4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto un punto, che chiamiamo l origine. Scegliamo poi tre rette perpendicolari che si incontrano in : due rette orizzontali come assi delle e delle, e la terza verticale come asse delle. Fissiamo su di esse un verso edun unità di misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali, che indicano rispettivamente le proiezioni di P sugli assi delle, e. P Fig.. Il punto P = ( nello spazio R 3. Le coordinate, e 3 individuano il punto P in modo unico. Si possono identificare quindi i punti P dello spazio con le terne : P =. Ad esempio, i punti sull asse delle sono quelli che soddisfano = =, i punti sull asse delle quelli che soddisfano = = e i punti sull asse delle quelli che soddisfano = =. L origine è il punto. L insieme delle terne ordinate si chiama spazio cartesiano e si indica con R 3 : R 3 = { :,, R}. Nello spazio R 3, insieme agli assi coordinati, si considerano anche i piani coordinati: sono i tre piani ortogonali che si intersecano nell origine, ognuno dei quali contiene due dei 3 assi coordinati. Essi sono: il piano (, i cui punti soddisfano =, il piano (, i cui punti soddisfano = ed il piano (, i cui punti soddisfano =.
= = = Fig.2. I piani coordinati in R 3 Come nel caso del piano, indicheremo in seguito con estremo il punto. anche il vettore uscente dall origine e di Fig.3. Il vettore = (. Il vettore = di lunghezza zero, si chiama vettore nullo. Per semplicità di notazione, scriveremo spesso sottointendendo = ; similmente scriveremo y per y y 2, etc... y 3 2
Definizione. Siano e y due vettori in R 3. Allora la somma + y di e y è il vettore dato da + y = + y + y 2 + y 3 Il vettore opposto del vettore è il vettore = La differenza y dei vettori e y è il vettore y = y y 2 y 3 Definizione. Sia λ R. Il prodotto di per λ è il vettore dato da λ = λ λ λ Come nel piano, anche nello spazio la somma tra vettori ha un interpretazione geometrica. Osserviamo che due vettori qualunque e y in R 3 sono contenuti in un piano π passante per, e y. Il vettore somma + y si trova applicando la regola del parallelogramma ai vettori e y sul piano π. Per costruzione, + y è contenuto nel piano π. Resta solo da verificare che le coordinate di + y così ottenute sono effettivamente + y + y 2 + y 3 Anche in R 3, il vettore differenza y è paralello alla retta passante per e y; la lunghezza di y è uguale alla distanza fra e y. y +y -y Fig.4. La somma + y, la differenza y. Osservazione. La costruzione appena discussa è utile perché riconduce la somma di vettori nello spazio ad una somma di vettori sul piano. Ci permette inoltre di definire l angolo ϑ fra due vettori e y dello spazio, 3
come l angolo da essi formato nel piano π che li contiene. Nel caso in cui e y sono uno multiplo dell altro, il piano π non è unico ed i vettori, y, + y, y stanno tutti sulla stessa retta. In questo caso, l angolo fra e y è ϑ =. y θ Fig.5 L angolo ϑ fra e y. La somma fra vettori gode delle seguenti proprietà: Proposizione 4.. (i (Proprietà associativa della somma Per ogni, y, z R 3 ( + y + z = + (y + z; (ii (Proprietà commutativa Per ogni, y R 3 + y = y + ; (iii (Proprietà associativa del prodotto Per ogni R 3 e λ, µ R λ(µ = (λµ; (iv (Proprietà distributiva Per ogni, y R 3 e λ, µ R λ( + y = λ + λy, (λ + µ = λ + µ. Dimostrazione. Anche in questo caso, le proprietà (i, (ii, (iii e (iv sono semplici conseguenze delle analoghe proprietà dei numeri reali. Definizione. (Prodotto scalare. Dati due vettori e y in R 3 il prodotto scalare y è il numero reale dato da y = y + y 2 + y 3. Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà 4
