INDICE Torma di Cayly-Hamilton, forma canonica triangolazioni. Vrsion dl Maggio Argomnti sclti sulla triangolazion di matrici, il torma di Cayly-Hamilton sulla forma canonica dll matrici 3 3 pr i corsi di Gomtria Toria di Gruppi. Tsto di rifrimnto consigliato pr qusti argomnti: S.Lang, Algbra Linar, Boringhiri, Torino 989 Indic Triangolazion di matrici. Torma di Cayly-Hamilton. 3 3 Matrici nilpotnti. 6 4 Forma canonica dll matrici 3 3. 8 Esmpi.
TRIANGOLAZIONE DI MATRICI. Triangolazion di matrici. In qusta szion dimostriamo pr l matrici complss ( pr l matrici rali con tutti gli autovalori rali) l sistnza di una bas ortonormal in cui la matric assum una forma triangolar. Ovvro ch l matrici in ipotsi sono triangolabili. Torma. Sia A una matric complssa, allora sist in C n una bas ortonormal in cui la matric assum una forma triangolar. Prova. La dimostrazion procd pr induzion. Considriamo in C n un prodotto hrmitiano. Il caso dll matrici è banal. Considriamo ora una matric complssa n n. Esist sicuramnt almno un autovalor un autovttor: Av = λv E possiamo prndr v =. Sia E il sottospazio gnrato da v complmnto ortogonal F : C n = E F Pr ogni v C n si ha la scomposizion unica: considriamo il suo Av = kv + w dov w F k dipndono da v. Dfiniamo ora una applicazion linar A : C n F : A (v) = w La rstrizion di A al sottospazio F è una matric n n ch pr l ipotsi induttiva è triangolabil, sist cioè una bas ortonormal {v, v 3,...v n } di F in cui: A (v ) = a v A (v 3 ) = a 3 v + a 33 v 3... A (v n ) = a n v + a 3n v 3 +... + a nn v n Aggiungndo il vttor v abbiamo allora una bas ortogonal di tutto C n ch triangolarizza la matric n n da cui siamo partiti. Ottniamo infatti, dalla scomposizion unica Av = kv + w applicata ai vttori dlla bas: A(v ) = λv A(v ) = k v + a v A(v 3 ) = k v + a 3 v + a 33 v 3... A (v n ) = k n v + a n v + a 3n v 3 +... + a nn v n
TEOREMA DI CAYLEY-HAMILTON. 3 Ossrvazion. La forma triangolar è quindi: λ k k... k n a a 3... a n a 33... a 3n............... a nn Gli autovalori dlla matric sono gli lmnti dlla diagonal, prchè il polinomio carattristico di una matric triangolar è: P A (x) = (λ x) (a x)... (a nn x) Ossrvazion. La dimostrazion non fornisc un procdimnto costruttivo dlla bas ch triangolarizza, vdrmo in sguito (forma canonica di Jordan) splicitamnt almno pr l matrici 3 3, un procdimnto costruttivo. Ossrvazion.3 La dimostrazion ovviamnt val anch s la matric è ral ha tutti gli autovalori rali. Torma di Cayly-Hamilton. In qusta szion nunciamo dimostriamo un risultato molto important, il cosiddtto torma di Cayly-Hamilton. Gnralizziamo prima ai polinomi di matrici il torma dl rsto, valido pr i polinomi rali o complssi. Il torma dl rsto dic il rsto dlla division di un polinomio p(x) di grado pr il polinomio (x a) è p(a). Ovvro: Sia ora p(x) = q(x)(x a) + p(a) p(x) = a x q + a x q +... + a q un polinomio di grado q A una matric ral o complssa. Torma. Torma dl rsto. Val la sgunt formula matricial: p (x) I = Q(x) (xi A) + p(a) dov I è la matric idntità, Q(x) è una matric i cui lmnti sono polinomi in x p(a) è il polinomio matricial ottnuto sostitundo la matric A all indtrminata x nl polinomio p(x). Prova. Poniamo p (x) I = Q(x) (xi A) + S ()
TEOREMA DI CAYLEY-HAMILTON. 4 Crchiamo di dtrminar la matric Q(x) ponndo: Q(x) = x q R + x q R +... + R q Dov l R i sono matrici ch non dipndono da x. Sostitundo nlla () ottniamo: ( a x q + a x q +... + a q ) I = ( x q R + x q R +... + R q ) (xi A) + S Uguagliando i cofficinti dll potnz distint di x ottniamo la catna di quazioni: R = a o I R R A = a I... =... R q R q A = a q I S R q A = a q I Qust quazioni possono ssr risolt in succssion. Abbiamo quindi dimostrato l sistnza di Q(x). Moltiplichiamo ora la prima quazion pr A q, la sconda pr A q, così via fino alla pnultima ch si moltiplica pr A l ultima pr I. Ottniamo allora: Sommando tutt qust quazioni ottniamo: Cioè S = p(a) =. R A q = a o A q R A q R A q = a A q... =... R q A R q A = a q A S R q A = a q I S = p(a) Torma. Torma di Cayly-Hamilton: ogni matric è radic dl suo polinomio carattristico. Ovvro p A (A) = Prova. Ricordiamo ch p A (x) = dt(a xi) = ( ) n dt(xi A) Ossrviamo ch dalla formula dllo sviluppo pr righ dl dtrminant di una matric B si ottin: (dt B) I = B t B dov B t è la trasposta dlla matric di complmnti algbrici.
