Manipolazione ottica in cristalli liquidi nematici: effetti non locali della riorientazione

Univesità Politecnica delle Mache Scuola di Dottoato di Riceca in Scienze dell Ingegneia Cuiculum in Ingegneia dei Mateiali, delle Acque e dei Teeni ---------------------------------------------------------------------------------------- Manipolazione ottica in cistalli liquidi nematici: effetti non locali della ioientazione Tuto: Pof. Fancesco Simoni Tesi di Dottoato di: Fancesco Bacalente Coodinatoe del Cuiculum Pof. Giacomo Moiconi X ciclo nuova seie

Univesità Politecnica delle Mache Scuola di Dottoato di Riceca in Scienze dell Ingegneia Cuiculum in Ingegneia dei Mateiali, delle Acque e dei Teeni ---------------------------------------------------------------------------------------- Manipolazione ottica in cistalli liquidi nematici: effetti non locali della ioientazione Tuto: Pof. Fancesco Simoni Tesi di Dottoato di: Fancesco Bacalente Coodinatoe del Cuiculum: Pof. Giacomo Moiconi X ciclo nuova seie

Univesità Politecnica delle Mache Dipatimento di Scienza e Ingegneia dei Mateiali, dell Ambiente ed Ubanistica Via Becce Bianche 6131 - Ancona, Italy

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Abstact Obiettivo del lavoo di tesi è stato effettuae un analisi dettagliata del meccanismo di manipolazione ottica di paticelle colloidali a basso indice immese in un cistallo liquido nematico. Tale fenomeno è completamente diffeente dal convenzionale intappolamento che si ottiene nei mezzi isotopi, oiginato da foze di gadiente di intensità. Esso è dovuto invece all inteazione di tipo elastico, mediata dal mezzo cicostante, ta la egione otticamente ioientata coispondente al fascio lase di tappola e la paticella posta nelle sue vicenanze. La foza attattiva che si instaua pesenta caatteistiche peculiai, iflesso di quelle del cistallo liquido: elevato anisotopismo e ange di azione che si estende a gandi distanze. Lo studio, condotto in condizioni speimentali oppotune tali da pevenie il manifestasi della manipolazione convenzionale, ha sottolineato in paticolae, il uolo cuciale svolto dalla nonlineaità della ioientazione ottica, mostando la dipendenza della foza di intappolamento dalla dimensione dell aea distota. È stato inolte sviluppato un modello teoico di pedizione dell angolo di ioientazione, basato sull effettiva configuazione assunta da un fascio gaussiano altamente focalizzato incidente su un campione di cistallo liquido; i valoi calcolati hanno evidenziato un buon accodo con i dati speimentali. iii

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List of Figues iii

List of Tables v

Capitolo 1 Intoduzione I cistalli liquidi nematici sono mateiali ottici utilizzati ampiamente nell odiena e diffusissima tecnologia dei display, dal momento che essi pesentano popietà ottiche peculiai vaiabili localmente e nel tempo, con valoi tipici di isoluzione spaziale di cica 1 µm e tempi di isposta nel ange 1-1 ms, adatti a quelle applicazioni. Le loo pestazioni possono comunque andae molto al di là di quelle utilizzate attualmente, sopattutto pe quanto iguada la isoluzione spaziale, pemettendo la costuzione di patten ottici di dimensioni micometiche e submicometiche, necessai pe applicazioni più avanzate di quella dei comuni display, come la ealizzazione di cistalli fotonici e di metamateiali. I nematici si pesentano come fluidi anisotopi con un odine oientazionale delle molecole che può estendesi a gandi distanze, caatteistica pincipale esponsabile di inteessanti popietà ottiche, eletto-ottiche e meccaniche [1], e un elevata isposta ai campi esteni, siano essi elettici o magnetici Pe quanto iguada questo secondo aspetto, in geneale, l accoppiamento dielettico ta la polaizzazione indotta nel cistallo liquido e il campo esteno povoca localmente una ioientazione dell asse ottico, vaiando in modo dietto le popietà ottiche del mezzo. In maniea altenativa, a più elevata potenza, il liquido cistallino assobe enegia e può essee iscaldato dal campo esteno pedendo il popio gado di odine oientazionale, diventando meno biifangente ed eventualmente otticamente isotopo, se il iscaldamento è in gado di indue una tansizione di fase nematico/isotopo. Due sono dunque i pincipali meccanismi che i cistalli liquidi offono pe contollae le loo popietà ottiche, la ioientazione dell asse ottico e la tansizione di fase con elativa iduzione del gado di odine. In elazione all elevato odine oientazionale, nel coso degli ultimi quindici anni si è sviluppato un notevole inteesse nei confonti di nuovi sistemi legati ai cistalli 1

liquidi, quali le emulsioni invese (gocce di un liquido isotopo nel nematico) [- 4] e le dispesioni di piccole paticelle colloidali nel cistallo liquido nematico [5,6]. È stato ossevato che la pesenza di piccole inclusioni di foma egolae (colloidi, gocce d acqua) in un mezzo liquido cistallino unifomemente oientato pota all oigine di nuove foze stuttuali, attive a gande distanza, di tipo anisotopo, non ossevabili nei nomali fluidi isotopi. Quando una paticella, come ad esempio una mico-sfeetta colloidale, infatti, viene immesa in un cistallo liquido nematico, l oientazione delle molecole di cistallo liquido è localmente petubata, pe effetto dell inteazione con la supeficie dell inclusione. La petubazione si allaga a gandi distanze (valoi micometici) e può essee consideata come una defomazione del cistallo liquido, il mezzo ospitante. Dal momento che l enegia elastica legata alla defomazione dipende dalla distanza ta le inclusioni, e in alcuni casi essa si iduce con l avvicinamento ta due colloidi, vengono geneate foze attattive di natua stuttuale, cioè dipendenti dal mezzo cicostante.. A confonto con i sistemi colloidali fomati in fluidi isotopi, come l acqua, dove il self-assembly è guidato da foze di van de Walls, di natua coulombiana o di capillaità, le foze stuttuali ta i colloidi nematici pesentano quatto peculiaità sostanziali, alcune delle quali già viste: 1) l intensità dell inteazione ta paticelle è cento volte più gande ispetto ai solventi isotopi, ) il loo caattee è fotemente anisotopo, anche patendo da semplici inclusioni sfeiche, essendo il cistallo liquido un mezzo anisotopo, 3) il ange di azione è notevolmente supeioe, decine di micon ispetto a divesi nanometi pe i classici colloidi, 4) la loo azione può essee modificata pe effetto di campi elettici e magnetici esteni. La natua anisotopa di queste foze pota alla fomazione di nuove e inteessanti stuttue colloidali self-assembled, come le catene lineai monodimensionali [,7,8], i patten esagonali bidimensionali [5,6] o gli aay egolai di difetti [9]. Tali stuttue sono candidate ad essee gli stumenti ideali pe la costuzione di futui dispositivi fotonici pe il contollo e la movimentazione di luce, nonché pe la ealizzazione di un nuovo tipo di solidi, cosiddetti mobidi, con popietà meccaniche non usuali. La costuzione di stuttue geometiche egolai tidimensionali costituite da micoo nano-paticelle appesenta una delle sfide centali della scienza modena e della

