Moto armonico Moti periodici Moto armonico semplice: descrizione cinematica e dinamica Energia nel moto armonico semplice Il pendolo Oscillazioni smorzate Oscillazioni forzate e risonanza
Moto periodico Si definisce periodico un moto che si ripete ad intervalli di tempo regolari. A C h h L intervallo di tempo necessario per compiere l intero ciclo di oscillazione (Aà Cà A) è detto periodo. >> Unità di misura nel SI à secondo (s) B In numero di oscillazioni complete nell unità di tempo è detto frequenza f = 1 T >> Unità di misura nel SI à hertz (Hz) = 1/s
Moto armonico semplice: il sistema massa-molla Una massa m, collegata ad una molla, è libera di oscillare su una superficie orizzontale priva di attrito. Quando la molla è a riposo ha una sua lunghezza caratteristica e non esercita forze sulla massa. Sia =0 la posizione della massa quando la molla è a riposo à posizione di equilibrio
Moto armonico semplice: la forza elastica di richiamo Se si sposta la massa m dalla posizione di equilibrio ad una generica posizine, la molla, compressa o allungata, esercita una forza per riportare m nella posizione iniziale à forza elastica di richiamo! F = k! 0 1 k à costante elastica della molla à spostamento dalla posizione di equilibrio Oscillatore armonico semplice: sistema oscillante caratterizzato da una forza di richiamo direttamente proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e di verso opposto a questo.
Moto armonico semplice POSIZIONE DI EQUILIBRIO (=0) Forza di richiamo nulla 0 A MOLLA ALLUNGATA (>0) Forza di richiamo negativa -A 0 MOLLA COMPRESSA (<0) Forza di richiamo positiva La massa m portata nella posizione A e lasciata libera oscillerà tra le posizioni A e -A
Accelerazione di un corpo in moto armonico semplice! F = k!! F = m! a k! = m! a! a = k m! POSIZIONE DI EQUILIBRIO (=0) Accelerazione nulla! a MOLLA ALLUNGATA, MASSIMO SPOSTAMENTO (=A)! a -A 0 A 0 Accelerazione massima a = k m A MOLLA COMPRESSA, MASSIMO SPOSTAMENTO (=-A) Accelerazione massima a = k m A
Velocità di un corpo in moto armonico semplice Accelerazione non nulla à velocità variabile nel tempo MOLLA ALLUNGATA, MASSIMO SPOSTAMENTO (=A) Velocità nulla Punto di inversione del moto 0 A POSIZIONE DI EQUILIBRIO (=0) Velocità massima -A 0 MOLLA COMPRESSA, MASSIMO SPOSTAMENTO (=-A) Velocità nulla Punto di inversione del moto
Spostamento di una massa attaccata ad una molla A A à ampiezza Lo spostamento di una massa attaccata ad una molla ha un andamento temporale sinusoidale o cosinusoidale.
Rappresentazione matematica del moto armonico semplice a = k m a = dv dt = d dt (d dt ) = d 2 dt 2 d 2 dt = k 2 m d 2 k dt 2 m = ω 2 = ω 2 d 2 dt 2 = ω 2 Equazione differenziale del secondo ordine Soluzione: famiglia di funzioni (t) la cui derivata seconda è uguale alla funzione stessa cambiata di segno e moltiplicata per ω 2 Le funzioni seno e coseno si comportano così Soluzione: (t) = Acos(ωt +φ)
Verifica della soluzione trovata (t) = Acos(ωt +φ) d dt = d [Acos(ωt +φ)] = ωasen(ωt +φ) dt = v(t) d 2 dt 2 = d dt [ ωasen(ωt +φ)] = ω 2 Acos(ωt +φ) (t) = a(t) d 2 dt 2 = ω 2 1. Abbiamo verificato che l equazione è soddisfatta 2. Abbiamo derivato l andamento della velocità in funzione del tempo 3. Abbiamo derivato l andamento dell accelerazione in funzione del tempo
Parametri del moto armonico (t) = Acos(ωt +φ) T A Equazione del moto (legge oraria) A à ampiezza: massimo valore della posizione del corpo nella direzione sia positiva che negativa >> Unità di misura nel SI à metro(m) φ à fase iniziale (in radianti) k m = ω 2 ω = k m ω à pulsazione >> Unità di misura nel SI à rad/s T = 2π ω = 2π m k f = 1 T = ω 2π = 1 2π k m T à periodo: tempo impiegato dal corpo a compiere una oscillazione completa >> Unità di misura nel SI à secondo (s) f à frequenza: numero di oscillazioni complete nell unità di tempo >> Unità di misura nel SI à hertz (Hz)
Significato della fase iniziale La fase iniziale φ non modifica la forma della funzione ma la trasla lungo l asse delle ascisse. 1.5% 1% 0.5% 1.5% φ = -π/4 1% 0.5% φ = 0 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%!0.5% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%!0.5%!1%!1.5% y=cos(t-π/4)!1%!1.5% y=cos(t) 1.5% 1% φ = -π/2 La fase iniziale determina l istante in cui il movimento raggiunge l ampiezza massima. 0.5% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%!0.5%!1%!1.5% y=cos(t-π/2) Come l ampiezza è determinato dalle condizioni inizlali del moto Se a t=0 il corpo parte dalla posizione di massimo spostamento =A la fase iniziale è nulla.