TEOREMA DI CAYLEY-HAMILTON. Ponndo B = ( ) n dt(xi A) ottniamo: p A (x)i = ( ) n dt(xi A) I = (xi A) t (xi A) Pr cui, applicando a qusto caso il torma prcdnt, ottniamo subito ch Q(x) = (xi A) t S = p A (A) = Il torma di Cayly-Hamilton ha intrssanti consgunz: Torma.3 Sia A una matric n n, allora A n I, A, A,...A n. è combinazion linar dll matrici Prova. Basta infatti scrivr il polinomio carattristico p A (x) = ( ) n x n + a x n +... + dt A E applicar Cayly-Hamilton: p A (A) = ( ) n A n + a A n +... + (dt A) I = E quindi: A n = ( ) n+ ( a A n +... + (dt A) I ) Ossrvazion. E anch chiaro ch ogni potnza A m con m n è combinazion linar dll matrici I, A, A,...A n. Infatti basta dividr m pr n, con rsto r, ottnndo quindi A m = A kn+r = (A n ) k A r, nl prodotto a dstra, basta sostituir a ogni occorrnza di A n la sua sprssion com combinazion linar di I, A, A,...A n. Torma.4 Sia A una matric n n, invrtibil, allora A è combinazion linar dll matrici I, A, A,...A n. Prova. Com sopra, da ( ) n A n + a A n +... + (dt A) I =, raccoglindo A si ottin: ( ) n A n + a A n +... = (dt A) A
3 MATRICI NILPOTENTI. 6 3 Matrici nilpotnti. Studiamo in qusto paragrafo l proprità più lmntari di una important class di matrici, l cosiddtt matrici nilpotnti. Dfinizion 3. Una matric A si dic nilpotnt s sist un intro m tal ch A m = Dfinizion 3. Si dic indic di nilpotnza di una matric nilpotnt il più piccolo intro r pr cui A r = Ossrvazion 3. L indic di nilpotnza è consrvato dalla rlazion di similitudin. Ossrviamo prima di tutto ch una matric simil a una nilpotnt è anch ssa nilpotnt, infatti s A m = B = M AM una matric simil ad A, abbiamo subito: B m = M A m M = Mostriamo ora ch l indic di nilpotnza si consrva. Siano infatti A una matric con indic di nilpotnza r B = M AM una matric simil ad A, indichiamo con s il suo indic di nilpotnza. Ottniamo subito = B s = M A s M = A s = = r s = A r = MB r M = B r = = s r Il torma di Cayly-Hamilton fornisc una carattrizzazion dll matrici nilpotnti: Torma 3. Una matric n n è nilpotnt s solo s ha com unico autovalor lo zro con moltplicità algbrica n. Prova. S una matric è nilpotnt l unico autovalor possibil è lo zro: Av = λv = = A m v = λ m v = λ = Vicvrsa s una matric n n ha com unico autovalor lo zro con moltplicità algbrica n il suo polinomio carattristico è p A (x) = ( ) n x n, pr cui il torma di Cayly-Hamilton assicura ch: p A (A) = ( ) n A n = Ossrvazion 3. E chiaro ch l unica matric nilpotnt diagonalizzabil è la matric nulla. Infatti pr ssr diagonalizzabil l autospazio dll autovalor zro, cioè il nuclo dlla matric, dv avr dimnsion n qusto implica ch il rango dlla matric sia zro. L matrici nilpotnti sono prò smpr triangolarizzabili, com vdrmo nlla prossima szion.