tecnologia. La più gande limitazione nel pocesso di self-assembly consiste nella difficoltà di potae le dimensioni di tali oggetti dal ange nanometico, tipico delle inteazioni in mezzi isotopi ta i loo elementi costitutivi, a quello macoscopico dei dispositivi da ottenee. In paticolae, foze di oigine elettomagnetica (van de Waals, di natua elettostatica) non sembano le miglioi candidate a questo scopo, dal momento che isultano difficili da contollae, paticolamente su gandi distanze. Divesi icecatoi, ad esempio, hanno povato nel tempo ad ottenee cistalli fotonici 3D auto-assemblati a patie da sistemi di paticelle in acqua, utilizzando svaiate tecniche ta cui la sedimentazione di soluzioni colloidali, la cescita su supefici appositamente pogettate o pe mezzo di una costuzione assistita tamite manipolazione estena. Nonostante i numeosi sfozi, il poblema della cescita contollata di tali stuttue è imasto paticamente iisolto; si è manifestata peciò la necessita di appocci divesi che utilizzasseo nuovi tipi di foze e soluzioni concettualmente diffeenti, come quelle costituite dalle foza di natua stuttuale nei cistalli liquidi. Lungo questo pecoso, un utile stumento, sia pe il contollo, la manipolazione e il self-assembly assistito di colloidi nei nematici, sia pe una analisi e misua delle foze di inteazione ta oggetti nel mezzo anisotopo, è costituito dalle pinzette ottiche o optical tweezes. Il campo della manipolazione ottica tae le sue oigini dall opea pionieistica di Athu Ashkin il quale, all inizio degli anni Settanta, dimostò con una seie di impotanti lavoi che foze di natua ottica potevano spostae e fa levitae paticelle dielettiche micometiche sia in acqua che in aia [1], sviluppando allo stesso tempo una tappola stabile nelle te dimensioni pe mezzo di due fasci lase contopopaganti [11]. Tali lavoi potaono infine alla ceazione di una tappola ottica a singolo fascio [1], nota da alloa come optical tweezes [13], dove una micosfeetta dielettica cade stabilmente all inteno di una buca di potenziale ottico fomata da un fascio lase gaussiano focalizzato, ad esempio da un obiettivo da micoscopio ad alta apetua numeica, se è ealizzata la condizione fondamentale che l indice di ifazione dell oggetto sia maggioe di quello del mezzo cicostante. Ashkin e i suoi collaboatoi utilizzaono la manipolazione ottica in un ange molto vaio di espeimenti, dal affeddamento e intappolamento di atomi neuti [14] alla 3

manipolazione di battei e vius [15,16]. Ai gioni nosti le tappole ottiche continuano a tovae applicazioni negli ambiti più svaiati della fisica e della biologia; l abilità di fonie foze a livello dei piconewton a paticelle micometiche, mente contempoaneamente si misuano spostamenti con pecisioni nanometiche, viene nomalmente applicata allo studio dei motoi molecolai a livello di singola molecola (kinesina e miosina [17,18], della fisica dei colloidi e dei sistemi mesoscopici, delle popietà meccaniche di polimei e biopolimei. Solo pe citae alcuni esempi, espeimenti sono stati condotti in ambito biologico nella manipolazione di cellule di lievito, globuli ossi, potozoi e vaie cellule di alghe e piante [15], nella chiugia cellulae intena [19], nella manipolazione di comosomi [], nell intappolamento e misua di foze e mobilità degli spematozoi [1,]. Tecniche ottiche sono state utilizzate pe il cosiddetto cell soting [3]. La manipolazione ottica, come detto, ha tovato impiego anche nello studio delle inteazioni ta oggetti immesi nei cistalli liquidi nematici; Yada et al. [4] sfuttaono un sistema costituito da due pinzette ottiche pe misuae foze ta micocolloidi di polistiolo in un nematico a basso indice. Essi ottenneo una foza di attazione popozionale a 1/ 4, essendo la sepaazione ta i due colloidi, pe un ange limitato di distanze, isultato molto simile a quello evidenziato da ecenti espeimenti di Smalyukh et al [5]. Le pinzette ottiche sono state ulteiomente utilizzate pe ealizzae lo switching di mico-goccioline di cistallo liquido [6], pe la manipolazione di difetti in cistalli liquidi liotopici [7], di isole su film smettici libeamente sospesi [8] e di colloidi ad alto indice nel mezzo nematico [9]. Gli espeimenti si sono concentati sopattutto nello studio di inteazioni ta colloidi di tipo dipolae o quadupolae, così chiamati dalla foma della distosione che essi inducono nel cistallo liquido pe effetto della loo inclusione. Poulin et al [3], ad esempio, impiegando una tecnica diffeente dalla manipolazione ottica e incentata sull utilizzo di un campo magnetico, ossevaono foze di tipo attattivo, sempe popozionali a 1/ 4 ta gocce di un fluido feomagnetico dispese nel nematico su un ange limitato di distanze ( 9-18 µm). La natua dell inteazione ta tali oggetti ea stata diffusamente studiata anche da un punto di vista teoico, concentandosi su un sistema semplice costituito da una coppia di colloidi, tascuando le coezioni legate alla pesenza di alte paticelle e 4

