Una raccolta di esercizi

Corso di Aalisi matematica per Fisici (aa 007-08) (prof Alfoso Villai) Ua raccolta di esercizi (aggiorameto: maggio 008) Risolvere le segueti equazioi ell icogita : a) ( + ) = ( ); b) ( 8) = 9; c) 4 = 9; d) ( )( + 5 )( + 5) = 0; e) 4 4 + = 0 6 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : a) + ( ); b) 5 4 > + 5 ; c) 4 8 + 49 0; d) ( + 5)( + 7) < 0; e) ( + )( + + ) > 0; f) 4 5 9 + 4 0; g) ( 4)( 4) < 0 5 9 Risolvere i segueti sistemi di disequazioi ell icogita : (a) 4 0 5 > 0, (b) + + + 4 0, (c) + > 0 ( + ) 0 + + 0 > 0 + + 0 Risolvere, al variare del parametro reale a, le segueti equazioi ell icogita : a) a ( + ) = a( ); b) + a + 4 = 0; c) (a 4) + (a + ) = 0; d) ( 5)( a + a ) a = 0 5 Risolvere, al variare del parametro reale a, le segueti disequazioi ell icogita : a) + a( + ) < 0; b) a( + ) + > 0; c) a + (a ) + a 0; d) (a ) a + 0 8 a) Siao A =, 5 7, e B =, 6, 4 Determiare gli isiemi: A B, A B, A \ B, B \ A b) Siao A, B gli isiemi cosiderati i a) e sia C =, + Determiare gli isiemi: (A B) \ C, (A B) \ C, (A \ B) C, (A \ B) C, (A \ B) (C \ A), (A \ B) (C \ A) Siao A e B due isiemi Provare che valgoo le segueti uguagliaze: a) A B = A (B \ A); b) A (B \ A) = B (A \ B); c) A \ B = A \ (A B); d) A B = A \ (A \ B) 4 Siao A, B e C tre isiemi Esprimere (mediate le operazioi isiemistiche) oguo dei segueti isiemi i almeo u modo diverso da quello dato: Giustificare le risposte forite (A B) \ C, (A B) \ C, (A \ B) \ C

7 Per oguo dei segueti sottoisiemi di R decidere se i umeri reali elecati i corrispodeza appartegoo o meo all isieme: a) A = Q 0, ; =, =, =, 9, 4 =,, 5 = 77 4; b) B = ( Q, ) m + : m Z}; y =, 9, y =, 9, y = 4, y 4 = 7 6, y 5 = + 7 + 7 + + 7 0 ; c) C = ( R \ ( Q, + ) ) \ Z; z = 7 4, z = 7, z =, z 4 = 4, z 5 = ; d) D = ( R \ ( Q, + ) ) Z; t = 7, t =, t = 5, t 4 = 5, t 5 = 4, 5, ; e) E = ( R \ ( Q, + ) ) Z; w = 7, w =, w = 5, w 4 =, 9, w 5 =, 9 0 Siao A, B e C tre isiemi Esprimere mediate le operazioi isiemistiche di uioe, itersezioe e differeza i segueti isiemi: a) l isieme degli elemeti che appartegoo ad uo solo dei tre isiemi A, B e C; b) l isieme degli elemeti che appartegoo esattamete a due dei tre isiemi; c) l isieme degli elemeti che appartegoo ad almeo due dei tre isiemi a) Siao A, B e C tre isiemi Provare che A B C = A (B \ A) C \ (A B) (la precedete uguagliaza esprime l uioe A B C dei tre isiemi A, B e C come uioe di tre isiemi a due a due disgiuti) b) Euciare e dimostrare u risultato aalogo relativamete all uioe di isiemi 6 Siao A, B e C sottoisiemi o vuoti di R ) Tradurre le segueti frasi el liguaggio della teoria degli isiemi adoperado soltato i simboli,,, :, il simbolo di somma +, quelli di disuguagliaza <, ecc ed evetualmete quello di implicazioe = (o si possoo usare le egazioi,, ecc): (P ) Se si sommao due qualsiasi umeri, uo apparteete ad A e l altro a B, o si ottiee mai u umero maggiore di tutti i umeri apparteeti a C (P ) Se si sommao due qualsiasi umeri, uo apparteete ad A e l altro a B, o si ottiee mai u umero maggiore di qualcuo dei umeri apparteeti a C (P ) Vi soo due umeri, uo apparteete ad A e l altro a B, la cui somma è maggiore di tutti i umeri apparteeti a C (P 4 ) Dato u qualsiasi umero apparteete ad A, è sempre possibile trovare u altro, apparteete all isieme B, i modo che la somma dei due umeri sia maggiore di tutti i umeri dell isieme C (P 5 ) Dato u qualsiasi umero apparteete ad A, è sempre possibile trovare u altro, apparteete all isieme B, i modo che la somma dei due umeri sia maggiore di almeo u umero apparteete a C ) Per ogua delle frasi (P ),, (P 5 ) precisare A, B e C i maiera tale da otteere ua proposizioe vera