Proposizione 4.2. (i (Proprietà commutativa Per ogni, y R 3 y = y ; (ii (Proprietà distributiva Per ogni, y, z R 3 (y + z = y + z; (iii (Omogeneità Per ogni, y R 3 ed ogni λ R λ( y = (λ y = (λy; (iv (Positività Per ogni R 3, = se e soltanto se =. Dimostrazione. La dimostrazione è molto simile a quella della Prop..2 ed è lasciata al lettore. Definizione. La norma di un vettore R 3 è definita da = = + 2 2 + 2 3. Per il Teorema di Pitagora, la norma del vettore è uguale alla lunghezza del segmento congiungente e. Equivalentemente, la norma di è la distanza del punto dall origine. + 2 + 2 + 2 Fig.6. Il Teorema di Pitagora in R 3. Analogamente, dalla Fig.4 vediamo che y è la distanza fra i punti e y y 2. Usando la norma, y 3 diamo un interpretazione geometrica del prodotto scalare. Proposizione 4.3. Siano e y due vettori in R 3. (i Allora y = y cos ϕ dove ϕ è l angolo fra i vettori e y. (ii I vettori e y sono perpendicolari se e soltanto se y =. 5
Dimostrazione. Sia π un piano che passa per, e y. Consideriamo in π il triangolo di vertici i punti, e y. Dalla Fig.4, vediamo che i lati del triangolo hanno lunghezze, y e y. Applicando la regola del coseno troviamo y 2 = 2 + y 2 2 y cos ϕ. Dalla definizione stessa della norma abbiamo e quindi ( y 2 + ( y 2 2 + ( y 3 2 = + 2 + 3 + y 2 + y 2 2 + y 2 3 2 y cos ϕ 2 y 2 y 2 2 y 3 = 2 y cos ϕ come richiesto. Per la parte (ii, osserviamo che cos ϕ = se e soltanto se ϕ = ±π/2, cioè se e soltanto se ϕ è un angolo retto. Corollario 4.4. (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Siano e y vettori in R 3. Allora y y. Dimostrazione. Questo segue dal fatto che cos ϕ. (Vedi l Eserc..B. Proposizione 4.5. Siano e y vettori in R 3. Allora (i (Disugualianza triangolare + y + y ; (ii Per ogni λ R λ = λ. Dimostrazione. (i Sia π un piano che passa per, e y. In π c è il triangolo di vertici, e + y. Poiché i lati hanno lunghezze, y e + y, la disuguaglianza triangolare in R 3 segue dalla disuguaglianza triangolare nel piano. Una seconda dimostrazione dello stesso fatto si può ottenere anche usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz del Cor.4.4: + y 2 = ( + y 2 + ( + y 2 2 + ( + y 3 2 = + 2 + 3 + y 2 + y 2 2 + y 2 3 + 2( y + y 2 + y 3 = 2 + y 2 + 2 y, 2 + y 2 + 2 y = ( + y 2. Poiché + y e + y sono numeri non negativi, possiamo estrarne le radici quadrate ottenendo la disuguaglianza cercata. (ii Direttamente dalla definizione della norma troviamo λ 2 = (λ 2 + (λ 2 + (λ 2 = λ 2 ( + 2 + 3 = λ 2 2. Estraendo le radici quadrate, otteniamo come richiesto. λ = λ Come applicazione del prodotto scalare, calcoliamo le proiezioni ortogonali di un vettore R 3 su una retta l o su un piano β, passanti per l origine. Proposizione 4.6. Sia un vettore in R 3. (i La proiezione ortogonale π( di sulla retta l passante per l origine e parallela al vettore y è data da π( = cy, ove c = y y 2 ; 6