utilizzando un appoccio sia analitico [,31,3] che completamente numeico [33-35]. La tattazione analitica si basa sull espansione in multipoli, consideando l oggetto immeso nel cistallo liquido come una sogente statica di un campo con configuazione da monopolo, dipolo o quadupolo che inteagisce in modo coispondente con un alto oggetto posto nelle sue vicinanze; essa ha validità, a igoe, solo nel egime di campo lontano, cioè pe gandi distanze ta i due colloidi, dove la petubazione legata alla pesenza dell inclusione è piccola. Questo appoccio, analogo all inteazione ta multipoli dell elettostatica, aiva a pedie una foza stuttuale ta monopoli popozionale a 1/, ta oggetti a configuazione dipolae popozionale a 1/ 4 e ta colloidi quadupolai popozionale a 1/ 6. A confonto, un appoccio completamente numeico, come quello poposto da Fukuda et al [36], aveva ivelato un buon accodo con lo studio analitico pe una coppia di dipoli paalleli, foza attattiva che vaia come 1/ 4, ma non altettanto pe due dipoli anti-paalleli; la foza epulsiva calcolata, infatti, isultava popozionale a 1/ 3, dunque più intensa di quanto pedetto dalle consideazioni analitiche e ciò metteva in chiaa evidenza la limitata validità della semplice espansione in multipoli su distanze più piccole, come già evidenziato in pecedenza. Alcuni anni fa, Igo Musevic e i suoi collaboatoi pesentaono un meccanismo di intappolamento non usuale di piccole sfee colloidali in un cistallo liquido nematico [37]. Nel loo espeimento, paticelle micometiche di silice con condizioni al contono omeotopiche (molecole del cistallo liquido disposte pependicolamente alla supeficie dei colloidi) eano dispese in un nematico che pesentava indici di ifazione più gandi ispetto a quello degli oggetti immesi. In queste condizioni, un fascio lase focalizzato avebbe dovuto esecitae una foza epulsiva nei confonti di una sfeetta posta nelle sue vicinanze, in accodo con il salto di indice di ifazione; sopendentemente, venne ossevato esattamente l opposto: il colloide ea attatto veso il fuoco della tappola anche da distanze elevate, pai a divesi micon. Questo compotamento notevole e conto-intuitivo può essee ancoa una volta spiegato in base alle caatteistiche peculiai dei cistalli liquidi: odine oientazionale che si estende su gandi distanze e anisotopia ottica, caatteistiche che endono questi mateiali affascinanti estemamente divesi dai 5

nomali fluidi isotopi. Il guppo di icecatoi sloveni ossevò che la distosione indotta otticamente nel cistallo nematico dal fascio lase (definita come OFT, tansizione ottica di Fèedeicksz) doveva giocae un uolo chiave e due distinti meccanismi di intappolamento in condizioni poibite venneo individuati, legati alla potenza incidente. Sotto la soglia pe la ioientazione ottica, la manipolazione ea intepetata come dovuta all accoppiamento dielettico anisotopo ta il campo elettico del fascio di tappola e il campo del diettoe intono al colloide, che individua la diezione delle molecole di cistallo liquido a contatto con la supeficie della sfeetta dielettica. La distosione del diettoe intono alla paticella, pe effetto dell ancoaggio omeotopico supeficiale, cea una egione ad indice più elevato attono ad essa ed il colloide è ivestito da una nuvola ad alto indice ispetto a quello del mezzo cicostante, lontano dall oggetto. Pe una paticolae polaizzazione del campo elettico incidente, esistono due posizioni del fuoco del fascio enegicamente favoevoli all intappolamento, quelle pe cui la polaizzazione è dietta lungo l asse maggioe delle molecole; la paticella viene peciò attatta veso il punto focale finché la egione distota attono ad essa si sovappone con la zona più intensa della tappola ottica. Sopa la soglia di Fèedeicksz, il fascio lase focalizzato cea una egione elasticamente distota all inteno del cistallo liquido; tale zona, ioientata pe via ottica, inteagisce con il colloide, potando alla geneazione di una foza anisotopa attattiva ta paticella e fuoco della tappola. Il meccanismo di intappolamento è, peciò, accompagnato da una inteazione mediata dall elasticità del mezzo cicostante ta due oggetti, la egione nel cistallo liquido otticamente distota e la mico-sfea dielettica; tale inteazione è analoga, ma pesenta diffeenze sostanziali, a quella ta due colloidi nel nematico. Bisogna sottolineae che, in entambi i casi, la paticella è attatta nella egione di tappola in maniea indietta, dal momento che la foza esecitata dal fuoco del fascio sulla sfeetta a basso indice imane epulsiva, secondo le leggi dell intappolamento classico. In un lavoo successivo, lo stesso guppo di icecatoi elaboò più in dettaglio i due meccanismi poposti e confontò i isultati speimentali con le pedizioni teoiche ottenute utilizzando un appoccio numeico [37]. Essi evidenziaono come isultato che il fenomeno della manipolazione in condizioni poibite, detta peciò non 6

convenzionale, pesenta un potenziale di intappolamento altamente anisotopo nello spazio; pe una diezione pivilegiata, paallela alla polaizzazione lineae del fascio lase in ingesso, e pe un ceto ange di distanze, si osseva un andamento popozionale a 1/, essendo la sepaazione ta il colloide e la tappola ottica, molto simile all inteazione ta una coppia di caiche coulombiane (foza popozionale a 1/ ). Anche l analisi condotta pe via numeica mosta come la dipendenza del potenziale di intappolamento dalla distanza sia di tipo coulombiano solo pe una ben pecisa diezione, confemando la fote anisotopia del fenomeno, e sia il isultato della combinazione di te contibuti: la distosione elastica del cistallo liquido (intono alla paticella e nella egione di tappola); l accoppiamento dielettico ta il campo elettico non omogeneo del fascio focalizzato e il campo non omogeneo e anisotopo del diettoe nel nematico; l inteazione dielettica di tipo epulsivo dovuta al basso indice di ifazione del colloide in un mezzo ad alto indice. Il pesente lavoo di tesi tae spunto da tali impotanti isultati ed evidenze speimentali e popone un analisi e una caatteizzazione più accuate del meccanismo di intappolamento ottico non convenzionale; l attenzione, in paticolae, si è soffemata sulla natua di tale fenomeno, completamente diffeente dalla manipolazione ottica intesa in senso classico, e peciò egolato da paameti non legati alla tadizionale foza di gadiente. Obiettivo pincipale è stato quello di individuae e ealizzae misue accuate che mostasseo in maniea quantitativa il legame, comunque già evidente dai pecedenti lavoi, ta ioientazione ottica nel cistallo liquido e intappolamento non convenzionale. A tal fine, è stata ealizzata una seie di espeimenti di manipolazione in condizioni poibite, utilizzando un obiettivo a bassa apetua numeica in un cistallo liquido nematico, con i quali icavae l effettiva ioientazione ottenuta pe via ottica in coispondenza della tappola e legae in maniea dietta l entità della distosione alla foza di intappolamento. Nel caso dei cistalli liquidi, l aspetto più ilevante e caatteizzante il fenomeno è il ange di inteazione, cioè la distanza dal fuoco della tappola alla quale la mico-sfeetta isente ancoa della foza di ichiamo, molto maggioe delle dimensioni del colloide. Questa popietà, come visto anche nell inteazione ta colloidi, è dietta conseguenza dell elasticità e dell odine oientazionale a gandi distanze del cistallo liquido nematico e sottolinea 7