9 Siao (P ),, (P 5 ) le proposizioi dell Esercizio 6 Stabilire quali delle implicazioi (P i ) = (P j ), (i, j =,, 5; i j) soo vere e quali o; i questo secodo caso esibire u cotroesempio 4 Per quali valori del parametro k R si ha che a) almeo uo dei due umeri e è soluzioe della disequazioe ell icogita : (*) k k + k + 0? b) etrambi i umeri e soo soluzioi della (*)? c) uo solo dei due umeri e è soluzioe della (*)? d) essuo dei umeri e è soluzioe della (*)? 45 Per quali valori del parametro k R si ha che: a) almeo uo dei due umeri e è soluzioe del sistema di disequazioi ell icogita : k 4 + + > 0 (s) k + 0? b) etrambi i umeri e soo soluzioi del sistema (s)? c) uo solo dei due umeri e è soluzioe di (s)? d) essuo dei umeri e è soluzioe di (s)? 48 Sia f : R R la fuzioe defiita el modo seguete: f() = + 4 R Rappresetare su ua retta cartesiaa il sego di f() al variare di 5 Dimostrare che i segueti umeri reali soo irrazioali: a) 6, b) 4 6 5, c) + 54 Per quali valori del parametro k R la disequazioe ell icogita 4(k ) + k(k 4) < 0 a) ammette soluzioi? b) ammette soluzioi positive? c) ammette soluzioi, ed esse soo tutte positive? d) ammette sia soluzioi positive che soluzioi egative? 57 Disegare i grafici delle segueti fuzioi reali defiite i tutto R: f () =, f () =, f () =, f 4 () = ; g () =, g () = 4, g () = ma, 4 }, g 4 () = ma, 4 } 5, g 5 () = ma, 4 } 5, h () =, h () = 4, h () = 4 60 Per ogua delle segueti coppie f(), g() di fuzioi reali della variabile reale disegare etrambi i grafici i uo stesso piao cartesiao: a) f() =, g() = 5, b) f() = log, g() = log 5, c) f() =, g() = 5, d) f() =, g() = 5 6 Disegare i grafici delle segueti fuzioi reali di variabile reale: a) 5 7, b) 7 5, c) 6 5, d) 4 5, e) 5 6, f) 5 4, g) 5 7, h) 5 6, i) 6 5

66 Sia Z l isieme dei umeri iteri relativi multipli di (cioè Z = m : m Z}) e sia Q + l isieme dei umeri razioali positivi Decidere quali delle segueti strutture soo gruppoidi, quali semigruppi e quali gruppi: (Z, +), (Z, ), (Z, ), (Z, :), (Q +, +), (Q +, ), (Q +, ), (Q +, :) 69 Siao (A, ) e (B, ) due gruppi Defiire u operazioe ell isieme A B i modo che (A B, ) risulti u gruppo 7 a) Siao A e B due isiemi Provare che vale l uguagliaza: (*) (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A) (L isieme che figura al primo ed al secodo membro della (*) si chiama la differeza simmetrica dei due isiemi A e B e si idica co il simbolo A B) b) Dimostrare che l operazioe gode delle proprietà commutativa ed associativa: i) A B = B A; ii) (A B) C = A (B C) (Per dimostrare la ii) coviee provare dapprima l equivaleza: (A B) C appartiee ad uo solo dei tre isiemi A, B e C oppure appartiee ad oguo dei tre isiemi A, B e C) c) Sia E u isieme Verificare che la struttura (P(E), ) è u gruppo (P(E) è l isieme delle parti, o famiglia dei sottoisiemi, di E, cioè l isieme che ha come elemeti tutti i sottoisiemi di E) 75 Risolvere le segueti equazioi e disequazioi ell icogita : a) 4 + + < 0; b) 5 + + = 0; c) + + ; d) 5 + + + ; e) 4 + = 0; f) 5 78 Risolvere, al variare del parametro reale k, le segueti disequazioi ell icogita : a) k + < k( ) ; b) + 0; c) k ( + k )( 4) 0; d) k k 0 8 Risolvere, al variare del parametro reale k, le segueti disequazioi ell icogita : a) k(k + ) + k 5 0; b) ( ) k(k + ) + k 5 > 0; c) ( ) k(k + ) + k 5 k 0; d) (k ) k(k + ) + k 5 k ( + ) 0 84 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : a) 9 < + ; b) + 5 ; c) 4 4 + 4 < 9 8 ; d) 4 9 + 56 + 4 + 0; e) 6 9 6 0 87 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : a) 6 4 + 7 + 6 < 0; b) 4 + 6 + 0; c) 6 + ( ) 6 6 > 0; d) 8 + ( ) 4 6 6 > 0; e) 4 4 8 + 5 8 + 49 > 0 4

90 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : a) + 4 + 0; b) 4 + 5 9 + 5 0; c) + + > 0, d) 4 + 4 5 0 9 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : a) 4 + 9 + 5 5 < 0; b) ( + ) < 4( ); c) + + 6( + ) + (6 + ) d) + 8 + + ; 96 Siao A, B, C e D isiemi a) Che cosa vuol dire che la coppia ordiata (a, b) o appartiee a A B? b) Provare che (*) A C e B D A B C D c) Provare che se essuo degli isiemi A, B, C e D è vuoto allora è vero pure il viceversa della (*) d) Provare che valgoo le uguagliaze: i) (A C) B = (A B) (C B), ii) (A C) B = (A B) (C B), iii) (A \ C) B = (A B) \ (C B) e) È vero che (A C) (B D) = (A B) (C D)? f) È vero che (A \ C) (B \ D) = (A B) \ (C D)? g) A che cosa è uguale l isieme (A C) (B D)? 99 Stabilire quali delle segueti fuzioi defite i N 0 ed a valori i N 0 soo iiettive: f () = 4 se 4 se > 4, f () = 5 se P +, f () = 4 se D f 4 () = 5 se P se D, f 5() = se D + 6 + 8 se P (P e D idicao, rispettivamete, l isieme dei umeri aturali pari e quello dei umeri aturali dispari) Giustificare le risposte date 0 Stabilire quali delle segueti fuzioi reali di variabile reale soo iiettive: f () = + f 4 () =, f () = +, f () = + ( ) ( ), f 5 () = + +, Motivare le risposte date e, per ogua delle fuzioi f i che è iiettiva, trovare il domiio e la legge della fuzioe iversa f i 05 Calcolare i segueti logaritmi: ( ) log, log 9 4, log 4, log π + +, log log 65 5, log 8 π log, log 5 log 5, log log 8 log 44 5