(ii La proiezione ortogonale π( di sul piano β passante per l origine di equazione n = è data da π( = λn, ove λ = n n n. Dimostrazione. (i La dimostrazione è del tutto simile a quella della Proposizione.6 ed è lasciata al lettore. (ii Sia π( la proiezione ortogonale di sul piano β. Allora π( è un vettore perpendicolare a β e dunque soddisfa π( = λn per un opportuno scalare λ. Poiché π( appartiene a β vale n π( =, da cui si ricava λn n = n e quindi λ = n n n come richiesto. π β ( β Fig.7. La proiezione ortogonale del vettore sul piano β. Introduciamo adesso il prodotto vettoriale in R 3 : si noti che il prodotto vettoriale non è definito nel piano R 2, né in R n per n > 3. È una nozione che esiste solo in R3. Il prodotto vettoriale è un applicazione che ad una coppia di vettori, y R 3 associa un terzo vettore y R 3. Definizione. Siano, y R 3. Il prodotto vettoriale y di e y è il vettore di R 3 definito da y = 2y 3 y 2 y y 3 y 2 y Proposizione 4.7. Siano, y R 3. Il prodotto vettoriale y gode delle seguenti proprietà: (i y = y; (ii Il vettore y è perpendicolare sia ad che a y: ( y =, y ( y = ; (iii La norma di y soddisfa dove ϕ è l angolo fra e y. y = y sen ϕ, 7
Dimostrazione. (i Direttamente dalla definizione, abbiamo Per dimostrare (ii, calcoliamo y = y 2 y 3 y 3 y = y. y y 2 ( y = 2y 3 y 2 y y 3 y 2 y Similmente troviamo y ( y =. Per la parte (iii abbiamo 2 y 2 sen 2 ϕ = 2 y 2 ( cos 2 ϕ = ( y 3 y 2 + ( y y 3 + ( y 2 y =. = 2 y 2 ( y 2 = ( + 2 + 3(y 2 + y 2 2 + y 2 3 ( y + y 2 + y 3 2 = y 2 2 + y 2 3 + 2y 2 + 2y 2 3 + 3y 2 + 3y 2 2 2 y y 2 2 y y 3 2 y 2 y 3 = ( y 2 y 2 + ( y 3 y 2 + ( y 3 y 2 2 = y 2. Estraendo le radici quadrate, troviamo l uguaglianza cercata. Questo conclude la dimostrazione della proposizione. Proposizione 4.8. Il parallelepipedo di spigoli i vettori, y e z ha volume V dato da V = y 2 z 3 + y z 2 + z y 3 z 2 y 3 y z 3 z y 2 = det y z y 2 z 2 y 3 z 3. Dimostrazione. Il volume V del parallelepipedo di spigoli, y e z è uguale all area del parallelogramma di vertici,, y e + y moltiplicata per l altezza. L altezza è uguale alla lunghezza della proiezione del vettore z sulla retta che passa per e y. y θ z y ϕ Fig.8. Il parallelepipedo di spigoli, y e z. 8
Per la Prop..7, l area del parallelogramma è uguale a y sen ϕ, ove ϕ è l angolo fra i vettori e y, e la lunghezza della proiezione di z sulla retta per e y è uguale a z cos ϑ, ove ϑ è l angolo fra i vettori z e y. Il volume V è quindi dato da V = y sen ϕ z cos ϑ = y z cos ϑ = z ( y = z ( y 3 y 2 + z 2 ( y y 3 + z 3 ( y 2 y. Osserviamo infine che l espressione z ( y 3 y 2 +z 2 ( y y 3 +z 3 ( y 2 y coincide col determinante della matrice y z y 2 z 2, y 3 z 3 e ciò completa la dimostrazione della Proposizione. Definizione. L orientazione Or(, y, z di tre vettori, y, z R 3 è il segno del determinante det y z y 2 z 2 y 3 z 3 Si dice che, y, z sono orientati positivamente se Or(, y, z >. Per esempio, i vettori e, e 2 e e 3 sono orientati positivamente perchè det = + + =. Scambiare due vettori cambia il segno dell orientazione: Or(y,, z = Or(, y, z. Geometricamente, tre vettori, y e z sono orientati positivamente se possono essere identificati rispettivamente con il medio, il pollice e l indice della mano destra. Altrimenti sono orientati negativamente e possono essere identificati rispettivamente con il medio, il pollice e l indice della mano sinistra. z indice z indice y pollice medio medio y pollice Mano sinistra Mano destra Fig.9. L orientazione. 9