l impotante uolo della non località della ioientazione ottica nel pocesso di manipolazione non convenzionale; l effetto della petubazione indotta pe via ottica si ileva anche a gandi distanze (decine di micon) ispetto alla posizione dove il fascio ottico incidente sta agendo, dando una caatteistica unica a questo tipo di intappolamento. Il lavoo è stato incentato su una analisi esaustiva dei dati ottenuti (taiettoie di tapping, foze di inteazione) che sono stati affiancati e suppotati da una tattazione teoica completa del fenomeno; in paticolae, si è ottenuta un impotante elazione ta la foza di ichiamo e la laghezza della egione distota in coispondenza della tappola. Risultato notevole è stata anche la compensione della non necessità di individuae due egimi di intappolamento distinti, come fatto finoa, dal momento che l obiettivo utilizzato pe la focalizzazione (NA=.45) escludeva di fatto il manifestasi della manipolazione convenzionale (sotto soglia) legata al gadiente di intensità ottica e l ottenimento di una tappola stabile nelle te dimensioni. L assenza di una soglia ottica pe la ioientazione è dietta conseguenza dell utilizzo di un fascio lase focalizzato che intoduce una componente longitudinale del campo elettico, ispetto alla diezione di popagazione, componente che è all oigine della distosione indotta senza soglia, come ben noto stoicamente dalla letteatua elativa alla ioientazione ottica nei cistalli liquidi, in appossimazione da onda piana o paassiale [38,39], e come ossevato più ecentemente da Basselet [4,41] pe fasci fotemente focalizzati. In tale ambito, è stata poposta una tattazione teoica pe l analisi della ioientazione ottica che tenesse conto della focalizzazione del fascio di tappola utilizzato e della conseguente depolaizzazione del campo elettico incidente, imuovendo l ipotesi di appossimazione da onda piana o di fascio gaussiano paassiale, quest ultima adottata anche dal guppo di icecatoi sloveni. Le equazioni diffeenziali icavate sono state isolte pe via numeica fonendo l effettivo andamento dell angolo di ioietazione delle molecole di cistallo liquido nel volume del campione a diffeenti potenze. I isultati ottenuti, olte a confemae l ipotesi di assenza di soglia, hanno evidenziato un buon accodo con i dati speimentali di ioientazione, quali lo sfasamento auto-indotto sul fascio di tappola (ottenibile dall ossevazione dal fenomeno nonlineae della Self-Phase Modulation) 8

o la laghezza della egione otticamente distota misuata con visualizzazioni in micoscopia polaizzata. L elaboato è stato suddiviso in una pate teoico-intoduttiva, compendente i pimi te capitoli, in cui è svolta una panoamica geneale dei concetti fondamentali utili allo svolgimento dell attività di iceca, e in una pate speimentale-analitica, che acchiude i capitoli 4 e 5, in cui i maggioi isultati delle misue effettuate vengono illustati e confontati con un modello pedittivo poposto pe lo studio del fenomeno indagato. Il capitolo, in paticolae, affonta bevemente l agomento della manipolazione ottica convenzionale, esaminandone il pincipio di funzionamento, pe sottolineae le diffeenze sostanziali con l intappolamento non convenzionale; viene anche pesentata la teoia dei fasci lase focalizzati, che fonisce un espessione pe le te componenti del campo elettico in possimità del fuoco, utilizzata successivamente nel modello analitico pe la ioientazione. Nel capitolo 3 sono illustate le popietà ottiche, eletto-ottiche e meccaniche dei cistalli liquidi e i concetti pincipali dell ottica non lineae, alla base di fenomeni come la Self- Phase Modulation ossevata nel coso delle pove speimentali; l attenzione è ivolta sopattutto alla ioientazione delle molecole di cistallo liquido indotta dalla luce e alla soglia di Fèedeicksz ottica. Il capitolo 4 pesenta l appaato speimentale utilizzato pe le pove di intappolamento non convenzionale, i tipi di mateiali utilizzati e la fase di pepaazione dei campioni. I dati ottenuti elativi alle taiettoie di tapping e alle foze di inteazione sono illustati e affiancati alle misue diette di ioientazione ottica. È utilizzato un modello analitico basato sul egime dell ottica geometica, pe calcolae, seguendo un appoccio numeico, le foze di natua esclusivamente ottica legate alla manipolazione classica, e pe escludee la possibilità di intappolamento convenzionale nel cistallo liquido nelle condizioni speimentali scelte. Il capitolo 5, infine, compende l intepetazione dei dati speimentali e una fomulazione analitica valida pe la foza di ichiamo che la tappola ottica esecita nei confonti del colloide, sia a gande distanza che in possimità del fuoco del fascio. Un modello pedittivo pe il calcolo della ioientazione indotta nel cistallo liquido dalla fote focalizzazione viene poposto, abbandonando l appossimazione di campo elettico gaussiano paassiale, e i 9

isultati ottenuti sono confontati in maniea soddisfacente con i dati foniti dalle misue eseguite. 1

Capitolo Manipolazione ottica convenzionale.1. Pincipi di intappolamento ottico Una tappola ottica è costituita da un fascio lase fotemente focalizzato da un obiettivo di un micoscopio ad elevata apetua numeica (N.A.); tale gandezza, caatteistica fondamentale dell obiettivo, è definita come : NA = nmsenφ max, [.1] dove n m è l indice di ifazione del mezzo fapposto ta la lente del micoscopio e l oggetto, mente φmax è l angolo di semiapetua, ovveo l angolo massimo di convegenza dei aggi ottici in ingesso deviati e focalizzati dall obiettivo. In possimità del fuoco di tappola, una paticella dielettica subisce una foza dovuta al tasfeimento ad essa del momento lineae da pate della luce incidente, tasfeimento legato allo scatteing dei fotoni incidenti. La isultante foza di natua ottica viene tadizionalmente individuata da due componenti: la foza di scatteing, che punta nella diezione di popagazione del fascio, e la foza di gadiente, oientata nella diezione del gadiente di intensità luminosa. Tale decomposizione è semplicemente una convenzione adottata pe semplificae lo studio della foza ottica, ma si deve sottolineae che entambe le componenti deivano dallo stesso fenomeno fisico. L oigine della foza di scatteing è legata alla luce incidente che, colpendo la paticella da una ceta diezione, viene diffusa in una vaietà di diezioni, mente una pate della adiazione viene assobita dall oggetto. Come isultato, si ottiene un tasfeimento netto di momento lineae dai fotoni incidenti alla paticella; pe un oggetto diffondente isotopo, le foze isultanti si elidono in 11