08 Calcolare i segueti logaritmi: log 49 9 log, log 90 0, log 8, log 65 0, 04, ( ( )) + +, log log 7 log 4, log 5 log 7 6 log 7 8 Usado solo carta e pea, disporre i ordie crescete i segueti dieci umeri reali: = log 8 ( ) 4, = 0, 4, = log + log 7 6, ( ( 4 = log log 4 ) + 8) 9, 5 = log 5 5 5 5 5, 6 = (log 5 ) log 5 4 ( ),, 7 = 0,, 8 =, 9 = log 7 8 + log 64, 49 0 = log log 5 4 Per ogua delle segueti fuzioi reali di variabile reale: 4 + 5, 4 5 +, 4 5 +,, log ( 5), +, a) stabilire se la fuzioe data è iiettiva oppure o e motivare la risposta data; b) se la fuzioe è iiettiva, trovare il domiio, la legge ed il codomiio della fuzioe iversa 7 Trovare il domiio di ogua delle segueti fuzioi reali di variabile reale: f() = 7 + 5 h() = 5, g() =, 7 + 5, 7 ( 4 7) k() = 5 0 Sia A il sottoisieme di R costituito da tutti i umeri reali del tipo p + q co p, q Q Provare che A è u sottocampo di R Rappresetare su ua retta cartesiaa il sego delle segueti fuzioi reali di variabile reale: f() = 5 + + 7, g() = 4 7 + +, h() = +, m() = + +, l() = 4 9 6

6 Delle segueti relazioi ell isieme R dei umeri reali stabilire quali soo riflessive, quali simmetriche, quali trasitive, quali atisimmetriche e quali totali: R = (, y) R R : y Q}, R = (, y) R R : y Q}, R = (, y) R R : y N}, R 4 = (, y) R R : = y }, R 5 = (, y) R R : y }, R 6 = (, y) R R : y} 9 Sia α u piao e siao r e O, rispettivamete, ua retta ed u puto di α Verificare che ogua delle relazioi R,, R 5, di seguito specificate, è ua relazioe di equivaleza i α: PR Q P=Q=O oppure P O, Q O ed i segmeti OP e OQ soo cogrueti; PR Q P=Q oppure P Q ed il segmeto PQ è parallelo alla retta r; PR Q P=Q oppure P Q ed il segmeto PQ è perpedicolare alla retta r; PR 4 Q P=Q=O oppure P O, Q O ed uo dei due segmeti OP e OQ è coteuto ell altro; PR 5 Q P=Q=O oppure P O, Q O ed i segmeti OP e OQ soo paralleli Dire ioltre, per ogua delle relazioi R i, i =,, 5, quali soo gli elemeti dell isieme quoziete α/ Ri Giustificare le risposte date Nell isieme R si cosideri la relazioe defiita el modo seguete: (, y) (u, v) u e y v, dove è l ordiameto aritmetico i R a) Dimostrare che è ua relazioe d ordiameto parziale b) Dire se è totale Giustificare la risposta c) Determiare, se esistoo, l estremo iferiore e l estremo superiore dei segueti sottoisiemi di R, precisado se si tratta di miimo e di massimo: A = (0, 0), (0, ), (, 0), (, )}, B = (0, 0), (0, ), (, 0)}, C = (0, ), (, 0)} 5 Si cosideri l isieme parzialmete ordiato (A, ), dove A =, 5, 0, 5, 60, 90} e è la seguete relazioe d ordiameto parziale i A: y è u divisore di y Trovare u sottoisieme B di A i modo che: a) B o sia limitato superiormete; b) B sia limitato superiormete ma o abbia l estremo superiore; c) B abbia l estremo superiore ma o il massimo; d) B abbia il massimo 8 Risolvere le segueti equazioi ell icogita : a) log ( 7) = ; b) 5 + 5 = 4 ; c) log (( )) = log ( 5); d) log = log 0 + log 9 5 ; e) log 4 = 0; f) 4 +5 4 = 6 4 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : a) > ; b) log ( + ) > ; ( ) 4 c) 9 ; d) log log log > 0; e) ( + ) + > ; f) log ( ) < 0; g) log + 0; h) log ( ) > i) log > ; l) 4 > + + ; 7

44 Provare per iduzioe che: ) i= (i ) = N ; ( + )( + ) N ; ) i= (i ) = (4 ) N ; ) i= i = 6 4) i= i = ( i= i) N ; 5) i= (i ) = ( ) N 47 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita N 0 : a) > + 5; b) 5 > + ; c) + ; d) > (suggerimeto: verificare che ogua delle precedeti disuguagliaze è, defiitivamete, ua proposizioe iduttiva) 50 Risolvere le segueti equazioi reciproche: a) + 6 6 = 0 ; b) + 6 + 6 + = 0 ; c) 4 7 + 4 7 + = 0 ; d) 5 4 + 5 5 + = 0 ; e) 6 5 4 + + = 0 ; f) 6 4 5 + 6 5 + 6 = 0 ; g) 6 40 5 9 4 + 70 9 40 + = 0 5 Per ogua delle fuzioi f i :, + R, i =,, 4, di seguito specificate: se, 0, se,, f () = ( ) f () = se 0, +, log se, +, se,, + se,, f () = f 4 () = se, +, se, +, a) disegare il grafico della fuzioe f i ; b) stabilire se la fuzioe f i è iiettiva e motivare la risposta data; c) qualora f i sia iiettiva, trovare il domiio e la legge della fuzioe iversa f i e disegare il grafico 56 Sia f :, R così defiita: se, \ f() = }, se = a) Disegare il grafico di f e dire se f è mootoa Giustificare la risposta b) Provare che f è iiettiva e trovare il domiio e la legge di f 59 Sia f : R R così defiita: f() = se Q, se R \ Q a) Provare che f è iiettiva e che risulta f = f b) Dire se esistoo itervalli I tali che f I è mootoa Giustificare la risposta 6 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : a) 0( + ) 5 + ; + 4 + b) 5 4 + 5 > 0; c) 4 + 9 + 0; d) 5 + 8 7 4 + 9 8 + 8 9 + 7 8 0 8