3 MATRICI NILPOTENTI. 7 Prosguiamo il paragrafo con alcun ossrvazioni sui nucli sull immagini dll potnz positiv di una matric data B. Sia B una matric n n considriamo l su potnz positiv B m, si ha: Infatti, ad smpio: così via. {} kr B kr B kr B 3... C n v kr B = Bv = = B (Bv) = = v kr B Ossrvazion 3.3 S la matric A è nilpotnt la catna di inclusioni di nucli è finita trmina con l uguaglianza. Analoga catna di inclusioni val pr l immagini: Infatti, ad smpio: così via. {}... Im B 3 Im B Im B C n w Im B = w = B v = w = B (Bv) = w Im B Ossrvazion 3.4 S la matric A è nilpotnt la catna di inclusioni dll immagini è finita inizia con l uguaglianza. Studiamo ora il caso particolar di matrici B tali ch B 3 =. S B 3 = allora: w = Bv B w = B 3 v = Im B kr B () S l indic di nilpotnza di B è du si ha anch: w = Bv B = B v = Bw = Im B kr B dim kr B dim Im B (3) S invc l indic di nilpotnza è tr possiamo ossrvar anch ch: w = B v B 3 = B 3 v = Bw = Im B kr B kr B (4) Ossrvazion 3. Nl caso particolar di matrici 3 3 abbiamo ch s B = ma B allora il torma dll dimnsioni: dim kr B + dim Im B = 3 la (3) implicano ch la dimnsion di kr B sia, s invc B 3 = ma B ancora il torma dll dimnsioni la (4) implicano ch la dimnsion di kr B sia.
4 FORMA CANONICA DELLE MATRICI 3 3. 8 4 Forma canonica dll matrici 3 3. Sia ora B una matric 3 3 nilpotnt ( allora Cayly-Hamilton implica ch B 3 = ). Escludndo il caso banal B =, studiamo i du casi B B =. Nl primo caso prndiamo un vttor v / kr B / kr B (l ultima ossrvazion dl paragrafo prcdnt dimostra ch un tal vttor sist). Dimostriamo ch i vttori v, Bv, B v sono indipndnti. Infatti: av + bbv + cb v = = B ( av + bbv + cb v ) = abv + bb v = Considriamo ora la bas costituita dai vttori: In qusta bas si ha: = B ( abv + bb v ) = ab v = = a = b = c = v = B v v = Bv v 3 = v Bv = Bv = v Bv 3 = v Cioè la matric B assum la forma: B = S invc B =, prndiamo un vttor u Im B, u = Bv, un vttor w kr B indipndnt da u. Un tal vttor sist smpr pr l ultima ossrvazion dl paragrafo prcdnt. I vttori v, Bv, w sono indipndnti: Allora nlla bas: si ha: av + bbv + cw = = B (av + bbv + cw) = = a = bbv + cw = = b, c = v = w v = Bv v 3 = v Bv = Bv = Bv 3 = v
4 FORMA CANONICA DELLE MATRICI 3 3. 9 Cioè la matric B assum la forma: B = Riassumndo, abbiamo dimostrato ch: Torma 4. Sia B una matric nilpotnt 3 3 allora sist una bas in cui la matric assum una dll tr form canonich (dtt di Jordan) dim kr B = 3 B = dim kr B = B = dim kr B = B = Ossrvazion 4. Si potrbb dimostrar ch un risultato simil val pr matrici nilpotnti di qualsiasi ordin: si possono smpr mttr in una forma diagonal con zri sulla diagonal blocchi di lmnti uno zro appna sopra la diagonal (forma canonica di Jordan) Qusto studio sull matrici nilpotnti 3 3 si applica dirttamnt al caso dll matrici 3 3 con un solo autovalor di moltplicità algbrica 3. Torma 4. Sia A una matric 3 3 con un solo autovalor λ di moltplicità algbrica 3, allora sist una bas in cui la matric assum una dll tr form canonich (dtt di Jordan) λ dim kr (A λi) = 3 A = λ λ λ dim kr (A λi) = A = λ λ λ dim kr (A λi) = A = λ λ Prova. Pr dimostrar il risultato basta ossrvar ch il polinomio carattristico in qusto caso è p A (x) = (λ x) 3 quindi si ottin da Cayly-Hamilton ch (λi A) 3 = applicar poi il torma prcdnt alla matric nilpotnt B = (A λi)