tutte le diezioni tanne in quella di popagazione del fascio e una supeficie di scatteing efficace può essee calcolata. Pe la maggio pate delle situazioni convenzionali la foza di scatteing pedomina, ma, in pesenza di un elevato gadiente di intensità (come vicino al fuoco di un fascio lase), la componente legata ad esso deve essee consideata. La foza di gadiente, come il nome suggeisce, deiva dal fatto che un dipolo in un campo elettico non omogeneo è soggetto ad una foza nella diezione del gadiente del campo. Nella tappola ottica il lase induce dei dipoli fluttuanti nella paticella dielettica e l inteazione di essi con il campo elettico non omogeneo cea la foza intappolante; essa è, dunque, popozionale sia alla polaizzabilità del dielettico che al gadiente di intensità ottica in possimità del fuoco. Riassumendo quanto detto, si può affemae che, mente la foza di scatteing è popozionale al numeo di fotoni incidenti, e quindi all intensità della adiazione, la foza di gadiente è popozionale al gadiente dell intensità del fascio. Pe avee una tappola stabile nello spazio, la componente della foza di gadiente nella diezione del fascio lase che tende a spingee la paticella nella egione focale deve supeae la componente di scatteing che la spinge, invece, lontano da quella egione. Questa condizione necessita di un gadiente di luce molto fote, podotto focalizzando il fascio lase in uno spot al limite della diffazione utilizzando un obiettivo ad alta apetua numeica. Come isultato del bilanciamento ta la foza di gadiente e quella di scatteing, la posizione di equilibio occupata dalla paticella intappolata lungo l asse ottico si tova leggemente olte la zona focale, cioè al di sotto di essa se il fascio poviene dall alto (down-steam). Pe piccoli spostamenti ( 15 nm), la foza di ichiamo dovuta al gadiente d intensità è semplicemente popozionale alla distanza dal punto di equilibio; in alte paole, la tappola ottica, seguendo la legge di Hook, si compota come una molla la cui costante elastica caatteistica è popozionale all intensità della adiazione. Volendo sviluppae una tattazione teoica dell intappolamento ottico, si passeà nei successivi paagafi al calcolo dietto delle foze finoa descitte; sfotunatamente, una teoia geneale, valida pe paticelle di abitaia foma e dimensione, non è ancoa stata sviluppata. Si faà ifeimento al caso di paticelle dielettiche sfeiche in due condizioni limite, in cui le foze in gioco possono essee calcolate più 1

agevolmente: nella pima, il aggio R b della sfea intappolata è molto più gande della lunghezza d onda λ del fascio lase (R b >>λ) e si possono utilizzae le appossimazioni dell ottica geometica o ottica dei aggi; nella situazione opposta, coispondente al egime di Rayleigh (R b <<λ), la paticella può essee consideata come un dipolo puntifome immeso in un campo elettico non omogeneo. Nel caso intemedio, indicato come egime di Loenz-Mie (R b λ), che non veà tattato in questa discussione, le appossimazioni viste non sono più valide e una teoia elettomagnetica più geneale è necessaia pe fonie un accuata descizione del fenomeno... Regime dell ottica geometica Nel egime dell ottica geometica il fascio lase viene decomposto in un insieme di aggi, ognuno dei quali caatteizzato da una popia intensità, diezione e stato di polaizzazione, che si popagano in linea etta in un mezzo con indice di ifazione unifome. Ogni aggio può cambiae diezione quando viene iflesso o ifatto all intefaccia ta due mezzi diffeenti, secondo le usuali leggi di Fesnel; in questo egime gli effetti dovuti alla diffazione possono essee tascuati. Un aggio luminoso, che inconta sul popio cammino una paticella dielettica con indice di ifazione maggioe di quello dell ambiente cicostante, viene ifatto modificando la popia diezione di popagazione. A questa deviazione coisponde una vaiazione del momento (vettoe d onda) associato a ciascun aggio e, pe la legge di consevazione del momento, anche la sfeetta subià una vaiazione, nell unità di tempo, nella stessa diezione, uguale in modulo e di veso opposto. L oggetto isentià petanto, dall inteazione con il aggio incidente, di una foza (vaiazione della quantità di moto nell unità di tempo) che lo spingeà in una ceta diezione. Pe compendee l effetto complessivo dovuto a tutti i aggi del fascio, facciamo ifeimento alla fig..1 in cui è illustata una descizione qualitativa del 13

funzionamento di una tappola a singolo fascio. L azione della tappola sulla sfeetta dielettica è descitta in temini della foza totale legata ad una tipica coppia di aggi a e b del fascio focalizzato, nell ipotesi semplificata di iflessione nulla sulla supeficie del dielettico. In questa appossimazione, le foze F e a F b sono inteamente dovute alla ifazione e sono oientate nella diezione della vaiazione del momento. Si osseva che, pe spostamenti abitai del cento della sfea O ispetto al fuoco f, il vettoe somma ichiamo dietta sempe veso il fuoco. F F a + F = fonisce una foza netta di b Figua.1 - Pincipio di funzionamento di una tappola ottica Ripetendo il discoso pe tutti i aggi del fascio e sommando tutte le foze, si ottiene una foza isultante ancoa dietta veso il fuoco, che ende peciò la tappola stabile. È da sottolineae il fatto che la foza di ichiamo della tappola si oigina peché l indice di ifazione della sfea è supeioe a quello del mezzo cicostante; in caso 14

contaio, i vettoi schematizzati negli esempi di fig..1 avebbeo un alta diezione; ciascun aggio ifatto, infatti, si allontaneebbe dalla nomale alla supeficie della sfeetta nel punto di incidenza, invece che avvicinasi ad essa. In conseguenza di ciò le foze avebbeo veso opposto ispetto a quello visualizzato, potando ad una foza isultante che allontana la paticella dal fuoco. Un alto aspetto impotante da consideae iguada il fatto che, pe ottenee una tappola ottica, bisogna utilizzae un fascio lase altamente focalizzato e con un gadiente d intensità fotemente vaiabile nello spazio; questo è illustato in figua.. Figua. Effetto del pofilo di intensità del lase Nella pate sinista (fig.. a), si osseva una sfeetta taspaente colpita da un fascio di luce costituito da aggi paalleli con gadiente di intensità cescente da sinista a desta; vengono pesi in consideazione due aggi appesentativi di diffeente intensità e indicati da linee nee di diveso spessoe. Essi subiscono una vaiazione di momento il cui isultato è la coppia di foze applicate alla paticella e visualizzate dalle fecce gigie; la foza isultante è dietta veso desta, seguendo il gadiente d intensità, e leggemente veso il basso. Nel caso di fig.. b, invece, la sfea è illuminata da un fascio focalizzato con intensità che vaia adialmente; i due aggi appesentativi sono di nuovo ifatti, ma 15

in questa occasione la vaiazione di momento pota ad una isultante dietta veso il fuoco. Le foze lateali si bilanciano l una con l alta, mente la componente assiale è compensata dalla foza di scatteing (non disegnata) nel punto di equilibio. Il semplice modello dell ottica geometica elativo ad una tappola a singolo fascio, utilizzato pe il calcolo delle foze di scatteing, di gadiente e totale, agenti su una sfea di diameto R b >>λ, è illustato in figua.3; l appoccio seguito è lo stesso indicato in [4]. La tappola è ealizzata a patie da un fascio incidente paallelo caatteizzato da distibuzione d intensità e polaizzazione abitaie, che enta in un obiettivo da micoscopio ad alta apetua numeica ed è focalizzato aggio pe aggio nel punto f adimensionale; sia il cento O della paticella che il fuoco f del fascio sono posizionati lungo l asse z pe semplificae il calcolo. Figua.3 (A) Modello dell ottica geometica elativo ad una tappola a singolo fascio;(b) Foze di scatteing e di gadiente elative al singolo aggio nel piano di incidenza La foza totale agente sull oggetto è data dalla somma vettoiale dei contibuti dovuti a tutti i aggi che incidono sull apetua dell obiettivo, ciascuno a distanza ~ dall asse z del fascio e individuato da un angolo β ispetto al piano veticale yz.. 16