65 a) Provare per iduzioe che: ) qualuque sia N, il umero itero ( + )( + ) è divisibile per 6; ) qualuque sia N, il umero itero ( + )( + )( + ) è divisibile per 4 b) Geeralizzare i risultati della parte a) provado che il umero itero Π k i=0 ( + i) è divisibile per k!, qualuque siao, k N 67 Risolvere le segueti equazioi e disequazioi irrazioali: a) = + ; b) + + = 0 ; c) + = 0 ; d) + < 4 + ; e) + 4 0 ; f) + > + 68 Risolvere le segueti disequazioi: a) 4 4 + < ; b) + 8 + ; c) 6 + 8 + + ; d) 5 + 4 7 Risolvere le segueti disequazioi: 8 a) 8 + ; b) + ; + c) > 0 + + ; d) 74 Razioalizzare le disequazioi f() + g() h(), f() + g() h() 77 Provare per iduzioe che: ) ( + ) + + ( ) 0, +, N ; ) ( + ) > + + ( ) 0, +, N, 80 Portare qualche esempio di proposizioe P (), N 0, la quale sia iduttiva (cioè tale che l implicazioe N 0, P () è vera = P ( + ) è vera sia vera), ma risulti falsa per qualuque valore di N 0 8 Risolvere le segueti disequazioi ell icogita : ( ) a) log ( 6 + + + ) + log 4 > 0 ; b) 5 ; 5 + c) log ( ) log > ; d) log > log + log ; e) log 4 ( (4 7 + 8) ) < log 4 (7 4) ; f) 4 + log + < 5 log 4 ( + ) ; 9

g) + ; h) log log < ; i) log ( + ) + 0 ; l) 4 < ; 9 + m) + ( ) + 4 0 ; ) + 4 ; o) log ( + ) + log ( 5) ; p) log 4 + 4 > log 4 + 6 86 Sia f : R R la fuzioe defiita el modo seguete: se, ( + ) se, 0 f() = ( ) se 0, + a) Disegare il grafico di f e dire se f è mootoa i R, giustificado la risposta b) Provare che f è iiettiva e trovare il domiio di f c) Trovare la legge di f d) Disegare il grafico di f 89 Sia f : R R la fuzioe defiita el modo seguete: 4 se, f() = log se, + a) Disegare il grafico di f b) Dire se f è mootoa i R Giustificare la risposta c) Provare che f è iiettiva d) Trovare il domiio e la legge della fuzioe iversa e) Disegare il grafico della fuzioe iversa 9 Trovare i domii delle segueti fuzioi reali della variabile reale : a) 4 log( ) log( + 5), b), c) log ( + 5) ( + ) 5, + 7 4 d), e) log log + 4, f) log 4 5 + + 95 Risolvere il sistema di disequazioi ( ) 7 > 4 log (0 ) 8 98 Provare che i segueti sottoisiemi dell isieme R, dotato dell ordiameto aritmetico, soo tutti limitati e trovare, per oguo di essi, l estremo superiore e l estremo iferiore, precisado se si tratta, rispettivamete, di massimo e di miimo Giustificare le risposte date A = + : N} ; B = 0,, 4} ; C = r : r 0, Q} ; D = + : R} ; E = R : = +, C C C ed esattamete quattro delle cifre C i soo diverse da zero} 0

0 Sia X u sottoisieme o vuoto di R tale che ma X = 4, if X =, X o ha miimo Trovare l estremo superiore e l estremo iferiore dell isieme Y = + : X} e decidere se si tratta, rispettivamete, di massimo e di miimo 04 Risolvere le segueti equazioi: a) se = ; b) cos = ; c) tg = ; d) se = ; e) cos = ; f) cos se 4 cos = 0 ; g) tg 4 4tg + = 0 ; h) tg = cos ; i) cos = + se ; l) 4se ( π 6 ) 8 cos( π 6 ) + = 0 07 Risolvere le segueti equazioi: a) se cos = 0 ; b) se + cos = ; c) cos se = ; d) se cos = ; e) tg ( π 4 + ) tg = ; f) tg + se = + cos ; g) tg + cos = 0 Risolvere le segueti equazioi: a) cos( + π ) = cos( π 4 ) ; b) se + se = se + se 4 ; c) se = 8se ; d) se (5 ) = cos ; e) + cos = cos ; f) tg + tg = cos + ; g) log π cos(5 + ) = Per oguo dei segueti sottoisiemi di R stabilire se si tratta di u isieme limitato superiormete iferiormete oppure o e, i caso affermativo, trovare l estremo superiore iferiore, precisado se si tratta di massimo miimo Giustificare le risposte date A = R : = 0, C C C e ogua delle cifre C i può assumere soltato i valori 0 e } A = y :, y A} ; A = A (R \ Q) ; B = 4+ : N} ; C = + : < } ; D = ( ) + : N} ; E = : < } ; F = + + + +y :, y, } ; G = log + : N} ; H = e : R } ; I = e : R } ; L = r : N }, dove r è il resto della divisioe : 5 6 Sia A, B due sottoisiemi o vuoti di R e sia A + B = a + b : a A, b B} Provare che: ) A+B è limitato superiormete se e soltato se etrambi gli isiemi A e B soo limitati superiormete ) A + B è dotato di massimo se e soltato se etrambi gli isiemi A e B soo dotati di massimo ) se A e B soo limitati superiormete, allora sup(a + B) = sup A + sup B 9 Siao A, B due sottoisiemi o vuoti di R, co A, B 0, +, e sia AB = ab : a A, b B} Provare che: ) se etrambi gli isiemi A e B soo limitati superiormete, allora ache AB è limitato superiormete, ma il viceversa o è vero ) se A e B soo limitati superiormete, allora sup(ab) = sup A sup B Risolvere le segueti disequazioi e sistemi di disequazioi: a) se > ; b) cos( + π 0 ) ; c) cos < ; d) se > ; e) tg ; f) tg < 0 ; g) se < ; h) < cos < ; i) tg ( π 5 )

