ch lvll nrgtc potrbbro avr ps statstc dffrnt (com accad ad smpo quando dll nrg sono dgnr n mccanca quantstca) Chamando g l pso dllo stato -smo, quando n partcll occupano lo stato, la probabltà d occupaon va moltplcata pr g n Po rmuovamo la dstngubltà dll partcll, pr cu l rsultato fnal va so pr N! s scrv W N! n n g g Lg N! n! n! Ln! n n g n! Il calcolo prosgu crcando la confguraon ch massma qusta granda E convnnt comunqu ottnr l massmo dl logartmo natural d W: lnw ( n ln g ln n!) ; utlando l approssmaon d Strlng, ln(!) ln, d l fatto ch Σn N, s scrv ln W N n ln( n / g ) Pr trovar l massmo dffrnamo qusta rlaon, ncludndo la consrvaon dl numro d partcll, pr la qual Σ dn dn0; rman la dw0 quvalnt alla dn ln( n / g ) 0 S l varaon d n fossro arbtrar la soluon sarbb smplcmnt n g, ma dobbamo applcar la consrvaon dll nrga dl sstma, nlla forma dl vncolo Σ E dn 0 L quaon può ssr rsolta adottando la tcnca d moltplcator d Lagrang ntroducndo du paramtr, α β, ch s assocano a vncol sul numro total d partcll sull nrga total dl sstma scondo l sprsson data da dn [ln( n / g ) +α+βe ] 0, dalla qual s ottn subto ch n g p[ ( α+ βe )] E consutudn rscrvr la consrvaon dl numro d partcll scondo la NΣ n Σ g p( α)p( βe ) p( α)σ g p( βe ) Zp( α), dov ZΣ g p( βe ) è la funon d parton dl sstma qund n (N/Z)g p( βe ) Qusta sprsson, ch fornsc l numro d partcll ch popolano un dato lvllo n conformtà alla rchsta d massma probabltà, sgu la lgg sponnal dtta dstrbuon d Mawll-Boltmann Statstch fsch -
E ora possbl applcar qusto rsultato ad un caso pratco pr comprndr mglo l sgnfcato dlla dstrbuon Consdramo l caso n cu un numro abbastana grand d partcll (N4000) ha a dsposon tr lvll quspaat (pr smplfcar l calcolo) d nrga, ossa E 0, E, E, tutt con la stssa probabltà d occupaon (g ) Scglamo arbtraramnt d collocar l 4000 partcll scondo la dstrbuon data da n 000, n 700 n 00, confrontamo l probabltà dlla confguraon assgnata con qulla nlla qual una sngola partclla passa dal lvllo ntrmdo a qullo nfror d una a qullo supror, n ossrvana dlla consrvaon dll nrga Utlando drttamnt la W/(n!n!n!) (ssndo l g ), l probabltà pr l du confguraon stanno nl rapporto W W ' 00!698! 0! 000!700! 00! 00 0 700 699 0 Cò sgnfca ch la probabltà d modfcar (su una popolaon d 4000 partcll) la confguraon d du sol collocaon nrgtch (la partclla ch passa dal lvllo ntrmdo a qull supror d nfror) vara d quas cnqu volt Il rsultato mplca ch l sstma è bn lontano da una confguraon stabl, d qulbro Il fatto è ch, dalla dstrbuon d Mawll- Boltmann, c s asptta una popolaon ch dcrsc sponnalmnt con l aumntar dll nrga La confguraon assgnata n qusto smpo ha tropp partcll n lvll cctat rsptto l fondamntal d nrga Pr calcolar qual sa la confguraon alla qual l sstma tnd spontanamnt, utlamo drttamnt la lgg d Mawll-Boltmann, data la confguraon nal d popolaon, n +n +n 4000, d nrga, E n +E n +E n 00, nonché n (N/Z), n (N/Z)p( β), n (N/Z)p( β) Posto p( β), s può faclmnt rcondurr l sstma d du quaon ad una sngola quaon pr ch rsolta dà 050 I valor corrspondnt pr l popolaon sono n 77, n 46, n 577 Utlando qust nuov numr pr un confronto d probabltà com qullo fatto sopra pr la transon d una sngola partclla fra lvll adacnt portrbb a mostrar ch l sstma è ffttvamnt n una confguraon stabl (l probabltà dll du confguraon rsultano ssnalmnt l stss) Com vdrmo nl prossmo captolo, ddcato alla mccanca quantstca, v sono cas n qual la dstrbuon d Mawll-Boltmann