Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei RASMISSIONE DEL CALORE INERAZIONE ENERGIA MAERIA II Pincipio emodinmic Q p d con > L tmiione dell'enegi temic è influenzt non olo dll diffeenz di tempetu m nche di copi pticoli coinvolti negli cmi, coì come in pte i è vito conidendo l cpcità temic. Quet ctteitic non i ifeice popimente fenomeni di tpoto dell'enegi, che invece vengono ditinti in te modlità divee: ) Conduzione, undo il tpoto è dovuto l conttto e olo lle ctteitiche del mteile, vviene l uo inteno e non i h movimento di me. ) Convezione, undo l'enegi i tmette come pe l conduzione, m i h nche lo potmento di me. 3) Iggimento, undo l'enegi viene eme di copi otto fom di dizioni elettomgnetiche. 4) Eollizione-Condenzione come convezione m con cmimento di fe Sono uindi le divee ctteitiche dei mteili che condizionno le modlità di tmiione dell'enegi temic. In genele tli modlità nno peenti contemponemente e i influenzenno vicendevolmente; di olito i conide che pono eee nlizzte eptmente. pg. -
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei L empetu è uno Scle Il Fluo emico è un Vettoe Conduzione Nel co dell vicoità imo vito che lo fozo tngenzile è dto d u τ y µ y Nel co dell tmiione del cloe, fino d o conidet in temodinmic enz vlute le neceie diffeenze di tempetu, J. B. Fouie intodue, con un memoi peentt ll'acdemie de Fnce nel 87, l'nlog "legge di Fouie": ' Q'/A - d/d cioè il fluo temico ' è popozionle, econdo un cotnte popi del mteile, l gdiente temico lungo l diezione di popgzione del cloe; pe fluo i intende l'enegi temic che ttve l'unità di upeficie nell'unità di tempo. Il egno negtivo è legto l ftto di conidee poitivo il cloe che p d un tempetu upeioe d un infeioe, in ccodo col econdo pincipio dell pg. -
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei temodinmic, e uindi nel eno negtivo del gdiente di ; può vie i con l tempetu che con l diezione, m in genele lo i ume cotnte. Deivzione dell'euzione dell conduzione y Si conidei, ento un copo olido, un piccolo elemento di mteile vente l fom di un pllelepipedo ettngolo di pigoli d, dy e dz plleli ipettivmente gli i, y e z. Pe ottenee un'euzione pe l ditiuzione di tempetu, i civ il ilncio di enegi pe l'elemento z ' d 'd potenz temic entnte potenz temic genet d ogenti intene potenz temic ucente vizione dell'enegi inten nell'unità di tempo le ilncio può poi nell fom imolic pg. 3-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei ( Q' ( Q' Q' d y Q' Q' z y dy ) ' Q' g z dz ( d dy dz) ) c ρ ( d dy dz) τ in cui l potenz temic genet pe unità di volume, 'g, e l tempetu,, ono in genele funzioni delle te coodinte, y, z e del tempo τ. L potenz temic che nell'unità di tempo ent pe conduzione nell'elemento conideto lungo l diezione ttveo l fcci di init, Q', può eee citt: ' Q dydz Il gdiente di tempetu è epeo come deivt pzile pechè è funzione non olo di m nche di y, z e τ. L potenz temic conduttiv che ece dll fcci di det d, Q' d, e' dt d: Q' d d dydz pg. 4-
pg. 5- Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei Sottendo l potenz temic ucente dll'elemento d uell che vi ent, i ottiene: ddydz Q Q d ' ' ed nlogmente pe le diezioni y e. Sotituendo le elzioni ottenute nel ilncio di enegi e dividendo cicun temine pe ddydz, i h: τ ρ c z z y y ' g e il cloe pecifico e l denità ono indipendenti dl tempo. Se nche viene itenut unifome ulle te diezioni, i può civee: τ z y g '
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei in cui l cotnte / c ρ è chimt diffuività temic ed è miut in m /. Quet è l'euzione genele dell conduzione del cloe che, in enz di genezione diviene l'euzione di Fouie y z τ Nel co tzionio e con genezione i h l'euzione di Poion y z ' g pg. 6-
pg. 7- Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei Nel co tzionio e enz genezione l'euzione di Lplce : z y epimiile nche come dove: z y Cmindo le coodinte di ifeimento vemo: In coodinte cilindiche In coodinte feiche z ϕ in cot ψ ϕ ϕ ϕ ϕ