ω = k m = 2π T t Riassumendo ωt posizione velocità accelerazione (t) = Acos(ωt) v(t) = Aωsen(ωt) a(t) = Aω 2 cos(ωt) (a) 0 0 Massimo positivo =A v=0 Massima a = -Aω 2 (b) T/4 π/2 Posizione di equilibrio =0 Massima v = -Aω a = 0 (c) T/2 π Massimo negativo = -A v=0 Massima a = Aω 2 (d) (e) 3T/4 T 3π/2 2π Posizione di equilibrio =0 Massimo positivo =A Velocità massima v = Aω v=0 a = 0 Massima a = -Aω 2
L energia nel moto armonico semplice(1) 0 A Forza di richiamo esercitata da una molla:! F = k! varia durante lo spostamento Se il corpo di massa m si sposta da i a f, la forza di richiamo compie un lavoro L f L = k d = k d = 1 2 k 2 f ( 1 2 k 2 i ) = 1 2 k 2 i 1 2 k f i f i Il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale della massa m à La forza di richiamo della molla è una forza conservativa 2 Possiamo definire un energia potenziale elastica U = 1 2 k2 >> Unità di misura nel SI à joule (J) L =U i U f = 1 2 k 2 i 1 2 k 2 f
L energia nel moto armonico semplice(2) Se l unica forza che agiste sul corpo di massa m è la forza di richiamo della molla, l energia meccanica totale si conserva. L energia cinetica e potenziale variano ma la loro somma rimane costante U = 1 2 k2 = 1 2 k A2 cos 2 (ωt) K = 1 2 mv2 = 1 2 m A2 ω 2 sen 2 (ωt)
L energia nel moto armonico semplice(3) ω = k m = 2π T t ωt U=1/2k 2 K=1/2mv 2 E=U+K (a) 0 0 U massima 1 2 ka2 0 1 2 ka2 (b) T/4 π/2 0 K massima 1 2 m(aω)2 1 2 ka2 (c) T/2 π U massima 1 2 ka2 0 1 2 ka2 (d) (e) 3T/4 T 3π/2 2π 0 U massima 1 2 ka2 K massima 1 2 m(aω)2 0 1 2 ka2 1 2 ka2
Molla verticale Una massa m appesa ad una molla verticale ne causa l allungamento Posizione di equilibrio senza la massa appesa Posizione di equilibrio con la massa appesa La massa oscilla intorno alla nuova posizione di equilibrio ( 0 ); per gli altri aspetti le oscillazioni sono uguali a quelli di una molla orizzontale La molla è in equilibrio quando esercita una forza verso l alto uguale al peso della massa. k 0 = mg 0 = mg k
Il moto circolare uniforme è una composizione di moti armonici semplici Mentre il punto materiale P si muove di moto uniforme con velocità v sulla circonferenza di raggio r, le sue proiezione sugli assi e y, si muovono di moto armonico t = 0 θ = 0 θ = ωt P = r cos(θ) = r cos(ωt) y P = rsen(θ) = rsen(ωt) = r cos(ωt π 2 ) r y y P! ω! r θ! v P P Il moto circolare corrisponde alla composizione di due moti armonici che si effettuano in due direzioni ortogonali e sono sfasati di π/2 La pulsazione ω dei due moti armonici corrisponde alla velocità angolare del moto circolare uniforme
Il pendolo semplice Il pendolo semplice è un sistema meccanico costituito da una massa m appesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile di lunghezza L Il pendolo è in equilibrio quando la massa è sulla verticale del punto di sospenzione. Se spostato dalla posizione di equilibrio il pendolo oscilla intorno a tale posizione. θ F mg Forza di richiamo F = mg sen(θ) ~ mg θ (componente della forza peso tangente alla traiettoria) Nel regime di piccole oscillazioni, il pendolo si muove di moto armonico semplice Il periodo di oscillazione T si determina come: T = 2π L g
Oscillazioni smorzate In molti sistemi fisici si verificano perdite di energia meccanica per effetto di forze dissipative quali l attrito o la resistenza dell aria E = 1 2 ka2 Se E diminuisce, l ampiezza A delle oscillazioni diminuisce Oscillazioni smorzate Le forze dissipative non sono semplici da descrivere analiticamente. Spesso si fa lʼ ipotesi che siano proporzionali alla velocità v con cui oscilla il corpo (es. resistenza dell aria). La forza di smorzamento si oppone al moto! F s = γ! v Velocità del corpo Coefficiente di smorzamento (>0) >> Unità di misura nel SI: kg/s
Se Coefficiente di smorzamento piccolo γ 2 4m 2 < k m ossia A 0 e -γt/2m γ 2 < 4mk ampiezza decresce esponenzialmente nel tempo: A=A 0 e -γt/2m la frequenza di oscillazione diventa f ' = 1 2π k m γ 2 4m 2 Se γ 2 << 4mk f ' 1 2π k m il corpo oscilla con una frequenza circa uguale alla frequenza che avrebbe in assenza di forze di smorzamento ma l ampiezza dell oscillazione decresce esponenzialmente.