non è adatta alla dscron d molt stuaon d rlvana fsca notvol, com la conduon trmca/lttrca n un soldo, l comportamnto dgl lttron n un mtallo, la radaon trmca In qust stuaon bsogna tnr conto splctamnt dlla natura quantstca dll partcll convolt In partcolar, gl schm d occupaon dscuss fno a qusto punto vanno modfcat da du punt d vsta: antutto l partcll dlla mccanca quantstca sono ndstngubl La consguna mmdata d qusto fatto (lgato al prncpo d ndtrmnaon, ch mpon lmt prcs all ossrvabltà d dtrmnat dttagl d un sstma) è ch la moltplctà d tutt macrostat nta untara Bsognrà po tnr conto, nl caso d lttron o d altr partcll a spn smntro, dl prncpo d scluson d Paul In qusto caso, du lttron non potranno occupar lo stsso mcrostato prché cò rchdrbb l guaglana d loro numr quantc Dstrbuon dll vloctà dll molcol n un gas classco C ntrssamo ora d un caso partcolar d dstrbuon statstca, ch rntra nllo schma d contggo d popolaon d grand numr d partcll prma dscrtta, ma ch ha anch autonoma logca concttual Parlamo dlla dstrbuon dll vloctà ( dll nrga) d un gas classco d molcol non ntragnt (gas dal) La dstrbuon può ssr drvata a partr da consdraon spcfch sulla tora cntca statstca, ma trova anch gustfcaon abbastana rgorosa a partr da pots gnral d sotropa dllo spao nl qual l partcll dl gas s muovono C s pon l problma d dtrmnar, pr un dato gas (coè una data massa) ad una data tmpratura (o altr coordnat trmodnamch rlvant) l numro d molcol pr untà d volum Statstch fsch - 4
ch possggono una data vloctà o, mglo, la cu vloctà (ntsa pr ora vttoralmnt) è comprsa n un dato ntrvallo d valor (è la natura ntrnscamnt statstca dl problma ch prvlga lo studo d ntrvall d vloctà puttosto ch valor prfttamnt dfnt) Consdrando l quvalna fra l partcll d gas l sotropa trdmnsonal dllo spao la dstrbuon d una qualunqu componnt cartsana dlla vloctà dovrà avr dstrbuon cntrata attorno al valor nullo smmtrcamnt dsposta attorno ad sso Esstono vald motv (ch qu non approfondamo) pr assgnar a tal dstrbuon una lgg d tpo gaussano, ch scrvamo dunqu nl modo sgunt: bv f ( v ),,, A Con tal sprsson s ndca l numro d partcll pr untà d volum ch possdono vloctà con componnt,, comprsa nll ntrvallo d valor [v, v + ] Pr ottnr la dstrbuon dl modulo dlla vloctà v, s stnd l pots d dstrbuon sopra scrtta n tr dmnson: f ( v, v, v ) A A A bv bv bv A bv v Voglamo dtrmnar ora la f(v), con v(v + v + v ) / A tal scopo ossrvamo ch l lmnto d volum può ssr rcondotto al volum dl gusco sfrco d raggo suprfc 4πv Val dunqu la rlaon sgunt pr la dstrbuon d vloctà (dstrbuon d Mawll- Boltmann pr l gas rarfatto): f ( v) 4π A bv v L andamnto rportato nl dsgno vdna l fatto (attso) ch l vloctà s dstrbuscono n modo ch valor strm (molto pccol o molto grand) sono poco probabl Vdamo d sguto d carattrar pù prcsamnt la dstrbuon fssando paramtr pr ora arbtrar A b La dstrbuon d vloctà è dtrmnabl sprmntalmnt con ccllnt prcson d n ottmo accordo con l modllo torco Com rportato nl dsgno, s utla un sstma dtto d choppng, nl qual du ruot coassal ntrcttano un fasco d molcol msso da un forno a tmpratura fssabl a pacmnto L scanalatur nll ruot sono tal ch, n funon dlla vloctà d rotaon dl sstma, al rlvator gungono solo l molcol ch possggono una vloctà comprsa fra valor dtrmnat n nfatt dalla vloctà con la qual l choppr sta ruotando Statstch fsch - 5