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei Conduzione temic in egime tzionio Le euzioni op epee pongono polemi pe l oluzione nlitic nche nell'ipotei di tzionietà; oluzioni emplici ono poiili olo e l pticole geometi del item in eme conente di conidee il fluo temico ' monodiezionle, in modo d pendee in eme olo un componente delle euzioni. Limitimo lo tudio mteili olidi, omogenei ed iotopi con pmeti indipendenti dll tempetu. Stto pino emplice In enz di genezione, pe indipendente d, vle l'euzione di Lplce e uindi e i mmette che il fluo temico vveng olo in diezione (monodimenionle) i h: d cui C C ; le condizioni l contono ono pe, ; pe, pe cui: pg. 8-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei C ; C ( ) / d cui ( ) / L tempetu uindi vi linemente con lo peoe. Avemmo potuto intege diettmente l legge di Fouie epndo le viili ed ottenee: ' (-)/ Quindi e lo tto pino h un upeficie A il cloe tmeo nell'unità di tempo à: Q' (- )/(/A) dove /A ppeent l eitenz temic dello tto. L'epeione del fluo temico è fomlmente identic ll legge di Ohm pg. 9-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei I V/R pe cui i h l eguente nlogi: coente elettic fluo di cloe diffeenz di potenzile diffeenz di tempetu eitenz elettic eitenz temic pg. -
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei Pete pin omogene ed iotop con d d d d ( ) ( ) d d pe B pe A ( ) ( cioè A ) ( ) d Ad A B Poto m A < > pg. -
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei A m d cui : Q d S d pe cui m ( ) m ( ) d d m ; A m 3 Stto pino compoto Conidendo l figu, in condizioni monodimenionli, nel pimo tto à 3 ; pe l conevzione dell'enegi e pg. -
pg. 3- Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei ommndo memo memo i ottiene: 3 3 e Con l'nlogi elettic i vede che euivle d un eie di due eitenze R t R R ( / / )/A ( ) ( ) ( ) 3 3 ; ;
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei Stto cilindico emplice Aumendo come ifeimento pzile delle coodinte cilindiche, come i vede in figu, potemo conidee l ituzione monodimenionle lungo l diezione, con le popietà del mteile e le ditiuzioni di tempetu indipendenti dll coodint z e dll'ngolo ϕ. Nuovmente potemo intege l'euzione di Lplce, epe in coodinte cilindiche, con le condizioni l L contono: cot ; pe ; pe ; pe immeti : ; ϕ z integndo : d d o nche A ; d d d A d d d d cui : pg. 4-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei A Aln B ln ; B e otituendo i ottiene: ln ln ln ln Aln B ; Aln L ditiuzione di tempetu è di tipo logitmico. Il cloe cmito pe unità di lunghezz è epimiile come: Q L d Q λπ cioè : λπ d L ln B pe cui : Si potev intege diettmente l'euzione di Fouie che ume l fom: ' - d/d che puo' eee citt come Q/L - π d/d pg. 5-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei d cui i và, integndo dopo ve epto le viili e conidendo Q cotnte pe l conevzione dell'enegi: Q L π (- )/ln( / ) L eitenz temic dello tto cilindico l ggio è dt d: R ln(/ )/( π L) Pocedendo in mnie nlog poimo icve l untità di cloe cmit ttveo uno tto cilindico compoto. Si ottiene: Q πl( ln( / ) ) ( ) ln( / ) R R pg. 6-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei Conduzione tzioni con genezione Pino All'inteno dello tto di figu, vi i un genezione unifome di cloe g pe unità di volume e di tempo. Nel noto co l'euzione di Poion i iduce : d /d g / Integndo i h: - g / C - C che, imponendo il vloe dell tempetu pe ed -, fonice: ( - ) g / L'ndmento iult uindi polico e l MAX i h pe MAX g / - pg. 7-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei Cilindo Eempio: conduttoe pecoo d coente cotnte. Il conduttoe è cilindico di ggio, lunghezz L, pecoo d un coente I d un tenione V e immeo in i tempetu e. L'euzione di Poion è: d d g V I con g d d L d d g d d Integndo: d g A d g Aln B 4 d d d d π ; moltiplicndo pe e di nuovo: con le condizioni l contono: pg. 8-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei d d e pe g B Quindi A e 4 d cui g ( ) 4 Se invece imponimo un condizione di fluo nche ll'eteno, utilizzndo l Legge di Newton pe l convezione: Q S h ( - e ) che definice il coefficiente di convezione h, l econd condizione l contono diviene: d h( e ) d Le due condizioni potno: A B e 4 h uindi: g g pg. 9-
Fiic ecnic G. Gzzini UNIVERSIA DI FIRENZE Fcoltà di Ingegnei e g ( ) 4 g h che pe il conduttoe compot: VI pe 4 e L h e S e pe π π h L In medue i ci l tempetu mim è ull'e. VI pg. -