5 Trovare l itero, la frotiera ed il derivato di oguo dei segueti sottoisiemi di R : E = 0, (, Q) ; E = (, \Z) (, + \Q) ; E =,,, } ; E 4 = m + : m Z, N} ; E 5 = (0, Q) \, 4, 8, } ; E 6 = N +, + 8 Sia E u sottoisieme di R Dimostrare che: i) E \ E DE ; ii) DE \ E E ; iii) E ( E) = E (DE) Sia X u sottoisieme o vuoto di R limitato superiormete e sia L = sup X Provare che: a) L X ; b) se l isieme X o ha il massimo, allora L DX ; c) l implicazioe cotraria della b) è falsa 4 Siao E, F R Provare che: a) E F = E F, ma il viceversa o è vero; b) E F ( E F ), ma, i geerale, o si ha l uguagliaza; c) E F = ( E F ) 7 Verificare, i base alla defiizioe di limite di ua successioe, che risulta: a) lim = ; b) lim + c) lim log ( + ) = ; d) lim e) lim 4 + = ; ( + 7 ) = 0 ; ( ) log5 ( +) ( lim 0 ) 7 4 = + = + ; 40 Risolvere le segueti disequazioi e sistemi di disequazioi: a) se + cos > ; b) 4se 4 se + 6 < 0 ; c) log 0 se 0 ; d) se log ; e) cos 4 5 cos + 5 cos > 0 ; f) < cos ; g) se 6 4se + > 0 ; h) cos ( + ) cos + ( + ) cos > 0 ; i) cos ( + ) cos + > 4 Utilizzado i teoremi di cofroto e teedo preseti i limiti delle successioi otevoli a }, log a }, p } e a }, trovare i limiti delle segueti successioi: } ( a) log 4+( ), b) log 4+( ) + ) } } ( ), c) 5 d) (π + cos π) }, e) (π + cos π) +π} }, f) 5+se π } 5 + 5 4se π 5 5, g), h) ( ) + 5 4se π 5 5+se π 5 }, i) ( ) } 5 se, l) ( ) } +π 5 se

46 a) Provare che, se a } e b } soo due successioi regolari, allora ache la successioe maa, b } } è regolare (coviee esamiare separatamete i due casi: lim a lim b e lim a = lim b ) b) Se la successioe maa, b } } è regolare, si può cocludere che almeo ua delle due successioi a } e b } è regolare? c) Geeralizzare il risultato a) provado che, se a, },, a k, } soo k successioi regolari, allora ache la successioe maa,,, a k, } } è regolare (coviee procedere per iduzioe su k) 49 Risolvere le segueti disequazioi: a) cos se > 0 ; b) 4se se < 0 ; c) cos se < 0 ; d) tg + se cos > 0 ; e) tg tg < 0 ; f) se cos < 0 ; g) 4 7 7se 6 > 0 ; h) 5 se 6 5 se + 5 0 ; i) log ( tg + tg + ) log (5tg + ) < 0 5 Sia a } ua successioe di umeri reali sulla quale si hao le segueti iformazioi: ) la successioe a } è covergete; ) sup N a = 5; ) a < 5 N Qual è il limite della successioe a }? Giustificare la risposta data } 55 a) Trovare il limite della successioe ( R) b) Provare che ua successioe } coverge ad u umero e è u maggiorate di }, allora = sup N } c) Trovare l estremo superiore della successioe d) Provare che = mi N 58 Calcolare i limiti delle segueti successioi: a) + 4 }, b) ( + ) + } } se, c) + } } ( + ) d) + }, e)!}, f), g) se!,! } k + } } h), i) se se, l), k= + k k=0 m) ( a ) } (a > 0), ) (cos π) } } ( R), o) ( + ), } + } 4 5 + } p), q) +, r) + 5 4 + + 6 Siao a }, b } due successioi e sia c } la successioe defiita el modo seguete: c = a, c = b, c = a, c 4 = b, c 5 = a, c 6 = b,

a) Provare che codizioe sufficiete affiché la successioe c } sia covergete è che le successioi a } e b } siao etrambe covergeti ed abbiao lo stesso limite b) Stabilire se la precedete codizioe è ache ecessaria Giustificare la risposta data c) Risolvere i precedeti quesiti a) e b) per ogua delle due successioi d } e e } di seguito defiite: d = a, d = b, d = a, d 4 = b 4, d 5 = a 5, d 6 = b 6,, e = a, e = a +b, e = a, e 4 = a +b, e 5 = a, e 6 = a +b, 64 Trovare, al variare del parametro λ R, l estremo iferiore e l estremo superiore (fiiti o o) degli isiemi umerici = e λ + : N}, Yλ = λ : N} X λ 67 Calcolare i limiti delle segueti successioi: } a) + + + + + + +, } b) p+r + p+r+ + p+r+ + + q+s (p, q N, p < q; r, s N 0 ), } c) + + + + + + + +, d) + + + + + + + k+ (suggerimeto: usare le disuguagliaze k+ < log k < k, k N ) 70 Siao: θ R, N, Dimostrare che le radici -me del umero complesso z = cos θ i se θ soo: cos θ+kπ i se θ+kπ, k = 0,,, + } 7 a) Dimostrare la seguete versioe putuale del teorema di cotiuità della fuzioe iversa Teorema (Cotiuità della fuzioe iversa) Sia I u itervallo di R e sia f : I R ua fuzioe fortemete mootoa Se f è cotiua i u puto 0 I, allora f è cotiua el puto y 0 = f( 0 ) b) Che cosa accade se il domiio della fuzioe f o è u itervallo? 76 Sia f : A R ua fuzioe reale di variabile reale e siao γ e δ, rispettivamete, l estremo iferiore e l estremo superiore della fuzioe f ell isieme A (γ, δ R) ) Provare che, se la fuzioe f è mootoa, la codizioe ( ) f(a) γ, δ Q è sufficiete per la cotiuità di f La codizioe è ache ecessaria? ) Provare che, se l isieme A è u itervallo, la codizioe (*) è ecessaria per la cotiuità di f La codizioe è ache sufficiete? 79 Calcolare la derivata delle segueti fuzioi: a) 4, b) e) arcse + + e + e, c) ( ) log, d) se + cos, f) arctg, g) log ( + tg ), h) e se,, i) se cos 4, l) + arctg +, m) log se + cos + cotg 4