La dtrmnaon d paramtr A b è ottnuta a partr da du condon ndpndnt sulla natura dl sstma dscrtto Il paramtro A è una costant d normalaon ch s fssa rchdndo ch 0 f ( v) n, dov n è l numro d partcll pr untà d volum (a prscndr dall vloctà ch ss possggono) Il paramtro b s dtrmna chamando n causa un asptto fondamntal dlla tora cntca d gas prftt, ossa ch l nrga cntca mda dll molcol è lgata alla tmpratura assoluta tramt la rlaon <E > B T/, con B costant d Boltmann L nrga cntca mda s calcola a partr dalla < E > mv f ( v) BT n 0 Mttndo assm qust rlaon s gung al rsultato fnal: / m B f ( v) 4πn v BT π Ossrvamo ch la dstrbuon d vloctà dpnd sa dalla massa dll partcll ch dalla tmpratura dl gas Il grafco rportato c vdna ch con l aumntar dlla tmpratura la dstrbuon s sparpagla attorno al cntro d massma probabltà, ch a sua volta s sposta vrso valor d vloctà smpr pù grand, n accordo con quanto c s può aspttar n bas alla tora cntca d gas E anch possbl passar allo studo dlla dstrbuon n nrga, smpr a partr dalla lgg d Mawll-Boltmann Essndo Emv /, possamo scrvr demv pr cu de/(mv)de/(me) / Sosttundo nlla dstrbuon pr l vloctà ottnamo subto la rlaon crcata: mv T E BT f ( E) de n de π T Notamo ch, a dffrna dl caso dll vloctà, qusta dstrbuon non dpnd dalla massa dll partcll: pr una data tmpratura tutt gas possdono la stssa dstrbuon statstca d nrga cntca Qusto rsultato, d ovva mportana, non è comunqu d gnraltà suffcntmnt ampa da potrlo applcar ad altr cas d ntrss alla statstca classca: l partcolar pots fatt sulla rlaon fra vloctà d nrga (solo cntca n qusto caso) ono ssr rvst s l tpo d ntraon da studar nl sstma è d natura rsa La gnraltà dl rsultato s lmta a potr prvdr pr qualunqu tpo d nrga consdrata un andamnto sponnal scondo la rlaon data da Statstch fsch - 6 B E
f MB E BT ( E), A mntr la natura spcfca dll nrga n goco condurrà ad una dnstà d stat, g(e), pr la qual la dstrbuon d probabltà pr l nrga è dl tpo W(E)g(E) f MB (E) Abbamo gà vsto l caso n cu la dnstà dgl stat (dfnta com moltplctà propra d lvll) goca un ruolo ssnal nlla dtrmnaon dlla dstrbuon d popolaon d lvll Qusto modo d procdr va stso nllo stsso sprto alla dtrmnaon dlla dnstà d stat n una dstrbuon d Mawll-Boltmann Possamo ad smpo calcolar la popolaon rlatva n un gas d drogno atomco a tmpratura ambnt (9 K) dl I lvllo cctato (n, E0 V) A tal scopo è ncssaro calcolar l fattor d dnstà g(e) rcordando ch, pr l drogno atomco, la dgnraon è data da n (l fattor vn da sottolvll d spn) Dunqu g pr l fondamntal g8 pr l I lvllo lttronco cctato L costant d normalaon sono l stss pr du stat, pr cu l rapporto d probabltà d occupaon è smplcmnt dato da W ( E ) W ( E ) g( E ) g( E ) ( E E ) BT 06 0 75 In bas a qusto rsultato, la probabltà d trovar un atomo cctato d drogno a tmpratura ambnt è tal ch, pr trovarn uno soltanto, è ncssaro contar su una massa d drogno par a crca 0 48 g, ch è molto maggor dlla massa dll ntro unvrso! 4 Caso quantstco, partcll con spn sm-ntro: dstrbuon d Frm-Drac Com accnnato nl prcdnt captolo, al cosptto d fnomn ch rchdono una trattaon quantstca, l procdur d contggo d molt partcll dfnt nl caso classco ono ssr rvst Cò è rchsto da du asptt pcular dl comportamnto quantstco dlla matra: l partcll sono ndstngubl (oltr ch dntch) possono ssr soggtt a vncol dl prncpo d scluson d Paul Qusto va applcato al caso d partcll dtt frmon, ossa dotat d spn sm-ntro, com lttron proton L partcll ch hanno spn ntro (com foton, nucl atomc par, ossa con numro par d nuclon d ntramb l spc) sono dtt nvc boson Non sono soggtt a