Osservazione. I vettori {, y e y} formano una terna di vettori orientata positivamente. Esercizi. (4.A Siano = ( 2 3 e y = ( 2 3 due vettori in R 3. (i Calcolare y, + 3y e 2 + y. (ii Calcolare le lunghezze di questi vettori. (4.B Siano e y i vettori dell Eserc.4.A. (i Calcolare i prodotti scalari y, e anche (5 + 7y. (ii Calcolare il coseno dell angolo fra e y. (iii Calcolare il coseno dell angolo fra e + y. (4.C Sia il vettore dell Eserc.4.A. (i Trovare un vettore v tale che v =. (ii Trovare un vettore w tale che { w =, v w =. (4.D Sia v R 3 un vettore non nullo. Sia λ = v. (i Calcolare la lunghezza di λ v. (ii Trovare un vettore parallelo a v che abbia lunghezza /λ. (4.E Siano e y due vettori in R 3. Sia v = (i Calcolare le distanze y, v e y v. (ii Far vedere che v è il punto medio fra e y. (4.F Siano e y i due vettori dell Eserc.4.A. (i Calcolare y. (ii Calcolare ( y. (iii Calcolare l area del triangolo di vertici, e y. ( ( + y /2 ( + y 2/2. ( + y 3/2 ( ( (4.G Siano = e y = 2. (i Trovare un vettore v perpendicolare sia a che a y. (ii Trovare un vettore come nella parte (i, di lunghezza. (4.H Siano, y e z i vettori (, 2 ( 2, 2 ( 3. (i Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori, y e z. (ii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori 2, y e z. (iii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori + y, y e z. (iv Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori + 5y + 7z, y e z. (4.I Siano, y e z i vettori in R 3 dati da ( 6 2, 3 ( 2 3, 6 ( 3 6 2 (i Calcolare le lunghezze di, y e z e i coseni degli angoli fra, y e z. (ii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori + 5y + 7z, y e z. ( ( ( (4.J Siano = e y = e z =. 2 3.
(i Calcolare i vettori ( y z ed (y z. (ii Calcolare ( y z ed (y z. (4.K Siano, y e z i vettori dell Eserc.4.H. (i Calcolare l orientazione Or(, y, z. (ii Calcolare l orientazione Or(y, z,. (iii Calcolare l orientazione Or(, y, + y. (4.L Siano,,..., 8 R 3 gli otto punti in R 3 dati da ( ( =, =, = 5 = ( 5, 6 = ( 5, 7 = ( 2 ( 2 5 (, 4 = (, 8 =. 5 (i Far vedere che,, e 4 sono i vertici di un parallelogramma. (ii Far vedere che i + 5 = i+4 per ogni i, i 4. (iii Far vedere che,..., 8 formano i vertici di un parallelepipedo. Calcolarne il volume. (4.M Siano, y, z R 3 e supponiamo che Or(, y, z = +. (i Far vedere che i vettori, y e z si possono mettere in ordine in sei modi diversi:, z, y oppure z,, y ecc. (ii Per tutti i sei modi calcolare l orientazione: Or(, z, y, Or(z,, y... ecc. (4.N Siano α, β, γ R numeri non nulli che soddisfano α + β + γ =. Consideriamo i seguenti vettori in R 3 : p = ( αβ βγ, q = γα ( βγ γα, r = αβ ( γα αβ. βγ (i Calcolare gli angoli fra i vettori p, q e r. (ii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori p, q e r.