8 Siao f, g : I R due fuzioi reali defiite ell itervallo I e sia 0 u puto di I Provare o smetire le segueti affermazioi: a) se la fuzioe somma f + g è derivabile el puto 0, allora almeo ua delle due fuzioi f e g è derivabile i 0 ; b) se la fuzioe somma f + g è derivabile el puto 0 ed almeo ua delle due fuzioi f e g è derivabile i 0, allora ache l altra fuzioe è derivabile i 0 ; c) se la fuzioe prodotto fg è derivabile el puto 0 ed almeo ua delle due fuzioi f e g è derivabile i 0, allora ache l altra fuzioe è derivabile i 0 85 Calcolare le segueti derivate (si tega presete che, come è d uso, l espressioe a bc sigifica a (bc ) ): a) D, b) D ( ), c) D(log ) log, d) D, e) D ( ), f) D ( ), g) D 88 Siao f, g, h : I R tre fuzioi reali defiite ell itervallo I e sia 0 u puto di I Siao ioltre verificate le segueti ipotesi: (i) f() g() h() I; (ii) f( 0 ) = h( 0 ); (iii) le fuzioi f e h soo derivabili el puto 0 a) Dimostrare che, se il puto 0 è itero all itervallo I, allora ache la fuzioe g è derivabile el puto 0 e risulta: ( ) f ( 0 ) = g ( 0 ) = h ( 0 ) b) Mostrare co opportui esempi che, se 0 è u estremo di I, le precedeti ipotesi (i) - (iii) o soo sufficieti ad assicurare é la derivabilità di g i 0 é, ammettedo per ipotesi l esisteza della derivata g ( 0 ), la validità dell uguagliaza (*) 9 Calcolare la derivata delle segueti fuzioi, precisado l isieme di validità del risultato otteuto: se + cos a), b) log se + cos se log + cos log se cos se cos, c), se log cos log se 4 + cos 4 ( ) 4 se + cos 4 se + cos d) se 4 cos 4, e), f) se cos se cos 94 Sia f : I R ua fuzioe reale defiita ell itervallo I, cotiua el puto 0 I Provare o smetire le segueti affermazioi: a) f derivabile i 0 = f derivabile i 0 ; b) f derivabile i 0 = f derivabile i 0 ; c) 0 I, f derivabile i 0 = f derivabile i 0 97 Calcolare, se esiste, la somma delle segueti serie umeriche: a) ( ), b) ( )( + ) =4 = d) (4 )(4 + ) +, e) = g) = log 5+ + 5 5 + + + ( 5)+ =5 5 +, h), c) ( )( + ) =, f) = = log 5+ + 5 5 + + ( ) ( + ),, 00 Sia a } ua successioe o crescete di umeri o egativi Dimostrare che le due serie a + a + + a +, a + a + + a + hao lo stesso carattere Provare ioltre, co u esempio, che l ipotesi a } o crescete è esseziale 5

0 Studiare il carattere delle segueti serie, al variare di i R: a), b)!, c) (!), d) = = = (!)! = 06 Sia = a ua serie a termii positivi Dimostrare che la codizioe: ( ) lim a + a = l 0, è sufficiete per la covergeza della serie = a, ma o è ecessaria Cofrotare poi la codizioe (*) co l altra codizioe sufficiete: a + (o) lim = λ 0,, a che si deduce dal criterio del rapporto 09 Siao A }, B } e C }, ell ordie, le successioi delle somme parziali delle segueti tre serie umeriche: a) + + + 4 +, b) + 4 +, c) + + + 4 4 + Studiare, al variare di i R, il carattere delle tre serie: α) A, β) = B, γ) = C = Studiare la cotiuità e la derivabilità delle segueti fuzioi reali defiite i tutto R: f() = se se Q, cos se R \ Q, g() = se Q, 5 se R \ Q, h() = se se Q, se se R \ Q, l() = ( ) se Q, ( ) 5 se R \ Q 5 Siao: I u itervallo di R, 0 I u estremo dell itervallo I e f : I R ua fuzioe reale defiita i I a) Provare che, se f è cotiua i I, l esisteza del limite f() f( lim 0 ) 0 0 implica quella di f() f( lim 0 ) 0 0 b) Che cosa succede se si sostituisce all ipotesi di cotiuità ell itervallo I quella di cotiuità el puto 0? 6