4 FORMA CANONICA DELLE MATRICI 3 3. Ossrvazion 4. Abbiamo anch ottnuto un risultato intrssant: sia A una matric 3 3 con un solo autovalor λ di moltplicità algbrica 3, allora può ssr mssa in forma di somma di una matric diagonal di una nilpotnt ch commutano fra di loro. Infatti basta ossrvar ch A = λi + B. Trascurando il caso banal in cui la matric è diagonalizzabil, pr studiar la forma canonica dll matrici 3 3 riman il caso in cui la matric ha du autovalori distinti di cui uno di moltplicità algbrica gomtrica. Il suo polinomio carattristico è quindi dl tipo: P A (x) = (λ x) (µ x) Poniamo B = A λi C = A µi. Abbiamo dal torma di Cayly-Hamilton ch B C = sappiamo anch ch dim kr C = dim kr B =. Ricordiamo anch ch autospazi di autovalori distinti hanno intrszion ridotta al solo vttor nullo. kr B kr C = {} Ossrviamo ora ch dall dfinizioni di B C sgu ch BC è nilpotnt: B C = = B C = (BC) = E chiaro ch nl nostro caso BC. Infatti s BC = = Im C kr B quindi dim Im C, ma allora dim Im C dim kr C contrariamnt all ipotsi dim kr C = dim kr B =. Sia ora v tal ch BCv prndiamo w 3 = Cv. Prndiamo poi w = BCv kr B (infatti B Cv = ) w kr C. Ossrviamo ora ch Aw = µw quindi: B w = (A λi) (A λi) w = (A λi) (µ λ) w = (µ λ) w I tr vttori w i formano allora una bas prchè sono indipndnti: aw + bw + cw 3 = = B (aw + bw + cw 3 ) = bb w = b = aw + cw 3 = B (aw + cw 3 ) = cbcv = c = aw = a = Allora nlla bas formata dai vttori: si ha: Av = µv Av = λv v = w kr C v = w = BCv kr B v 3 = w 3 = Cv Av 3 = (B + λi) Cv = BCv + λcv = v + λv 3
4 FORMA CANONICA DELLE MATRICI 3 3. Cioè la matric A assum la forma: A = µ λ λ Ossrvazion 4.3 Anch in qusto caso la matric può ssr mssa in forma di somma di µ una matric diagonal λ una matric nilpotnt. λ Ossrvazion 4.4 Qusto risultato important val in raltà pr matrici complss (o matrici rali con tutti gli autovalori rali) di ogni dimnsion. Infatti abbiamo visto ch tali matrici sono triangolabili con gli autovalori sulla diagonal la diffrnza tra la matric la sua diagonal è una matric triangolar con solo zri sulla diagonal, quindi, avndo com autovalori il solo zro con moltplicità n, è nilpotnt. Ossrvazion 4. la forma canonica di Jordan è particolarmnt util quando si dsidra calcolar l sponnzial di una matric. Infatti è facil calcolar l sponnzial di matrici nilpotnti in forma canonica: = I + A = = I + A + A = Da qust formul allora si ricava subito, ad smpio: a a a a a a a b b = = = a a a a a a a b b b = = a a a a a a a a a a
ESEMPI. In gnral, pr calcolar l sponnzial di una matric A, ad smpio 3 3, si può mttr la matric in forma canonica C = M AM mdiant l basi costruit in qusti appunti poi applicar la formula: A = MCM = M C M Ossrvazion 4.6 µ a λ b λ = b a a µ λ λ a b a Esmpi. Considriamo la matric A = 3 3 dl nuclo 3 3 ha nuclo di dimnsion con bas, La forma canonica di A è prtanto ha l autovalor, allora B = A I =. B = 6, con bas. Infatti sgundo il procdimnto indicato sopra: prndiamo un vttor vnon appartnnt al nuclo di B non appartnnt al nuclo di B, ad smpio v = costruiamo poi la bas: v =, Bv = 3 3 si ha: 6 3 3 = 3 3 3 3, B v = 6 3 3 6 6 = = 6 = A =. In qusta bas Considriamo la matric A = ha autovalor, ha nuclo di dimnsion con bas. A 6 3 =, con bas dl nuclo, La
ESEMPI. 3 forma canonica di A è prtanto. Infatti sgundo il procdimnto indicato sopra: prndiamo un vttor v non appartnnt al nuclo di A non appartnnt al nuclo di A, ad smpio v = costruiamo poi la bas: v =, Av =, A v = 6 6 A 6 3 3 = Considriamo ora la matric A = gli autovalori sono : I = B = A I = C =., nullspac basis: Vrifichiamo ch B C =, BC = A la matric non è diagonalizzabil. Costruiamo una bas pr mttrla in forma canonica: v = w kr C = v = w = BCv kr B prndiamo pr smpio v = : allora BCv = v 3 = w 3 = Cv = Abbiamo allora: 3 3 =
ESEMPI. 4 Possiamo allora calcolar ad smpio: E allora: 3 3 = = + = +