Se Coefficente di smorzamento grande γ 2 4mk il sistema torna nella posizione di equilibrio senza oltrepassarla à non oscilla γ 2 > 4mk γ 2 = 4mk Condizione di smorzamento critico: il sistema torna nella posizione di equilibrio nel tempo minimo Alcuni sistemi meccanici (ammortizzatori auto) sono progettati in modo da avvicinarsi alla condizione di smorzamento critico
Oscillazioni forzate È possibile aumetare l energia di un sistema oscillante o integrare l energia persa a causa di forze dissipative applicando una forza esterna periodica che compie un lavoro positivo. f 0 à frequenza naturale del pendolo f 0 = 1 T = 1 2π g L Se si fa oscillare avanti e indietro il punto di sospensione il pendolo continua ad oscillare. Poiché si forza il pendolo, le oscillazioni sono dette forzate. In presenza di forze non conservative, se il punto di sospensione del pendolo viene tenuto fermo, le oscillazioni si smorzano rapidamente. La risposta del sistema dipende dalla frequenza f del movimento della mano. Se f f 0, l ampiezza dell oscillazione può diventare piuttosto grande.
Risonanza Se la frequenza f della forza sollecitante è circa pari alla frequenza naturale f 0 dell oscillatore à risonanza CURVE DI RISONANZA à Ampiezza del moto oscillatorio al variare della frequenza della forza esterna sollecitante Curve diverse si riferiscono a diverse condizioni di smorzamento (à diversi valori di coefficiente di smorzamento) Frequenza propria dell oscillatore non smorzato Frequenza della forza esterna sollecitante f Per piccoli smorzamenti le curve di risonanza hanno un picco alto e stretto quando f f 0 l ampiezza delle oscillazioni può diventare particolarmente grande sistemi selettivi Smorzamento grande à l ampiezza varia poco al variare di f
Vibrazioni molecolari e moto armonico Molti sistemi e problemi complicati si possono ricondurre allo studio dell oscillatore armonico lineare È possibile schematizzare una molecola come un insieme di masse puntiformi (atomi) collegate da molle (legame chimico). Caso più semplice: molecola biatomica lineare Gli atomi legati in una molecola compiono continuamente moti vibrazionali attorno alle loro posizioni di equilibrio (X EQ ). X EQ X MAX X EQ MOTO DI STIRAMENTO (STRECHING) Le masse si allontanano fino a quando arrivano al massimo dellʼ elongazione (X MAX ) ripassano per la posizione di equilibrio (X EQ ) X MIN avvicinarsi ad una distanza X MIN ripassano per la posizione di equilibrio. E così via
La massa ridotta Dati due punti materiali di massa M 1 ed M 2 che si muovono solo in virtù di forze di mutua interazione, il moto di uno (M 2 ) rispetto allʼ altro (M 1 ) può essere trattato come se questʼ ultimo fosse fermo, con lʼ unico accorgimento di sostituire alla massa M 2 la massa ridotta μ. EQ EQ M 1 M 2 La frequenza di vibrazione della molecola biatomica lineare f 0 = 1 2π Se una molecola assorbe radiazione di una determinata frequenza, vuol dire che può vibrare a quella frequenza Tale frequenza può essere determinata sperimentalmente con la spettroscopia infrarossa e dà informazioni sulla forza del legame (k) http://www.federica.unina.it/farmacia/metodi-spettroscopici-in-chimica-organica/ spettroscopia-ir-1/ k µ
Oscillatore armonico classico e quantistico Le molecole si comportano in realtà come oscillatori quantistici In meccanica quantistica l energia di un oscillatore armonico può assumere solo valori discreti l energia dello stato fondamentale non è nulla. ω = k µ (stessa ω ricavata nel caso classico) h = costante di Plank = 6.63 10-34 J s