lmt mpost dal prncpo d scluson s comportano n modo sostanalmnt rso da frmon, com dscutamo nl paragrafo succssvo Antcpamo solo ch l statstch pr cas classc o quantstc (sa bosonc ch frmonc) convrgono allo stsso rsultato quando l tmpratur sono lvat l dnstà d partcll suffcntmnt bass S s consdra ora un nsm d frmon, partcll gual, ndstngubl soggtt al prncpo d scluson d Paul (nssuna partclla può avr lo stsso nsm d numr quantc d un altra partclla), la tcnca d contggo pr una parton d N frmon su stat d nrg E è faclmnt rprsa d adattata dal caso classco Nl caso quantstco, com gà accnnato, è ssnal trattar la probabltà ntrnsca (g ) d ogn stato com dgnraon dl lvllo, nl snso puramnt quantstco dl trmn: nl caso d lttron nl campo d un nuclo atomco, ad smpo, la dgnraon ntrnsca (mnma) è smpr g ; nl caso d un partclla n campo cntral d for con momnto angolar quantato da l, la dgnraon ntrnsca è data da g l(l+), così va La procdura d parton (contggo dll n partcll nllo stato E ) è ora vncolata alla rchsta ch n g, causa l prncpo d scluson: nl lvllo assgnato non possono vnr collocat pù partcll dlla dgnraon ntrnsca dl lvllo stsso E dunqu possbl collocar n qusto lvllo l numro d partcll dato da g (g ) (g ) (g n +)g!/(g n )! L Statstch fsch - 7
partcll sono ndstngubl, pr cu dobbamo dr qusto numro pr n!, la confguraon complssva (tnndo conto d lvll) ha moltplctà data dal prodotto dll moltplctà d sngol lvll, pr cu W g! n )! n!( g A qusto punto s procd com gà fatto pr l caso classco, ossa s dtrmna la massma probabltà d occupaon dl sstma, annullando la drvata dl logartmo natural d W soggtto a vncol d consrvaon dl numro total d partcll dll nrga Il rsultato è n A+ be g, + nlla qual l paramtro b ha lo stsso sgnfcato dl corrspondnt trmn classco, b/( B T) mntr A s dtrmna a partr dalla normalaon sul numro total d partcll, Σ n N S usa prò ntrodurr una notaon spcal pr A, ponndo ε F A B T, dov ε F è dtta nrga d Frm In bas a qusta dfnon, la dstrbuon rsultant, dtta d Frm-Drac, è data da g n ( E εf ) / BT + L nrga d Frm è una granda pr lo pù postva dpnd molto dbolmnt dalla tmpratura L andamnto d qusta dstrbuon è molto partcolar ncssta d qualch commnto Sccom l trmn sponnal a dnomnator ha rs lmt pr T 0 a sconda ch rsult E maggor o mnor d ε F, c s asptta ch tal nrga d Frm goch un ruolo dstntvo nll andamnto dlla dstrbuon Fscamnt, l prncpo d scluson prclud n ogn caso un sovraffollamnto dgl stat a frmon: la dstrbuon d Mawll-Boltmann prvd ch pr bass tmpratur sa lo stato a g ε F mnor nrga ad ssr popolato smpr pù n proporon a lvll cctat Nl caso d frmon, la massma popolaon sarà smpr comunqu data dalla dgnraon quantstca d lvll, g Dunqu, nl lmt d tmpratura tndnt a ro, c aspttamo ch l partcll rmpano tutt lvll ad nrga mnma compatblmnt con l prncpo d scluson N consgu un rmpmnto d stat ad nrga comunqu crscnt (fno ad avr saurto l partcll a dsposon) Cò avvn n corrspondna dll nrga d Frm, com praltro è bn vdnato dal grafco ch rporta la popolaon d Frm-Drac pr T0 Pr tmpratur non null, s assstrà alla promoon d un crto numro d frmon a lvll cctat vcn all nrga d Frm: sono qust gl unc ch possono ssr promoss sna causar Statstch fsch - 8 T0 T bassa T alta ε F