Il contibuto legato al singolo aggio di potenza dp che colpisce la paticella dielettica è indicato in [4]: ( ) n cos cos m T θi θ + R θi dfs = 1 R cos θ + i dp ( ) dp = Σ % [. a] c 1+ R + R cos θ ( ) n sin sin m T θi θ + R θi dfg = Rsin θ i dp ( ) dp = Γ %, [. b] c 1+ R + R cos θ dove θi e θ sono gli angoli di incidenza e ifazione del aggio sulla supeficie della paticella, R e T sono i coefficienti di iflessione e tasmissione di Fesnel all intefaccia secondo l angolo cicostante la micosfea. θ i e n m è l indice di ifazione del mezzo Le espessioni. foniscono le due componenti di scatteing e di gadiente, dfs e df g, appesentate in fig..3 B, della foza isultante che agisce sull oigine della sfea; tali fomule sono state icavate consideando iflessioni e ifazioni multiple del singolo aggio sulla paticella (è stata imossa l ipotesi di iflessione nulla all intefaccia) e sono peciò esatte. Notiamo dalle. che le foze in gioco dipendono dalla polaizzazione del campo elettico incidente, dal momento che i coefficienti di Fesnel R e T cambiano pe aggi polaizzati pependicolamente o paallelamente al piano di incidenza (piano individuato dal aggio incidente e dalla nomale alla supeficie della sfea nel punto di incidenza). Nei limiti di polaizzazione tasvesa elettica (TE) e tasvesa magnetica (TM), essi assumono i seguenti valoi : R TE sin = sin ( θ i θ ) ( θ + θ ) i [.3 a] con / = 1. T TE TM RTE / TM R TM tan = tan ( θ i θ ) ( θ + θ ) i [.3 b] 17

Nel caso patico in cui la polaizzazione è lineae, oppue cicolae, e il cento della sfea si tova sull asse z, si può consideae, pe agioni di simmetia, 1 R = ( R TE + R TM ). [.4] L appossimazione, in ealtà, è da itenee ancoa valida anche se il cento della sfea non è più sull asse z; se l indice di ifazione elativo m (appoto ta l indice di ifazione della paticella e quello del mezzo) è.8<m<1., la diffeenza ta i coefficienti R TE e R TM è al massimo nell odine del 1% e si aggiunge pe i aggi incidenti con angoli piuttosto gandi, caatteizzati tipicamente da intensità minoe. Si assume, dunque, pe convenienza che il fascio in ingesso sia polaizzato cicolamente, con metà della potenza distibuita egualmente su ognuna delle due polaizzazioni lineai otogonali che la compongono. Il calcolo della foza complessiva che agisce sulla paticella si ottiene integando le componenti df s e df g su tutta la distibuzione dei aggi in ingesso. Consideiamo, in paticolae, il piano veticale wz, appesentato in fig..3 B; esso è uotato di un angolo β ispetto al piano yz e, in base alla definizione data in pecedenza, è un piano di incidenza. Su tale piano l oigine degli assi è posta nel cento O della sfea, mente il fuoco f è posizionato sopa di esso ad una distanza S lungo l asse z; da semplici consideazioni geometiche, possiamo icavae la elazione ta l angolo di incidenza focalizzato con l asse z : θ i e l angolo φ, fomato da ciascun aggio Rb sinθi = S sinφ [.5] dove R b è il aggio della sfea. Scegliamo R b =1, dal momento che, nei limiti dell ottica geometica, le foze isultanti non dipendono dalle dimensioni della sfea (espessioni.); conoscendo θ i possiamo icavae, sempe dalle., le componenti df g e df s dovute al aggio 18

con polaizzazione cicolae, pima calcolandole pe ognuna delle due polaizzazioni, paallela e pependicolae al piano di incidenza, e successivamente sommando i isultati. Pe agioni di simmetia, evidenti dalla fig..3 B, la foza complessiva dovuta all inteo fascio è dietta lungo l asse z; quando il fuoco si tova al di sopa dell oigine O (S>), il contibuto di ogni aggio isulta : df = sinφ [.6 a] gz df g df sz = df s cosφ, [.6 b] cioè costituito da una componente di gadiente negativa e da una di scatteing positiva lungo z. Se il fuoco, invece, sta al di sotto di O (S<), la componente di gadiente cambia segno, mente quella di scatteing imane positiva, puntando entambe veso il fuoco del fascio. Possiamo peciò palae pe la pima di un andamento antisimmetico lungo S e di uno simmetico pe la seconda. La condizione di intappolamento è ealizzata quando vi è un punto di equilibio ta la foza di scatteing e quella di gadiente (S>, downsteam) : df =. [.7] gz df sz Pe piccoli spostamenti da tale posizione, la isultante delle foze è dietta veso tale punto, cioè df gz > df sz. [.8] L integazione delle foze è calcolata sulla supeficie A AP, che costituisce l apetua d ingesso dell obiettivo, fino al aggio massimo max pe cui φ = φmax : S π max sz β (%) cosφ (%) (%)% % [.9 a] AAP F = df = d Σ I d 19