8 (Derivata di ua fuzioe dispari risp pari) Sia f : A R (A R) ua fuzioe dispari risp pari e sia 0 u puto di A per il quale abbia seso il problema della derivabilità di f i 0 (cioè 0 abbia la proprietà che vi sia u itervallo I tale che 0 I A) Provare che, se f è derivabile el puto 0 A, allora f è derivabile ache el puto 0 e risulta f ( 0 ) = f ( 0 ) risp f ( 0 ) = f ( 0 ) Sia f : I R ua fuzioe covessa, ma o strettamete covessa, ell itervallo I Provare che il grafico di f cotiee u segmeto 4 Sia I u itervallo di R, dotato di miimo: a = mi I, e sia f : I R ua fuzioe reale defiita i I, covessa ell itervallo J = I \ a} a) Provare che, se f è cotiua i a, allora f è covessa i tutto l itervallo I b) Provare che, se f è cotiua i a e strettamete covessa i J, allora f è strettamete covessa i I 7 a) Sia f : I R ua fuzioe derivabile ell itervallo I Provare che, se f è crescete i u puto 0 I, allora f è strettamete covessa i 0 b) Verificare che la fuzioe f() = ( + se ) se R \ 0}, 0 se = 0 è derivabile i R, strettamete covessa i 0 = 0, ma f o è mootoa i 0 0 (Covessità e asitoti) Sia I u itervallo di R, o limitato superiormete, e sia f : I R ua fuzioe covessa i I Si suppoga, ioltre, che la retta r di equazioe y = m + p sia u asitoto per il grafico di f per + Dimosrare che: ) la fuzioe g() = f() (m + p) è o crescete i I ed assume solo valori o egativi; ioltre, per ogi, I tali che < e g( ) > 0, si ha g( ) > g() (suggerimeto: coviee provare, come prima cosa, che ache la fuzioe g è covessa i I); ) se f è strettamete covessa i I, allora g è decrescete i I ed assume solo valori positivi Sia p 0, Dimostrare che risulta specificado i casi i cui si ha l uguagliaza a p + b p ( ) p (a + b) p a, b 0, +, 6 Studiare la fuzioe reale di variabile reale ( + ) e disegare il grafico 9 Studiare la fuzioe reale di variabile reale ( + ) e disegare il grafico 4 Calcolare i segueti itegrali idefiiti, precisado, di volta i volta, gli itervalli di validità del risultato otteuto: a) tg ( + ) d ; b) (,6) d (,) ; c) 0,7 d +,4 ; d d) ; e) d ; f) log cos(7 + ) cotg (7 + ) d ; g) d + ; h) ( + ) e d 7

Soluzioi di alcui esercizi a) 0 ; b),, 4± 7 ; c) 5, 7; d), ; e) ± 6 Gli isiemi delle soluzioi delle disequazioi assegate soo: a), +, + ; b) 9 7, + ; c) 7 } ; d), 5 7, ; e), 4, + ; f), 4 4 5, ; g), 4, 5, + 5 Gli isiemi delle soluzioi delle disequazioi assegate soo: a a) a 4a, a+ a 4a se a, 0 4, +, se a 0, 4; b) 4 a, + 4 a se a, 0, R se a 0, 4, R \ } se a = 4, c) d), 4 a + 4 a, +, + + 4a a + 4a a a+ a 8a+8 (a ), a a 8a+8 (a ) + 4a, + + 4a a, a a 8a+8 (a ) R se a 4, 4 + se a 4, + ; a, + se a, 0, 0, + se a = 0, se a 0, 4, } se a = 4, se a 4, + ; se a,,, se a =, a+ a 8a+8 (a ), + se a, 4 4 +, +, 8 a) A B =, 5 6, 4, A B =, 7,, A \ B =, 5, B \ A =, 6, 7, 4 b) (A B) \ C =,, (A B) \ C =,, (A \ B) C =, 5, (A \ B) C =, +, (A \ B) (C \ A) =, 7, +, (A \ B) (C \ A) = 7 a),, 5 A; b) y, y 5 B; c) z, z C; d) t, t, t 4 D; e) w, w 4 E (per y 5 coviee adoperare l idetità + q + + q = q+ q q R \ } N ) 6 ) (P ) a A b B c C : a + b c ; (P ) a + b c a A b B c C a A, b B, c C = a + b ; (P ) a A b B : a + b > c c C ; (P 4 ) a A b B : a + b > c c C ; (P 5 ) a A b B c C : a + b > c 8

4 Si ha: è soluzioe di (*) k( ) k ( ) + k + 0 9k 6k + 0 4 k 0 9, +4 0 9 = A, è soluzioe di (*) k k + k + 0 k k 0 k,, + = B, pertato le risposte alle domade poste soo: a) k A B =, 4 0 9, + ; b) k A B = 4 c) k (A \ B) (B \ A) = 0 9,, +4 0 9, + d) k R \ (A B) =, 4 0 9, +4 0 9 ; ; 54 a) k ; b) k 0, + \ } ; c) k 4, + \ } ; d) k 0, 4 90 a), +, ; b) } ; c), + ; d), 9 a), 5+ 5 5+ 5, 4 ; b), ; c) 4+5, 4 5, ; d),, + 8 a) 6 ; b) ± log 5 5 ; c) 5+ 5 ; d) 8 ; e) ± +, ± + ; f) 4 a), 7, 7, + ; b),, + ; c), ( + 5) + 5, + ; d), ; e), + ; f),, + ; g), ; h), ; i) 0, + \}; l) (0, + \}) 4 k : k N} 50 f),,, } ; g),,,,, } 6 a), 5 5, ; b), 5, 5, + ; c) 5, 5+ ; d),,, + 98 mi A =, sup A = (o è massimo); if B = 0 (o è miimo), ma B = 4 ; if C = 0 (o è miimo), sup C = (o è massimo); mi D =, ma D = ; if E = (o è miimo), ma E =, 9999 04 a) π + kπ : k Z} π + kπ : k Z} ; b) ± π 4 + kπ : k Z} ; c) π + kπ : k Z} ; d) ± π 6 + kπ : k Z} ± 5π 6 + kπ : k Z} ; e) π 4 + k π : k Z} ; f) ± π + kπ : k Z} ; g) ± π + kπ : k Z} π 4 + h π : h Z} ; h) π 6 + kπ : k Z} 5π 6 + kπ : k Z} ; i) π 6 + kπ : k Z} 5π 6 + kπ : k Z} π + kπ : k Z} ; l) π 4 + kπ : k Z} π + kπ : k Z} 07 a) π 4 + kπ : k Z} ; b) kπ : k Z} π + kπ : k Z} ; c) π 6 + kπ : k Z} π + kπ : k Z} ; d) π + kπ : k Z} (k )π : k Z} ; 9