rassstamnt dspndos d nrga d lvll pù bass, lontan dall nrga d Frm Com s può ntur dal grafco, l rassstamnto nrgtco a tmpratur non null è comunqu lmtato a pccol fftt s non s chamano n causa tmpratur tpcamnt molto lvat Nl dsgno è schmatata la stuaon pr lttron (g ), s ossrva com lvll (copp d lttron) possono ssr cctat vcno all nrga d Frm Vdrmo n sguto com applcar qusto rsultato ad una stuaon d ntrss fsco concrto 5 Partcll con spn ntro: dstrbuon d Bos-Enstn Consdramo ora l problma dlla popolaon d lvll nrgtc pr partcll dntch, ndstngubl ma non soggtt al prncpo d scluson d Paul Il calcolo dlla moltplctà d macrostat è ancora una volta rconducbl all tcnch gà utlat n cas classc dlla statstca d Frm-Drac In partcolar, la dgnraon d lvll, o probabltà ntrnsca, non è pù tal da lmtar suprormnt la popolaon d lvll stss (l scluson non s applca) V sono, pr ogn stato con nrga E, n partcll da collocar dstrbundol (sono ndstngubl) su g stat dgnr Ad smpo, con n g, la partclla può occupar uno qualunqu d tr stat dgnr Con n, l partcll a, b possono ssr collocat scondo lo schma d occupaon [ab ], [ ab ], [ ab], [a b], [a b ], [ a b] Non ncludamo ovvamnt l prmutaon fra a b prché l partcll sono dntch In gnral, s hanno (n +g )! mod assocat all prmutaon d n partcll n g confguraon, ch vanno rdott d n! mod prché l partcll sono dntch d (g )! mod pr tnr conto dlla dgnraon dl lvllo Rstano dunqu (n +g )!/[n!(g )!] mod d dsporr l partcll nllo stato -smo La moltplctà total, ancora una volta, è dato dal prodotto dll moltplctà d sngol lvll, pr cu W ( g + n )! )! n!( g Applcando l tcnch d massmaon vncolat gà dscuss prma s gung alla forma dlla dstrbuon dlla popolaon d lvll bosonc, dtta dstrbuon d Bos-Enstn data da n A+ be g, dov ancora l paramtro b è collgato alla tmpratura assoluta dl sstma d A è lgato alla consrvaon dl numro total dll partcll E consutudn assgnar la dstrbuon d Bos-Enstn nlla forma g n E / BT A Nonostant la strtta somglana con la dstrbuon d Frm-Drac, l sgnfcato fsco dlla lgg bosonca d occupaon statstca è totalmnt dffrnt, n quanto ora non sst nssun vncolo supror all occupaon d un qualunqu lvllo nrgtco In partcolar, pr tmpratur tndnt a valor smpr pù pccol, s assst ad un ammassamnto d boson nl lvllo pù basso d nrga, fnomno noto com condnsaon d Bos-Enstn L andamnto dlla dstrbuon è smplcmnt sponnal: l paramtro A dpnd poco dalla tmpratura (al contraro dl trmn corrspondnt nlla lgg d Frm-Drac, ch nfatt assgnava l nrga d Frm dl sstma), pr pccol dnstà l paramtro A è grand dunqu la lgg approssma la dstrbuon d Mawll-Boltmann A dnstà lvat la statstca n nvc puramnt quantstca non è pù possbl utlar lo schma classco Rsptto la lgg classca, la Statstch fsch - 9
dstrbuon d Bos-Enstn a bass tmpratur prvlga l partcll ch condnsano nl fondamntal nrgtco 6 Applcaon dlla statstca d Bos-Enstn: gas d foton formula d Planc Consdramo ora, com spcfca applcaon dlla dstrbuon statstca pr partcll bosonch, lo studo d un gas d foton, ossa un volum d spao nl qual ond lttromagntch sono n qulbro trmco con l part dl contntor: s tratta d una rapprsntaon classca dl sstma fsco ch ha condotto alla catastrof ultravoltta pr l andamnto dlla dnstà d radaon mssa da un corpo nro rsolto dall pots d quantaon d Planc d Enstn In qusto smpo, consdramo la radaon quantata, ossa dscrtta com un numro varabl d foton (varabl n quanto ss vngono contnuamnt crat/dstrutt pr ntraon con gl atom dl contntor) Sccom foton sono con spn ntro, applchamo la statstca d Bos-Enstn Il paramtro A non è rlvant n qusto caso, n quanto sso è lgato alla dnstà dl sstma ch, vst l craon/dstruon, d foton, non è costant Pù mportant è la dtrmnaon dl trmn d dnstà d stat, g(e) I foton, trattat com