G π max gz β (%) sinφ (%) (%)% %, [.9 b] AAP F = df = d Γ I d dove è stato intodotto il pofilo di intensità del fascio incidente I ( ~ ), legato alla potenza dp del singolo aggio dalla elazione dp = I ( ~ ) ~ d ~ dβ. Gli integali nelle fomule.9 sono stati isolti pe via numeica e i isultati ottenuti, sostituendo i paameti eali, quali l apetua numeica dell obiettivo o gli indici di ifazione del mezzo cicostante, utilizzati nelle pove speimentali di intappolamento, saanno pesentati nel coso del capitolo 4. Essi mosteanno come le condizioni scelte pe la manipolazione nel cistallo liquido siano effettivamente poibite, cioè non pemettano la ceazione di una tappola tidimensionale stabile, nel senso inteso classicamente. L appossimazione geometica pe il calcolo delle foze è ben giustificata nell analisi delle misue eseguite dal momento che, come vedemo nei successivi capitoli, la dimensione della paticella dielettica è gande ispetto alla lunghezza d onda, R 1λ. b A titolo di esempio pe la manipolazione convenzionale possiamo consideae, come in [4], un obiettivo ad immesione in acqua caatteizzato da apetua numeica N.A. =1.5, coispondente ad un massimo angolo di convegenza pe i aggi φ max 7 ; la sfea intappolata ha indice di ifazione elativo m=1. e il fascio in ingesso iempie l apetua dell obiettivo con pofilo d intensità unifome. La figua.4 mosta l intensità della foza di gadiente, della foza di scatteing e di quella isultante, pe posizioni del fuoco sopa (S>) e sotto (S<) il cento O della sfea, espesse in temini dei paameti adimensionali di efficienza Q, Q e definiti da g s Q t, nmp Fi = Q ; [.1] i c

viene inolte affiguata la sfea stessa come ifeimento. I paameti Q i indicano quanta pate della pessione di adiazione disponibile n m P/c viene convetita ispettivamente nella foza di gadiente, di scatteing e totale. Figua.4 - Intensità delle foze di gadiente, di scatteing e della foza totale in funzione della posizione S del fuoco ispetto al cento della sfea Si osseva chiaamente che le foze di natua ottica sono quasi esclusivamente confinate nel volume della paticella. Il punto di equilibio stabile, S. 6, coisponde alla situazione in cui il fuoco della tappola è posizionato appena sopa il cento O della sfea; la foza di ichiamo dovuta al gadiente bilancia la debole foza di scatteing dietta veso le z positive. Lontano dal punto di equilibio la componente di gadiente domina e E Q t aggiunge il suo massimo molto vicino agli estemi della sfea, pe S 1. 1 e ( S ) 1.. Questo compotamento dipende dal fatto che, quando il fuoco si tova in quelle posizioni, una pate significativa di tutti i aggi incidenti ha contempoaneamente 1

valoi elevati dell angolo di incidenza θ i e dell angolo di convegenza φ ; ciò assicua un fote contibuto di tali aggi alla foza di gadiente assiale, uno molto idotto alla foza di scatteing assiale df cosφ. s df g sinφ, e.3. Regime di Rayleigh Nel caso in cui l oggetto intappolato sia molto più piccolo della lunghezza d onda della adiazione incidente, (Rb<<λ), le condizioni dello scatteing di Rayleigh sono soddisfatte: il campo elettico istantaneo, che la paticella subisce pe effetto del fascio ottico incidente, si può consideae unifome sulla sua estensione e le equazioni dell elettostatica possono essee applicate. La distinzione ta le componenti di iflessione, ifazione e diffazione può essee ignoata e le foze ottiche sono calcolate consideando la paticella come un dipolo puntifome indotto dal campo elettico a fequenze ottiche. In questa appossimazione, detta appossimazione di Rayleigh, le foze di scatteing e di gadiente sono tattate sepaatamente; la pima è legata alle vaiazioni del momento dell onda e.m. dovute allo scatteing da dipolo, la seconda alla foza di Loenz che agisce sul dipolo indotto [1,43]. Le loo espessioni teoiche sono deivate come funzioni di quantità fisiche misuabili nel sistema di unità MKS [44]. In figua.5 è illustata la geometia di una sfea dielettica di indice di ifazione ns, immesa in un mezzo con indice n m, investita da un fascio lase a pofilo gaussiano, caatteistico del modo fondamentale TEM e in appossimazione paassiale del campo elettico focalizzato, polaizzato lineamente lungo l asse x e che si popaga nella diezione z; w appesenta il aggio in coispondenza del waist, ovveo della sezione di minima estensione tasvesale del fascio. L oigine P O del sistema di ifeimento (x,y,z) scelto è posta al cento del waist e G O è il cento della paticella individuato dal vettoe posizione = ( x, y, z).

Figua.5 Paticella investita da un fascio lase gaussiano focalizzato Nell appossimazione di odine zeo di un fascio gaussiano paassiale, non applicabile quindi a igoe ad una fascio fotemente focalizzato come quello di una tappola ottica, il vettoe campo elettico nella posizione, in notazione complessa, è dato da : ( ) ( kw ) + ( z) ( ) ( ) ( kw ) + ( z) ikw kz x y kw x y E( ) E( ) xˆ E exp( ikz) exp + i exp + [.11] = = xˆ ikw z + dove k è il numeo d onda nel mezzo e vale πn m λ, E è l ampiezza del campo elettico al cento e dello spazio è espessa da: O G del waist (x=y=z=), mente la sua funzione eale del tempo E [ ] (, t) Re E( ) exp( iωt) =. [.1 ] Una gandezza fisica impotante e misuabile nella valutazione della foza di adiazione è l intensità del fascio alla posizione = ( x, y, z) ; essa è definita come 3

= : la media tempoale del vettoe di Poynting S (, t) E(, t) H (, t) I ( ) S(, t) = Re E( ) H ( ) T 1 n c * mε [ ] = E( ) zˆ = I( )zˆ, [.13] dove I ( ) ( x + y ) P 1 = exp πw 1+ ( z ) 1+ ( z), [.14] in cui P è la potenza del fascio, data da P = πw n 4, e mε ce x y z x, y, z) = (,, ) appesentano le coodinate spaziali nomalizzate. w w kw ( Bisogna sottolineae che l espessione.13 fonisce una elazione ta l ampiezza del campo elettico complesso e l intensità di adiazione pe un fascio lase gaussiano in egime amonico nelle unità MKS. Come già accennato, inolte, la descizione del campo elettico, data dalla.11, costituisce una semplice appossimazione paassiale dell equazione d onda scalae di un fascio gaussiano e coisponde ad un appoccio di odine zeo; pe descivee fasci lase altamente focalizzati sono ichieste coezioni di odine supeioe o una tattazione più igoosa, agomento che affonteemo nel possimo paagafo. La foza di scatteing è dovuta all assobimento e alla eiadiazione della luce da pate del dipolo indotto: esso segue in maniea sincona le oscillazioni amoniche del campo elettico (dipolo indotto oscillante), iadiando onde e.m. secondaie o diffuse in tutte le diezioni. Se l emissione non ha diezioni pivilegiate, isulteà una foza netta nella diezione del fascio incidente : F scat scat S(, t) σ T σ scat I( ) = nm zˆ = nm z ˆ, [.15] c c ( ) 4