0 a) π 4 e) ± π 6 + kπ : k Z} ; f) π + kπ : k Z} (k )π : k Z} ; g) kπ : k Z} π 4 + kπ : k Z} + kπ : k Z} ; b) kπ : k Z} kπ 5 : k Z} ; c) kπ : k Z} π 6 + kπ : k Z} ; d) π + 6 + h π : h Z} π 8 + 4 + h π : h Z} ; e) (k )π : k Z} ± π + 4kπ : k Z} ; f) ± π + kπ : k Z} ; g) Gli isiemi delle soluzioi soo: a) k Z π 6 + kπ, 5π 6 + kπ ; b) k Z π 5 + kπ, 6π 5 + kπ ; c) R \ kπ : k Z} ; d) ; e) π + hπ, π + hπ ; f) π 4 + hπ, hπ ; g) π 4 + hπ, π 4 + hπ ; h Z h Z h Z h) ( ) π + kπ, 4π + kπ \ (k + )π} ; i) π 45 + h π, π 0 + h π k Z h Z 40 Gli isiemi delle soluzioi soo: a) kπ, π + kπ ; b) π + hπ, π + hπ ; c) π + kπ : k Z} ; k Z h Z d) π +kπ : k Z } ( ( )) ; e) (k )π : k Z} π 6 + kπ, π 6 + kπ \kπ} ; ( f) k Z ) ( π 6 + kπ, π 6 + kπ k Z k Z ) 5π 6 + kπ, 7π 6 + kπ ; g) R \ π + kπ : k Z} ; h) ( ) π 4 + kπ, π 4 + kπ \kπ} ; k Z ( ) ( i) π + kπ, 5π + kπ ) π 6 + kπ, π 6 + kπ k Z k Z 49 Gli isiemi delle soluzioi soo: a) k Z c) k Z π 4 +kπ, π 4 +kπ ; b) R \ ( π +kπ : k Z} 5π 6 +kπ : k Z} π 6 +kπ : k Z} ) ; kπ, π + kπ ; d) h Z f) k Z π 4 + hπ, π + hπ ; e) h Z π 4 + kπ, π 4 + kπ ; g) R \ π + kπ : k Z} ; ( π 4 + hπ, (h + )π \ π + hπ, π 4 + hπ} ) ; h) k Z kπ, (k + )π ; i) h Z π 6 + hπ, π + hπ 67 a) log ; b) log q p ; c) 0 ; d) + 70 La forma trigoometrica del umero complesso z = cos θ i se θ è z = cos( θ) + i se ( θ), pertato l isieme delle radici -me di z è cos θ+hπ + i se θ+hπ : h = 0,,, } o, ciò che è lo stesso, ( ) cos θ+hπ + i se θ+hπ : h =,,, } 0

Proveremo che l isieme (*) è coteuto i ( ) cos θ+kπ i se θ+kπ : k = 0,,, } ; i questo modo, dato che il precedete isieme (**) ha al più elemeti, saremo sicuri che esso è uguale all isieme delle radici -me di z ed avremo quidi dimostrato l euciato dell esercizio Proviamo l iclusioe isiemistica: per ogi h,,, }, si ha che l itero k appartiee a 0,,, } e risulta = cos ( θ hπ 79 Le derivate richieste soo: cos θ+hπ + i se θ+hπ + π ) i se ( θ hπ a) 4 + ( ) log, b) c) ( ) log log log f) ( arctg arctg + ) +, d) = cos θ hπ + π ) = cos θ+( h)π i se θ hπ = i se θ+( h)π 4 + ( )e + ( + )e + ( + e ), se ( + cos ), e) + ( + ), g) ( log e)tg, h) e (+)se + cos, i) se cos se cos + cos ( se ),, l) ( + ) arctg + + ( + ) 4 + +, m) 6 ( log se ) cotg Fatta eccezioe per e), tutti i risultati sopra riportati valgoo i tutto l isieme di defiizioe della fuzioe assegata (che è, + per la fuzioe c), R \ π + kπ : k Z} per la g), R \ kπ : k Z} per la m) e R per tutte le altre) Nel caso della e) (che è defiita i tutto R) il risultato vale i R \ 0} (el puto 0 = 0 la fuzioe o è derivabile; cfr il successivo Esercizio 4) Per calcolare la derivata della fuzioe m) coviee esprimere diversamete la legge 94 a) Falso Cotroesempio: I = R, f() = R, 0 = 0 se 0, + Q, b) Falso Cotroesempio: I = 0, +, f() = se 0, + \Q, 0 = 0 c) Vero Idichiamo co λ la derivata D f() =0, che esiste per ipotesi Se f( 0 ) > 0 risp f( 0 ) < 0, per il teorema della permaeza del sego esiste U U( 0 ) tale che f() = f() risp f() = f() per ogi U I; pertato, per il teorema sui limiti delle restrizioi larghe, la derivata f ( 0 ) esiste ed è uguale a λ risp λ Se f( 0 ) = 0, allora 0 è u puto di miimo assoluto per la fuzioe f() f(), pertato, per il teorema di Férmat, si ha λ = 0, cioè lim 0 0 = 0 e quidi, per il teorema sul limite del prodotto di ua fuzioe limitata per ua ifiitesima, si ha pure f() f( 0 ) lim = lim 0 0 0 f() 0 = lim 0 f() f() f() = 0 0 97 a) 8 ; b) ; c) 0 ; d) 7 6 ; e) + ; f) log 6 5 ; g) o esiste; h) 8 0 a) coverge assolutamete per < ; coverge, o assolutamete, per = ; diverge a + per > ; è oscillate per < ; b) coverge assolutamete per < ; diverge a + per ; c) coverge assolutamete per 0; diverge a + per > 0; d) coverge assolutamete per, ; diverge a + per R \,