partcll quantstch, rapprsntano l ond lttromagntch ch, pr soddsfar l condon al contorno con l part conduttrc dl contntor, ono vnr assocat con ond d matra ch s annullano a bord Cò conduc, com gà stablto n prcdna, a dll rgol d quantaon prodch pr l numro d onda dunqu la quanttà d moto d foton Dall condon d quantaon a πn a /L, a,,, ssndo p a ħ a, a,,, s ottn ch d, ssndo pr foton Epc, s ha ch h p p + p + p h + + n + n + n, L hc E n + n + n L C ntrssa ora ottnr la dnstà dgl stat, g(e) A tal scopo, consdramo uno spao trdmnsonal con coordnat cartsan n, n, n >0, raggo n + n + n, lmnto d volum (sfrco) 4πn dn C s lmtar ad un ottant d sfra, s consdrano mod d polaraon dstnt, pr cu la dnstà s scrv g(n)dn (/8) 4πn dn Dalla Ehcn/(L), ossa de(hc/l)dn, s ha ch g(e)de8πl E de/(h c ) La dstrbuon (d Bos-Enstn, appunto) ssr scrtta nlla forma g(e)f BE (E), ossa ( 8πL E W E) / T E B h c E possbl convrtr qust sprsson nlla lgg d Planc prcdntmnt consdrata scrvndo la dnstà d nrga pr untà d volum (radana) Abbamo dunqu ottnuto ch l modllo d quantaon dlla radaon lttromagntca, ch è n ccllnt accordo con lo spttro d msson ossrvato pr un corpo nro n qulbro trmco, è pnamnt gustfcato da una trattaon statstca nlla qual foton sono dscrtt n trmn d una statstca quantstca d tpo bosonco Statstch fsch - 0
7 Applcaon dlla statstca d Bos-Enstn: capactà trmca d sold In un soldo ordnaro, l proprtà lttrch conduttv n gnral sono rgolat da lttron d conduon, coè dotat d mobltà rlatvamnt lvata La propagaon d ond mccanch al suo ntrno, nvc, sono spgat chamando n causa l comportamnto dl rtcolo atomco, ossa dllo schltro d atom attorno al qual gl lttron pù strn, quas com un mar d carca lttrca, s muovono con rlatva facltà I calor spcfc, ossa l capactà trmch pr untà d massa/volum vngono dscrtt spgat n gnral chamando n causa sa gl lttron d conduon ch l mass atomch dl rtcolo Pr tmpratur non troppo bass l contrbuto prdomnant a qusto tpo d fnomn è qullo dovuto a mot dl rtcolo, mntr s trascura l ruolo gocato dagl lttron strn S può pnsar ch, con l apporto nrgtco al mo, l oscllaon atomch attorno all poson d qulbro aumntno d ampa Consdrando un smplc modllo d quantaon armonca, l contrbuto all nrga ntrna al soldo può ssr scrtto com EN A B T, n quanto s consdrano B T/ untà d nrga pr ogn grado d lbrtà ntrno, pr l oscllaon armonca v n sono du, con tr grad spaal d moto Il calor spcfco, dato da CdE/dT, s scrv dunqu com C R, avndo ntrodotto la costant d gas, RN A B Qusta è nota com lgg d Doulong-Ptt, d affrma ch l calor spcfco è ndpndnt sa dal matral consdrato ch dalla sua tmpratura Sprmntalmnt, s ossrvano fort aon da qusta lgg pr tmpratur molto bass In partcolar, quando T 0, anch la capactà trmca tnd a ro Samo nuovamnt al cosptto dl fallmnto classco d una tora pr una stuaon ch ncssta d una dscron quantstca La soluon dl problma vn da Enstn, ch assum pr gl atom dl rtcolo una quantaon armonca scondo una popolaon statstca d tpo bosonco I mod d vbraon dgl atom dl rtcolo vngono chamat fonon, sono l corrspondnt vbraonal mccanco d foton, quant d radaon lttromagntca Antutto, Enstn propon una vrson smplfcata dl modllo, pr la qual tutt fonon hanno la stssa frquna Ogn fonon ha nrga quantata scondo la consuta ħω(n+/) L nrga pr mol s ottn com prodotto d tr fattor: l nrga pr ogn fonon nl fondamntal, ħω, la dnstà molar d fonon, N A, la dstrbuon d Bos-Enstn, pr cu: E / mol N Ah ω ; hω / BT l calor spcfco s ottn dalla