dove n m è l indice di ifazione del mezzo, S (, t) T è il valo medio tempoale del vettoe di Poynting (confonta con la.13), c è la velocità della luce nel vuoto e σ scat è la sezione di scatteing della paticella, che nel caso di una sfea è data da : 5 6 18π R m 1 σ = b 4 3, [.16] scat λ m + con R b aggio della sfea, λ lunghezza d onda del fascio intappolante e m indice di ifazione elativo della paticella ispetto al mezzo n s n ) ( m m =. Dalle.15 e.16 osseviamo che la foza di scatteing è diettamente popozionale all intensità luminosa, cesce con la sesta potenza del aggio della paticella ed è oientata sempe secondo la diezione di popagazione del fascio, indipendentemente dal valoe di m. La foza di gadiente nasce, invece, dall inteazione del dipolo indotto con un campo p elettico non omogeneo; definiamo il momento di dipolo (, t) della paticella nel E campo elettico (, t) come: p =, [.17] (, t) αe( t) dove α è la polaizzabilità della sfea dielettica e vale: 3 m 1 α = 4πn m ε R [.18] b m + in unità del sistema MKS. Utilizzando l analogia con il caso elettostatico, possiamo scivee che il dipolo elettico subisce una foza istantanea pai a: [ ] E( t) F gad =, ; [.19] (, t) p(, t) 5

6 sostituendo le.17 e.18 nella fomula.19, otteniamo: ( ) ( ) 3, 1 1 4, t E m m R n t F b m gad + = ε π. [.] La foza di gadiente che la sfeetta subisce in un egime quasi-stazionaio è la media tempoale dell equazione. ed è data da : ( ) ( ) ( ) T b m T gad gad t E m m R n t F F 3, 1 1 4, v + = = ε π [.1] ( ) ( ) ( ) I m m c R n E m m R n F b m b m gad + = + = 1 1 3 3 π ε π, [.] dove abbiamo utilizzato le elazioni ) ( 1 ), ( E t E T = e la.13. Tale foza isulta, quindi, diettamente popozionale al gadiente di intensità del fascio di luce, ha sempe la stessa diezione del gadiente e stesso veso se m>1 ; in paticolae essa cesce con la teza potenza del aggio della sfea dielettica. La condizione m>1, cioè n s >n m, come già visto nel egime dell ottica geometica, è quella che ende possibile l intappolamento, dal momento che solo in questo caso la foza di gadiente punta veso il cento G O del waist (fig..5) ed è dunque attattiva ispetto al fuoco della tappola. Nel caso in cui il fascio sia gaussiano, si osseva da evidenze speimentali che la paticella è soggetta, in pima appossimazione, ad un potenziale amonico. La foza di ichiamo, alloa, può icavasi diettamente dalla nota legge di Hook: k F TRAP =, [.31]

dove k TRAP è la costante elastica o stiffness della tappola ottica e è lo spostamento dalla posizione di equilibio (fig..6). Figua.6 Potenziale amonico associato alla tappola pe bevi spostamenti dall equilibio.4. Teoia dei fasci focalizzati In questo paagafo veà utilizzata la appesentazione dello spetto angolae pe descivee la distibuzione del campo elettico associato ad un fascio lase altamente focalizzato, seguendo lo stesso appoccio poposto in [45], che imuove l ipotesi di appossimazione paassiale nomalmente utilizzata. Le espessioni ottenute saanno ipese nel capitolo 5 e applicate al modello teoico sviluppato pe lo studio della ioientazione indotta nel cistallo liquido in possimità della tappola ottica. La appesentazione dello spetto angolae è una tecnica matematica in base alla quale i campi ottici vengono descitti come sovapposizione di onde piane e onde evanescenti, soluzioni fisicamente intuitive delle equazioni di Maxwell. 7

E Assumiamo che il campo elettico ( ) sia noto in ogni punto dello spazio individuato dal vettoe posizione = ( x, y, z) ; scegliendo un asse abitaio z, si può consideae il piano z=cost., pependicolae all asse scelto. In questo piano la tasfomata di Fouie in due dimensioni del campo E, detta spetto spaziale di E, è data da: + 1 i( kxx+ k y y ) Eˆ( k x, k y ; z) = E( x, y, z) e dxdy 4π, [.3] dove x e y sono le coodinate catesiane tasvesali, mente k x e k y sono le coispondenti fequenze spaziali. Analogamente, la tasfomata invesa (o antitasfomata) dello spetto spaziale si può scivee come: E( x, y, z) i ( ) ( k x+ k y k k z e ) x y,, + = Eˆ x y dk xdk y. [.33] In un mezzo omogeneo, lo spetto spaziale Ê del campo ottico E nel piano z=cost. è unicamente deteminato dallo spetto spaziale in un piano diffeente z=, in accodo con la elazione lineae: Eˆ ± ikz z ( k, k ; z) e Eˆ ( k, k ;) x y =, [.34] x y dove la componente longitudinale del vettoe d onda è definita da: ( k k ) con Im{ k } [.35] k z k x + e il temine esponenziale è chiamato popagatoe nello spazio ecipoco. Inseendo la.34 nell equazione.33, si icava, pe z abitaio, la appesentazione dello spetto angolae: E ( x, y, z) Eˆ ( k, k ;) y + i[ kx x+ k y y± kz z] = x y e dk xdk y z ; [.36] 8

come si vede, essa è una sovapposizione di onde piane e onde evanescenti poichè, se ( k k x + k y ) <, cioè z k eale, il fattoe esponenziale exp( ik z z) ± è una funzione oscillante, mente se ( k k x + k y ) >, z k immaginaio, esso è una funzione esponenziale decescente. Nella condizione in cui il piano z=cost. è sufficientemente lontano, il contibuto delle onde evanescenti è nullo e l integazione nella.36 può essee idotta all aea cicolae ( k k x + k y ) ; in alte paole, il campo in z è una appesentazione, filtata dalle fequenze spaziali più elevate (passa-basso) pe effetto della popagazione, del campo iniziale in z=. In molti poblemi di ottica la popagazione dei campi avviene pevalentemente lungo una ceta diezione z, come pe un fascio lase, allagandosi poco in diezione tasvesale; in queste situazioni i vettoi d onda k = k, k, k ), nella ( x y z appesentazione dello spetto angolae, sono paticamente paalleli all asse z e i numei d onda tasvesali, k ) ( x y k isultano piccoli ispetto a k. Possiamo dunque espandee la adice quadata nell eq..35 in seie, ottenendo: k z ( k + k ) ( k + k ) x y x k 1 k ; [.37] k k y tale appossimazione è detta appossimazione paassiale, semplifica notevolmente la soluzione analitica degli integali di Fouie ed è adatta ad una descizione di fasci lase debolmente focalizzati. Consideiamo una distibuzione di campo gaussiana nel waist di un fascio ottico fondamentale lineamente polaizzato: ( x', y',) x' + y' w e E = E, [.38] 9