CdE/dT, pr cu hω C R BT hω / BT hω / T ( ) B Scondo qust sprsson, quando la tmpratura tnd a valor pccol l calor spcfco ha un ω / T andamnto dato da h B 0, n buon accordo con dat sprmntal E mportant aggungr ch l modllo qu prsntato ha succsso solo qualtatvo, n quanto s ossrva ch l calor spcfco tnd a ro con la tmpratura scondo una lgg d potna (T ) non sponnal Il modllo corrtto, dovuto a Db, tn conto splctamnt d una dstrbuon d nrga d fonon dl rtcolo, mntr la tora smplfcata d Enstn assgna a qust com gà dtto l stss frqun Altr, mportant cas d anals basata sulla statstca bosonca rguardano gl spsso sorprndnt comportamnt dll atomo d lo 4 (coè con massa atomca 4, du nutron du proton nl nuclo), ch a tmpratur suffcntmnt bass prsnta carattrstch suprflud, ossa con fludtà (attrto pr scorrmnto) prssoché nulla E nfn ncssaro ctar l fatto ch la statstca quantstca pr boson n un crto snso prvlga la concntraon d partcll a spn ntro nllo Statstch fsch -
stato d pù bassa nrga, fno a condurr a stat condnsat macroscopc ch, a bassssm tmpratur, prsntano carattrstch puramnt quantstch 8 Applcaon dlla statstca d Frm-Drac: gas d lttron Consdramo gl lttron d un mtallo (partcll a spn ½, frmon) com ssnalmnt lbr Possamo calcolar la dstrbuon pr un gas d qust partcll sgundo la stssa procdura adottata pr l gas d fonon, con la dffrna ch ora l nrga (non rlatvstca) è data da p /(m) Il rsultato fnal pr la dnstà d stat lttronc è 8πL g( E) m E, h mntr l numro d lttron con nrga nll ntrvallo [E, E+dE] è ( 8 ) πl W E m E ( E ε F ) / BT h + Qusta dstrbuon, rportata nl dsgno, spga prché gl lttron d conduon non gocano un ruolo mportant nlla dfnon dl calor spcfco d un soldo, pr cu solo mot dl rtcolo atomco sono rlvant: aggungndo nrga (trmca) ad un mtallo, apportamo un contrbuto dll ordn d B T, pr l qual solo gl lttron vcn all nrga d Frm vngono cctat, d n pccola proporon, a lvll ad nrga pù grand Gl altr lttron (la maggor part) non contrbuscono all cctaon dl sstma Possamo stmar l valor d ε F mponndo l numro total d lttron nl soldo: N W ( E) de 0 Pr tmpratur non troppo lvat utlamo la forma a gradno dlla dstrbuon d Frm- Drac, pr cu l ntgral s rduc alla N 8πL h m ε 0 F EdE, dalla qual ε h N F m 8πL ε F lttron cctat Statstch fsch - E nfn possbl calcolar, smpr con la stssa tcnca, ch l nrga mda dgl lttron è dllo stsso ordn d qulla d Frm o, pù prcsamnt, <E>ε F /5 Con qust dat è possbl stmar la fraon d lttron ch vngono cctat quando l mtallo vn rscaldato da T0 ad una crta tmpratura Il rsultato è ch una fraon dll ordn mnor dl % d lttron subsc qusta sort, n
quanto n c /N B T/ε F, mntr l nrga trmca è dll ordn d 0 mv, qulla d Frm è attorno a qualch V Bnché sa ragonvol aspttars ch a tmpratur suffcntmnt alt gl lttron cctat sano n proporon pù lvata, qusto accad solo pr valor d mglaa d grad, ossa pr tmpratur maggor dlla tmpratura d fuson: n pratca l mtallo (s non s vuol ch fonda) contnua ad mmaganar calor gra al contrbuto solo dll vbraon dl rtcolo Dvrsa è la stuaon a tmpratur strmamnt bass, pr l qual la capactà trmca dovuta al rtcolo scnd a ro com T, mntr qulla lgata agl lttron cala mno rapdamnt, lnarmnt con T Va nfn aggunto ch l modllo qu prsntato non tn conto dll ntraon dgl lttron con cntr atomc dl rtcolo: ss n raltà sntono un potnal (pr lo pù prodco) ch rnd conto d mportant fftt dlla carattraon spcfca d var tp d matral, conduttor, smconduttor, solant, ch vrranno dscuss pù avant Statstch fsch -